EXAMEN DE MATEMATICAS II 2ª ENSAYO (1) Apellidos: Nombre:

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1 EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO () Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: CURSO 05 Instrucciones: a) Duración: HORA y 0 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B c) Contesta de forma razonada, escribe ordenadamente y con letra clara. d) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica). Opción A ln(). Sea f: (0, ) R la función definida por f() (donde ln denota el logaritmo neperiano). a) [,75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) [0,75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.. Sea f: (, ) R la función definida por e si 0 f() a b si 0 < < a) [,5 puntos] Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio. b) [ punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa 0.. [,5 puntos] Sea f: R R la función definida por f() a bc. Se sabe que un punto de infleión de la gráfica de f tiene abscisa y que f tiene un mínimo relativo en de valor 9. Calcula a, b y c.. [,5 puntos] Calcula d 6 5 Opción B. Sea la función definida por f() para > 0, (donde ln denota el logaritmo neperiano). ln() a) [,5 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) [,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa e.. [,5 puntos] Un alambre de 0 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triangulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima.. a) [ puntos] Determina la función f: R R tal que f () ()e y su grafica pasa por el origen de coordenadas. b) [0,5 puntos] Calcula la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa 0.. [,5 puntos] Sea g: R R la función definida por g() ln( ) (donde ln denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

2 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Opción A ln(). Sea f: (0, ) R la función definida por f() (donde ln denota el logaritmo neperiano). a) [,75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) [0,75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Resolución: a) La función f() es un cociente de funciones donde el dominio del numerador es D(f ) (0, ) y el dominio del denominador es: D(f ) (, ) Luego D(f) (0, ) Para determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f como es una función derivable, ecepto en 0, calculamos donde es positiva o negativa la derivada. Calculamos ésta: f ().. ln()..ln().ln().. ( ) Hallamos los valores que anulan la derivada:.ln() ln() e que será posible máimo ó mínimo. Tomando valores a ambos lados en la derivada: f() es estrictamente creciente en (0, e ) f() es estrictamente decreciente en ( e, ) e En 0 e se alcanza un máimo ya que pasa de creciente a decreciente, de valor /e: b) Estudiamos las asíntotas de la gráfica de f. Asíntotas verticales: son rectas de ecuación a, tales que lím f() ±. Como tenemos a un logaritmo comprobamos en 0 a la derecha ya que a la izquierda no está definida: ln() lim f() lim y la gráfica de la función se acerca a la asíntota con valores negativos a la izquierda. Asíntotas horizontales: son rectas de ecuación y b tales que f() b. La hallamos lim aplicando la regla de L Hôpital: ln()./ lim f() lim lim 0 lim Para situar la asíntota respecto de la gráfica veamos el signo de f()b hacia la derecha: ln() ln() lim 0 0 lim La gráfica se acerca por encima de la asíntota. Asíntotas oblicuas: No eisten puesto que el límite: f() ln()/ ln() m lim lim 0 lim

3 . Sea f: (, ) R la función definida por e f() a b si si 0 0 < < a) [,5 puntos] Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio. b) [ punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa 0. Resolución: Si f es derivable en (, ) ha de ser continua en dicho intervalo, y por lo tanto en 0, es decir: lím f() lím ( e ) 0e 0 0 lím 0 0 lím (a f() b ) 0 Igualando valores a ambos lados: a b [] a b 0 a b Si f es derivable en (, ) ha de serlo en 0, es decir son iguales las derivadas laterales: f() f(0) ( e ) e 0 f'(0) lim 0 lim 0 0 lim 0 0 Indeterminación que resolvemos aplicando la regla de L Hôpital: e f'(0) lim e 0 0 Hallamos la derivada lateral a la derecha utilizando []: f() f(0) a b a b 0 f'(0) lim lim La indeterminación la resolvemos aplicando la regla de L Hôpital: a/ b a a f'(0) lim lim 0 b b 0 Igualando valores: a a b [] b Obtenemos el sistema de ecuaciones: a b a b Sustituyendo la epresión de a en ª ecuación en la ª: b. b b b a b. Luego los valores pedidos son: a, b b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 0 es: y f(0) f'(0) (0) Hallamos la derivada y sustituimos en ella y la función. Teniendo en cuenta que 0 está en la rama de la derecha: f () e f(0) 0e 0 f (0) e 0 La recta tangente pedida es, por lo tanto: y (0) y

