12 Representación de funciones

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1 Rprsntación d funcions ACTIVIDADES INICIALES.I. Factorizando prviamnt las prsions, rsulv las siguints cuacions: a) c) 0 7 b) 6 d) 0 a) ( )(6 5) , b) 7 6 ( )( ) 6 6 ( ) 7 ( ) ( )( 7 ) 0, c) d) 6 0 ( )( )( )( )( ) 0,,, 5 0 si < 5 si < 0 0 si < si < 5 0 si 5 0 si Las solucions son 5 y 5. no s solución ya qu stá fura dl intrvalo [, )..II. Rsulv las siguints incuacions: a) b) 5 0 c) 0 d) 0 a) ,, (, ) Sí (, ),5,75 0, Sí (, ) 0 6 > 0. No (, ) 7 6 > 0. No Por tanto, la solución s: (, ] [, ] b) 0 5 0, no prtnc a la solución. 7, 0. Sí, 5 0 < 0. No Por tanto, la solución s:,, 5., 5 0, c) 0 0, no prtnc a la solución. 8 (, 0. Sí [, ] 0 0. Sí, 5 (, ], 5 > 0. No [, ) > 0. No 0,5 Por tanto, la solución s: (, ) [, ]. d) si < 0 si < si 0 si 0. Sí Solución:, [, )

2 EJERCICIS PRPUESTS.. Indica los puntos d discontinuidad, los puntos singulars y los puntos críticos para las siguints funcions: a) 5 f( ) c) f( ) ) f( ) sn g) f( ) b) f( ) d) f( ) f) f( ) h) f() a) D(f) R. No hay puntos d discontinuidad. 6 f '( ) 0 0, son los puntos singulars y críticos. b) ( )( ) 0 s un punto d discontinuidad. ( ) f '( ) 0 0, son los puntos singulars y críticos. ( ) c) D(f),.En la función s continua solo por la drcha : f ' ( ) 0. No hay puntos singulars y no hay puntos críticos, ya qu n la función no s continua. d) D(f) R. No hay puntos d discontinuidad. Los puntos y son críticos pro no singulars (n llos no ist la primra drivada). ) D(f) R. No hay puntos d discontinuidad. f'() cos 0 (k ) π, con k Z son puntos singulars y críticos. f) D(f) (, ) (, ). Es discontinua para y para. f () f () 0 si ó, pro no son puntos singulars porqu no prtncn al ( ) dominio d dfinición, y no son críticos porqu n llos la función no s continua. g) D(f) (, ) (, ) (, ). Es discontinua para y. si > 0 h) f '( ) No hay puntos d discontinuidad ni críticos. El punto 0 s un punto crítico. si < 0.. Calcula los puntos d cort con los js d las siguints funcions: a) b) ( ) cos f( ) g c) h ( ) d) k( ) ( )ln a) Ej : 0 f(0) 0 ( 0, 0) Ej : f( ) 0 0, ( 0, 0) y (, 0) b) Ej : 0 f(0) ( 0,) Ej : f( ) 0 π π kπ k, 0 con k π Z c) Ej : 0 f(0) 0, ( ) Ej : f( ) 0 0 R d) Ej : 0 No ist f(0). 0 Ej : f( ) 0 ( )ln 0, (, 0) y (, 0) 5

3 .. (TIC) Estudia l signo d las siguints funcions: a) f() 6 c) f() ) f( ) ln b) f() d) f() f) f( ) ln a) f() 6 ( )() Los puntos d cort con l j son: ( )() 0 0 La función s continua n todo R. Por tanto, solo s considran los intrvalos: (, ), (, 0), (0, ) y (, ). En (,) la función s ngativa; n (, 0) positiva; n (0, ) ngativa; y n (, ) positiva. b) Los puntos d cort con l j son y. Los puntos d discontinuidad son y. S considran los intrvalos d signo: (, ), (, ), (, ), (, ) y (, ). En (, ) la función s positiva; n (, ) ngativa; n (, ) positiva; n (, ) ngativa y n (, ) positiva. 0 c) Los puntos d cort con l j son: 0 0 La única solución s 0, ya qu l valor d una potncia d bas nunca pud sr nulo. La función s continua n todo R. En (, 0) la función s ngativa y n (0, ) s positiva. d) La función s positiva n todo su dominio [, ). ln ) Los puntos d cort con l j son: 0. El dominio s (0, ) (, ). En (0, ) la función s positiva; n (, ) s ngativa; y n (, ) s positiva. f) El dominio s (, 0) (0, ). Los puntos d cort con son ln 0,. En (, ) la función s positiva; n (, 0) s ngativa; n (0, ) s ngativa; y n (, ) s positiva... Estudia las simtrías d las funcions: a) f ( ) b) f() c) f( ) d) f ( ) ( ) a) f ( ) f ( ) Simétrica rspcto dl j. Función par. ( ) ( ) b) f ( ) No s par ni impar. ( ) c) f ( ) f ( ) Simétrica rspcto dl orign d coordnadas. Función impar. d) f ( ) f ( ) Simétrica rspcto dl orign d coordnadas. Función impar..5. (TIC) Indica si las siguints funcions son priódicas y, n caso afirmativo, indica l príodo mínimo. a) sn f( ) b) f ( ) sn sn c) f ( ) d) f ( ) sn cos cos sn( π) sn a) f( π ) Función priódica con príodo π. cos π cos ( ) b) f ( π) f ( ) Función priódica con príodo π. cos ( π) ( cos ) cos c) f( π ) sn( π ) sn( π ) sn sn f( ) Función priódica con príodo π. d) No s priódica. 6

