Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

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1 Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones ACTIVIDADES Respuesta abierta. Por ejemplo: Respuesta abierta. Por ejemplo: f() decrece en (, 0) y crece en (0, ). a) f() ( ) En este caso se trata de una traslación de la función original una unidad a la derecha, el intervalo de decrecimiento en este caso será (, ) y el de crecimiento (, ). 7

2 b) f() ( ) En este caso se trata de una traslación de la función original dos unidades a la izquierda, por lo que el intervalo de decrecimiento será (, ) y el de crecimiento, (, ). c) f() Esta función es el resultado de trasladar una unidad hacia arriba la función original, por lo que el intervalo de decrecimiento en este caso será (, 0) y el de crecimiento será (0, ). d) f() En este caso, como en el apartado anterior, se produce una traslación en vertical de tres unidades hacia abajo, con lo que el intervalo de decrecimiento en este caso será (, 0) y el de crecimiento será (0, ). a) La derivada es f ( ) = 4+ 4 y 4 + 4= 0 =-. Vemos que 4 + 4< 0 Î( -,- ) En este intervalo la función decrece > 0 Î( -, + ) En este intervalo la función crece. b) La derivada es f ( ) =- + 6 y - + 6= 0 =. Vemos que: - + 6> 0 Î( -,) En este intervalo la función crece < 0 Î (, + ) En este intervalo la función decrece. a) Su derivada es f ( ) = - 6 = ( - ), que se anula en 0 y. Es creciente a la izquierda de 0 y decreciente a la derecha Máimo en (0, 0). Es decreciente a la izquierda de y creciente a la derecha Mnimo en (, 4). b) Su derivada es f ( ) = = 6( - )( + ) y se anula en y. Es creciente a la izquierda de y decreciente a la derecha Máimo en (, 45). Es decreciente a la izquierda de y creciente a la derecha Mnimo en (0, 0). a) Su primera derivada es f ( ) = 4 - = 4( - ) = 4( - )( + ), que es igual a 0 en 0, y =. Su segunda derivada es f ( ) = - = 4(- ). Para - : f (- ) = 4(( - ) - ) = 4(6 - ) = 6 > 0 Mnimo en -. ( ) Para : f ( ) = 4 ( ) - = 4(6 - ) = 6 > 0 Mnimo en. Para 0: f (0) = 4((0) - ) = 4(0 - ) =- < 0 Máimo en 0.

3 b) Su primera derivada es f ( ) = + 6 = ( - ), que es igual a 0 en 0 y. Su segunda derivada es f ( ) = 6+ 6 = 6( - ). Para 0: f (0) = 6(0- ) =- 6 < 0 Máimo en 0. Para : f () = 6(- ) = 6> 0 Mnimo en. c) Su primera derivada es f ( ) = + 9, que es igual a 0 en Su segunda derivada es f ( ) =. -9 =. Para : f ç æ- ö = > 0 çè ø Mnimo en - 9. d) Su primera derivada es f ( ) = que se anula para Su segunda derivada es f ( ) = = y =. 6 Para Para = : f æ - + ö 0 6 ç > è 6 ø = : f æ - - ö 0 6 ç < è 6 ø Mnimo en = Máimo en =. 6 ( + ) ( + ) Su primera derivada es f ( ) = = = =. ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Vemos que es una función racional cuyo denominador es siempre positivo, as que estudiamos el signo del numerador. ( + ) > 0 Î( -,-) È (0, + ). Por tanto, en estos intervalos la función es creciente. ( + ) < 0 Î( -,0). Por tanto, en este intervalo la función es decreciente. ( + ) Para calcular los valores de tales que f ( ) = 0, hacemos 0 =, que es equivalente en este caso a calcular ( + ) + ( ) = 0. Esta ecuación se cumple en 0 y. Su segunda derivada es: f ( ) = = = ( + ) ( + ) ( + ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 4 Para 0: f (0) = = > 0 (0 + ) Mnimo en 0. Para : f ( - ) = =- < 0 Máimo en. (- + ) 9

4 a) Analizamos el signo de f (): f () f () 4 Buscamos los puntos donde f () se anula, que son los posibles puntos de infleión: f () 4 0 = Analizamos el signo de f () a la izquierda y a la derecha de : Para < : f (0) 0 f() es convea. Para > : f () 6 0 f() es cóncava. b) Analizamos el signo de f (): ( - ) f ( ) = f ( ) = ( + ) ( + ) Buscamos los puntos donde f () se anula, que son los posibles puntos de infleión: ( - ) f ( ) = = 0 ( + ) = Analizamos el signo de f () en <-, - < < y < : Para <- : f ( ) 0 f() es convea. Para - < < : f (0) 0 f() es cóncava. Para < : f () 0 f() es cóncava. a) f () f () f () 0 para todo valor de, por tanto es siembre convea. 40

5 b) f () 0 f () 0 f () 0 para todo valor de, por tanto es siembre convea. Respuesta abierta. Por ejemplo: Respuesta abierta. Por ejemplo: Respuesta abierta. Por ejemplo: 4

6 Respuesta abierta. Por ejemplo: Respuesta abierta. Por ejemplo: No eiste una función cóncava en (, ) y convea en (, ) con un punto de infleión en ; el punto de infleión debera estar en. 4

7 Respuesta abierta. Por ejemplo: Respuesta abierta. Por ejemplo: a) b) a) b) 4

8 a) Asntotas verticales: El denominador se anula en : lim = f tiene una asntota vertical en. - Asntotas horizontales: Como grado() grado( ) Eiste asntota horizontal en y k, donde k = lim = y. - Asntotas oblicuas: No eiste asntota oblicua porque grado() grado( ). b) Asntotas verticales: El denominador se anula en : lim = - f tiene una asntota vertical en. lim = f tiene una asntota vertical en. - - Asntotas horizontales: Como grado( ) grado( ) Eiste asntota horizontal en y k, donde Asntotas oblcuas: No eiste asntota oblicua porque grado( ) grado( ). k = lim = - y. a) f( ) m = lim = lim = lim = m = ( + ) + é ù é - - ù - n = lim [ f ( ) - m] = lim - = lim = lim =- n =- ê ú ê ú ë + û ë + û + Por lo tanto la asntota oblicua es y. b) + f ( ) - - m = lim = lim - = lim = lim = m = ( -) - é ù é ù n = lim [ f ( ) - m] = lim + - = lim =- n =- ëê - úû êë-úû Por tanto, la asntota oblicua es y. 44

9 SABER HACER Analizamos el dominio de f() para saber dónde puede haber discontinuidades: Dom f = -{ 0} Analizamos el signo de f (): ì + si <- f ( ) = - si ³- î Tenemos que ver dónde se anula f (). Para ello analizamos dónde se anulan cada una de las partes que la componen: + = 0 = ü ý 0 - ¹ þ En f () no toma el valor de la primera función. Por tanto, f () nunca se anula. Analizamos el signo de f () si, - < 0 y 0: Para : f ( ) 0 f() es decreciente. Para - < 0: f ( ) 0 f() es creciente. Para 0: f () 0 f() es decreciente. 45

