MRUV MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO

Transcripción

1 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO

2 ASIMOV MOVIMIENTO RECTLÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Suponé un coche que etá quieto y arranca. Cada vez e ueve á rápido. Priero e ueve a 1 por hora, depué a por hora, depué a 3 por hora y aí iguiendo. Su velocidad va cabiando (varía). Eto vendría a er un oviiento variado. Entonce, Pregunta: Cuándo tengo un oviiento variado? Rta: cuando la velocidad cabia. ( O ea, varía ). Ahora, ello dicen que un oviiento e UNIFORMEMENTE variado i la velocidad cabia lo io en cada egundo que paa. Mirá el dibujito : Cuando el tipo ve al ontruo e pone a correr. Depué de 1 egundo u velocidad e de 1 K/h y depué de egundo e de K/h. Su velocidad etá auentando, de anera uniore, a razón de 1 K/h por cada egundo que paa. Digo entonce que el oviiento del tipo e unioreente variado auentando v = 1 K/h en cada t = 1 egundo. Atención, aclaro: en íica, la palabra uniore igniica "Siepre igual, iepre lo io, iepre de la ia anera ". ACELERACIÓN ( Atento ) El concepto de aceleración e uy iportante. E la bae para poder entender bien - bien y tabién otra coa coo caída libre y tiro vertical. Entender qué e la aceleración no e diícil. Ya tené una idea del aunto porque la palabra aceleración tabién e ua en la vida diaria. De toda anera lee con atención lo que igue y lo va a entender ejor. Fijate. En el ejeplo del ontruo alvado que auta al eñor, el tipo paa de á 1 K/h en 1 eg. Pero podría haber paado de á 1 K/h en un año. En ee cao etaría acelerando á depacio. Digo entonce que la aceleración e la rapidez con que etá cabiando la velocidad.

3 ASIMOV Má rápido auenta ( o diinuye ) la velocidad, ayor e la aceleración. Digao que la aceleración vendría a er una edida de la "bruquedad" del cabio de velocidad. Si lo pená un rato, va a llegar a la concluión de que para tener algo que e indique qué tan rápido etá cabiando la velocidad, tengo que dividir ee cabio de velocidad v por el tiepo t que tardó en producire. E decir: v a = t Deinición de aceleración Suponé un auto que tiene una velocidad V en t y otra velocidad V al tiepo t : Para acar la aceleración hago : v v a = Aí e calcula t t la aceleración Una coa. Fijate por avor que cuando en íica e habla de aceleración, hablao de auentar o diinuir la velocidad. Lo que iporta e que la velocidad CAMBIE. ( Varíe ). Para la íica, un auto que etá renando tiene aceleración. Atención porque en la vida diaria no e ua aí la palabra aceleración. Por eo alguno chico e conunden y dicen: Pará, pará, herano. Cóo puede etar acelerando un auto que va cada vez á depacio?! Vao a un ejeplo. EJEMPLO DE Un coche que e ueve con tiene en un deterinado oento una velocidad de 3 / y 1 egundo depué una velocidad de 4 /. Calcular u aceleración. v v Para calcular lo que e piden aplico la deinición anterior : a = t t Entonce : 4 / 3 / a = 1 eg a = 1 /eg

4 ASIMOV Fijate que el reultado dio en /. Eta on la unidade de la aceleración: " etro dividido egundo dividido egundo ". Siepre e uelen poner la unidade de la aceleración en /. Pero tabién e puede uar cualquier otra unidad de longitud dividida por una unidad de tiepo al cuadrado ( coo K/h ). Ahora, pregunta: Qué igniica eto de " 1 / "? Rta: Bueno, 1 / lo puedo ecribir coo: 1 1 } } Variación de velocidad. Intervalo de tiepo. Eto de " 1 /eg dividido 1 egundo " e lee aí: La aceleración de ete coche e tal que u velocidad auenta 1 etro por egundo, en cada egundo que paa ( Atención ) Un equea de la ituación ería éte: De acá quiero que vea algo iportante: Al tener una idea de lo que e la aceleración puedo decir eto ( Iportante ) : La caracterítica del oviiento unioreente variado e jutaente que tiene aceleración contante. Otra anera de decir lo io ( y eto e ve en el dibujito ) e decir que en el la velocidad auenta todo el tiepo ( o diinuye todo el tiepo ). Y que ee auento ( o diinución ) de velocidad e LINEAL CON EL TIEMPO. SIGNO DE LA ACELERACIÓN: La aceleración que tiene un objeto puede Ser (+) o (-). Eto depende de coa: Fin del ejeplo 1 De i el tipo e etá oviendo cada vez á rápido o cada vez á depacio. De i e etá oviendo en el io entido del eje x o al revé. ( Ojaldre! ) La regla para aber el igno de la aceleración e eta: LA ACELERACIÓN ES POSITIVA CUANDO EL VECTOR ACELE- RACIÓN APUNTA EN EL MISMO SENTIDO QUE EL EJE EQUIS

