Sucesiones. Universidad Diego Portales CALCULO II
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- Xavier Carrasco Segura
- hace 7 años
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1 Suesioes Uiversidd Diego Portles
2 U suesió se puede defiir omo u list de úmeros esritos e orde defiido:,,,...,,... El úmero es el primer térmio;, el segudo térmio y e geerl, es el -ésimo térmio. Cosiderremos sólo suesioes ifiits, de modo que d térmio tedrá su suesor. Observemos que por d etero positivo,, hy u úmero orrespodiete, y, por lo tto, se puede defiir u suesió omo u fuió uyo domiio es el ojuto de los eteros positivos Uiversidd Diego Portles
3 Uiversidd Diego Portles NOTACIÓN: l suesió { } tmbié se represet por { }, o bie,...,, { } Ejemplo Algus suesioes se puede defiir medite u fórmul del -ésimo térmio. E los ejemplos que sigue presetmos tres desripioes de u suesió:,..., , 4,,,...,..., 7 4, 5, 4,
4 E geerl, l otió sigifi que los térmios de l suesió se puede err L tto omo se desee, o u vlor de lo bstte grde. L { } DEFINICIÓN: U suesió { } tiee el límite L, y se represet L o bie si pr tod ε >, hy u etero N orrespodiete, tl que L udo L < ε siempre que > N Si eiste el se die que l suesió overge o que es overgete. Si o es sí, se die que l suesió diverge o que es divergete L Uiversidd Diego Portles 4
5 E ell los térmios,,,.., se grfi e u ret uméri. No import uá pequeño se elij l itervlo L - ε., L ε, eiste u N tl que todos los térmios de l suesió, desde N e delte, debe estr e ese itervlo. Al omprr l defiiió terior o l defiiió de límites l ifiito, se dvierte que l úi diferei etre L f L es que h de ser etero N N L- ε L L ε Uiversidd Diego Portles 5
6 Teorem: Si f L y udo es u etero, etoes L f r E prtiulr udo r>, r etoes udo r>, DEFINICIÓN: sigifi que pr todo úmero positivo M, hy u etero N tl que > M udo > N Uiversidd Diego Portles 6
7 OBS: Si, l suesió { } es divergete, uque e u form espeil. Se die que { } diverge. Algebr de límites pr suesioes { } { b } b b Si y so suesioes overgetes y si es u ostte b b b b si b b b Uiversidd Diego Portles 7
8 Ejeriio: Determie si ls siguietes suesioes overge o diverge 5 4 l Teorem del Sdwih pr suesioes Si b pr y si etoes b L L Teorem Si etoes Ejeriio: Demuestre el teorem Uiversidd Diego Portles 8
9 Ejeriio: Determie si ls siguietes suesioes overge o diverge Pr qué vlores de r { } overge l suesió r? { } L suesió r es overgete si -<r, y divergete pr los demás vlores de r si - < r < r r si Uiversidd Diego Portles 9
10 Ejeriio: Clule los siguietes límites / / /... / j j Uiversidd Diego Portles
11 Defiiió: U suesió { } se llm reiete si pr tod y dereiete si pr tod y moóto si es reiete o dereiete Ejeriio: Pruebe que ls suesioes so dereietes 4, 7 Ejeriio: Pruebe que ls suesioes so reietes { 5 }, - Uiversidd Diego Portles
12 Defiiió: U suesió { } está otd por rrib si eiste u úmero M tl que M pr Está otd por bjo si eiste u úmero m tl que m pr tod Si está otd por rrib y por bjo, { } es u suesió otd tod Teorem: Tod suesió overgete es otd Ejeriio : Demuestre el teorem Uiversidd Diego Portles
13 Teorem: Tod suesió otd y moóto es overgete Ejeriio : Demuestre el teorem V O F Ejeriio: Determie si ls siguietes firmioes so verdders o flss. Justifique { } Si es otd etoes es overgete b S eiste etoes es overgete { } Si es otd etoes { } d L suesió es otd 4 Uiversidd Diego Portles
14 Uiversidd Diego Portles 4 Límites Fudmetles IR IR k k r Z Z, q, p IR k k IR k k k p/q 6 6 se 5 r 4 < IR k se r....!... 4!!! 9 8 < k k si r r r r r e IR k e k e k
15 Uiversidd Diego Portles 5 Ejeriios: Clule los siguietes límites si es que eiste! / / se os