10 Para empezar, si se entiende que la empresa gana 0 por cada unidad, el ingreso vendrá dado por f() 0, mientras que el gasto será g(). Por lo tanto, el beneficio será b ( ) = f( ) - g ( ) = = Primero se calcula b ( ) = 5- y se observa que el candidato a máimo o mnimo es Se calcula ahora b ( ) =- y se ve entonces que 5 = es un máimo. 5 =. Como 5 =, 5 no es un número entero, se mira el valor de b() y b() y, siendo el beneficio b() () 56, se concluye que para maimizar el beneficio se deben fabricar o unidades. Se calcula la derivada de la función f ( ) = + a y se impone la condición de que f () 0: + a= 0 a=- 4, as que el candidato será a 4. Se comprueba que es un mnimo mirando que la segunda derivada es positiva: f ( ) = f () = > 0. Con a 4, es un mnimo. Se sabe que la derivada de la función es una recta con pendiente, por lo que será de la forma f ( ) = + n. La función será de la forma f( ) = a + b + c, pues su derivada es f ( ) = a + b. Se tiene entonces que a= a=, y b= n, por lo que las funciones que cumplan las condiciones del enunciado tendrán como ecuación: f ( ) = + n+ ccon ncî, Una parábola tendrá como ecuación f( ) = a + b + c, y como pasa por el (0, ), al sustituir, se obtiene c. Al ser el punto (, ) el vértice de la parábola: Es un punto de ella a + b+ =- Será un máimo o un mnimo global f () 0 6a+ b= 0. a + b+ =-ü 9a+ b=- ü ý ý 9a- a=-9 a=, b=-6 6a+ b= 0 þ b=-6a þ Por tanto, f ( ) =

11 f () Analizamos el dominio de f() para saber dónde puede haber discontinuidades: Dom f = -{ 0} ì + si <- f ( ) = - si ³- î ì si <- f ( ) = 6 si ³- 4 î Tenemos que ver dónde se anula f (). En este caso, f ( ) ¹ 0 para cualquier, por tanto, analizamos el signo de f () si, - < 0 y 0: Para : f 0 f() es cóncava. Para - < 0: f ( ) 0 f() es cóncava. Para 0: f () 0 f() es cóncava. En la función es cóncava. En la función tiene un punto de infleión. En la función es convea. 47

12 - lim =- - f tiene una asntota horizontal en y =-. Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asntota por la derecha, se dan valores muy grandes a, y se estudia su valor: -(000) Para 000: f(000) = = = =- 0,99999 >- (000) Por la derecha, la gráfica está situada por encima de la asntota. Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asntota por la izquierda, se dan valores muy pequeños a, y se estudia su valor: -- ( 000) Para 000: f( - 000) = = =- 0,99999 >- (-000) Por la izquierda, la gráfica está situada por encima de la asntota. lim = f tiene una asntota horizontal en + + y =. Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asntota por la derecha, se dan valores muy grandes a, y se estudia su valor: (000) Para 000: f (000) = = = 0, < (000) + (000) Por la derecha, la gráfica está situada por debajo de la asntota. Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asntota por la izquierda, se dan valores muy pequeños a, y se estudia su valor: (-000) Para 000: f( - 000) = = = 0, > ( - 000) + ( - 000) Por la izquierda, la gráfica está situada por encima de la asntota. Las asntotas verticales aparecen cuando el denominador vale 0. En este caso: - 4 = ( + )( - ) = 0 = lim lim - + = Tiene una asntota vertical en = Tiene una asntota vertical en. - 4 Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asntota por la izquierda, se dan valores muy cercanos a por la izquierda a, y se estudia su valor: -,0+ Para,0: f( -,0) = < 0 lim f( ) =- - (-,0) -4 - Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asntota por la derecha, se dan valores muy cercanos a por la derecha a, y se estudia su valor: 4

13 -, 99 + Para,99: f( -,99) = > 0 lim f( ) =+ + (-,99) -4 - Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asntota por la izquierda, se dan valores muy cercanos a por la izquierda a, y se estudia su valor:, 99 + Para,99: f(,99) = < 0 lim f( ) =- - (,99) - 4 Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asntota por la derecha, se dan valores muy cercanos a por la derecha a, y se estudia su valor:,0+ Para,0: f(,0) = > 0 lim f( ) =+ + (,0) - 4 Las asntotas verticales aparecen cuando el denominador vale 0. En este caso: = ( + )( - ) = 0 =-, = Tiene dos asntotas verticales. lim - lim - = Tiene asntota vertical en = Tiene asntota vertical en Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asntota por la izquierda, se dan valores muy cercanos a por la izquierda a, y se estudia su valor: ( -,0) - Para,0: f (-,0) = < 0 lim f ( ) =- - (-,0) +,0-6 - Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asntota por la derecha, se dan valores muy cercanos a por la derecha a, y se estudia su valor: ( -,99) - Para,99: f (-,99) = > 0 lim f ( ) =+ + (-,99) +, Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asntota por la izquierda, se dan valores muy cercanos a por la izquierda a, y se estudia su valor: (,99) - Para,99: f (,99) = < 0 lim f ( ) =- - (,99) -,99-6 Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asntota por la derecha, se dan valores muy cercanos a por la derecha a, y se estudia su valor: (,0) - Para,0: f(,0) = > 0 lim f( ) =+ + (,0) -,0-6 ACTIVIDADES FINALES 49

14 9 f '(- ) = > 0 La función es creciente en. 4 a) f ( ) = cos f ( p ) = cosp=- < 0 La función decrece en =p. b) f cos tg f cos tg ( ) = + + (0) = = > 0 La función crece en 0. c) ( ) - cos - ( sen + ) æ ö f ( ) f p = 0 ç < çè ø ( -) La función decrece en p = d) f( ) = sen + cos = " Î Función constante en todo su dominio y no crece ni decrece en 0. a) f ( ) = -4 f ( ) = 0 cuando. En (, ) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. Por tanto, es un mnimo. b) f ( ) =- f ( ) = 0 cuando 0. En (, 0) f () 0 f() es creciente en este intervalo. En (0, ) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. Por tanto, 0 es un máimo. 50

15 c) f ( ) = 4- f ( ) = 0 cuando. En (, ) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. Por tanto, es un mnimo. d) f ( ) =- - f ( ) = 0 cuando =-. En æ, ö ç - - çè ø f () 0 f() es creciente en este intervalo. æ ö En ç -, + çè ø f () 0 f() es decreciente en este intervalo. Por tanto, =- es un máimo. e) f ( ) = -6 f ( ) = 0 cuando. En (, ) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. Por tanto, es un mnimo. f) f ( ) = 6- f ( ) = 0 cuando =. æ ö En ç -, çè ø f () 0 f() es decreciente en este intervalo. æ ö En ç, + çè ø f () 0 f() es creciente en este intervalo. Por tanto, = es un mnimo. a) f ( ) = f ( ) = 0 cuando y. Divide el dominio en intervalos. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. En tiene un máimo y en un mnimo. b) f ( ) = -6-9 f ( ) = 0 cuando y. Divide el dominio en intervalos. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. En tiene un máimo y en un mnimo. 5

16 c) f ( ) = - f ( ) = 0 cuando =. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. En tiene un máimo y en un mnimo. d) f ( ) = f ( ) = 0 cuando y. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. En tiene un máimo, y en un mnimo. e) f ( ) = > 0 f ( ) > 0 " Î La función es creciente en todo su dominio y no tiene máimos ni mnimos. a) f ( ) = 4-4 f ( ) = 0 cuando. En (, ) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. b) f ( ) = f ( ) = 0 cuando 0, =- y En ç æ, ö - - çè ø f () 0 f() es decreciente en este intervalo. æ ö En ç -,0 çè ø f () 0 f() es creciente en este intervalo. æ ö En ç 0, çè ø f () 0 f() es decreciente en este intervalo. æ ö En ç, + çè es creciente en este intervalo. ø c) f ( ) = - -6 f ( ) = 0 cuando 0, y. En (, ) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. En (, 0) f () 0 f() es creciente en este intervalo. En (0, ) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. d) f ( ) = 4 ( + )( -) f ( ) = 0 cuando 0, y. En (, ) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. En (, 0) f () 0 f() es creciente en este intervalo. En (0, ) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. En (, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. =. 5