5 ASIMOV Si el vector aceleración apunta al revé del eje equi, va a er negativa. La coa e que eto nunca e entiende bien y la gente uele decir: Bueno, no e tan diícil. Si el tipo va cada vez á rápido, u aceleración e poitiva y i va cada vez á depacio, u aceleración e negativa. Hu... Cuidado! Eto vale olaente i el tipo e ueve en el entido poitivo del eje x. Si el tipo va para el otro lado, lo igno on exactaente al revé. No lo toe a al. Eto de lo igno no lo inventé yo. Todo el aunto ale de reeplazar lo valore de la velocidade en la ecuación: v a = t v t MATEMÁTICA: ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA En ateática, una parábola e repreentaba por la iguiente ecuación: y = a.x + b.x + c ECUACION DE UNA PARABOLA. Por ejeplo, una parábola podría er : Y = 4 x + x - 8. Dándole valore a x voy obteniendo lo valore de Y. Aí puedo contruir una tabla. Repreentando eto valore en un par de eje x-y voy obteniendo lo punto de la parábola. Eo puede dar una coa aí: La parábola puede dar á arriba:, á abajo,á a la derecha:, á a la izquierda:, á abierta: á cerrada: Puede incluo dar para a bajo: Una parábola puede dar cualquier coa, dependiendo de lo valore de a, b y c. Pero iepre tendrá ora de parábola. Atento con eto! La parábola aparecen ucho en lo problea de. E un poco largo de explicar. Pero en realidad, reolver un problea de e reolver la ecuación de una parábola. ( Una ecuación cuadrática, en realidad )

6 ASIMOV Solución de una ecuación cuadrática Se upone que eto tabién tuvite que haberlo vito en ateática. Por la duda lo pongo, lo repaá un inuto y te quedá tranquilo. Una ecuación cuadrática e la ecuación de una parábola igualada a CERO. O ea, una ecuación del tipo: a X + b X + C = ECUACION CUADRATICA Por ejeplo : X - 6 X + 8 =. Lo que uno iepre buca on lo valore de equi tale que reeplazado en X - 6 X + 8 hagan que todo el choclo dé ( Cero ). Eo valore e llaan olucione de la ecuación o raíce ecuación. En ete cao, eo valore on y 4. x1 = x = 4 Son la raíce de la ecuación x -6x + 8 = Una ecuación cuadrática puede tener olucione ( coo en ete cao ); una ola olución ( la do raíce on iguale ), o ninguna olución ( raíce iaginaria ). Para calcular la raíce de la ecuación cuadrática e ua la iguiente órula: Con eto obtengo la olucione b ± b 4 a c x = x y x de la ec ax + bx + c = 1, 1 a Para el ejeplo que pue que era X - 6 X + 8 = tengo: Entonce: x 1, b ± = 1 x 6 x + 8 = a b b 4 a c ( 6) ± = a c OJO ( 6) x1 = = 4 ; 6 x = = Nota: Alguna calculadora tienen ya la órula para reolver la ecuación cuadrática etida adentro. Vo poné lo valore de a, b y c. Ella te hace la cuenta y te da lo valore de la raíce X 1 y X. ( Ta güeno )

7 ASIMOV ECUACIONES HORARIAS Y GRÁFICOS EN EL ( IMPORTANTE ) La ecuacione horaria on iepre la de poición, velocidad y aceleración en unción del tiepo. Quiero que vea cóo e repreenta cada ecuación en el. Voy a epezar por la 3ra ecuación que e á ácil de entender. 3ª Ecuación horaria ( a = (t) ) La caracterítica undaental de un oviiento unioreente variado e que la aceleración e contante. En el la aceleración no cabia. E iepre igual. Vale iepre lo io. Eto pueto en ora ateática ería: a = Cte 3 ra Ecuación horaria El gráico correpondiente e una recta paralela al eje horizontal. O ea, algo aí: ª Ecuación horaria ( V = (t) ) Otra anera de decir que la aceleración e contante e decir que la velocidad auenta ( o diinuye ) linealente con el tiepo. Eto ale de la deinición de aceleración. Fijate. Era: v v a = t t Tonce, i depejo : V - V = a ( t t ) V = V + a ( t t ) Cai iepre t cero vale cero. Entonce la ecuación de la velocidad queda aí: V = V + a. t da ECUACION HORARIA Eto e la ecuación de una recta. Tiene la ora y = ee equi + be. ( Y = x + b). Acá el tiepo cuple la unción de la variable equi. La repreentación e aí:

8 ASIMOV Por ejeplo, una ª ecuación horaria típica podría er: V = 1 + t El tipo que e ueve iguiendo la ecuación V = 1 / + /. t alió con una velocidad inicial de 1 / y tiene una aceleración de /. Eto lo va a entender ejor cuando vea algún ejeplo hecho con núero y cuando epiece a reolver problea. ( Coo iepre ). Ahora eguí. 1 ra Ecuación horaria ( x = (t) ) Eta e la ecuación iportante y e la que hay que aber bien. La ecuación de la poición en unción del tiepo para el oviiento unioreente variado e éta: X = X + V t + ½ a t 1 ra ECUACION HORARIA. La deducción de eta ecuación e un poco larga. No la voy a poner acá. Puede er que ello hagan la deotración en el pizarrón. No é. De toda anera en lo libro etá. Lo que í quiero que vea e que e la ecuación de una parábola. Fijate: x = x + v.t + 1 y = c + b x + a. t a. x VER LA CORRESPONDEN- CIA DE CADA TERMINO Cada térino de la ecuación X = X + V t + ½ a t tiene u equivalente en la expreión Y = a x + b x + C. La repreentación de la poición en unción del tiepo e eta: Ete dibujito lindo quiere decir ucha coa. Ello uelen decirlo aí : Ete gráico repreenta la variación de la poición en unción del tiepo para un oviiento unioreente variado. Ete dibujito lindo e la repreentación gráica de la unción X = x + V t + ½ a t. La ecuación no da nada á ni nada eno que la poición del óvil para cualquier intante t. Eta unción e una ecuación cuadrática. ( t etá al cuadrado ). Eto e iportante porque e da una caracterítica undaental del oviiento unioreente variado. Ea caracterítica e eta:

9 ASIMOV " EN EL LA POSICIÓN VARÍA CON EL CUADRADO DEL TIEMPO. X = ( t ). EQUIS DEPENDE DE t CUADRADO " Te decía entonce que la repreentación gráica de X = X + V t + ½ a t e una parábola. Eta parábola puede dar para la derecha, para la izquierda, uy cerrada, uy abierta... Eo va a depender de lo valore de equi cero, de ve cero y de a. Ahora, el hecho de que la parábola vaya para arriba o para abajo depende ÚNICA- MENTE del igno de la aceleración. Si a e ( + ), la parábola irá para arriba ( ). Si a e ( - ), la parábola irá para abajo ( ). Eto podé acordártelo de la iguiente anera: a = + a = - La parábola poitiva etá contenta. La parábola negativa etá trite. Concluión: Hay que er poitivo en la vida! No. Concluión: irá el iguiente ejeplo a ver i lo entendé ejor: Ejeplo. Supongao que tengo la iguiente ecuación horaria para algo que e ueve con :.t X = t + Ete ería el cao de algo que alió de la poición inicial 4 con una velocidad de 1 / y una aceleración de 4 /. ( Ojo, e 4, no. Penalo ). Para aber cóo e el gráico le voy dando valore a t y voy acando lo valore de x. E decir, voy haciendo la cuenta y voy arando una tablita. x [] t [eg] TABLA CON LOS VALO- RES DE LAS POSICIO- NES Y LOS TIEMPOS. Ahora repreento eto y e da una coa aí:

10 ASIMOV Ete gráico e la repreentación de la 1ra ecuación horaria. Me gutaría que notara do coa: 1) - La parábola va para arriba ( ) porque a e poitiva. ) - Aunque uno vea ólo un arco aí eto e una parábola. La parte que alta etaría a la izquierda y no la dibujé. La podría repreentar i le diera valore negativo a t ( coo 1 eg, - eg, etc ). En ee cao el aunto daría aí: UN EJEMPLO DE Fin Explicación Ec. Horaria Una horiga picadoru ale de la poición X = con velocidad inicial cero y coienza a overe con aceleración a = /. a) - Ecribir la ecuacione horaria. b) - Hacer lo gráico x (t), v (t) y a (t). Voy a hacer un equea de lo que paa y too un itea de reerencia: La ecuacione horaria para una coa que e ueve con oviiento rectilíneo unioreente variado on: 1 x = x + v t+ a t v = v + a t a = cte ECUACIONES HORARIAS ESCRITAS EN FORMA GENERAL. x y v valen cero. Reeplazando por lo otro dato el aunto queda aí: 1 x = + t + t v = + t a = = cte Ecuacione horaria para la horiga Ahora, dando valore a t voy acando lo valore de equi y de v. Hago eta tabla:

11 ASIMOV X t V t a t / 1 1 / 1 / / / Teniendo la tabla puedo repreentar la ecuacione horaria. LA ECUACIÓN COMPLEMENTARIA ( leer ) Fin del Ejeplo Hay una órula á que e ua a vece para reolver lo problea. La uelen llaar ecuación copleentaria. La órula e éta: V V = a ( X X ) ECUACION COMPLEMENTARIA Eta ecuación vendría a er una ezcla entre la 1 ra y la da ecuación horaria. La deducción de eta ecuación e un poco larga. Pero te puedo explicar de dónde ale. Seguie. Ecribo la priera ecuacione horaria. Depejo t de la da y lo reeplazo en la 1 ra. x = x + v t + v = v + a t 1 a t v v t = a REEMPLAZO Si vo te toá el trabajex de reeplazar el choclazo y de hacer todo lo pao que iguen, terina quedándote la aoa ecuación copleentaria. Sobre eta ecuación e gutaría que vea alguna coita. Priero: La ecuacione horaria e llaan aí porque en ella aparece el tiepo. ( El tiepo = la hora ). La ecuación copleentaria NO e una ecuación horaria porque en ella no aparece el tiepo.