4 La ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en el punto de abscisa 0 es: y f(0).(0) y.(0) y f'(0). [,5 puntos] Sea f: R R la función definida por f() a bc. Se sabe que un punto de infleión de la gráfica de f tiene abscisa y que f tiene un mínimo relativo en de valor 9. Calcula a, b y c. a) f () a b c Hallamos su primera y segunda derivadas y aplicamos las condiciones del enunciado: f () a b f () 6 a Como tiene un punto de infleión en, f () 0: f () 6a 0 a Como tiene un mínimo relativo en, f () 0: f () a b 0.() b 0 b 0 Como en tiene un valor 9, f() 9: f() 8 a bc 9 8.().0c 9 c 9 c 9 5 La función es: f() 5. [,5 puntos] Calcula d 6 5 Como el numerador tiene el mismo grado que el denominador antes de calcular al integral D r debemos epresar el integrando como c d d I.d d d d Siendo la primera integral inmediata y la segunda con raíces reales simples y A B A( 5)B( ) 65 A(5)B() ( )( 5) Para obtener A y B damos valor a la incógnita: ; A 5 con soluciones A, B 5; 5 B I d d.l.l 5 5 Por lo tanto aplicando la Regla de Barrow: 5 d [ ].L.L ( ).L().L().L(). L().L() 5,

5 Opción B. Sea la función definida por f() para > 0, (donde ln denota el logaritmo neperiano). ln() a) [,5 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) [,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa e. a) La función f() es un cociente de funciones donde el numerador es un polinomio y el denominador un logaritmo. El dominio del denominador es D(f ) (0, ). El dominio del numerador es D(f ) (, ) Luego el dominio es: (0, ) Asíntotas verticales: son rectas de ecuación a, tales que lím f() ±. Como tenemos a un logaritmo comprobamos en 0 a la derecha ya que a la izquierda no está definida: 0 lim f() lim 0 0 ln() 0 Luego en no tiene asíntota. Comprobemos en donde se anula el logaritmo y, por lo tanto, el denominador: lim f() lim ln() 0 lim f() lim ln() 0 Tiene asíntota en y la gráfica de la función se acerca a la asíntota con valores negativos a la izquierda y positivos a la derecha. Asíntotas horizontales: son rectas de ecuación y b tales que f() b. La hallamos lim aplicando la regla de L Hôpital: lim f() lim lim lim ln() / No tiene asíntota sino rama parabólica. Asíntotas oblicuas: No eisten puesto que el límite: f() /ln() m lim lim lim 0 ln() es nulo, eiste una asíntota horizontal pero no asíntotas oblicuas. b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa e es: y f(e) f'(e) (e) Hallamos la derivada y sustituimos en ella y la función:.ln()./ ln() f () [ ln() ] ln () e f(e) e ln() ln(e) ln(e) ln(e) f (e) 0 ln (e) ln (e) 5

6 La recta tangente pedida es, por lo tanto: ye 0(e) y e La ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en el punto de abscisa 0 es: y f(e).(e) f'(e) La recta normal pedida es, por lo tanto: y e (e) e. Un alambre de 0 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triangulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima. Resolución: Tal como se ve en la figura adjunta el alambre lo dividimos en dos partes, una de las cuales tiene longitud y la otra 0. El lado del triángulo equilátero valdrá a metros y el cuadrado b metros. Queremos maimizar la suma de las áreas del triángulo y el cuadrado: A A t A c ah b 0 Siendo el valor de a y de b Considerando el triángulo equilátero: a h a h a a a a h Por lo tanto queda la función área: 0 (0 ) A() Para minimizarla recordamos que su derivada debe ser nula y sus segunda derivada positiva. Calculamos: (0 ) A () 8 8 A () > 0, luego cualquiera que sea el valor que anule la derivada será mínimo. 8 8 Hallemos donde se anula la derivada: (0 ) (0 ) ( 8 8 ) 80 5, Por lo tanto la longitud de los trozos es: metros, y metros. 6

