Introducción a la integración numérica

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1 Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno delimitd por l gráfic de l función, el eje de sciss y ls rects verticles x = y x = ver Figur 7.1). Figur 7.1: Áre encerrd entre l gráfic de l función f, el eje de sciss y ls rects x = y x =. Este concepto mtemático tiene, demás del cálculo de áres, numeross plicciones, de ls que se citn sólo lguns: L longitud del rco de l curv y = fx) comprendido entre los puntos, f)) y, f)) viene dd por L = 1 + f x)) dx 49

2 Introducción l integrción numéric 50 L distnci recorrid por un ojeto que se mueve con velocidd vrile v = vt) desde el instnte t 0 st el instnte T viene dd por: S = T t 0 vt) dt El centro de grvedd, C, del rco de l curv y = fx), comprendido entre los puntos, f)) y, f)) tiene ls coordends L es l longitud de l curv): x C = 1 L x 1 + y dx y C = 1 L x 1 + y dx. Si se conoce un primitiv, F, de l función F, es ien sido que el vlor de l integrl definid se puede clculr medinte l Regl de Brrow: fx) dx = F ) F ). En l myorí de los csos, sin emrgo, no se puede utilizr est fórmul, y que no se conoce dic primitiv. Es posile, por ejemplo, que no se conozc l expresión mtemátic de l función f, sino sólo sus vlores en determindos puntos. Pero tmién y funciones de prienci sencill) pr ls que se puede demostrr que no tienen ningun primitiv que pued escriirse en términos de funciones elementles por ejemplo e x dx ) L integrción numéric es un errmient de ls mtemátics que proporcion fórmuls y técnics pr clculr proximciones de integrles definids. Grcis ell se pueden clculr, unque se de form proximd, vlores de integrles definids que no pueden clculrse nlíticmente y, sore todo, se puede relizr ese cálculo en un ordendor. 7. Fórmuls de cudrtur. Orden Ls fórmuls que proporcionn un proximción del vlor de un integrl definid se conocen con el nomre de fórmuls de cudrtur. En sus versiones más sencills, ests fórmuls proximn el áre jo l curv por el áre, precid, de un prlelogrmo. Esto sólo proporcion un uen proximción si l se del prlelogrmo es pequeñ. Por ello, ls fórmuls verddermente útiles proximn l integrl definid medinte un sum finit de áres de prlelogrmos de se pequeñ. Vénse ls Figurs 7. y 7.3. En generl, ls fórmuls de cudrtur se pueden escriir en l form: I f) = n α k fx k ), 7.) k=1 vrindo uns de otrs en l form de elegir los puntos {x 1 < < x n } en el intervlo [, ] y los coeficientes tmién llmdos pesos) α k, k = 1,..., n.

3 Introducción l integrción numéric 51 Figur 7.: El áre jo l curv se proxim por el áre del rectángulo de se el segmento [, ] y ltur f). Figur 7.3: El áre se proxim medinte un sum finit de áres de rectángulos similres l de l Figur 7., pero de se pequeñ. Pr determinr el grdo de exctitud de un fórmul de cudrtur, es decir el error que se comete l sustituir l integrl definid por l sum finit, Ef) = If) I f) = se suele utilizr el concepto de orden. fx) dx n α k fx k ), Se dice que un fórmul de cudrtur es de orden m o ien que es exct pr polinomios de grdo m) si el error de dic fórmul verific: { Ex k ) = 0, pr k = 0,..., m Ex m+1 7.3) ) 0. lo cul signific que l fórmul en cuestión proporcion el vlor excto de l integrl definid cundo se utiliz con un función f que es un polinomio de grdo menor o igul que m y no proporcion, en generl, el vlor excto pr polinomios de grdo myor que m. 7.3 Fórmuls de cudrtur elementles 1. Ls fórmuls de cudrtur más sencills son ls fórmuls de los rectángulos: k=1 fx) dx I 1 f) = )f), fx) dx I f) = )f). 7.4) En el primer cso se proxim l integrl por el áre del rectángulo de se [, ] y ltur f) y en el segundo por el de ltur f) ver Figurs 7.4 y 7.5). Es ovio que ms son de orden cero, es decir, excts pr polinomios constntes.