12 ASIMOV Segundo: Eta ecuación no e una nueva órula. E ezcla de la otra do ecuacione Tercero: Nunca e iprecindible uar la ecuación copleentaria para reolver un problea. Todo problea de tiene que poder reolvere uando olaente la 1ª y la ª ecuación horaria. Lo que tiene de bueno la expreión V V = a ( X X ) e que perite hallar lo que a uno le piden in calcular el tiepo. E decir, acilita la cuenta cuando uno tiene que reolver un problea en donde el tiepo no e dato. Reuiendo: La ecuación copleentaria ahorra cuenta. Eo e todo. Ejeplo: En el problea anterior, calcular la velocidad que tiene la horiga picadoru depué de recorrer 1. Uando la ecuación copleentaria: v v = a. v =. V = ( x x ).( 1 ) VELOCIDAD FINAL Lo hago ahora in uar la ecuación copleentaria: Ecribo la ecuacione horaria: De la ª ecuación horaria : v = v + a.t v v t = a v t = Tiepo que tardó la picadoru en recorrer 1 La 1ª ec. horaria era : x = x + v t + 1 a t Reeplazando t por 1 = + t + v : 1 t v 1 1 = 4 v 1 = 4 v = (veriica)

13 ASIMOV VELOCIDAD INSTANTÁNEA EN EL ( leer ) En el oviiento unioreente variado la velocidad va cabiando todo el tiepo. La velocidad intantánea e la que tiene el tipo juto en un oento deterinado. ( = en ee intante ). El velocíetro de lo auto va arcando todo el tiepo la velocidad intantánea. VELOCIDAD INSTANTANEA Velocíetro Ahora quiero que le prete atención a una cuetión iportante. Suponé que agarro el gráico de poición en unción del tiepo y trazo la tangente a la parábola en algún lugar. La pendiente de eta recta tangente e va a dar la velocidad intantánea en ee oento. Fijate: E decir, yo tengo la parábola. Ahora lo que hago e agarrar una regla y trazar la tangente en algún punto deterinado de la curva ( por ejeplo en t 1 = 3 eg ). Ea recta va a orar un ángulo ala y va a tener una deterinada inclinación. O ea, una deterinada pendiente. ( Pendiente = inclinación ). Midiendo ea pendiente tengo la velocidad intantánea en ee oento ( a lo 3 egundo ). E un poco largo de explicar porqué eto e aí, pero e aí. Se upone que alguna vez tendrían que habértelo explicado en ateática. ( Derivada y todo eo). De ete aunto puedo acar coo concluión que cuanto ayor ea la inclinación de la recta tangente al gráico de poición, ayor erá la velocidad del tipo en ee oento. Por avor pretale atención a eta últia rae y irá el iguiente dibujito:

14 ASIMOV La idea e que entienda eto: En el gráico la pendiente de la recta para t = eg e ayor que la pendiente de la recta para t = 1 eg. Eto e dice la que la velocidad a lo eg e ayor que la velocidad en 1 eg. Eto e razonable. Ete gráico repreenta a un tipo que e ueve cada vez á rápido. Todo bien. Ahora, pregunto:... Cuál erá la velocidad del tipo para t =? ( ojo ) Rta: Bueno, ahí la recta tangente e horizontal ( ). Y la pendiente de una recta horizontal e CERO. Entonce la velocidad tendrá que er cero. ANÁLISIS DE LA PENDIENTE y DEL ÁREA DEL GRÁFICO v = v (t) Supongao que tengo un gráico cualquiera de velocidad en unción del tiepo. Por ejeplo éte: Ete gráico indica que lo que e etá oviendo alió con una velocidad inicial de 4 / y etá auentando u velocidad en /, por cada egundo que paa. Peneo: Qué obtengo i calculo la pendiente de la recta del gráico? Rta: Obtengo la aceleración. Eta aceleración ale de irar el iguiente dibujito:

15 ASIMOV En ete cao el opueto e v ( la variación de velocidad ), y el adyacente e t ( el intervalo de tiepo ). De anera que, hacer la cuenta opueto obre adyacente e Hacer la cuenta delta V obre delta t ( v / t ). Y eo e jutaente la aceleración! En ete cao en epecial daría aí: op v 8-4 Pend = = = ady t - Pend = Aceleración Y i calculo el área que etá bajo la recta que obtengo? Veao: A ver i e eguí: El área del coo aí va a er la de ete + la de ete. A = A + A v = a t b h t v = b h + = v t + A = v t + a t 1 Eto e x - x A = x A = Epacio recorrido Recordar Ahora en el ejeplo que pue ante, el área va a er: A = A + A = eg ( 8 4 ) 4 + eg A = 1 Epacio recorrido