7 . a) [ puntos] Determina la función f: R R tal que f () ()e y su grafica pasa por el origen de coordenadas. b) [0,5 puntos] Calcula la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa 0. Hallamos en primer lugar la integral de la función f y luego calculamos la primitiva que pasa por el origen de coordenadas. Es una integral por partes donde tomamos: u du d dv e d v e I ()e e d ()e e C f() ()e C Como pasa por el origen, f(0) 0. Sustituyendo valores: 0 ()e 0 C 0 C 0 C La función pedida es: f() ()e C b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 0 es: y f(0) f'(0) (0) Conocemos la derivada y la función: f () ()e f (0). e 0 f() ()e f(0).e 0 0 La recta tangente pedida es, por lo tanto: y 0.(0) y. [,5 puntos] Sea g: R R la función definida por g() ln( ) (donde ln denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas. Hallamos en primer lugar la integral de la función g y luego calculamos la primitiva que pasa por el origen de coordenadas. Es una integral por partes donde tomamos: u ln(.d ) du dv d v I. ln(.d ). ln( ( ).d ). ln( d ) d. ln( ) arc tg C Como el enunciado indica que hallemos la primitiva G() pasa por el origen (0,0) tenemos G(0) 0. Sustituimos valores: 0 0 Ln().artag(0) C 0 K K 0 La primitiva pedida es: G(). ln( ) arc tg C 7

8 EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO () Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: CURSO 05 Instrucciones: a) Duración: HORA y 0 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B c) Contesta de forma razonada, escribe ordenadamente y con letra clara. d) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica). Opción A. [,5 puntos] Calcula lím Ln(). Sea f: R R la función definida por si < 0 f() si 0 a) [0,75 puntos] Estudia su continuidad y derivabilidad. b) [,5 puntos] Determina sus asíntotas y sus etremos relativos. c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de f.. Sea f: R R la función definida por f(). a) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de f. b) [0,75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación y es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0. c) [,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la de dicha tangente.. [,5 puntos] Sea f la función definida por f() 9 Halla la primitiva F de f que cumple F(0). (Sugerencia: Utiliza el cambio de variable t Opción B. [,5 puntos] Se considera la función f:[, ) R definida por f(). Determina la asíntota de la gráfica. [,5 puntos] De entre todos los rectángulos cuya área mide 6 cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. Considera la curva de ecuación y. a) [0,5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa. b) [ puntos] Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta y.. La curva y divide el rectángulo de vértices A (0,0), B (,0), C(,) y D (0, ) en dos recintos a) [0,75 puntos] Dibujar dichos recintos b) [,75 puntos] Hallar el área de cada uno de ellos. ).