17 a) f ( ) = f ( ) = 0 cuando 0. En (, 0) f () 0 f() es creciente en este intervalo. En (0, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. b) f ( ) = 4 f ( ) = 0 cuando 0. En (, 0) f () 0 f() es decreciente en este intervalo. En (0, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. c) f ( ) = En (, 0) la función no está definida. En (0, ) f () 0 f() es creciente en este intervalo. p kp a) f ( ) = 6 cos f ( ) = 0 cuando = +, k Î. 4 æp p ö En los intervalos ç + kp, + kp, k Î, çè4 4 ø f () 0 f() es decreciente. æ En los intervalos, 5 ö p p ç + kp + kp, k Î, çè 4 4 f () 0 f() es decreciente. ø + b) f ( ) = ln > 0 " Î Por tanto, la función es creciente en toda la recta real. - c) f ( ) = e > 0 " Î Por tanto, la función es creciente en toda la recta real. - d) f ( ) =-ln 4 4 < 0 " Î Por tanto, la función es decreciente en toda la recta real. a) Dom f= ( ) (0, + ) f ( ) = > 0 en todo el dominio, por lo que f() es siempre creciente. 5

18 b) + > 0 " Î Dom f( ) = f ( ) = f ( ) = 0 = 0 + f() decrece en (, 0) porque f ( ) 0 y crece en (0, ) porque f () 0. c) + > 0 >- Dom f( ) = (-,- ) f ( ) = > 0 ln ( + ) en todo el dominio, por lo que f() es siempre creciente. d) Dom f( ) = (0, + ) f ( ) =- 0 log < en todo el dominio, por lo que f() es siempre decreciente. e) > 0 " Î Dom f( ) = + - f ( ) = f ( ) = 0 = 0 + En (-,0) f ( ) > 0 La función es creciente. En ( 0, + ) f () < 0 La función es decreciente. f() tiene un máimo en 0. æ - ö æ ö f) f ( ) = ln = ln ç è - ø èç + ø > 0 >- Dom f( ) = (-, + ) + f ( ) =- 0 + < en todo el dominio, por lo que f() es siempre decreciente. a) b) c) d) ì si ì f creciente si f ( ) = î- si > îf decreciente si > ì si < 0 ìf ( ) > 0 si < 0 f ( ) = f crece " Î î si ³ 0 î f ( ) > 0 si ³ 0 ì si 0 ì f ( ) > 0 si 0 f ( ) = f crece " Î î si > 0 î f ( ) > 0 si > 0 ì f ( ) < 0 si <- f decrece ü ì + si ý f tiene un mnimo en =- f ( ) = f ( ) > 0 si - < f crece si þ î - > î f ( ) < 0 si < f decrece 54

19 f ( ) = f ( ) = 0 cuando 0. ( + ) a) Como el denominador es siempre positivo, solo comprobamos el signo del numerador, por lo que: f ( ) = < 0 Î( -, 0) En este intervalo f() decrece. ( + ) f ( ) = > 0 Î (0, + ) ( + ) En este intervalo f() crece. b) Dom f( ) = -{-} c) Dom f= ( ) -{-} ( ) = 0 ( + ) > f ( ) = 0 ( + ) > f en todo el dominio, por lo que f() es siempre creciente. en todo el dominio, por lo que f() es siempre creciente. d) Dom f= ( ) -{ } ( ) =- 0 ( - ) < f en todo el dominio, por lo que f() es siempre decreciente. a) ì ì ì æ ö -- si <- - si <- f( ) decrece en -, -. çè ø f( ) = f ( ) = æ ö si si f( ) crece en, + ³- >- ç - +. î î çè ø î En crece y en 4 decrece. b) ì - si > ì si > ì f( ) crece en (, + ). f( ) = f ( ) = î - si î- si < îf( ) decrece en (-, ). En 0 decrece y en 5 crece. c) ì - si > ì si > ì f( ) crece en (, + ). f( ) = f ( ) = î - si î- si < îf( ) decrece en (-, ). En decrece y en decrece. d) ì ì ì æ ö si si f( ) decrece en, <- < çè ø f( ) = f ( ) = + æ ö si ³- si >- f( ) crece en ç -, +. î î çè î ø En crece y en 0 crece. 55

20 ì si ì - - si - a) f ( ) = - si - < < f ( ) = - si - < < si î - î si En : f ( ) 6 0 f() decrece. En : f ( ) 0 f() crece. En 4: f (4) 0 f() crece. ì - si 0 ì- si 0 b) f ( ) = - si 0 < < f ( ) = - si 0 < < si î - î - si En : f ( ) 7 0 f() decrece. En : f () 0 f() decrece. En 6: f (6) 9 0 f() crece. c) ì 7 ì + - si <-7 - si < ì f ( ) decrece en (-, - 7). f ( ) = f ( ) = + 7 f ( ) crece en (- 7, + ). si 7 si 7 î ³- >- î 4 î4 En 0 decrece, en 5 y crece. ì æ - ù é+ ö --5 si Î -, È, + çè úû êë ø a) f( ) = -- 5 = æ ö 5 si Î, ç çè î ø ì ì - > 0 si > æ ö æ ö si -, +, - Î - È + ç ç è ø è ø - < 0 si < î f ( ) = ì 0 si - + > < æ ö si - +, - + Î çè ø - + < 0 si > î î æ ö æ ö Por lo que la función decrece en - +,, - È ç è ø èç y crece en æ ö æ ö - +,, È + ø ç è ø çè. ø 56

21 ì ì si 0 si 0 - < < ì f ( ) > 0 si < 0 b) f( ) = = f ( ) = f ( ) < 0 si > 0 si 0 si 0 î ³ - > î î Por tanto, la función crece en el intervalo (, 0) y decrece en el intervalo (0, ). ì - ì si < 0 - si < 0 + ( + ) ì f ( ) < 0 en Î( -, 0) È (, + ) c) f( ) = = f ( ) = + - f ( ) > 0 en Î( -, -) È( 0, ) si 0 si 0 î ³ > î + ( + î ) La función decrece en (-, 0) È (, + ) y crece en (-,-) È ( 0,). ì si < 0 - ì - si < 0 - ì f ( ) < 0 si > 0 d) f( ) =- = f ( ) = si 0 f ( ) > 0 si < 0 î - ³ si 0 î - > î La función crece en el intervalo (, 0) y decrece en (0, ). ì - si 0 < < ì - ln si 0 < ì f ( ) < 0 si 0< < e) f( ) = ln = f ( ) = î ln si > f ( ) > 0 si > si > î î La función decrece en el intervalo (0, ) y crece en (, ). ì ì - si < 0 ln( - ) si < 0 - ìf ( ) < 0 si (-, 0) f) f( ) = ln( + ) = f ( ) = ln( ) si 0 î + ³ f ( ) > 0 si (0, + ) si > 0 î î + La función decrece en el intervalo (, 0) y crece en el intervalo (0, ). ( - ) a) f ( ) = f ( ) = 0 ( - ) cuando 0 y. ì En = 0 f ( 0) =- < 0 ì = 0 máimo f ( ) = ( -) En f ( ) 0 î = = > î = mnimo (4 - ) b) f ( ) = f ( ) = 0 cuando 0 y 4. ( - ) ì En = 0 f ( 0) = > 0 ì = 0 mnimo f ( ) = (- ) En 4 f ( 4) 0 î = =- < î = máimo 57