16 ASIMOV LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN SON VECTORES La velocidad y la aceleración on vectore. Qué quiere decir eto? Rta: Quiere decir que puedo repreentar la velocidad y la aceleración por una lecha. Si por ejeplo, la velocidad va aí, la lecha e pone apuntando aí. La ituación del dibujito e el cao de un tipo que e ueve con velocidad contante. Fijate ahora eta otra poibilidade: Lo que quiero que vea e que i el auto va para la derecha, la velocidad iepre irá para la derecha, pero la aceleración NO. ( E decir, puede que í, puede que no. Eta cuetión e iportante por lo iguiente: i la velocidad que tiene una coa va en el io entido que el eje x, ea velocidad erá ( + ). Si va al revé erá ( - ). Lo io paa con la aceleración ( y acá viene el aunto ). Fijate : Ejeplo: Un auto que viene con una velocidad de 54 K/h rena durante 3 eg con una aceleración de /. Qué ditancia recorrió en ee intervalo?. Hago un equea de lo que paa. El auto viene a 54 por hora y epieza a renar.

17 ASIMOV k por hora on 15 /eg. ( Dividí por 3,6 ). El dibujito ería ete: Ahora too un itea de reerencia. Lo too poitivo para allá. Planteo la ecuacione horaria. Me queda eto: x 15 1 B = + t + t vb = 15 + t ab = - = cte. Ecuacione horaria. En la 1ª ec. horaria reeplazo t por 3 eg y calculo la poición inal: x = 15 3 eg 1 ver ( 3eg ) x = 36 Poición inal Concluión: En lo tre egundo el tipo recorre 36 etro. Si yo e hubiera equivocado en el igno de la aceleración y la hubiera pueto poitiva, la coa habría quedado aí: x = 15 3 eg + 1 ( 3eg ) X = 54 ( Nada que ver ) Lo io hubiera paado i hubiera calculado la velocidad inal depué de lo 3 eg: v = eg v = 1 HORROR!

18 ASIMOV Eto no puede er. La velocidad inal tiene que dar enor que la inicial! ( El tipo etá renando ). Por eo: ojo con el igno de la aceleración. Si lo poné al, toooooodo el problea da al. CÓMO RESOLVER PROBLEMAS DE Lo 1 ro que hay que hacer e un dibujito de lo que el problea plantea y toar un itea de reerencia. Una vez que uno toó el itea de reerencia, ecribe la ecuacione horaria X = X + V t + ½ a t y V = V + a.t. En la ecuacione uno reeplaza por lo dato y el problea tiene que alir. Si el tiepo no e dato y queré ahorrarte cuenta, podé uar la ecuación copleentaria V V = a ( X X ) Por avor acordate de una coa : Todo problea de tiene que poder reolvere uando la 1 ra y la da ecuación horaria. NADA MAS. Puede er que haya que uar priero una ecuación y depué la otra. Puede er que haya que cobinar la ecuacione. Puede er cualquier coa, pero todo problea tiene que alir de ahí. Aclaro eto porque a vece vo vení con MILES de ecuacione de ecrita en tu hoja de orula. Etá MAL. Mile de ecuacione? Por qué ile? La ecuacione que periten reolver un problea de on. O ea, te etá coplicando. Repito: Hay ólo DOS la ecuacione que periten reolver cualquier problea de. En algún cao tal vez pueda convenir uar la ecuación copleentaria i el tiepo no e dato. Pero, inito, eo e hace para ahorrare cuenta, nada á. Uando olaente la 1ª y la ª ecuación horaria el problea TIENE QUE SALIR. Tal vez ea á largo, pero uando olo ecuacione el problea tiene que alir. Fin teoría de

19 ASIMOV EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES PROBLEMA 1 Un óvil e deplaza en una trayectoria recta egún el gráico de la igura Cuál de lo iguiente enunciado e correcto? x La velocidad e cero en t 1 y entre t y t 3 La aceleración e poitiva entre y t, y nula entre t 3 y t 4 La aceleración e negativa entre y t 1 y entre t 3 y t 4 La velocidad e poitiva entre y t y cero entre t 3 y t 4 La velocidad e poitiva entre y t, y entre t y t 3 La aceleración e negativa entre t 1 y t y nula entre t 3 y t 4 t 1 t t 3 t 4 SOLUCION: La velocidad e la pendiente del gráico de poición en unción del tiepo. E poitiva i va aí y negativa i va aí: La aceleración e poitiva i la parábola va a para arriba ( onrie ). E negativa i la parábola va para abajo ( Etá trite ) Fijate que al principio hata llegar a t 1 la poición crece cada vez á rápido con el tiepo. E decir que el auto etá yendo cada vez á rápido. Ahí la aceleración e poitiva. La parábola etá yendo para arriba. A partir de t 1 la parábola e negativa. Etá yendo para abajo hata llegar a t. Ahí la aceleración e negativa. La recta t - t 3 e dice que el auto etá quieto entre t y t 3. La recta t 3 - t 4 e dice que el auto etá yendo para atrá entre t 3 y t 4. ( Velocidad negativa, aceleracón e cero ). Entonce, de toda ea airacione, la única que e correcta e la últia: PROBLEMA La aceleración e negativa entre t 1 y t y nula entre t 3 y t 4. Un ontacarga parte del prier pio ( 4 de altura ) acelerando durante 1 egundo con a = /. Luego continúa con velocidad contante durante 7 egundo y por últio rena hata detenere en un trao de 1. Coneccionar lo gráico de a = a (t); v = v (t); x = x (t) de ete oviiento indicando lo punto caracterítico. Uo la ecuacione horaria del MRU y el, porque el ontacarga por oento e ueve con velocidad contante y en otro acelera o deacelera.

