Tema 2: Resolución de los ejercicios 6, 7, 8, 10 y 14 del tema 2 del libro Fonaments físics de la Informàtica

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1 Tema : Resolución e los ejercicios 6, 7, 8, y 4 el tema el libro Fonaments físics e la Informàtica 6. Un conensaor e capacia, cargao con carga, se conecta con otro e capacia, inicialmente escargao, tal como se inica en la figura. alcula el valor e la carga en caa conensaor antes y espués e cerrar el interruptor. antes espués olución: i el conensaor está cargao con carga, ello quiere ecir que inicialmente tiene una carga + en una armaura y una carga - en la otra: - - Al conectar el otro conensao en serie no sucee ningún trasvase e carga e un conensao al otro. Por qué? Porque en la carga, situaa en el lao izquiero e no tiene otro lugar one ir que no sea el propio conensaor y ebio a los fenómenos e influencia mantiene la carga - en la otra armaura. También se poría explicar a partir e la carga -, que no puee salir e para entrar en porque esto obligaría a la aparición e una carga neta positiva en la otra armaura e, lo que no es posible por estar ese tramo e conuctor aislao. Luego antes e cerrar el interruptor, y. ué sucee al cerrar el interruptor? Unimos con un conuctor la armaura erecha e con la izquiera e. Ahora parte e la carga e puee pasar a, queano el primero con carga y el seguno con carga. Dao el sistema está aislao, se ebe cumplir que la suma e las cargas e los conensaores ebe ser igual a la carga total que teníamos inicialmente: V +

2 Por otra parte el sistema formao por la armaura e un conensaor, la armaura el otro conensaor a la que está conectaa y el cable e unión, es un único conuctor por lo que el potencial tiene un único valor. Lo mismo sucee con el sistema e que forman parte las otras armauras. Ello implica que la iferencia e potencial en bornes e ambos conensaores es la misma, con lo que V V Tenemos os ecuaciones con os incógnitas, y, que resuelto nos a y ( + ) ( + ) Lo que nos permite completar la tabla que nos a el problema: antes espués + + ( ) ( ) Aunque el problema no nos lo pie poemos estuiar que sucee con la energía almacenaa en los conensaores antes y espués e conectarlos entre sí. Recoremos que un conensaor ieal no consume energía, simplemente la almacena sieno su expresión: E V En nuestro caso. la energía inicial tiene un valor e: Tras la reistribución e la carga: E ( ) ( ) E < ( + )

3 Existe una péria en la energía almacenaa ese el estao inicial al final. En el ejercicio, tal como está planteao, no existe ningún lugar óne esta energía se puea perer estamos trabajano en coniciones ieales, ello implica que no se alcanzaría nunca el estao e equilibrio. En la práctica, esta energía se perería por efecto Joule en los conuctores que unen ambos conensaores y su valor sería, precisamente la iferencia entre la energía almacenaa inicial y la energía almacenaa final. También poemos observar que la expresión e la energía almacenaa tras la reistribución e las cargas es la expresión e la energía almacenaa en el conensaor equivalente, consierano ambos conensaores en paralelo. i analizamos con etalle el sistema que estamos estuiano y tenemos en cuenta el signo e las cargas, veremos que, inepenientemente a como esté ibujao, se correspone con os conensaores colocaos en paralelo. Por lo tanto, no es e extrañar que el resultao, ao que la energía almacenaa en un conjunto e conensaores es igual a la energía almacenaa en su conensaor equivalente. 7. Una lámina e cobre e espesor b se introuce entro e las armauras planas e un conensaor e superficie, tal como se inica en la figura. uál es la capacia el conensaor antes y espués e introucir la lámina? ol: antes ε / espués ε /(-b) b Este problema amite os formas e resolución, si bien en el contexto e la asignatura se busca que el alumno resuelva este problema a partir el análisis el sistema y e la aplicación inmeiata el concepto e capacia: Para su resolución eberemos conocer, aemás el concepto e capacia e un conensaor y su expresión corresponiente, tener clara la iea e influencia electrostática y conocer el comportamiento e materiales conuctores, así como el cálculo el campo eléctrico en el interior el sistema (o en su caso el valor el campo eléctrico entre os placas planas conuctoras) y el cálculo e la iferencia e potencial entre os puntos. El ejercicio pie la capacia sin la placa metálica intermeia. En este caso tenemos un conensaor plano el cual conocemos la expresión e la capacia siempre y cuano la istancia e separación sea muy pequeña con relación al valor e las superficies e las armauras. Dao que en el caso contrario el cálculo sería muy complejo y salría fuera e los límites el presente curso y tenieno en cuenta que el problema no afirma naa el valor e ambas magnitues, suponremos que ambas placas están muy próximas y aplicaremos la