22 ( + )( -) c) f ( ) = f'( ) = 0 cuando =. ì En ( ) 0 =- f - =- < ì =- máimo f ( ) = = mnimo En = f ( ) = > 0 î î d) ( + ) f ( ) = f ( ) = 0 cuando 0. ( + 4) ( -) f ( ) =- En = 0 f ( 0) = 0 ( + 4) No podemos concluir mediante este método si es un máimo o un mnimo. ( + ) e) f ( ) = f ( ) = 0 cuando 0 y. ( + ) ì En = 0 f ( 0) = > 0 ì = 0 mnimo f ( ) = ( + ) En f ( ) 0 î =- - =- < î = máimo f) ( -) f ( ) =- f ( ) = 0 cuando =. ( + ) 6 ( - ) ì En =- f (- ) = 4 > 0 ì =- mnimo f ( ) = ( + ) En f () 4 0 î = =- < î = máimo a) f ( ) = > 0 f ( ) ¹ 0 " Î No eiste máimo ni mnimo en esta función. b) f ( ) =- < 0 f ( ) ¹ 0 " Î No eiste máimo ni mnimo en esta función. c) f ( ) = 6-6 = 6( -) f ( ) = 0 cuando - = 0 = ì f ( - ) =- < 0 ì =- máimo f ( ) = îf () = > 0 î = mnimo d) f ( ) = 4- = 4( -) f ( ) = 0 cuando 4( - ) = 0 = f ( ) = 4 f () = 4> 0 = mnimo e) f ( ) = - = ( -) f ( ) = 0 cuando ( - ) = 0 = 0 y = ì f (0) 0 ì =- < = 0 máimo f = - f - = > =- f () 6 0 î = > î = mnimo ( ) ( ) ( ) 6 0 mnimo f) f ( ) = 4-6 = (-) f ( ) = 0 para = 0 y =. ì f (0) = 0 ì = 0 no se puede decidir con este método. f ( ) = ( -) æö f = 9 > 0 = mnimo çè ç î ø î 5

23 Como el vértice es un máimo o un mnimo, tiene que cumplir la ecuación f() 0. Además, y por tanto en el vértice, al igualar ambas ecuaciones, se obtiene: b æ bö b 0= a + b =-, y al sustituir, f - ç = c- a a, con lo que ya se puede dar una epresión algebraica para el çè ø 4a vértice de una parábola: æ b b ö ç -, c - çè a 4a en función de los parámetros a, b y c. ø æ b b ö ç -, c - = (-,) çè a 4a y 5 a0 b0 c c 5, por lo que: ø b ü - =- b= aü b aü b aü a = = b = 6 ü ý b ý ( a) ý 4a ý ý b -5- =- = = a = -5- =- þ 4a þ 4a þ 4a þ 4a þ Si la tangente a la curva es horizontal en el vértice, significa que la primera derivada (pendiente de la tangente en ese punto) es igual a cero. a) f ( ) = = 0 = f ( ) = 6 f () = 6 > 0 = mnimo b) f ( ) = = 0 = æö f ( ) =-4 f ç =- 4 < 0 = máimo çè ø c) f ( ) = 0 + = 0 =- f ( ) = f ( - ) = > 0 =- mnimo d) f ( ) = = 0 = f ( ) =- f () =- < 0 = máimo e) - f ( ) = 0 6+ = 0 = 6 æ-ö - f ( ) = 6 f ç = 6 > 0 = mnimo çè 6 ø 6 f) f ( ) = 0 + = 0 =- f ( ) = f ( - ) = > 0 =- mnimo 59

24 Al sustituir en la función, se tiene que 5= + a+ b= + a+ b 4= a+ b, y puesto que se tiene mnimo en (, 5), se sigue que f ( ) = + a f () = 0 0 = + a a=-, y se obtiene: a+ b= 4 ü ì b= 7 ý a=- þ îa=- Es imposible que en 0 la derivada de esa función tenga tangente horizontal, ya que f ( ) = a + b + y f (0), con lo que se concluye que no eiste una función con esas caractersticas. Pasa por (, 6) 6 = a() + b() + c 6= a+ b+ c Pasa por (, ) = a() + b() + c = a+ b+ c Como además en (, ) tiene un mnimo, se obliga a que: f a b f a b ( ) = + () = + = 0 Con lo que se tienen tres ecuaciones y tres incógnitas: a+ b+ c= 6 ü a b c 6 ü ì + + = a= a- 6a+ c= 6ü a+ c= 6ü a+ b+ c= ý a+ b+ c= ý ý ý b=- f = - + a- a+ c= - a+ c= a+ b= 0 b a þ þ þ =- þ îc= 4 ( ) 4 Se comprueba que es un mnimo, ya que f ( ) = 6 f () = 6 > 0. Como su gráfica pasa por ( 4, 0) y (, 0), se obtienen las ecuaciones: ì 0 = a( - 4) + b( - 4) + c( - 4) + d 0 =- 64a+ 6b- 4c+ d î 0 = a( - ) + b( - ) + c( - ) + d 0 =- 7a+ 9b- c+ d Además, se sabe que su derivada se anula en los puntos 4 y ì 0= a( - 4) + b( - 4) + c 0= 4a- b+ c æ 0ö æ 0ö 0 = a - + b - + c 0 = 00a- 0b+ c ç è ø çè î ø 0 =- ì- 64a+ 6b- 4c+ d = 0 7a 9b c d 0 Se obtienen cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: = 4a- b+ c= 0 î 00a- 0b+ c= 0, con lo que se obtienen las ecuaciones: El sistema es compatible indeterminado, por tanto, no eiste una única solución. Dejando d como variable libre: 5 c = d, b= d, a= d

25 ì ü é - 9 ù é + 9 ö = Î - - > ý = È + î þ ê ë úû êë ø Dom f : 5 0, 0, - - f ( ) = f ( ) = 0 cuando = 0 =- y = De los dos posibles candidatos a punto crtico se descarta = por no encontrarse en el dominio de la función. Se calcula la segunda derivada para comprobar si =- es un máimo o un mnimo: æ ö f ( ) = f 5 0 máimo / ç - =- < =- ( (4 --0)) çè ø 94. La función crece en el intervalo æ 9 ö -, ç - è ø, y decrece en el intervalo æ ö ç -,0 çè ø. Los puntos de corte son el (0, b) y el ( 0, 0), donde 0 será una raz del polinomio + a + b. En estos puntos, la derivada se anula; en el caso de (0, b) es un mnimo, con lo que la segunda derivada en él es positiva; en el caso ( 0, 0) es un máimo, con lo que la segunda derivada en él es negativa: ì f 0 ( ) = 0 + a 0= 0 ì 0 = 0 ìf ( ) a = + f ( 0) = a= a> 0 î f ( ) = 6 + a f ( 0) = 0 + a0 = 0 0 =- a î î f ( 0) = 60 + a< 0 Se rechaza 0 0 porque, en ese caso, f ( ) = 6 + a= a< 0, que sera contradictorio con f ( 0) = a> Por tanto, æ aö æ aö a a 4a - a b 0 b 0 b 0 + ç - + = = + =. çè ø è ø Por último, como se cumple la ecuación a+ b=-, se resuelve el sistema: 4a ü ì a=- y b= 4 Se rechaza por ser a> 0. + b = 0 7 4a 7a 7 0 ý - + = - a= y b= a+ b= þ î Con lo que la función buscada será: f ( ) = + - 6

26 b b El máimo tendrá como coordenadas =- =-6 y g( - 6) = y el mnimo =- = y h ( ) =- 90. a a Por tanto: ì f (- 6) = 0a- b+ c= 0 ì f ( ) a b c = + + f (- 6) =- 6a+ b< 0 ì 0a- b+ c= 0 î f ( ) = 6a + b f () = a+ 4b+ c= 0 a+ 4b+ c= 0 î î f ( ) = a+ b> 0 ì Por otro lado, también se tiene que: a+ b- c+ d = î a+ 4b+ c+ d =-90 Por tanto, se tiene un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, y al resolverlo se obtienen los valores de los parámetros. 0a- b+ c= 0 ü a+ 4b+ c= ý a =, b =, c =-, d = - 6a+ 6b- 6c+ d = 6 4 a+ 4b+ c+ d =-90 þ Por tanto, la función buscada será: f ( ) =

27 6

28 a) a es un máimo. b) a es un punto crtico, pero no se sabe si es máimo o mnimo. c) a es un punto crtico y como f ( ) siempre y f(a) es un máimo. d) a es un mnimo. e) No se puede decidir si hay máimo o mnimo en a. f) a es un máimo, porque f (a) 0, crece en a y decrece en a. a) Decrece en (-,-) È (0,) y crece en (-,0) È (, + ). Tiene máimo en 0, cuyo valor es. Tiene dos mnimos, en y, ambos con valor. b) Decrece en (-,0) È (, + ) y crece en ( 0, ). Tiene un mnimo en 0, cuyo valor es, y un máimo en, cuyo valor es. c) Crece en (-,-) È( -,) y decrece en (, ) È (, + ). Tiene un máimo en, cuyo valor es, aproimadamente, 0,5. 64