4 .6. Indica las ramas infinitas qu posn las siguints funcions: a) b) a) La función prsnta sis ramas infinitas: b) La función prsnta cuatro ramas infinitas: lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ) lim f ( ), lim f ( ) lim f ( ).7. Calcula las asíntotas d las siguints funcions: a) f( ) b) f( ) c) f( ) Con ayuda d stas asíntotas, traza, d forma aproimada, un squma sobr las ramas infinitas d cada una d llas. a) s una asíntota vrtical porqu: lim, lim y s asíntota horizontal porqu lim y ± Al habr asíntota horizontal n y n, no hay oblicuas. b) s asíntota vrtical pus lim y lim. No hay asíntota horizontal porqu lim ± y s ± asíntota oblicua porqu: f( ) lim lim ± ± lim ( f( ) ) lim lim ± ± ± c) El dominio d la función s todo R; por tanto, no istn asíntotas vrticals. y 0 s asíntota horizontal porqu lim 0. ± No hay asíntotas oblicuas. 7

5 .8. Compruba qu la rcta y 6 s una asíntota oblicua d la función f( ). 5 6 ( 6)( 5 6) 5 lim ( 6) lim lim ± ± ±.9. (PAU) Dada la función f( ) : a) Estudia si tin asíntotas vrticals. b) Estudia si tin asíntotas horizontals u oblicuas y la posición d la curva rspcto a llas. a) El dominio s todo R y, por tanto, no pud habr asíntotas vrticals. b) La rcta y 0 s asíntota horizontal n porqu lim 0 lim La función quda por ncima d la asíntota, ya qu para valors grands d s vrifica qu 0 > 0.No hay asíntota oblicua n ya qu lim..0. Rprsnta gráficamnt las siguints funcions polinómicas: a) f() c) f() b) f() 7 6 a) c) b).. (PAU) Calcula los valors d a y b para qu la función f() a b tnga un máimo n l punto (5, 6). f() a b f '() a b f(5) 6 5 5a 5b 6 5a 5b 50 5a b 0 f '(5) a b 0 0a b 75 5a b 0 5a 05 a, b 5 0a b 75 Por tanto, la función buscada s f() 5. 8

6 .. (PAU) Calcula los valors d a y b para qu la función f() a b 8 d inflión n (, 0). tnga un punto 8 f() 0 8a b 0 f () a b f () 6a b 0 f () 0 a b 0 8 Rsolvindo l sistma 8a b 0 y a b 0, s obtin a y b. Por tanto, la función buscada s f() 8.. (PAU)(TIC) Traza la gráfica d las siguints funcions racionals: 5 a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) Para llo, studia las siguints caractrísticas: I. Dominio y continuidad III. Simtrías V. Puntos singulars y crciminto II. Puntos d cort con los js IV. Asíntotas VI. Puntos d inflión y concavidad a) I. D(f) (, ) (, ) (, ). Es discontinua para y para. II. Prsnta simtría rspcto al j. 5 III. 0, IV.Asíntotas vrticals: y. Asíntotas horizontals: y s asíntota horizontal, ya qu: lim f ( ) 8 5 V. f '( ) ; f '( ) 0 0 ; Máimo: 0, ( ) Crc n (, ) (, 0) y dcrc n (0, ) (, ). VI. f ' '( 5 ) ( ) ± 7 0, por tanto, no hay puntos d inflión. Cóncava hacia arriba n (, ) (, ) y cóncava hacia abajo n (, ). b) I.D(f) R. Es continua n todo su dominio. II.Es simétrica rspcto al j. III. (0, ). IV. Solo tin una asíntota horizontal: y 0. 6 v. f '( ) Dcrc n (0, ) y crc n (, 0). ( ) Máimo n (0, ). 8( ) vi. f ''( ) f''()0,. Puntos d inflión ( ) Cóncava hacia arriba n (,) ( ). c) I.D (f) (, ) (, ) II. No s simétrica. III. (0, 0) IV. Asíntotas vrticals:.asíntotas oblicuas: y. ( 6) v. f '( ) ; f'() 0 6, 0. ( ) Dcrc n (6, ) (, 0) y crc n (, 6) (0, ). Máimo n (6, ) y mínimo n (0, 0) 8 VI. f ''( ) 0. Por tanto, no hay puntos d inflión. ( ) Es cóncava hacia arriba n (, ) y cóncava hacia abajo n (, )., y, 5 5 9

