Lección 3.4. Leyes del Seno y Coseno. 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 17

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1 Leión 3.4 Leyes del Seno y Coseno /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd de 7

2 Atividdes 3.4 Refereni Texto: Seíón 8. Ley de los Senos; Problems impres -5 págins 577 y 578 (53 y 533); Seión 8. Ley de los Cosenos; problems impres 5, págin 586 y 587 (54 y 54) Asignión 3.4: págins 577 y 578 (53 y 533); problems 8 y 0; De ls págin 586 y 587 (54 y 54) hg problems 0 y 4. Referenis del Web: Videos de Julio Profesor.NET Problem (Se utiliz l Ley de Senos) Ver video Problem (Se utiliz l Ley de Cosenos) Ver video Problem 3 (Se utiliz l Ley de Cosenos): De un puerto sle un bro ls :00 PM on veloidd onstnte de 60 km/h hi el Este. A ls 3:00 PM sle, del mismo puerto, otro bro on veloidd onstnte de 40 km/h y on rumbo N8 E. Qué distni sepr los bros ls 5:00 PM? Ver video /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd de 7

3 Algunos dtos importntes sobre Triángulos Un triángulo isóseles es un triángulo on dos ldos ongruentes. Los ángulos opuestos son ongruentes. Un tríngulo equiltero es uno on todos los ldos ongruentes. Todos los ángulos son ongruentes y miden 60º. L sum de ángulos de todo triángulo es 80º. /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd 3 de 7

4 Ley del Seno Pr un triángulo on ldos, b, y ángulos opuestos,, respetivmente, sin sin sin b /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd 4 de 7

5 Ejemplo Cso SAA Resuelv el triángulo si = 30 o, = 70 o, = 5. Redondee l entero más erno. Soluión: Clule primero el terer ángulo: b sin 30 5 b sin 70 b 5sin 70 sin 30 b b sin sin 80 5sin 80 sin /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd 5 de 7

6 Ejemplo Cso ASA Resuelv el triángulo si = 0 o, = 60 o, =. Redondee l entero más erno. Soluión: Clule primero el terer ángulo: 60 b 0 sin00 sin 0 sin 0 sin sin00 sin 60 b sin 60 b sin00 b b /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd 6 de 7

7 Ejemplo 3 Cso SSA Cundo se onoe sólo un ángulo opuesto uno de los ldos, tres situiones pueden resultr:. Un triángulo es identifido. Dos posibles triángulos son identifidos 3. Ningún triángulo es posible Por esto se onoe omo el so mbiguo /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd 7 de 7

8 30 Ejemplo 3 Cso SSA ( triángulo) Determine los posibles vlores del ángulo γ que puedn definir un tríngulo si b = 5, = 3, = 30 o. Redondee l entero más erno. Soluión: 3 5 sin 30 5 sin sin sin sin 30 sin Como el Seno es positivo en el udrnte II, hy otro posible ángulo on el mismo seno Pero esto no es posible, por que Sólo es posible un triángulo. Esto ourre undo γ = 8 80 /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd 8 de 7

9 Ejemplo 4 - Cso SSA ( triángulos) Determine los posibles vlores del ángulo γ que puedn definir un triángulo si b = 8, = 0, = 45 o. Si hy más de uno resuelv los triángulos. Redondee l entero más erno. Soluión: b sin45 sin sin 45 sin sin Como el Seno es positivo en el udrnte II, hy dos posibles ángulos que omprten el mismo seno. 6 ó 8 Ambos onduen dos posibles triángulos por que: /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd 9 de 7

10 Ejemplo 4 Triángulo : 6 Triángulo : sin 73 sin sin 73 sin 45 sin7 sin sin7 sin 45 3, b 8, 0 73, 45, 6 3, b 7 8,, 0 45, 8 /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd 0 de 7

11 Ejemplo 5 - Cso SSA (0 triángulo) Resuelv el triángulo ddo = 5, b = 3, = 50 o (SSA): sin50 sin 3 5 sin 3 sin sin.8 No hy un ángulo on seno vlor que! 50 No hy un triángulo on ests medids! /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd de 7

12 Ejemplo 6 Pr medir el nho de un río se estblee tres puntos de refereni omo se resume en le digrm siguiente. Se determin que C = 7., A = 8.8, nd b = 75.6 pies. Enuentre l distni. sin β = β = 34 sin sin 8.8 sin pies /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd de 7

13 Ley del Coseno Pr un triángulo on ldos,b, y ángulos opuestos,, respetivmente, b bos b b os b os L Ley del Coseno se pli pr resolver problems donde se onoen dos ldos y su ángulo inluido (SAS) y donde se onoen los tres ldos (SSS). /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd 3 de 7

14 Ejemplo 7 Resuelv el triángulo siguiente si b =, = 4, = 40 o. Redondee l entero. Soluión: SAS 40 sin 40 sin 3 sin 40 sin 3 sin sin ( ) 5 b bos os /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd 4 de 7

15 Ejemplo 8 Determine el ángulo si = 3, b = 5, = 7. SSS (3) b (5) os os (7) 65 b os os os /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd 5 de 7

16 Ejemplo 9 Dos botes zrpn desde un puerto C en un direión que form un ángulo de 8 entre ellos. Cundo el bote A h nvegdo 6.5 km, el bote B h nvegdo 79.4 km. En ese momento, uál es l distni entre ellos? b b os (6.5) (79.4) (6.5)(79.4) os os (039730) km /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd 6 de 7

17 Ejemplo 0 Dos botes zrpn l mismo tiempo, nvegndo un ángulo de 8 0 entre ellos. Cundo el bote más lento (A) h vijdo 6.5 km, el más rápido (B) h vijdo 79.4 km. En ese momento, qué distni se enuentrn los botes entre ellos? /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd 7 de 7

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