4 expresión e la capacia e un conensaor plano. Pero en el momento e resolver el ejercicio eberemos inicarlo, por ejemplo, e esta forma: «uponieno que las placas están lo suficientemente próximas como para espreciar los efectos e bore en el conensaor, su capacia será: ε sieno la superficie e las placas y la istancia e separación.» También se poría calcular la expresión, pero para ello no hay más que seguir los pasos vistos en las clases e teoría: En el interior e un conensaor plano, espreciano el efecto e bores, se puee consierar que las superficies equipotenciales son paralelas a las armauras y el campo eléctrico, por lo tanto, perpenicular a estas: Tomano como superficie e Gauss un cilinro perpenicular a una e las V E r s σ -σ armauras e forma que una e sus bases esté en el interior el conuctor (E), y como el campo E es tangente a la superficie lateral, sólo habrá flujo e campo eléctrico a través e la otra base e la superficie, luego, por le teorema e Gauss: r r r E s E s Es E. s ε que es constante en el interior el conensaor. int σ. s σ. ε E Para hallar la capacia calcularemos la..p entre las armauras siguieno una trayectoria perpenicular a ellas y, por lo tanto, tangente a E r. V r r σ σ E r E r. r. ε ε ε ε V one es la separación entre armauras y la superficie e caa armaura. ε A continuación introucimos la placa conuctora. i introucimos una carga en una e las armauras, al existir influencia total entre las placas recoremos que hemos espreciao los efectos e bore aparecerá una carga igual y e signo contrario en la cara corresponiente el conuctor intermeio. Dao que la carga neta e este conuctor es nula, una carga total aparecerá istribuia en la superficie opuesta el conuctor que, por existir influencia total, ebe encontrar la corresponiente carga - en la superficie e la otra armaura el conensaor. Estas cargas se istribuirán uniformemente en las superficies e los conuctores, ao que hemos eliminao los efectos e bore. - - () () Para calcular la capacia hemos e aplicar la expresión: V V

5 ao que la capaciaes siempre un valor positivo, el punto () lo situaremos en la armaura cargaa positivamente (armaura e mayor potencial). Debemos calcular la..p. entre armauras, para lo cual será necesario conocer previamente el campo eléctrico en su interior. El proceimiento es el mismo que el seguio para el cálculo el campo eléctrico en el interior e un conensaor plano y con iéntico resultao: un campo eléctrico perpenicular a las armauras, con sentio ese la placa con carga positiva hacia la negativa y valor el móulo uniforme en too el interior y e valor: σ E ε sieno σ la ensia e carga en la superficie el conuctor. σ Dao que a ambos laos el conuctor meio, las cargas y las superficies son iguales, el campo eléctrico será el mismo. Para calcular e..p. entre las armauras, seguiremos una trayectoria perpenicular a las placas tangente al campo eléctrico. Asimismo hay que tener en cuenta que el campo eléctrico en el interior el conuctor es nulo y que el conuctor no tiene porqué estar situao al centro el sistema, por lo que eberemos consierar la posibilia más general: - - E r E r ( ) ( ) () () a b V V a + ε ε r r E r a r r E r + a + ε ( ( a + b) ) ( b) a E r r br r r r E r + E r a + b a r + ε a + b r ε e one la capacia V V ε ( b) on lo que el problema quea resuelto.