29 f ( ) = a) f ( - ) = = f ( -,5) = = - 7 =- 4 f ( - 0,5) = = 7 - = 5 f( - ) = = 0 La gráfica corta con el eje X en. Es un punto crtico, porque el valor de la derivada es 0. A la izquierda la función decrece porque el valor de la derivada es negativo, y a la derecha crece porque es positivo. Por tanto, (, 0) tiene un mnimo. b) f (0,5) = = 0 f (0,5) = = f (0,5) = = - = f () = = 9-5 = 4 Hay un punto crtico en 0,5 porque el valor de la derivada es 0. A la izquierda la función crece, porque el valor de la derivada es positivo, y a la derecha decrece, porque 4 6 >. æ ö Por tanto, en ç 0,5; çè 6 ø tiene un mnimo. c) f () = = 0 f () = = f (,5) = = f (,5) = = = = 4 La gráfica corta con el eje X en. Es un punto crtico, porque el valor de la derivada es 0. A la izquierda la función decrece, porque el valor de la derivada es negativo, y a la derecha crece, porque es positivo. Por tanto, en (, 0) tiene un mnimo. 65

30 a) f ( ) = 4( - )( + )( + ) f ( ) = 0 =, =- y =- b) ì f ( - ) =- 6 < 0 =- máimo f ( ) = 4( + 6-) f () = > 0 = mnimo î f ( - ) = > 0 =- mnimo f ( ) = ( -)( -)(-) f ( ) = 0 «=, = y = ì f () = > 0 = mnimo æö f = - + f =- < = ç çè ø î f () = > 0 = mnimo ( ) (6 ) 0 máimo c) f ( ) = ( - )( + )(+ ) f ( ) = 0 =, =- y =- ì f ( - ) = > 0 =- mnimo f æ ö f ç çè ø î f () = > 0 = mnimo ( ) = 6( + -) - =- 9 < 0 =- máimo ì f( ) = ì0 y 0 y = + ì - = f ( ) = - = = î + y = f(, y) î + (0- ) = f( ) î f ( ) = 4 > 0 siempre Como la segunda derivada es positiva siempre, se tiene que en 0 hay un mnimo. y = 0 - y = 0 La descomposición pedida es ì ì 0 > f ( ) = - = 0 = 4 + = f( ) î f ( ) = f () = > 0 En = hay un mnimo. î Se descarta porque el número buscado tiene que ser positivo. ì 0 y ì = = y ì f ( ) = 0 5- = 0 = 5 y (0 ) - = fy (, ) = f ( ) f ( ) =- < 0 siempre En = 5 hay un máimo. î î î y = 0 - y = 5 El triángulo con mayor área es el que tiene por catetos 5 e y 5. 66

31 ì 0 - = y y (0 ) ì f'( ) = = 0 = - fy (, ) f ( ) = = î î î f''( ) =-6 ì 0 = + y 0 æ 0 ö 0 0 f ç =-6 < 0 = es un máimo. çè ø y = 0 - y = 0 - = y = El triángulo con mayor área tiene por catetos = e y =. a) ì ì - 4 ì y y = = f ( ) = = 0 = 4 + y = f(, y) f( ) î + = f ( ) = f (4) = > 0 î î 64 En 4 hay un mnimo. y = y = 4 Las dimensiones de la valla son 4 m de largo y m de ancho. b) El coste del marco será,5. El permetro del recinto viene dado por la fórmula p y+ = 00, y el área por maimizar, por tanto: py 4 + y, que es lo que se quiere ì py ì ì y 00 y p p + = = - ( ) 00 0 f y = - = y = 00 p py y, 0 = = + y = f(, y) py æ pyö -p p 4 y 00 f( y) î + - = f ( y) = < 0 siempre 4 ç î è ø î ì y = ì ( )( y 4) - - = - î y = f (, y) æ0 + 4 ö ç = f( ) è î - ø 67

32 ( ) ì =- Sedescarta. f ( ) = 0 = 0 ( - ) î = 5 f 7 ( ) = (5) 0 5 es un mnimo. ( ) f = > = y = y = 0 Las dimensiones de la hoja son 5, y 0. - a) ì + y = 500 ì y = 50 - î y = f(, y) î (50 - ) = f( ) f ( ) = 50 - f ( ) = 0 = 5 f ( ) =- < 0 siempre = 5 es un máimo. y = 50 - y = 5 Las dimensiones del rectángulo 5 5 m, con lo que se obtiene un cuadrado. b) ì + y = 500 ì y = îy = f(, y) î(500 - ) = f( ) f ( ) = f ( ) = 0 = 5 f ( ) =- 4 < 0 siempre = 5 es máimo. y = 50 - y = 50 Las dimensiones del rectángulo buscado son 5 50 m. æ p ö El permetro de la figura es y + ç + = 5 çè y su área es ø el siguiente problema de maimización: æ ö p ç è ø p y + = y +. Por tanto, se tiene que resolver ì æ pö ì 5 æ pö y 5 y + + = = - + ç çè ø è ø y f(, y) f( ) + = = - ç çè î î ø p 5 æ4+pö f ( ) æ +p ö = - ç = 0 = çè ø 4+p æ4 +p ö f ( ) =- ç < 0 siempre çè ø Por tanto, para 0 5 = e y = se tiene que el área es máima. 4+p 4+p 6

33 La distancia del punto (6, 0) a un punto arbitrario de la curva (, ) viene dado por la fórmula d = ( - 6) + ( ), donde d representa el módulo del vector que tiene por etremos ambos puntos. ì f( ) 0 6 ì = f ( ) = 0 = 0 = f ( ) = f ( ) = > 0 para = 5 = 5 es un mnimo. ( ) f ( ) = î î ( ) Los puntos pedidos son los de coordenadas = 5, y = 0. La recta, al pasar por el punto (, ) tendrá ecuación y = m+ (- m), donde m es la pendiente. Eso quiere decir que el triángulo buscado tendrá catetos de distancia los cortes de la recta con los ejes. Por otro lado, se quiere maimizar el área, que vendrá dada por la fórmula problema de maimización: ì m - = ì y m ( m) = + - m y y = -m = fy (, ) î - m + m- fm ( ) = î m 4 9 ì - 4m + 4m-9 f ( m) = ì - m + m f ( m) = 4m æö f < 0 m= se descarta. m ç - + è ø 0 m = = 4m î æ- ö - f > 0 m= proporciona un área mnima. ç î è ø y, as que se obtiene el siguiente Por lo que la recta buscada será y = Respuesta abierta. Por ejemplo: 69

34 Respuesta abierta. Por ejemplo: Respuesta abierta. Por ejemplo: Respuesta abierta. Por ejemplo: 70

35 Respuesta abierta. Por ejemplo: Respuesta abierta. Por ejemplo: 7

36 7

37 a) f ( ) = + - f ( ) = 0 = y =- æ ö f() crece en (-,- ) È ç, + çè ø y decrece en æ ö ç -, çè ø. f() tiene un mnimo en = y un máimo en. 4 f () 4 f () 0 =- 4 f() es convea en æ, ö ç - - çè ø y cóncava en æ 4 ö ç -, + çè ø. b) f ( ) = - f ( ) = 0 = æ ö æ ö f() crece en,, ç - - È + è ø çè ø y decrece en æ ö, ç ç- è ø. f() tiene un mnimo en = f () 6 f () 0 0 y un máimo en f() es convea en (-,0) y cóncava en ( 0, + ). =-. 7