16 Ejeriio :Determie IR -{} tl que dode! < Ejeriio :Determie pr qué vlores de el límite es meor que, siedo IR -{} Uiversidd Diego Portles 6
17 Series Uiversidd Diego Portles 7
18 Al sumr los térmios de u suesió ifiit { }, obteemos u epresió de l form que se llm serie ifiit o t sólo serie, y se represet o el símbolo o bie tiee setido hblr de l sum de u tidd ifiit de térmios? Uiversidd Diego Portles 8
19 Uiversidd Diego Portles 9 Emiremos ls sums priles 4 4 s s s s y, e geerl, i i S... Ests sums priles form u uev suesió, {s }, que puede teer u límite o o. Si eiste el omo úmero fiito, etoes, deimos que es l sum de l serie ifiit s s
20 DEFINICIÓN; Dd u serie Se s el símbolo de su -ésim sum pril:..., s i i... Si l suesió {s } es overgete y si eiste el omo úmero rel, l serie se llm overgete, y se esribe o bie i s s El úmero s se deomi sum de l serie. Si l serie o overge, es divergete. De lo terior s s i i Uiversidd Diego Portles
21 Ejemplo : L serie geométri r r r... overge si r < y l sum es r r r < Si r > l serie geométri diverge. Uiversidd Diego Portles
22 Ejeriio: Clul l sum de l serie geométri 4 8/5 6/5 /5... Ejeriio: Determie si ls series overge o diverge Ejeriio: Demuestre que ls series so overgetes y lule su sum. 4 Ejeriio: Demuestre que l serie rmói diverge 4... Uiversidd Diego Portles
23 Teorem Si l serie es overgete, etoes OBS: E geerl o es ierto el iverso del teorem. Prueb de l divergei Si o eiste, o si, l serie diverge Ejeriio: Demuestr que l serie 7 diverge. 6 5 Uiversidd Diego Portles
24 TEOREMA: Si y b so series overgetes, tmbié lo so ls series dode es u ostte, b y, b i ii b b iii b b Ejeriio: Clule l sum Uiversidd Diego Portles 4
25 Ejeriios: Determi si ls series so overgetes o divergetes. E so de overgei, lul l sum. 4 π e 6 l 5 se / se/ Uiversidd Diego Portles 5
26 es l serie? Si se sbe que l serie es N N overgete, etoes tmbié lo Si, pues u úmero fiito de térmios o puede fetr l overgei de u serie Ejeriio: Clule los vlores de pr los ules l serie overge. Clule l sum de l serie pr esos vlores de 5 Uiversidd Diego Portles 6
27 PRUEBA DE LA INTEGRAL: Se f u fuió otíu, positiv y dereiete e [, y f. Etoes, l serie es overgete sí y sólo sí overge l itegrl impropi f d ; e otrs plbrs: d es overgete, etoes es overgete f b d diverge, etoes es divergete. f Uiversidd Diego Portles 7
28 Pr qué vlores de p es overgete l serie? p L serie p, p, es overgete si p>, y divergete udo p Ejeriio: Determie si ls series overge o diverge e Uiversidd Diego Portles 8
29 NOTA: Cudo se us l prueb de l itegrl o es eesrio iiir l serie o l itegrl e. Por ejemplo, e l prueb de ls series. usmos Tmpoo es eesrio que f siempre se dereiete. Lo importte es que f se dereiete udo se myor que determido úmero N. Etoes es overgete y por tto N lo es overgete Uiversidd Diego Portles 9
30 Ejemplo: L serie diverge l E efeto, L fuió fl/ es positiv y otiu udo >. Además es dereiete pr >e pues l f y f < udo l >; esto es, >e. Ahor podemos usr el riterio de l itegrl l l t l l t d t t t t Uiversidd Diego Portles
31 Del riterio de l itegrl, podemos iferir que fd? No debemos iferir que l sum de l serie es igul l vlor de l itegrl. Por ejemplo 6 π mietrs que Uiversidd Diego Portles
32 PRUEBA DE COMPARACIÓN: Supogmos que y so series de térmios positivos Pruebs de omprió b b Si es overgete y b pr todo, etoes tmbié overge. b b Si es divergete y pr todo, etoes tmbié lo es. b Ejeriio: Determie si ls series overge o diverge 6 5 l Uiversidd Diego Portles
33 PRUEBA DE COMPARACIÓN DE LÍMITES Supogmos que y b so series o térmios positivos. Si >, mbs series overge o diverge b b y b Si overge, etoes tmbié b Si diverge, etoes tmbié b y b Uiversidd Diego Portles