20 ASIMOV La ecuacione on: y y vo t + at = + 1 (1) v = v + at () y y = y + vt (3) Inicialente el acenor etá en y = 4 y e ueve con. Uando la ecuación (1) calculo la poición para t = 1 egundo. Reulta: y 1 = 5. Depué paa a tener velocidad contante. Ea velocidad la calculo con la ecuación (), teniendo en cuenta que ale con v =. Me da: v = /. Con ete dato calculo la poición luego de 7 (el tiepo que e ueve con MRU). Uo la ec (3). Me da: y = 19. En el últio trao rena, y lo que hay que hallar e la aceleración. Uo: v = a x. Reeplazando con lo dato, teneo: a = - /. Sólo queda calcular el tiepo que tarda en renar, utilizando (). El tiepo e: t = 1. Con todo lo dato que teneo puedo hacer lo tre gráico. Quedan aí: v PROBLEMA 3 El gráico x = x(t) de la igura repreenta la ecuacione horaria de do óvile (1) y () que e ueven en la ia dirección. Hallar la veloc. del óvil (1) y la aceleración del óvil ()

21 ASIMOV El óvil 1 e ueve con MRU, por eo el gráico de x(t) e una recta. Entonce, x para calcular la velocidad uao: v1 =. En ete cao, el óvil parte de lo 5 t y llega a lo, y tarda en hacerlo. Da: v 1 = -15 /. Para el óvil, que e ueve con, utilizao: v = v + at. El óvil parte del repoo, de lo, llega a lo y tarda en hacer el recorrido. Obteneo: a = 1 /. PROBLEMA 4 Eligiendo un itea de reerencia adecuado (origen y entido poitivo), indicar cuál de la airacione e correcta. a) En un oviiento unioreente variado la velocidad nunca puede er cero. b) Siepre que la velocidad ea poitiva la aceleración debe er negativa c) Siepre que la aceleración ea poitiva auenta el ódulo de la velocidad d) En un oviiento rectilíneo y unioreente deacelerado (el óvil etá renando), la aceleración iepre e negativa e) ninguna de la repueta anteriore e correcta a) FALSO. En el tiro vertical, por ejeplo, la velocidad e nula en el punto á alto de la trayectoria. b) FALSO. Depende del itea de reerencia: la velocidad e poitiva i el óvil e dirige en entido poitivo, pero al tiepo que tiene velocidad poitiva puede etar acelerando, y en ee cao la aceleración tabién e poitiva. c) FALSO. Tabién depende del itea de reerencia. Por ejeplo, i en un tiro vertical toao la aceleración (hacia abajo) coo poitiva, el ódulo de la velocidad e reduce a edida que el óvil aciende. d) FALSO. Al igual que en lo cao anteriore, depende del itea de reerencia. Entonce, la repueta correcta e la e) PROBLEMA 5 La curva trazada en el gráico de la igura correponden a do óvile que e deplazan con oviiento unioreente variado. Entonce: a) En el intante t 1 lo óvile tienen la ia velocidad. b) Abo óvile e detienen en el io intante c) Inicialente lo óvile e deplazan en entido contrario

22 ASIMOV d) Lo óvile e deplazan iepre en el io entido e) La aceleracione de abo óvile iepre tienen el io igno. ) Abo óvile no e encuentran nunca Recordeo alguna coa: la velocidad en un gráico de x(t) etá relacionada con la pendiente de la recta tangente al gráico. Si la pendiente e poitiva, la velocidad tabién lo e, y ucede al revé i la pendiente e negativa. Si la pendiente e horizontal, v e nula. Si en un gráico x(t) la curva de do óvile e cruzan, e porque lo óvile e encuentran. Finalente, i la curva de x(t) e curva hacia arriba (ora de U) la aceleración e poitiva. Si no, a e negativa. Ahora veao la airacione: a) FALSO. Fijate que en t 1 la pendiente de la tangente a la curva on: una poitiva (la de B) y otra negativa (la de A), entonce no pueden tener igual velocidad. b) FALSO. La velocidade de lo óvile e anulan en oento ditinto. c) VERDADERO. En t la velocidade tienen igno opueto, entonce lo óvile e etán oviendo en entido opueto. d) FALSO. Aba curva tienen un punto donde la velocidad e hace cero y depué cabian la pendiente de la recta tangente a dicha curva, por lo que cabian lo igno de u velocidade, o (lo que e lo io) el entido en que e ueven lo óvile. e) FALSO. Si bien lo óvile no cabian u aceleracione, la de A e negativa y la de B, poitiva. ) FALSO. Lo óvile e encuentran en t 1.