38 c) f ( ) = - f ( ) = 0 = 0 y = æ ö f() crece en (-,0) È ç, + çè ø y decrece en æ ö ç 0, çè ø. f() tiene un mnimo en = y un máimo en 0. f () 6 f () 0 = æ ö f() es convea en ç -, çè ø y cóncava en æ ö ç, + çè ø. d) f ( ) = -4 f ( ) = 0 = 0 y = 4 æ4 ö f() crece en (-,0) È ç, + çè ø y decrece en æ 4ö ç 0, çè ø. 4 f() tiene un mnimo en = y un máimo en 0. f () 6 4 f () 0 = æ ö f() es convea en ç -, çè ø y cóncava en æ ö ç, + çè ø. e) f f ( ) = -6 ( ) = 0 = 0 y = f() crece en (-,0) È (, + ) y decrece en (0, ). f() tiene un mnimo en y un máimo en 0. f () 6 6 f () 0. f() es convea en (-,) y cóncava en (, + ). 7 a) f ( ) = -- f ( ) = 0 = æ 7ö æ 7 ö f() crece en -, +, ç - È + è ø çè ø æ 7 7ö y decrece en - +, ç è ø. f() tiene un mnimo en f () 6 f () = y un máimo en = - 7 =. æ ö f() es convea en ç -, çè ø y cóncava en æ ö ç, + çè ø. 74

39 b) f ( ) = -- f ( ) = 0 =- y = f() crece en ç æ, ö - - È (, + ) çè ø æ ö y decrece en ç -, çè ø. f() tiene un mnimo en y un máimo en =-. f () 6 f () 0 = æ ö f() es convea en ç -, çè ø y cóncava en æ ö ç, + çè ø. c) f f ( ) = ( ) = 0 = y = f() crece en (-,) È (, + ) y decrece en (, ). f() tiene un mnimo en y un máimo en. f () 4 f () 0. f() es convea en (-,) y cóncava en (, + ). 75

40 4 ( + 4) ( ) =- =- < 0 La función es siempre convea. ( + 4) ( + 4) e) f 4 76

41 + a) Asntota horizontal: lim = y = - 4 Asntota vertical: - 4= 0 = 4 b) Asntota horizontal: lim 6 = 6 y = 6-4 Asntota vertical: - 4= 0 = 4 77

42 c) Asntota horizontal: - lim = y = + Asntota vertical: + > 0 " Î No eiste. 7

43 a) Tiene una asntota vertical en y no tiene asntota horizontal. Tiene una asntota oblicua en y. En : + < + La gráfica está por debajo de la asntota. - En : + > + - La gráfica está por encima de la asntota. ì + lim lim+ =- =+ î - b) Tiene una asntota vertical en y no tiene asntota horizontal. Tiene una asntota oblicua en y. En : En : - < > + - La gráfica está por debajo de la asntota. La gráfica está por encima de la asntota. ì - lim lim+ =- =+ î - c) Tiene asntota vertical en y no tiene asntota horizontal. Tiene asntota oblicua en y. En : En : < + - > + - La gráfica está por debajo de la asntota. La gráfica está por encima de la asntota. ì =- lim - - lim+ =+ î - 79

44 d) Tiene asntota horizontal en y y no tiene asntota vertical ni oblicua. " Î < La gráfica está por debajo de la asntota. + 0

45

46

47

48 4

49 5

50 a) El dominio vendrá dado por todos los números que no anulen el denominador. Por tanto, Dom f = -{ }. No tiene puntos de corte con el eje X, ya que f ( ) ¹ 0 " Î. Punto de corte con el eje Y: 0 f(0) El punto de corte es (0, ). No tiene asntotas horizontales. Tiene asntotas verticales en =. 6

51 ( - -) f ( ) = 4 ( -) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 0 ì - - ì = f ( ) > 0 en -, - È( -, 0) È, + = 0 ( - ) î = f ( ) < 0 en -, - È(0, ) È, + î La función decrece en (-,- ) È (0,) È (, + ) y crece en (, ) (, 0) (, ) - - È - È +. Se calcula la segunda derivada f ( ) = 6 4 ( ) ( + ) y se evalúa en los puntos crticos: f (- ) = > 0 =- mnimo f (0) =-6 = 0 máimo f ( ) = > 0 = mnimo b) El dominio vendrá dado por todos los números que no anulen el denominador. Por tanto, Dom f = -{}. Punto de corte con el eje X: f ( ) = 0 = El punto de corte es (, 0). Punto de corte con el eje Y: = 0 f(0) =- El punto de corte es (0, ). No tiene asntotas verticales. Tiene asntota horizontal en y 0. ( ) ( ) ( ) ì f ( ) < 0 en Î -, - 7 È + 7, + f( ) crece. f ( ) = ( + + ) î f ( ) > 0 en Î - 7, + 7 f( ) decrece. f ( ) ( ) = f + < = + ( ) ì f (- 7) > 0 = - 7 es mnimo. + + î ( 7) 0 7 es máimo. 7

52 c) El dominio, vendrá dado por todos los números que no anulen el denominador. Por tanto, Dom f = -{-}. Punto de corte con el eje X: f( ) = 0 = El punto de corte es (, 0). Punto de corte con el eje Y: = 0 f(0) =- El punto de corte es (0, ). Tiene asntota horizontal en y 0. ( - ) ì f ( ) < 0 en Î( -, 0) È (, + ) f( ) crece. f ( ) =- - + î f ( ) > 0 en Î(0, ) f( ) decrece. ( ) ì f (0) = > 0 = 0 mnimo ( - + ) f ( ) = - ( - + ) f () = < 0 = máimo î 9 d) El dominio, dado por todos los números que no anulen el denominador. Por tanto, Dom f = -{-}. No tiene puntos de corte con el eje X, ya que f ( ) ¹ 0 " Î. Punto de corte con el eje Y: = 0 f(0) = El punto de corte es (0, ). Tiene asntota vertical en. Tiene asntota horizontal en y 0. f ( ) + - ì f ( ) < 0 en Î( -, -) È( -, 0) È (0,596; + ) f( ) crece + î f ( ) 0 en (0; 0,596) f( ) decrece ( ) =- > Î ( ) ( + -) Puesto que f ( ) =- ( + ) se anula en 0 y en 0,596. Calculamos la segunda derivada: f ( ) = ( ) ( + ) ì f (0,596) =-,650 < 0 = 0,596 máimo î f (0) = > 0 = 0 mnimo, que si es evaluada en los puntos crticos, se obtiene:

53 Su máimo es (0, ) y la tangente es horizontal para y. Son caractersticas de g() 4 : g g ( ) = 4-4 ( ) = 0 = y = 0 La derivada en los puntos y es 0, con lo que la tangente será horizontal en esos puntos. g ( ) = -4 g (0) =- 4 < 0 = 0 máimo g (0) =- (0, - ) máimo Tiene dos asntotas verticales. + Es caracterstica de j ( ) =. - Las asntotas horizontales se tienen cuando el denominador se anula. En este caso en se tienen dos asntotas: en y en. Su máimo es (, 4) y la tangente es horizontal para y. Son caractersticas de h() ì h ( ) =- + h ( ) = 0 = h ( ) =-6 h () =- 6 < 0 = máimo î h() = 4 (, 4) máimo Es creciente siempre. + + Es caracterstica de f( ) = f ( ) = > 0 " Î f( ) siempre crece. 0 i() y k() no cumple ninguna de las caractersticas. a) El dominio de las funciones eponenciales coincide con el dominio de su eponente. Como su eponente es un polinomio, Dom f =. No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: = 0 f(0) = + e El punto de corte es (0, e ). Tiene asntota horizontal en y cuando. No tiene asntotas verticales. ( ) + + f = + e f ( ) = e > 0 " Î f() es siempre creciente. 9

