2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
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- María Antonia Fuentes Montes
- hace 7 años
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1 Sucesoes. SUCESIONES. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Objetvos: Se pretede que el estudte: Determe covergec o dvergec de sucesoes. Alce Mootoí de sucesoes. Coozc ls propeddes de l otcó sgm. 5
2 Sucesoes.. SUCESIONES.. DEFINICIÓN. Sucesó es u fucó, deotd como { }, cuyo domo es el cojuto de los úmeros eteros postvos y su rgo so úmeros reles. Es decr: IN X IR f ( ). Es comú referrse l rgo de l sucesó, por tto l sucesó se,,. S l sucesó tee preset como u secuec de térmos { },, u ctdd determd de térmos se l llmrá SUCESIÓN FINITA. S l sucesó tee u ctdd o defd de térmos, se l llmrá SUCESIÓN INFINITA. Ejemplo { },,,,, 5 7 mer como se presetó l sucesó e el ejemplo teror se deom form explíct, pero se l puede expresr como u formul de recursó. Ejemplo ; ; Es decr: 7 Y sí sucesvmete. 6
3 Sucesoes.. Covergec y ímte U sucesó { }, es covergete s y sólo s lm exste. Cso cotrro; es decr, s lm o exste, se dce que l sucesó es dvergete. S lm exste, es decr s lm, sgfc que: ξ > 0, N > 0 tlque > N < ξ Ejemplo. Determr s { } es covergete o dvergete. SOUCIÖN: lm Pr determr s es covergete o dvergete se hll. lm lm Por tto, l sucesó es covergete y demás coverge TEOREMA U codcó ecesr y sufcete pr que u sucesó se covergete es que se cotd. Note que, pr l sucesó teror l mím cot superor es máxm cot feror es. y l PREGUNTA: POR QUÉ SE DICE MÍNIMA COTA SUPERIOR? POR QUÉ SE DICE MÁXIMA COTA SUPERIOR? 7
4 Sucesoes Ejemplo Determr s { } { ( )} se es covergete o dvergete. SOUCION: lm se ( ) lm ( ) se( ) se( ) lm Hcedo u se lm coverge. etoces, s teemos que u 0 ( ) se u se u lm lm (). Por tto u 0 u u 0 u TEOREMA S y b so sucesoes covergetes, etoces:. lím k k lím ; k IR. lím ( ± b ) lím ± límb. lím( b ) lím límb. lím lím b s lím b 0 límb.. SUCESIONES MONOTONAS U sucesó { } es moóto s sus térmos so o decrecetes, es decr: ; ó s sus térmos so o crecetes; es decr:. 8
5 Sucesoes o teror quere decr que s se cumple que o será u sucesó CRECIENTE. Cso cotrro, es decr s d que o será u sucesó DECRECIENTE. Ejemplo Determr s l sucesó es crecete o decrecete. SOUCIÖN: E este cso ( ) Al dvdr mbs expresoes, result: ( )( ) ( ) ote que e l últm expresó se observ que Por qué?. Por tto, l sucesó será CRECIENTE. Ejemplo Alce l sucesó ( ) SOUCIÖN: Desrrolldo l sucesó teemos { } {,,,,} { } ( ) Se observ que l sucesó o es moóto, o es covergete, s es cotd. 9
6 Sucesoes Ejemplo Alce l sucesó! SOUCIÖN:. lm 0. El fctorl es más crecete que l expoecl por tto l sucesó coverge! 0.. sucesó es cotd debdo que es covergete. ( )!!.. Ahor ( )!!! ( ) Se observ que pr, por tto l sucesó es decrecete. Ejerccos propuestos.. Determe s ls sguetes sucesoes so covergetes o dvergetes.. e. b. c. d. se f. g. l. Determe s ls sucesoes so crecetes, decrecetes o o moótos.. 5 e. 5 b. c. 5! 5 ( ) d. se( )! 0
7 Sucesoes.. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Se l secuec,,., sum de estos úmeros, puede ser expresd medte u otcó que deot brevcó, el símbolo empledo es el de sgm: Etoces, l otcó sgm sgfc u sum de térmo, desde el prmero hst el -ésmo. Podemos teer u sum ft de térmos como tmbé podemos teer u sum ft. Ejemplo { { 5 0 { 7 { Ejemplo.. Propeddes Se { } y { b } dos sucesoes y se C u costte, etoces. C C. ( ± b ) ± b Algu formuls que se ecestrá más delte so:
8 Sucesoes. ( ). ( )( ) 6. ( ). ( )( ) No olvde demostrrls!
5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
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Estadístca (Q) Dra. Daa M. Kelmasky 99. Teoremas límte Frecueca Relatva 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9.0 0 00 00 300 400 Orde de la trada Fgura : Frecueca relatva de cara para ua sucesó de 400 tradas. La fgura muestra
Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
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COTAS Y EXTREMOS DE CONJUNTOS DE NUMEROS REALES
VALORES ABSOLUTOS Defiició: si 0 =, si < 0 = Por lo tto 0 R Teorem 2 = 2 Demostrció: si 0 2 = 2, si < 0 2 = ( ) 2 = 2 PROPIEDADES. =. = + + (desiguldd trigulr) = Teorem x x Demostrció: x x 2 2 x 2 2 x
Aproximación a la distribución normal: el Teorema del Límite Central
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Guía Práctica N 12 RAÍCES FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
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1, 4, 16, 64,. Cuál regla define esta sucesión? Puedes indicar los próximos dos elementos?
UCEIONE Prof. Evel Dávil Cálculo Reviso ABRIL 0 U sucesió o sucesió cosiste e u eumerció o listo e elemetos los cules los escribe u regl o ptró por tto el ore e sus elemetos es fumetl.,,,,. Cuál regl efie
5.3 Estadísticas de una distribución frecuencial
5.3 Estadístcas de ua dstrbucó frecuecal 5.3. Meddas de tedeca cetral Meddas de tedeca cetral Las meddas de tedeca cetral so descrptores umércos que proporcoa ua dea de los valores de la varable, alrededor
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210. Se considera el experimento aleatorio consistente en tirar tres dados al aire y anotar los puntos de las caras superiores.
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Capítulo 6 Integrales impropias menudo resulta útil poder integrar funciones que no son acotadas, e incluso integrarlas sobre recintos no acotados. En este capítulo desarrollaremos brevemente una teoría
(finitas o infinitas)
Series ifiitas. SUCESIONES: Es u cojuto de úmeros: a,a a, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació, que se expresa por ua formula Sucesió fiita: umero itado de térmios:, 5,8-5.
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