7 .. (TIC) Traza la gráfica d las siguints funcions irracionals, studiando su dominio, los puntos d cort con los js, sus asíntotas y los máimos y mínimos rlativos. Establc l crciminto, la concavidad y los puntos d inflión. a) f() b) f() a). D(f) [0, ). Puntos d cort con los js: (0, 0).. Asíntotas vrticals: no tin. Asíntotas horizontals: no tin. Asíntotas oblicuas: no tin porqu n lim ( ) lim.. Máimos y mínimos: no tin. Crc n todo su dominio. 5. No tin puntos d inflión. Es cóncava hacia abajo n todo su dominio. b). D(f) (, ). Puntos d cort con los js: (0, 0).. s asíntota vrtical porqu lim. No tin asíntotas horizontals ni vrticals..máimos y mínimos: Mínimo rlativo n l (0,0) Crc n (0, ). Dcrc n (, 0) 5. No tin puntos d inflión. Es cóncava hacia arriba n todo su dominio..5. Estudia los intrvalos d crciminto y los puntos singulars d la siguint función: f( ). El dominio d la función s todo R. f '( ) No hay ningún punto d discontinuidad y ningún punto anula la drivada. Admás, para 0 la drivada no stá dfinida. Por tanto, la función s dcrcint n (, 0) y crcint n (0, ). El (0, 0) s un mínimo rlativo..6. (TIC) Halla las asíntotas oblicuas d la función: f() y s asíntota oblicua n porqu: m lim y n lim ( ) lim 0 y s asíntota oblicua n porqu: m lim y n lim ( ) lim 0 0

8 .7. (PAU)(TIC) Traza la gráfica d las siguints funcions ponncials, ralizando l studio d: I. Dominio IV. Puntos singulars y crciminto II. Puntos d cort con los js V. Asíntotas III. Simtrías a) f() b) f( ) c) f() d) f() a) I. El dominio s todo l conjunto R. II. La función no s par ni impar. III. Puntos d cort con los js 0 (0, 0) IV. No tin asíntotas vrticals porqu l dominio s R. La rcta y 0 s asíntota tanto n. LH lim lim lim 0 No hay asíntota oblicua ya qu lim lim V. f '( ) ( ) 0 En (, ) f'() < 0 La función dcrc. En (, ) f'(0) > 0 La función crc. Mínimo n (, b) I. D(f) (, 0) (0, ) II. La función no s par ni impar. III. No corta a los js. IV. La rcta 0 s asíntota vrtical porqu: lim, lim 0 0 La rcta y 0 s asíntota horizontal. En no hay asíntota oblicua, ya qu lim ) lim. ( ) v. f '( ) 0 En (, 0) (0, ) la función dcrc; y n (, ) crc. Máimo n (, ). c) I. D(f) (, ) II. La función no s par ni impar. III. No tin puntos d cort con los js. IV. Asíntotas vrticals no tin. La rcta y 0 s asíntota horizontal. No tin asíntotas oblicuas. v. f '( ) 0 No tin máimos ni mínimos y la función s simpr crcint. d) I. D(f) (, ) II. La función s par. III. Punto d cort con los js: (0, 6). IV. La rcta 0 s asíntota horizontal. v. f '( ) ln 0 0 En (,0) la función s crcint, n (0, ) s dcrcint. En (0, 6) hay un máimo absoluto.