54 b) El dominio de las funciones eponenciales coincide con el dominio de su eponente. Como su eponente es un polinomio, Dom f =. No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: 0 e æ ö = 0 f(0) = = El punto de corte es ç 0, çè ø. Tiene asntota horizontal en y 0 cuando. No tiene asntotas verticales. e f( ) = f ( ) = e > 0 " Î f() es siempre creciente. c) El dominio de las funciones eponenciales coincide con el dominio de su eponente. Como su eponente es un polinomio, Dom f =. No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: = 0 f(0) = e El punto de corte es (0, e). Tiene asntota horizontal en y 0 cuando. No tiene asntotas verticales. - ( ) - f = e f ( ) =- e < 0 " Î f() es siempre decreciente. d) El dominio de las funciones eponenciales coincide con el dominio de su eponente. Como su eponente es un polinomio, Dom f =. Punto de corte con el eje X: - e 0= = e = ln El punto de corte es (ln, 0). Punto de corte con el eje Y: 0 - e = 0 f(0) = = = El punto de corte es (0, ). Tiene asntota horizontal en y = cuando. No tiene asntotas verticales. -e -e f( ) = f ( ) = < 0 " Î f() es siempre decreciente. a) El dominio de las funciones eponenciales coincide con el dominio de su eponente. Como su eponente es un polinomio, Dom f =. No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: æ ö = 0 f(0) = = El punto de corte es ç 0, 5 5 çè 5 ø. Tiene asntota horizontal en y 0 cuando -. No tiene asntotas verticales. + + f ( ) = f ( ) = ln> 0 " Î f() es siempre creciente y, como 5 5 f () no se anula en ningún punto, no tiene máimos ni mnimos. 90

55 b) El dominio de las funciones eponenciales coincide con el dominio de su eponente. Como su eponente es un polinomio, Dom f =. No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: æö 0 f(0) æ ö = = ç = çè El punto de corte es 0, ø ç çè ø. Tiene asntota horizontal en y 0 cuando. No tiene asntotas verticales. + æö ( ) ç -- ( ) ln 0 f = ç f =- < " Î çè f() es siempre decreciente y, ø como f () no se anula en ningún punto, no tiene máimos ni mnimos. c) El dominio de las funciones eponenciales coincide con el dominio de su eponente. Como su eponente es un polinomio, Dom f =. No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: - æö = 0 f(0) = 4+ ç = 7 çè El punto de corte es (0, 7). ø Tiene asntota horizontal en y 4 cuando. No tiene asntotas verticales. - æö ( ) 4 ç - ( ) ln 0 f = + ç f =- < " Î çè f() es siempre decreciente y, ø como f () no se anula en ningún punto, no tiene máimos ni mnimos. d) El dominio de las funciones eponenciales coincide con el dominio de su eponente. Como su eponente es un polinomio, Dom f =. No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: 4 æ ö = 0 f(0) = = El punto de corte es ç 0, 6 6 çè 6 ø. Tiene asntota horizontal en y 0 cuando. No tiene asntotas verticales. - ln 4 f( ) = 4 f ( ) = 4 > 0 " Î f() es siempre creciente y, como f () 6 no se anula en ningún punto, no tiene máimos ni mnimos. 9

56 a) La función logartmica está definida cuando su argumento es mayor que 0. > 0 > 0 Dom f = (0, + ) Puntos de corte con el eje X: 0 æ ö 0= log = = = El punto de corte es ç,0 çè ø. No tiene puntos de corte con el eje Y. No tiene asntotas horizontales. Tiene asntota vertical en 0. f ( ) = log f ( ) = > 0 " > 0 f() es siempre creciente. ln b) La función logartmica está definida cuando su argumento es mayor que 0. + > 0 >- Dom f = (-, + ) Puntos de corte con el eje X: 0 0 log ( ) 0 = + + = = = El punto de corte es (0, 0). Punto de corte con el eje Y: = 0 f(0) = log (0+ ) = log = 0 El punto de corte es (0, 0). No tiene asntotas horizontales. Tiene asntota vertical en. f( ) = log ( + ) f ( ) = > 0 " >- ( + )ln f() es siempre creciente. c) La función logartmica está definida cuando su argumento es mayor que 0. > 0 Dom f = (0, + ) Puntos de corte con el eje X: æö 0= log = ç = = çè ø 0 El punto de corte es (, 0). No tiene puntos de corte con el eje Y. No tiene asntotas horizontales. Tiene asntota vertical en 0. f ( ) = log f ( ) = < 0 " 0 > f() es siempre decreciente y, como æ ö ln ç çè ø f () no se anula en ningún punto, no tiene máimos ni mnimos. 9

57 d) La función logartmica está definida cuando su argumento es mayor que 0. - > 0 > Dom f = (, + ) Puntos de corte con el eje X: 0 0 log 5( ) 5 = - - = = = El punto de corte es (, 0). No tiene puntos de corte con el eje Y. No tiene asntotas horizontales. Tiene asntota vertical en. f ( ) = log 5 f ( ) = > 0 " > 0 f() es siempre creciente y, como ln 5 f () no se anula en ningún punto, no tiene máimos ni mnimos. e) La función logartmica está definida cuando su argumento es mayor que Dom f (0, ) > > = + Puntos de corte con el eje X: æö 0= lnç = çè El punto de corte es (, 0). ø No tiene puntos de corte con el eje Y. No tiene asntotas horizontales. Tiene asntota vertical en 0. æö f ( ) = ln ç f ( ) =- < 0 " > 0 f() es siempre decreciente y, como çè ø f () no se anula en ningún punto, no tiene máimos ni mnimos. f) La función logartmica está definida cuando su argumento es mayor que 0. > 0 " Î Dom f = + Puntos de corte con el eje X: æ ö = ç = = = El punto de corte es (0, 0). çè + ø ln e 0 Puntos de corte con el eje Y: æ ö = 0 f(0) = ln ç = ln = 0 çè ø 0 + El punto de corte es (0, 0). No tiene asntotas horizontales. No tiene asntotas verticales. ì f ( ) =- > 0 en Î( -, 0) f( ) es creciente. æ ö + f( ) = ln ç è + ø f ( ) =- < 0 en Î (0, + ) f( ) es decreciente. î + Como en (0, 0) la función crece por la izquierda y decrece por la derecha, es un máimo. Para ¹ 0, f ( ) =- ¹ 0 No eisten más máimos o mnimos. + 9

58 a) Se obtendrán ganancias siempre que los beneficios sean superiores a 0: > 0 " > 0 > 0 " > Es decir, siempre van a tener beneficios. b) 75( -00) fa ( ) =- = 0 = 0 ( + 00) Para comprobar si es máimo analizamos la segunda derivada. 50 ( - 00) A fa ( ) = f (0) =- < 0 ( + 00) f ( ) = = 0 = B 4(5 750) ( + 50) 5 ( ) ( ) æ ö fb ( ) = f B ç ( + 975)»- 0,06 < 0 ( + 50) çè5 ø Como en ambas funciones el candidato tiene signo negativo en la segunda derivada, es un máimo. Los máimos beneficios son: 5 f A(0) = f æ B ç ( ) ö = ( ) 4 çè5 ø 75 5 < , la primera empieza a notar antes que la segunda el descenso de los beneficios c) Dado que ( ) d) En ningún momento tienen pérdidas ya que las funciones son mayores que 0 siempre. 94