23 ASIMOV ENCUENTRO EN ( Lo toan ) Lo problea de encuentro en donde uno de lo óvile ( o lo ) e ueven con aceleración, e reuelven haciendo lo io que pue ante en la parte de MRU. Lo único que cabia ahora e que la ecuacione en vez de er la de un MRU on la de un. Te lo uetro con un ejeplo: Dado el dibujo de la igura calcular: qué tiepo tardan en encontrare lo óvile y el lugar donde e encuentran. Ete e un cao de encuentro entre un óvil que e ueve con velocidad contante (el caracol) y otro que e ueve con aceleración contante (el bicho). Para reolver eto hago: 1 - Equea de lo que paa. Elijo itea de reerencia. Marco poicione iniciale y velocidade iniciale. - Planteo la ecuacione horaria para cada óvil. Caracol (MRU) xc = + 1 t vc = 1 = cte a C = Bicho () 1 xb = 1 + t + t vb = + t ab = - = cte. 3 - Ecribo la aoa condición de encuentro: x C = x B para t = t e.

24 ASIMOV Igualo la ecuacione y depejo el tiepo de encuentro t e : Eto e una ecuación cuadrática que e reuelve uando la órula que pue ante: 1 te = 1 1 t e 1 t + 1 t 1 = e e t 1, b ± = b 4 a c a t 1, 1 ± = ( 1) t 1, 1 ± 5 = t = 618, eg ; 1 t = -1618, eg Tiepo de encuentro. E decir que el encuentro e produce a lo 6,18 egundo. La olución negativa no va. Lo que e etá diciendo el ( - ) e que lo tipo e hubieran encontrado 16,18 egundo ante de alir. Coo eta olución no tiene entido íico, la decarto. ( Signiica: no la too en cuenta ). Para calcular la poición de encuentro reeplazo 6,18 eg en la 1ª ec. horaria. x = 1 t C xe = 1 te 6,18 eg. x = 61,8 C Poición de encuentro. Para veriicar puedo reeplazar t e en la otra ecuación horaria y ver i da lo io. Tenía: xe = 1 1 t e xe = 1 1 ( 6,18 ) xe = 61,8 ( veriica ) La olución del problea e: El encuentro entre el caracol y el bicho e produce a lo 6,18 eg y a 61,8 del caracol.

25 ASIMOV ENCUENTRO EN PROBLEMAS SACADOS DE PARCIALES PROBLEMA 1 Un ratón paa en línea recta por el cotado de un gato que decana, pero ete decide en ee intante pereguirlo. Siendo la gráica de la igura la velocidade de abo en unción del tiepo. v (/),5 gato ratón t () a) Cuánto recorrió el gato para alcanzar al ratón? b) En un io gráico repreente la poición de abo en unción del tiepo. Veao: lo do aniale etán haciendo un oviiento rectilíneo. El ratón va a velocidad contante: V R =,5 /eg. Y el gato al principio etá en repoo y depué,5 / e acelera con una aceleración de a G = =,5 /. Y eto on todo lo dato que neceitao para ecribir la ecuacione horaria de lo oviiento, o ea la poición de cada uno en unción del tiepo. x G = ½. a. t =,15 /. t y x R = V R. t =,5 /. t Ea do ecuacione podeo repreentarla en el io gráico, y no queda algo aí: x [] Gato Ratón t [eg] Si quereo aber cuándo e encuentran, todo lo que teneo que hacer e reolver: x G = x R,15 /. t =,5 /. t

26 ASIMOV t = ó t = 4 eg La olución t = e batante obvia, porque en ee oento el ratón paó por al lado del gato y éte lo epezó a correr. La otra olución t = 4 egundo no dice cuándo lo volvió a encontrar. Y i quereo aber a qué ditancia, lo reeplazao en: x G =,15 /. (4 ) = y x R =,5 /. 4 = E decir que el gato alcanza al gato 4 egundo depué, a del lugar de donde alió. PROBLEMA El graico adjunto uetra la velocidad en ución del tiepo para óvile A y B que e Teneo el gráico de la velocidad en unción del tiepo para do óvile, y no dan un ontón de opcione para reponder obre la poición. Bueno, entonce lo priero que hay que aber e cóo acar inoración obre la poición a partir de un gráico de velocidad en unción del tiepo. Muy iple: la ditancia recorrida por el óvil dede el intante inicial hata un tiepo t e el área bajo la curva v = (t) dede t = hata t = t. Si tuviérao el cao invero, y quiierao conocer la velocidad intantánea a partir del gráico de poición en unción del tiepo e á iple: e la pendiente de la curva x= (t).