9 .8. (PAU)(TIC) Traza la gráfica d las siguints funcions logarítmicas, mdiant l studio d: I. Dominio III. Asíntotas II. Puntos d cort con los js IV. Puntos singulars y crciminto a) f() ln ln b) f( ) c) f() log( ) d) f() ln( ) a) I. D(f) (0, ) II. Puntos d cort con los js: (, 0) III. No tin asíntotas vrticals porqu: ln LH ` lim ln lim lim lim ( ) No tin asíntota horizontal porqu: lim ln. ln No hay asíntotas oblicuas porqu: lim lim ln. IV. f '( ) ln 0 ln En 0, la función dcrc y n, crc. Mínimo rlativo n,. b) I. D(f) (0, ) II. Puntos d cort con los js (, 0) III. 0 s asíntota vrtical porqu: ln lim 0 ln L' H y 0 s asíntota horizontal porqu: lim lim 0 ln IV. f ' ( ) 0 ln En (0, ) la función crc y n (, ) dcrc. Mínimo rlativo n, c) I. D(f) (, ) (, ) II. Puntos d cort con los js: log( ) 0: (,0) y (,0) III. La rcta s asíntota vrtical por la izquirda porqu lim log( ) La rcta s asíntota vrtical por la drcha porqu: lim log( No tin asíntotas oblicuas porqu: n lim ( log( ) ) ± IV. f '( ) 0 0 qu no prtnc al dominio. ) ( ) ln0 La función s dcrcint n (, ) y crcint n (, ). No prsnta trmos rlativos. d) I. D(f), II. Puntos d cort con los js ln() 0 (, 0) III. La rcta s asíntota vrtical porqu lim ln( ) No tin asíntotas horizontals ni oblicuas. IV. f '( ) 0 no tin trmos rlativos. La función s crcint n su dominio.

10 .9. (TIC) Traza la gráfica d las siguints funcions trigonométricas, hacindo un studio complto d sus caractrísticas: a) f() sn() ) f() tg() b) f() sn(π) d) f() cos() c) f() sn (π) f) f() sc a). Dominio: todo R. f() sn() sn La función s impar. f( π) sn(( π)) sn( π) sn f() La función s priódica con príodo π. Por tanto, solo s ncsario ralizar l studio n l intrvalo [0, π]. El comportaminto d la gráfica n st intrvalo s gnralizará a todo R.. Ej : sn 0 0, π 0, π π Los puntos d cort son (0, 0),,0, (π, 0).. Asíntotas: no hay. π π π 5. f'() cos 0 cos 0,. En 0, la función s crcint; n π π, dcrcint; π y n, π ( π π,π) crcint. Máimo,. Mínimo π,. b). Dominio: R. f() sn(π) sn(π) f() La función s impar. f() sn(π()) sn(π π) sn(π) f() La función s priódica con príodo. Solo s ncsario ralizar l studio n l intrvalo [0, ]. El comportaminto d la gráfica n st intrvalo s gnralizará a todo R.. Los puntos d cort son (0, 0),,0,(, 0).. Asíntotas: no hay. 5. f'() π cosπ 0 cosπ 0, En 0, la función s crcint; n, s dcrcint; y n, Máimo,. Mínimo,. c). Dominio: R. f() sn (π) (sn(π)) f() La función s par. f( ) sn (π ()) sn (π π) (sn(π)) sn f(π) f() La función s priódica con príodo. Solo s ncsario ralizar l studio n l intrvalo [0, ]. El comportaminto d la gráfica n st intrvalo, s gnralizará a todo R.. Los puntos d cort son (0, 0), (, 0).. Asíntotas: no hay. 5. f'() π snπ cosπ 0 0,, En 0, la función s crcint. En, la función s dcrcint. Mínimo (0,0). Máimo,. Mínimo (, 0) la función s crcint.