4 Introducción l integrción numéric 5 Figur 7.4: Fórmul del rectángulo de ltur f). Figur 7.5: Fórmul del rectángulo de ltur f).. L fórmul del punto medio es similr ls nteriores pero tomndo como ltur del rectángulo el vlor de f en el punto medio del intervlo ver l Figur 7.): Est fórmul es de orden 1: fx) dx I 3 f) = )f + ). 7.5) Ex) = Ex ) = E1) = x dx I 3 x) = x dx I 3 x ) = dx I 3 1) = ) ) = 0 [ ] [ ] 1 + ) ) ) = 0 [ ] [ ] ) 4 ) + ) 0 3. En l fórmul del trpecio se proxim l integrl por el áre del trpecio mostrdo en l Figur 7.7. Est fórmul tmién es de orden 1: Ex) = Ex ) = E1) = fx) dx I 4 f) = [ dx I 4 1) = ) x dx I 3 x) = x dx I 3 x ) = [ ] 1 ) f) + f) ). 7.) [ ] = 0 ] + ) = 0 [ ] [ ] ) ) 0

5 Introducción l integrción numéric 53 c Figur 7.: Fórmul del punto medio c = + )/). Figur 7.7: Fórmul del trpecio. 4. L últim de ls fórmuls elementles que se muestrn quí es l fórmul de Simpson. En ést, se proxim l integrl de f por el áre encerrd jo un rco de práol que coincide con f en tres puntos: los extremos del intervlo [, ] y su punto medio ver l Figur 7.7). fx) dx I 5 f) = f) + 4f + ) ) + f). 7.7) c Figur 7.8: Fórmul de Simpson: áre jo l práol que coincide con f en, y c = +. Rzonndo como ntes, es posile compror, que l fórmul de cudrtur de Simpson es de orden 3, es decir es exct pr polinomios de grdo 3.

6 Introducción l integrción numéric 54 EJEMPLO: Se consider l función fx) = cosx), pr l que se tiene If) = 1 1. Fórmuls de los rectángulos: 0 cosx) dx = 1 sen) = I 1 f) = cos0) = 1, I f) = cos) = 0.411,. Fórmul del punto medio: I 3 f) = cos1) = , 3. Fórmul del trpecio: I 4 f) = 1 cos0) + cos)) = Fórmul de Simpson: I 5 f) = 1 cos0) + 4 cos1) + cos)) = Es posile proponer otrs fórmuls de cudrtur del estilo de ls nteriores, por ejemplo utilizndo el vlor de l función en más puntos, o tmién, eligiendo los puntos de mner óptim pr conseguir que l fórmul de cudrtur socid se del myor orden posile. Pero ese estudio qued fuer del ámito de ests nots. Pr más detlles se pueden consultr, por ejemplo ls referencis [1] y []. 7.4 Fórmuls de cudrtur compuests Cundo el número de puntos ument n grnde), ls fórmuls de cudrtur simples considerds en l sección nterior, en generl no proporcionn proximciones muy files de l integrl. En l práctic, se usn ls fórmuls de cudrtur compuests, cuy ide de se es descomponer l integrl definid en un sum de integrles sore su-intervlos pequeños y plicr ls fórmuls nteriores sore cd uno de ellos: Sen { = x 1 < x < x n = } un conjunto de n puntos en el intervlo [, ]. Por ls propieddes de l integrl se tiene: fx) dx = x x 1 fx)dx + x3 x fx) dx + + xn x fx) dx = xi+1 x i fx) dx 7.8)