34 Uiversidd Diego Portles 4 Ejeriio: Determie si ls series overge o diverge! l l!
35 Series Altertes U serie lterte es quell uyos térmios so positivos y egtivos ltertivmete Not el -ésimo térmio de u serie lterte tom l form Prueb de l serie lterte; Si l serie lterte stisfe ls odiioes es overgete - - b o bie - b b b b pr todo Uiversidd Diego Portles 5
36 Uiversidd Diego Portles 6 Ejemplo: L serie rmói lterte stisfe ls desigulddes < < b b b b porque Así que overge, segú l prueb de l serie lterte. Ejeriio: Compruebe si l serie es overgete o divergete π π 4 / se l! os l
37 Covergei bsolut Defiiió: L serie es bsolutmete overgete si l serie de vlores bsolutos overge Si es u serie de térmios positivos, etoes y e este so overgei bsolut es lo mismo que overgei Ejemplo: L serie / es bsolutmete overgete porque es u serie p overgete p/> / Uiversidd Diego Portles 7
38 Ejemplo: L serie rmói lterte overge, pero o es bsolutmete pues l serie diverge Defiiió: U serie se llm odiiolmete overgete si overge pero o es bsolutmete overgete. Teorem: Si u serie es bsolutmete overgete, etoes overge. se Ejemplo: L serie es bsolutmete overgete, y por lo tto overgete Uiversidd Diego Portles 8
39 Qué riterio podemos usr Pr determir si u serie es bsolutmete overgete? Prueb de l rzó Si es bsolutmete b Si diverge L <, etoes l serie overgete L >, o y por lo tto overge, l serie Uiversidd Diego Portles 9
40 Uiversidd Diego Portles 4 Ejeriio: Pruebe l overgei de ls siguietes series!! 5 4 5!!! e
41 Prueb de l ríz es Si bsolutme te L <, overget etoes e y por l lo serie tto overge b Si diverge L >, o si, l serie Ejeriio: Pruebe l overgei de ls siguietes series l rt Uiversidd Diego Portles 4
42 Series de Poteis U serie de poteis es quell que tiee l form... e dode es u vrible y ls so ostres, llmds oefiietes de l serie. U serie de poteis puede overger te iertos vlores de y diverger te otros. L sum de l serie es u fuió f uyo domiio es el ojuto de tods ls pr ls que overge l serie. Uiversidd Diego Portles 4
43 Uiversidd Diego Portles 4 Pr l serie de poteis se trsform e l serie geométri que overge udo << y diverge udo II De u mer más geerl, u serie de l form se llm serie de poteis e -, o serie de poteis etrd e
44 Uiversidd Diego Portles 44 Ejeriio: Pr qué vlores de l serie es overgete? 5 4! l 4 5
45 Teorem: Pr u serie de poteis dd, sólo hy tres posibiliddes i L serie sólo overge udo ii L serie overge pr tod. iii Hy u úmero positivo, R, tl que l serie overge si I-I<R, y diverge si I-I>R El úmero R se deomi rdio de overgei de l serie de poteis. Por oveió, el rdio de overgei es R e el so i y R e el so iii El itervlo de overgei de u serie de poteis ost de todos los vlores de pr los ules l serie overge Uiversidd Diego Portles 45
46 Ejemplos de rdios de overgei e itervlos de overgei Series!! Rdio de overgei R R R R Itervlo de overgei -, {} [-,,4 -, Uiversidd Diego Portles 46