6 Otra forma e resolver el problema sería consierano que el sistema es análogo a os conensaores planos ispuestos en serie, e igual superficie y con istancia e separación entre armauras a y -b-a. 8. e ispone e os conensaores e capacia y, tras conectarlos en paralelo se aplica a la asociación una iferencia e potencial V. alcula la carga que aquiere caa conensaor ( y ) así como la iferencia e potencial entre las placas e caa uno e ellos (V y V ). V i observamos el sistema, es obvio que la iferencia e potencial entre las armauras es la misma en ambos conensaores están en paralelo y aemás su valor es la tensión aplicaa, V. V V V onocia la..p. en bornes e caa conensaor, la carga se calcula e forma inmeiata sin más que aplicar la expresión e la capacia en función e la carga y la..p. on lo que el ejercicio está resuelto. V y V. ea una esfera conuctora, con centro en O y raio R. Dicha esfera, que se encuentra conectaa a tierra (potencial nulo) está sometia a la influencia e una carga puntual q, situaa a una istancia e O (>R). alcula la carga que aparece en la esfera en función e q, R y. R ol: q O R q Para resolver este ejercicio se eben tener en cuenta las propieaes e un conuctor potencial constante y istribución superficial e la carga, las propieaes e la tierra potencial cero y que el potencial resultante en un punto se obtiene aplicano el principio e superposición a los potenciales creaos por toas las cargas presentes en el sistema.

7 i estuiamos el sistema, observamos que la geometría e toos los cuerpos presentes en el mismo y sus posiciones relativas, es conocia, así como el valor e la carga puntual. La única conición que nos a el problema y que nos ebería permitir calcular la carga e la esfera, es que al estar conectaa a tierra su potencial es nulo: Entonces, elegio un punto cualquiera e la esfera, su potencial, que epene e y e q, ebe ser nulo. alcular el potencial ebio a puee ser complicao. Por una parte es no uniforme cosa que eucimos e analizar cuál sería la respuesta el conuctor ante la influencia e q y se encuentra istribuio en parte e una superficie esférica. El potencial creao por una istribución superficial e carga tiene como expresión general: σ s V K r one, en nuestro caso, σ no es constante. Ahora bien, tenieno en cuenta que la carga e la esfera,, se relaciona con la ensia e carga, σ, a través e la expresión: σ s si encontramos un punto equiistante a toas las cargas, rcte, el valor e r salría e la integral y el problema sería fácilmente resoluble. Ese punto existe y es el centro e la esfera que, por efinición e esfera, equiista e toos los puntos e la superficie, rr. Entonces s s K K V σ σ K K s r σ R R R El potencial el centro e la esfera será el creao por la carga, que acabamos e calcular, y el ebio a la presencia e la carga puntual q. La suma e ambos potenciales ebe ser nula por estar la esfera conectaa a tierra. V q K + K R q R R q lo que nos ha permitio calcular el valor e la carga en función e parámetros conocios.

8 4. ea un conensaor () e capacia sometio a una iferencia e potencial V, y otros os e igual capacia y escargaos. Tras aislar el primer conensaor se asocia a los otros os tal como se muestra en la figura. alcula las cargas que aquieren los tres conensaores,,, y. ol: V ; V () A A V B B Al conectar el conensaor () a la..p. V, aquiere una carga V V. Al aislar este conensaor la carga permanece en el mismo. El siguiente paso consiste en conectar el conensaor cargao con carga V a os conensaores ispuestos en serie, tal como se inica en la figura. Es e esperar un trasvase e carga al conjunto e ambos conensaores. Para su cálculo reuciremos el sistema a os conensaores, el conensaor () y el equivalente e los otros os. Los os conensaores en serie tienen como equivalente: eq + Luego el sistema a estuio es: one la carga inicial el conensaor () se ha istribuio entre ambos conensaores, e forma que + e V e Por otra parte la..p. entre los terminales e ambos conensaores tiene un mismo valor y iferente e la tensión inicial V : / e V V De one, sustituyeno en la ecuación anterior e V + e V e, y por lo tanto e e V

9 Dao que e es la carga que entra en un sistema equivalente a os conensaores en serie () y (), caa uno e ellos tenrá la carga e calculaa: on lo que el problema quea resuelto. V

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