7 Introducción l integrción numéric 55 Se utiliz lgun de ls fórmuls elementles se I k ) en cd su-intervlo: fx) dx = xi+1 x i fx) dx I k f; [x i, x i+1 ]). 7.9) Ls fórmuls mostrds en l Sección.3 dn lugr, sí, ls siguientes fórmuls compuests. 1. Fórmuls de los rectángulos compuests: ver ls Figurs 7.9 y 7.10): fx) dx I c 1f) = fx) dx I c f) = I 1 f; [x i, x i+1 ]) = x i+1 x i )fx i ), I f; [x i, x i+1 ]) = x i+1 x i )fx i+1 ). En el cso prticulr en que todos los su-intervlos tienen l mism longitud,, como en l Figur 7.1, ls fórmuls nteriores se simplificn, tomndo l form: I1f) c = x i+1 x i )fx i ) = If) c = x i+1 x i )fx i+1 ) = fx i ) = fx i+1 ) = fx i. fx i+1 ), x 1 x x 3 x n x 1 x n Figur 7.9: Fórmul de los rectángulos compuest I c 1 ). Figur 7.10: Fórmul de los rectángulos compuest I c ). Su-intervlos de igul longitud.. Fórmul del punto medio compuest: ver l Figur 7.11): fx) dx I c 3f) = I 3 f; [x i, x i+1 ]) = x i+1 x i )f x i + x i+1 ),

8 Introducción l integrción numéric 5 que, en el cso en que todos los su-intervlos son de igul longitud se escrie: fx) dx I c 3f) = f x i + x i+1 ) = f x i + x i+1 ). x 1 x n x 1 x n Figur 7.11: Fórmul del punto medio compuest. Figur 7.1: Fórmul de los trpecios compuest. 3. L Fórmul de los trpecios compuest se construye de igul form ver l Figur 7.1): fx) dx I c 4f) = I 4 f; [x i, x i+1 ]) = y, en el cso de su-intervlos de igul longitud, I4f) c = x i+1 x i ) fx i) + fx i+1 ) fx i ) + fx i+1 )) = fx 1 ) + = x i+1 x i ) fx i) + fx i+1 ), 4. Por último, l Fórmul de Simpson compuest se escrie: fx) dx I c 5f) = x i+1 x i ) fx i ) + 4 f i= fx i) + fx i+1 ) fx i ) + fx n ) I 5 f; [x i, x i+1 ]) = xi + x i+1 ) ) + fx i+1 ), que, en el cso de su-intervlos de igul longitud, se trnsform en: I c 5f) = fx i ) + 4 f xi + x i+1 ) ) + fx i+1 ) = ) =

9 Introducción l integrción numéric 57 { fx 1 ) + fx i ) + 4 f i= xi + x i+1 fx i ) + fx n ) + 4 ) ) + fx i+1 ) = ) } xi + x i+1 f. EJEMPLO: Se consider de nuevo l integrl definid del ejemplo nterior, If) = 1 0 cosx) dx = 1 sen) = Utilizndo l fórmul de los puntos medios con 5 su-intervlos de igul longitud es decir, = 1/5 = 0. y {x i } = {0, 0., 0.4, 0., 0.8, 1}), se otiene: I c 3f) = 5 cos x ) i + x i+1 = 0. 5 cosx i + x i+1 ) = 0. cos0.) + cos0.) + cos1) + cos1.4) + cos1.8)) = Utilizndo l fórmul de los trpecios, tmién con 5 su-intervlos de igul longitud se otendrí: I4f) c = 5 cosx i ) + cosx i+1 )) = 0.1 cos0) + [cos0.4) + cos0.8) + cos1.) + cos1.)] + cos)) = Y finlmente, con l fórmul de Simpson compuest con los mismos su-intervlos se otiene I c 5f) = 5 cosx i ) + 4 cos x ) ) i + x i+1 + cosx i+1 ) = 0, 3333 {cos0) + cos0.4) + cos0.8) + cos1.) + cos1.)) + cos) + 4cos0.) + cos0.) + cos1) + cos1.4) + cos1.8))} = 0.454

10 Biliogrfí Versión: 13 de ril de 009 [1] A. Douov, F. Guillén González Un Curso de Cálculo Numérico: Interpolción, Aproximción, Integrción y Resolución de Ecuciones Diferenciles, Secretrido de Pulicciones, Univ. de Sevill, 007. [] J.H. Mtews, K.D. Fink, Métodos Numéricos con MATLAB, Prentice-Hll,

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