9 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Opción A. [,5 puntos] Calcula lím Ln() Si calculamos el límite obtenemos una indeterminación ( ), que vamos a convertir en una 0 para poder resolverla, para ello reducimos ambas fracciones a común denominador: 0 Ln() L lím ( ).Ln() A continuación aplicamos la Regla de L Hôpital que indica que si eiste f() también eiste el de g() / L lím.ln() ( )/ y se cumple que lim a f() g() f () lim : g () a f () lim, entonces g () a 0 Límite que también es una indeterminación. Volvemos a aplicar la Regla de L Hôpital: 0 ( / ) L lím..ln()/ ( )/ ( ) /. Sea f: R R la función definida por si < 0 f() si 0 a) [0,75 puntos] Estudia su continuidad y derivabilidad. b) [,5 puntos] Determina sus asíntotas y sus etremos relativos. c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de f. a) La función f es una función definida a trozos, siendo la rama de la izquierda una función racional, por lo tanto continua y derivable en todo R salvo los valores que anulan el denominador, que no pertenece a su dominio, es pues continua y derivable en (, 0). La rama de la derecha es una función polinómica, por lo tanto continua y derivable en todo R, en particular en (0, ). Únicamente debemos ver la continuidad y derivabilidad en el punto de solapamiento, 0. f(0) lím 0 f() lím 0. 0 lím f() lím ( ) Como ambos son iguales la función es continua en 0. Es continua en R. Estudiamos a continuación la derivabilidad en el punto de solapamiento 0. f'(0 f() f(0) ) lím lím lím lím lím 0 0.( )

10 f'(0 ) lím f() f(0) 0 0 ( lím ) lím lím 0 Como ambos son distintos, no es derivable en 0. Es derivable en R {0}. ( ) lím ( ) b) Determina sus asíntotas y sus etremos relativos. Asíntotas verticales: son rectas de ecuación a, tales que lím f() ±. La rama de la a 0 izquierda es una función racional luego puede presentar una A. V. en los valores que anulan el denominador,, que no pertenece a su dominio, no presenta asíntota vertical. La rama de la derecha es una polinómica que no tiene asíntotas de ningún tipo. Asíntotas horizontales: son rectas de ecuación y b tales que f() b. La rama de la lim izquierda es una función racional: lim f() lim 0 Para situar la asíntota respecto de la gráfica veamos el signo de f()b hacia la derecha: lim 0 lim 0 La gráfica se acerca por debajo de la asíntota. La rama de la derecha es una polinómica que no tiene asíntotas de ningún tipo. Máimos y mínimos: La rama de la izquierda no tiene ni máimos ni mínimos ya que derivada f () 0 es siempre negativa. ( ) el valor que anula la derivada de la función: f () 0 de valor f., por lo tanto V, c) Esboza la gráfica de f. La rama de la izquierda es una hipérbola decreciente ya que su derivada es negativa y además presenta una asíntota horizontal y 0 tal como vimos en el apartado anterior. La rama de la derecha es una parábola convea que presenta un mínimo en V, tal como vimos en el apartado anterior.. Sea f: R R la función definida por f(). (a) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de f. (b) [0,75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación y es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0. (c) [,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la de dicha tangente. (a) f() ( ) si ( ) si < si si < 0

11 La grafica de y b es una parábola convea de vértice 0 e y0 a es decir V,, que un mínimo. Sus puntos de corte con el eje OX se obtiene anulando 0 ( ) 0 que son 0 y. Es decir los puntos (0,0) y (,0). La grafica de y b es una parábola cóncava de vértice 0 e y0 a es decir V,, que un máimo. Sus puntos de corte con el eje OX se obtiene anulando 0 ( ) 0 que son 0 y. Es decir los puntos (0,0) y (,0). Por lo dicho anteriormente, un esbozo de su gráfica es: b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 0 es: y f(0) f'(0) (0) Hallamos la derivada y sustituimos en ella y la función. Teniendo en cuenta que 0 está en la rama de la izquierda, f() : f () f(0) f (0).0 La recta tangente pedida es, por lo tanto, como indica el enunciado: y0 (0) y c) El área del recinto limitado por la gráfica de f y la tangente calculada en el apartado anterior es el que vemos en la gráfica adjunta. Los límites de integración vienen dados por los cortes de ambas funciones: 0 0 y 0 0 y Área [ ] ( ) d [ ( ) ] 0 d d ( ) d u