59 4 æ ö ì = 0 ì f( ) < 0 en ( 0,0) f( ) = 0 - = èç 0ø 5 î = 0 î f( ) > 0 en ( 0,50) Se calcula la primera derivada, para ver en qué intervalos f() crece y en cuáles decrece. 4 ì = 0 f ( ) < 0 0 < < 4,4 f ( ) = - = î = 00 = 4,4 f ( ) > 0 4,4 < < 50 f ( ) = - f (4,4) > 0 = 4,4 es mnimo A partir de es, rentable ya que la función es positiva y creciente. a) b) f() = =- =- 5 º C f (5) = =- =- ºC t -5t-6 0 = t -5t- 6= 0 t = 6 t -5t-6 ì = - = t -5t- 6=-6 t - 5t = 0 î t = 5 t 0 c) t -5 5 f ( t) = = 0 t = = h 0 min æ5 ù é Asciende en t 5ö Î, è ç y desciende en t Î 0, úû ê. ë ø d) Como f(t) 0 cuando t 6, la temperatura es negativa en t Î[0, 6) y positiva en t Î (6, ]. e) La temperatura máima se alcanza en uno de los etremos, en f() 9. La temperatura mnima se alcanzará en 5 t =, y será 5 49 f æ ç ö =- ºC. çè ø 95

60 f) Temperatura ( o C) Tiempo (h) d ì f ( d) > 0 d < 0 a) f ( d) = 5 - = 0 d = 0 î f ( d) < 0 d> 0 El intervalo de ventas aumenta durante los primeros 0 das, y disminuye en los siguientes 0. b) f () = = 5,5» 6 dispositivos vendidos el primer da. 4 d c) 5d - = 5,5 d y d 59 el primer y el quincuagésimo noveno da. 4 d) El da 0 es un candidato a máimo, porque la derivada se anula en ese punto. f ( d ) =- < 0 d 0 es el da que más unidades se vendieron. En total fueron: 5 f (0) = = 49,75» 494 dispositivos. 4 e) d 00 = d - d 0 y d

61 a) N() 5 visitantes el da de la inauguración. b) N(4) 76 visitantes el da de la clausura. c) Nt ( ) =- t + 4t- > 0 para t 4, por lo que su máimo y su mnimo se encontrarán en los etremos del intervalo. El mnimo se tendrá en N() y el máimo en N(4). d) De nuevo, los valores máimo y mnimo vendrán dados por N(4) y N(). ì - si 0 < < 5 5 ì G ( ) < 0 en Î(0,5) a) G ( ) = 50 si 5 G ( ) > 0 en > 5 > î î ( + 5) G() decrece en los 5 primeros meses y crece a partir de ah. b) Empieza decreciendo el gasto durante los primeros 5 meses y a partir de ah comienza a crecer. c) Como la derivada no se anula, se alcanza un máimo en el etremo 0, porque es decreciente, y un mnimo en 5, porque decrece a la izquierda y crece a la derecha. d) La inversión será rentable durante los 5 primeros meses, porque el gasto decrece, y siempre que el gasto sea menor que en el momento inicial, es decir, G(). Esto ocurre cuando: 6-60 = + 45 = 6-60 = 05 = Por lo que se concluye que la inversión será rentable durante los primeros 5 meses, puesto que el gasto de mantenimiento no ecede el inicial, como para necesitar comprar una maquinaria nueva. 97

62 ì ì 4 ì 5 f( ) 4 f ( ) = - - = - () f = - = + ( + ) ( + ) 9 f () < g () 7 g ( ) = + - g ( ) = + g () = + = î - ( ) î - î (-) 4 Y como la derivada en ese punto representa la pendiente de la función en dicho punto, al ser mayor esa pendiente, se concluye que g() crece más rápidamente en. La mejor manera de mostrarlo gráficamente es dibujando las rectas tangentes de las dos funciones en. f() g() 9

63 PARA PROFUNDIZAR f () ( 5) - ( ) se anula en 5 y =. f () 4( )( 5) f () 0 en y 5 lim f ( ) =+ ü - ý lim f ( ) =+ þ + f() toma su valor mnimo en un mnimo. f () 4( )( 5) f () 0 en y 5 Lo posibles mnimos están en y 5. Calculamos el valor de la función en estos puntos, y el menor será el mnimo: f() 7, f(5) 0 Por tanto, el valor mnimo de f() es 7. Si se deriva f() n m, se obtiene f () n n m m. Igualamos la derivada a 0: m (n n m m) 0. Dicha ecuación se cumple cuando 0 y cuando n - = = n-m. m m m n n æ f () 0 en 0, n - mm ö ç, es decir, es decreciente en ese intervalo y como f(0), en dicho intervalo no tiene çè n ø solución la ecuación. f() n m æ es continua y, como f() 0 y m ö f n-m ç < 0, por el teorema de Bolzano, la función tiene una çè n ø æ solución en el intervalo m ö n-m, ç çè n y, por ser f æ () 0 en m ö n-m, ç, es decir, es creciente en ese intervalo, por ø çè n ø el teorema del valor medio, la solución es única. El cuadrilátero de mayor área es el formado por el triángulo rectángulo de catetos 6 y cm, cuya área es 4 cm. Y el triángulo de mayor área con base 0 cm es el isósceles de altura 5 cm. Por tanto, el cuadrilátero buscado tiene área 49 cm. No es ninguna de las soluciones, porque en, f() 0 y se anulan ambas races. Se puede reescribir ( ) ( ) ( )( 6) f = , donde se ve bien cómo se factorizan los polinomios de dentro de las races, y para qué valores se anulan. 99

64 f() es creciente en (, ) y en (, ), y es decreciente en (, ), por lo que tiene un máimo en y un mnimo en. f() es convea en (, ) y cóncava en (, ), por lo que tiene un punto de infleión en. f() tiene una simetra impar respecto del punto (, f()). Una posible representación de f() sera: f () es positiva en (, ) y en (, ), y negativa en (, ), por lo que se anular en y en. f () es decreciente en (, 0) y creciente en (0, ), por lo que tiene un mnimo en 0. f () es par. Una posible representación de f () sera: Aplicando el teorema de Pitágoras se calcula el radio de las bases, que coincide con la mitad de la altura del cilindro: 9 = = = = El área de las bases viene dado por A B æ ö p 9 =p ç =. Por tanto, el volumen será: çè ø 9p 7p V = ABH= = cm 400

65 ü f (t) = > 0 f( t) es creciente siempre ( t + ) ý Entre t 0 y t f(t) 0. f(0) =- y f( t) = 0 t = þ a) A partir de t la empresa deja de tener pérdidas. b) La función es creciente siempre. c) S, el lmite coincide con la asntota horizontal y. La función tiene dos asntotas verticales, a y a. æ a ö ç - -a lim ç =+ çè - a ø æ a ö ç - a lim ç =- çè - a ø æ a ö ç -a + lim ç =- çè - a ø æ a ö ç a + lim ç =+ çè - a ø Además, tiene una asntota horizontal, y a. La gráfica está por encima de la asntota horizontal: -4a f ( ) = f () 0 para 0 - a Si 0, f () 0 f() crece. decrece. Si 0, f () 0 f() f( ) = a + b + c f() = 7a+ 9b+ c= ü f ( ) = a + b + c f () = 7a+ 9b+ c= ý 4 f ( ) = 6a + b f () = 0 a+ b þ a=, b=-, c= 0 Por tanto, f ( ) =

66 Para que g() sea monótona creciente, g () debe ser mayor que 0. Calculamos la derivada de g(): g () f ( ) ( ) g () es un producto de dos factores. Para que sea positiva, los dos factores deben tener el mismo signo: 0 para 0 para Sabemos que f (t) 0 para los t. Por tanto: 4 Para Î- (,4) f ( ) 0. Por tanto: Para Para ì f ( - ) > 0ü Î- (,) ý g () 0 g() es monótona creciente. î- > 0 þ ì f ( - ) > 0ü Î(, 4) ý g () 0 g() es monótona decreciente. î- < 0 þ MATEMÁTICAS EN TU VIDA Función que calcula la variación de la aceleración en un movimiento con respecto al tiempo. Un acelerón grande para adelantar rápidamente; un frenazo ante el riesgo de colisión con el vehculo delantero. J(t) s (t) J(t) 0 a (t) 0 a(t) constante a) v(t) s (t) 6t b) a(t) v (t) 6 c) J(t) 0 40