Análisis. b) Calcular razonadamente b y c para que sea derivable y calcular su función derivada.

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1 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B 6-3- Análisis OPCIÓN A.- Dada la función + b + c f = Ln( + ) > a) Calcular sus asínoas b) Calcular razonadamn b y c para qu sa drivabl y calcular su función drivada. a) El dominio d la función s, si bin podría nr una asínoa vrical n l (posibl puno d disconinuidad): lim lim + f = + b + c = c Ln( + ) lim f = lim = LH ' = lim = + Por lo qu no in asínoas vricals al no ndr a infinio. Asínoas Horizonals: Ln( + ) lim f = lim = LH = lim = lim = lim + + = + f b c Por lo ano in una asínoa horizonal por l drcha n la rca y = Ln( + ) Posición: f = > Por ncima Ln( + ) Puno d cor: = Ln( + ) = + = = Pro como l no sá n s rozo d la función, ésa no cora a su asínoa horizonal. Asínoas oblicuas (Sólo por la izquirda): lim f + b + c = lim = Por lo qu no in asínoa oblicua.

2 b) Para sr drivabl db sr coninua, y l único puno posibl d disconinuidad s n = f()=, y como hmos viso ans: lim f = c para qu sa coninua c = lim f = + Calculamos su drivada: + b < f = Ln( + ) + > Calculamos las drivadas larals. lim f ' = lim + b= b + Ln( + ) lim ' lim + + f = + lim = LH= = = lim = lim = ( + ) ( + ) Lugo para qu sa drivabl b = Y su función drivada srá: f = Ln( + ) + >.- a) Los coss, C, y los ingrsos, I, n mils d uros, d producir unidads d un drminado produco vinn dados por las funcions: C ( ) = ' 7 + 5, I() = -'3 + 5 Cuánas unidads hay qu fabricar para obnr l máimo bnficio y cuál srá és? 3 3 b) Calcula una primiiva d la función f = sn cos qu pas por π l puno, a) La función qu indica l bnficio s la función Ingrsos Coss, s dcir: B = I C = -'3 + 5 ' 7+ 5 = ' Calculamos su máimo: B' = '8+ 3 '8+ 3 = = 4

3 Comprobamos si l puno críico s un máimo: B'' = '8 B''(4) = '8 < s alcanza un máimo al fabricar 4 unidads, y l bnficio máimo srá d: B (4) = 49. uros. b) Calculamos por susiución la ingral indfinida. = sn d 3 F = sn cos d = d = cos = cos d cos cos d = d d = cos sn sn = ( ) d = ( ) d = = + C π Como in qu pasar por l puno, 4 π 6 π sn sn π F = + C = + C = C = Lugo la primiiva srá: 4 6 sn sn F( ) = Calcular razonadamn la cuación d la rca angn a la función F = + d,, n su puno d inflión Como la función f() = s coninua n odo, por l Torma Fundamnal dl Cálculo Ingral la función F( ) s drivabl y su drivada s: F ' = F '' = + = ( + ) Al igualar a cro s obin l posibl puno d inflión: = - Como F''' = ( + ) + = ( + ) F'''( ) = n = - hay ralmn un puno d inflión. Su sgunda coordnada srá. F( ) = + d = d Calculando la ingral dfinida por pars. u = du = d d = = = = + dv = d v = Y por ano F( ) = + =

4 Como admás F '( ) = Enoncs la cuación d la rca angn srá: y F( ) = F'( )( + ) y = ( + ) 3 y = a) Calcula los punos d cor con los js, las asínoas y los rmos 4 d la función f =. 4 + b) Rprsna l rcino dlimiado por la gráfica d la función anrior y la rca y = y calcular razonadamn l ára d dicho rcino 4 a) f = 4 + Punos d cor: Con OY =, f() = P(, ) Con OX y = 4= = P(,) El orign d coordnadas s l único puno d cor con los js Asínoas: Como l dominio d la función s D = ( 4 ) vricals +, no in asínoas Para las horizonals: 4 lim f = lim = ± ± 4 + Lugo in una asínoa horizonal por la drcha y por la izquirda qu s la rca y= Vmos su posición: 4 4 f = Si >> > la función sá por ncima d la asínoa por la drcha 4 4 f = Si << < la función sá por dbajo d la asínoa por la izquirda Admás como coincid con l j Y, la cora n l puno P(,) Ermos: 4(4 + ) ' = = = =, = f (4 + ) (4 + )

5 Hay dos punos críicos. Vmos lo qu son: 8 (4 + ) (4 + ) f '' = 4 (4 + ) Como f ''() < f alcanza un máimo n l puno (,) Como f ''( ) > f alcanza un mínimo n l puno (,) b) Con los daos anriors y la rca dibujamos l rcino corrspondin: Es fácil vr qu los punos d cor nr ambas funcions son l -, l y l, y como podmos vr s simérica, lugo basa con calcular l ára rayada d la drcha y muliplicarla por dos: A= A 4 4 A = d = d d d d 4 = = = Ln( 4+ ) = Ln8 Ln4 4 A = Ln8 Ln4 = 4Ln8 4Ln4 ; '7 u7 Lugo l ára oal srá:

6 OPCIÓN B.- a) Esudia la curvaura y los punos d inflión d + f = b) Calcula: d ( 3)( ) a) El dominio d la función s. Calculamos su sgunda drivada: + + f ' = = = f '' = = Igualando a cro s obinn = como posibl puno d inflión: Esudiamos la curvaura: f f, ''() = < f s conva, + ''() = > f s cóncava Y por ano n l puno, la función in un puno d inflión. b) Calculamos primro la ingral indfinida. Como A B C ( 3)( ) = ( 3)( ) = = A ( 3)( ) + B ( ) + C ( 3) Dando valors a s obin Y por ano d 3 A=, B=, C = 3 6 = d + d d = Ln + Ln 3 Ln D dond: d = Ln + Ln 3 Ln = Ln = Ln Ln4 Ln = Ln Ln+ Ln= ( '3 )

7 3.- Calcular razonadamn l ára d la suprfici sombrada: Como podmos vr para calcular l ára lo dividimos n dos rozos. (El puno d cor nr las dos funcions s Ln = = ) El primro s un cuadrado d bas, lugo su ára s A Para calcular l ára dl sgundo rozo harmos: A ( ) = Ln d = Ncsiamos calcular la ingral dl logarimo. Lo hacmos por pars: u Ln du d Lnd = = = = Ln d = Ln dv = d v = Y por ano: ( ) ( ) A = Ln d = Ln = Ln = = u u Lugo l ára srá: A= A+ A = + = u 4.- Dada la función f = + a) Esboza su gráfica b) Rprsna l rcino limiado por la gráfica d f y la rca y = 7 n l primr cuadran y calcula su ára

8 a) La función dscompusa n rozos s + f + = + + < < Y su gráfica srá (son parábolas): y b) El rcino cuya ára dbmos calcular s, por ano: y Qu corrspond al ára comprndida nr la rca y = 7 y la función f() nr las abscisas = y = (puno d cor dl úlimo rozo d la función con la rca, qu s obin al rsolvr la cuación Por ano: + = 7) A = 7 d d = ( 6) ( 8) = + d + + d = = u = + = 3 3 3