12 . [,5 puntos] Sea f la función definida por f() 9 Halla la primitiva F de f que cumple F(0). (Sugerencia: Utiliza el cambio de variable t Calculamos la integral efectuando el cambio de variable sugerido obtenemos: t d dt d dt Sustituyendo, queda la integral: F() d. dt dt 9 dt. dt 9 t t ( t ) t 9 dt arc sent C 6 t 6 Que deshaciendo el cambio de variables da lugar a la epresión: F() arc sen C 6 Como cumple F(0) F(0) arc sen( 0) C 0C C 6 Por lo tanto: F() arc sen 6. ). Opción B. [,5 puntos] Se considera la función f:[, ) R definida por f(). Determina la asíntota de la gráfica. Asíntotas verticales: son rectas de ecuación a, tales que lím f() ±. Evidentemente a al ser una función radical menos un polinomio, no presenta asíntota vertical. Asíntotas horizontales: son rectas de ecuación y b tales que f() b. Al hallar su límite: lim f() lim ( ) Luego no tiene asíntota horizontal. lim Asíntotas oblicuas: son rectas de ecuación y mn tales que m lim [f() m] Al hallar su límite: lim f() m lim lim Indeterminación que resolvemos despreciando los monomios de menor grado: m lim lim lim f() y n

13 n lim [f() m] ( ) ( ) ( ) lim Indeterminación que resolvemos multiplicando y dividiendo por la conjugada y despreciando a continuación los monomios de menor grado: lim ( )( ) n lim ( ) lim lim lim lim lim lim Es decir que y Para situar la asíntota respecto de la gráfica veamos el signo de f()(mn) hacia la derecha: lim lim lim lim 0 La asíntota se acerca por encima de la gráfica, tal como se ve en la figura adjunta.. [,5 puntos] De entre todos los rectángulos cuya área mide 6 cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud Consideremos el rectángulo de la figura de dimensiones e y, como base y altura respectivamente y de diagonal d. Debemos maimizar la función d(, y) 6 de que su área es: A.y 6 y Ya que es un valor positivo. y sujeta a la condición Obtenemos la función: 56 d() 56 Para optimizar dicha función basta que optimicemos la función radicando: r() Calculamos la primera derivada de la función r() y la igualamos a cero: 56

14 56. ( 56). 56 r () 56 Luego: cm Ya que es un valor positivo. Por lo tanto: 6 y cm Para comprobar que es un mínimo calculamos su derivada segunda y verificamos que es positiva para :. ( 56). 768 r () r () > 0 Luego el rectángulo de área 6 que tiene una diagonal de menor longitud es un cuadrado de lado. cm e y cm.. Considera la curva de ecuación y. a) [0,5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa. b) [ puntos] Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta y. a) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa es: y f() f'() () Hallamos la derivada y sustituimos en ella y en la función: f () f().() f ().() 0 La recta tangente pedida es, por lo tanto, como indica el enunciado: y 0() y b) El área del recinto limitado por la curva de ecuación f() y la recta y viene dado por la figura adjunta Donde los límites de integración los hallamos igualando ambas funciones: 0 Ecuación que resolvemos aplicando la regla de Ruffini:

15 Es decir que los límites de integración son 0 y estando situada g() por encima de f() en todo el intervalo de integración. Por lo tanto el área pedida es Área [ ( ) ] d 6 7 u. La curva y divide el rectángulo de vértices A (0,0), B (,0), C(,) y D (0, ) en dos recintos a) [0,75 puntos] Dibujar dichos recintos. b) [,75 puntos] Hallar el área de cada uno de ellos. a) La curva dada corta al rectángulo de vértices ABCD en dos puntos. Uno de ello es el origen A y otro viene dado por la intersección de y e y determinado dos recintos A y A tal como se ve en la figura adjunta. b) El área de A es la determinada por la base superior del rectángulo y y la curva y estando situada la recta por encima de la curva y habiendo hallado los límites de integración en el apartado anterior. Área (A ) d u 0 El área de A es la diferencia entre la del rectángulo y la del recinto A. Como el rectángulo tiene de base y altura su área es u. Por lo tanto: 6 Área (A ) u 5