47 Uiversidd Diego Portles 47 Ejeriio: Hllr el rdio y el itervlo de overgei de d u de ls series l..5...
48 Represetió de fuioes omo serie de poteis Cómo represetr u fuió omo l sum de u serie de poteis? Cosideremos......, II < L euió terior epres l fuió f/- e form de u sum de u serie de poteis Uiversidd Diego Portles 48
49 Ejeriio: Deduir u represetió e serie de poteis de d fuió y determi el itervlo de overgei. f. f. f 4 4. f f 4 6. f 7. f - 8. f 4 9. f Uiversidd Diego Portles 49
50 Uiversidd Diego Portles 5 Difereiió e itegrió de series de poteis f Teorem: Si l serie de poteis tiee el rdio de overgei R>, l fuió f defiid por es difereible y e oseuei otiu e el itervlo -R,R, y C b f C fd Los rdios de overgei de ls series de poteis e ls euioes y b so R mbos
51 Uiversidd Diego Portles 5 Observió: Ls euioes y b se puede esribir [ ] [ ] d d d d d d d Not: Auque el teorem estblee que el rdio de overgei o mbi udo se diferei o se itegr u serie de poteis, esto o sigifi que el itervlo de overgei o se ltere. Puede sueder que l serie origil overj e u puto etremo, pero l serie difereid diverge e ese puto.
52 Ejeriio: L fuió de Bessel J! está defiid pr tod. Así segú el teorem, J es difereible pr tod y su derivd se determi por difereiió térmio térmio J d d!! Uiversidd Diego Portles 5
53 Ejeriio: Euetre u represetió e serie de poteis de d fuió y determie el rdio de overgei. f. f l. f 4. f l 5. f l5 6. f rt 7. f l 8. f - 9. f l Uiversidd Diego Portles 5
54 Serie de Tylor y de Mluri Qué fuioes tiee represetió omo series de poteis? ómo podemos deduir ess represetioes? Supogmos que f es ulquier fuió represetble medite u serie de poteis f < R Trtemos de hllr uáles debe ser los oefiietes e térmios de f Uiversidd Diego Portles 54
55 Si e l euió, obteemos f Derivdo l euió se tiee f < R Si sustituimos e l euió, obteemos f Derivdo l euió se tiee f < R f Si sustituimos e l euió, obteemos Uiversidd Diego Portles 55
56 Derivdo l euió se tiee 4 f < 4 5 R Si sustituimos e l euió 4, obteemos f.! Si otiumos difereido y sustituimos, obteemos f ! Al despejr el -ésimo oefiiete,, de est euió, el resultdo es f! Uiversidd Diego Portles 56
57 Teorem: Si f tiee u represetió desrrollo e form de serie de poteis e, esto es si f - < los oefiietes está epresdos por l fórmul R f! Luego, si f tiee u desrrollo e serie de poteis e, h de ser de l form f f! f f! f! f!... Uiversidd Diego Portles 57
58 L serie de l euió terior se llm serie de Tylor de l fuió f e. E el so espeil e que, l serie se trsform e f f f f!! f! f!... Est serie se deomi serie de Mluri Ejeriio: Determie l serie de Mluri de l fuió f e y su rdio de overgei Uiversidd Diego Portles 58
a se denomina serie a es convergente y SERIES = si r <1 S n La suma de los términos de una sucesión infinita { } n n=1 infinita o simplemente serie
SERIES L sum de los térmios de u suesió ifiit { } = ifiit o simplemete serie se deomi serie Y se represet o el símbolo = Defiiió: = 4 KK Dd l serie = ésim sum pril = 4 K K, se desigrá S su S = = = 4 K
{ } + S = = S, para S. a converge si su sucesión de sumas parciales converge, es decir,
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![, 1], del mismo tamaño, pues x 1 = = 1 4, x 2 = = 1 4, x 3 = = 1 4 y x 4 = 1](/thumbs/87/95639988.jpg ", 1], del mismo tamaño, pues x 1 = = 1 4, x 2 = = 1 4, x 3 = = 1 4 y x 4 = 1")
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Aproximación al área bajo una curva.
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