27 ASIMOV Lo do óvile parten de la ia poición inicial. Entonce, e cruzarán cuando el área bajo la do curva ea la ia, o ea para t = 4 egundo. En el gráico no arcan el tiepo t = egundo coo un intante particular, pero en realidad no paa nada epecial, tan ólo e da la caualidad de que lo do óvile tienen la ia velocidad; pero la poición no e la ia; ya que el área bajo la do curva no e la ia. Ma aún, la ditancia recorrida por el óvil A e el triple que la recorrida por el óvil B para t = egundo PROBLEMA 3 El gráico adjunto repreenta la velocidad en unción del tiepo para do auto que e ueven uno hacia el otro, por una carretera recta. Si en t = lo auto etán ditanciado 5 : 1.a.- hallar la ditancia que lo eparará trancurrido egundo, 1.b.- graicar en un io par de eje, poición en unción del tiepo para abo vehículo (indicar valore caracterítico obre lo eje). 4 (/) t () Teneo do auto oviéndoe en una carretera recta. En palabra diícile: teneo do óvile que realizan oviiento rectilíneo. La única dierencia entre lo do e que uno e ueve a velocidad contante (oviiento rectilíneo uniore M.R.U.), y el otro preenta una aceleración contante (oviiento rectilíneo unioreente variado M.R.U.V.). Todo lo dato que neceitao lo podeo acar del gráico de velocidad en unción

28 ASIMOV del tiepo que no dan. El auto tiene una velocidad contante V = - 1 /eg (va hacia atrá). Y la aceleración del auto 1 la podeo calcular coo V1 a 1 = t 4 /eg - 1 /eg = 15 eg = 3 /eg 15 eg a 1 = / Toda la íica del problea e terina una vez que encontrao la ecuacione horaria para lo oviiento de lo do auto. Depué, on pura cuenta. Entonce, iepre lo priero que hay que hacer e bucar la ecuacione horaria. Auto 1 = M.R.U.V.) x 1 (t) = x,1 + V,1. t + ½. a 1. t = 1 /. t + 1 /. t V 1 (t) = V,1 + a 1. t = 1 / + /. t Auto = M.R.U.) x (t) = x, + V. t = 5 1 /. t V = - 1 /. Ahora í, con eto podeo reponder cualquier pregunta. Veao qué no piden: a) La ditancia que lo epara a t = eg. Bueno, con la ecuacione anteriore podeo calcular la ubicación exacta de cada uno de lo auto en ee intante. x 1 = 1 /. eg + 1 /. ( ) = 6 x = 5 1 /. = 3 E decir que lo epara una ditancia de D = 6 3 D = 3 b) Ante de dibujar el gráico de poición en unción del tiepo, peneo un poco. El auto e ueve a velocidad contante hacia atrá: entonce, el gráico de u poición en unción del tiepo va a er una recta que decrece con el tiepo. El gráico de la poición del auto 1 deberá crecer con el tiepo, porque e etá oviendo hacia adelante. Y e ueve cada vez á rápido (e etá acelerando, la velocidad va auentando), entonce el gráico no erá una recta, ino una parábola. Todo eto e puede ver en el gráico de poición en unción del tiepo para lo auto:

29 ASIMOV Tabién no piden que eñaleo valore iportante obre abo eje. Un punto que parece iportante e el intante en el cual e cruzan lo do auto, o ea, cuando x 1 = x. Y eto lo podeo calcular directaente reolviendo la ecuación: x 1 (t) = x (t) 1 /. t + 1 /. t = 5 1 /. t 1 /. t + /. t - 5 = Eta e una ecuación cuadrática, y ya conoceo la órula para reolverla; aí que te digo directaente el reultado: t = 14,5 eg ó t = - 34,5 eg. Obviaente, la egunda olución no tiene entido, porque un tiepo negativo no no interea (eo e ante de que lo auto epiecen a overe, no tiene entido). Entonce, lo auto e cruzan en el intante t 1 = 14,5 egundo. Y ahora que conoceo ee dato, podeo averiguar en qué poición e cruzan. x 1 (t 1 ) = 1 /. 14,5 eg + 1 /. (14,5 ) = 355,5 Se cruzan a lo 355,5 PROBLEMA 4 Do óvile archan hacia un io punto en la ia dirección y entido contrario. Uno de ello archa hacia la derecha a una velocidad de 7 k/h contante, y en el io intante a 18 etro e encuentra otro óvil que tiene una velocidad de 54 k/h hacia la izquierda y acelera a /. Hallar la poición y velocidad de abo en el intante de encuentro. Lo priero que hay que hacer e paar lo dato de velocidad a /: v 1 = /, v = - 15/ (porque van en entido contrario). Ahora, ecribio la ecuacione horaria del encuentro para lo do óvile, recordando que el 1 va con MRU y el, con :

30 ASIMOV Móvil 1: x =. t Móvil : e e x e = te t e Igualando la do ecuacione obteneo una ecuación cuadrática, que reolveo con la órula reolverte. Decartao el valor negativo que obteneo y reulta: t e = 4,55. Reeplazando ete valor en alguna de la do ecuacione horaria podeo calcular el valor de la poición del encuentro. Eta e: x e = 91. La velocidad del óvil 1 en el oento del encuentro e la ia que al principio, porque en el MRU la velocidad e contante. Para el óvil uao la ecuación: v e = v + a. te Reulta: v e = -4,1 /. FIN