11 d). Dominio: R. f() cos ( ) cos() La función s par. La función s priódica con príodo π. Por tanto, solo s ncsario ralizar l studio n l intrvalo [0, π ]. El comportaminto d la gráfica n st intrvalo s gnralizará a todo R.. Puntos d cort con los js: (0, ).. Asíntotas: no hay. 5. f'() sn( ) 0 sn( ) 0 0, π. π π En 0, la función s dcrcint, y n, π π Mínimo,.Máimo (0, ) s crcint. π ). Dominio: R ; Z kk. Simtrías y príodo: f() tg( ) tg() f() La función s impar. π π f tg tg( π ) tg() f() La función s priódica con príodo π. π Por tanto, solo s ncsario ralizar l studio n l intrvalo 0,. El comportaminto d la gráfica n st intrvalo, s gnralizará a todo R.. Puntos d cort con los js: Ej : tg( ) 0 0, π. Los puntos d cort son (0, 0), (, 0).. Asíntotas: no hay. 5. Puntos singulars. Intrvalos d crciminto. f'() ( tg ( ))( ) 0. No prsnta trmos rlativos. Es crcint n todo su dominio. f). Dominio: R { kπ ; k Z}. Simtrías y príodo f() sc sc f() La función s par. π f( π ) sc sc π sc f() La función s priódica con príodo π. Solo s ncsario ralizar l studio n l intrvalo [0, π ]. El comportaminto d la gráfica n st intrvalo, s gnralizará a todo R.. Ej : No corta al j y corta al j n (0, ).. Asíntotas: no hay. sn 5. f'() 0 sn cos 0 0, π, π. En (0, π ) la función s crcint; n ( π, π ) s dcrcint. Máimo: (0, ). Mínimo: ( π, )

12 .0. Partindo d la gráfica d f() ln, traza la gráfica d las funcions: f() ln y f() ln( ). f () ln f () ln f () ln ( ).. A partir d la gráfica d la función f(), traza la gráfica d g(). f () f ().. (TIC) A partir d la gráfica d la función f(), traza las gráficas d las siguints funcions: a) f ( ) b) g ( ) ( ) f () f () f () ( ) 5

13 EJERCICIS Puntos d discontinuidad.. Halla l dominio d las siguints funcions: a) f ( ) c) f ( ) ) f ( ) d) f ( ) ln( sn) b) f ( ) a) D(f) (, ) (, 0) (0, ) (, ) 0 0 b), c) 0 0, 0, d) sn > 0 (k π, (k) π ), con k Z ) La potncia d bas positiva s positiva. Por tanto, la raíz cuadrada simpr ist y l dominio s todo R... Indica los puntos d discontinuidad d spcial intrés (puntos d discontinuidad n los qu al mnos ist uno d los límits latrals) n las funcions dl jrcicio antrior. Indica también si n alguno d stos puntos la función s continua a la izquirda o a la drcha. a), 0, b) En la función s continua por la drcha. c) En y la función s continua por la drcha, y n y la función s continua por la izquirda. d) k π, k Z ) No hay puntos d discontinuidad..5. Estudia l signo d las funcions siguints: Signo d una función a) f() c) f ( ) ) f ( ) g) f ( ) sn cos b) f() 6 0 d) f ( ) f) f ( ) ln( 8) a) Los puntos d cort con l j son:,,. La función s continua n todo R. En (, ) la función s ngativa; n (, ) positiva; n (, ) ngativa; y n (, ) positiva. b) En (, 5) la función s ngativa, y n (5, ) positiva. c) El signo d f() srá l mismo qu l d y cpto n y, n los cuals la función no ist. Por tanto, s positiva n (, ) (, ), y ngativa n (, ). d) La función s positiva n todo su dominio qu s (, ) [, ) cpto n, qu val 0. ) El dominio d la función s (, 0) (0, ). La función no corta al j d abscisas. En (, 0) la función s positiva, y n (0, ) s ngativa. f) El dominio d la función s (, 8 ) ( 8, ). La función corta al j n,. Por tanto, s considran los intrvalos (, ), (, 8), ( 8, ) y (, ). En dichos intrvalos l signo d la función s, rspctivamnt, positivo, ngativo, ngativo y positivo. g) f( ) sn cos sn cos sn cos. La función s positiva n todos los númros rals π cpto n los qu cos 0 ± k π con k Z. 6

14 Simtrías y priodicidad.6. Estudia las simtrías d stas funcions: a) f ( ) 6 c) f ( ) ) f ( ) sn cos 5 b) f ( ) 6 sn tg d) f ( ) f) f ( ) cos a) f() f() par (simétrica rspcto a ) b) f() f() impar (simétrica rspcto a ) c) No s par ni impar. d) f() f() impar (simétrica rspcto a ) sn tg ) f() sn()cos( 5) sncos5 no s par ni impar f( ) cos sn( ) tg( ) sn tg sn tg f) f( ) f( ) impar (simétrica rspcto a ) cos( ) cos cos.7. Estudia si son priódicas las siguints funcions: a) f() sn tg b) f() sn tg c) f() sn tg a) f( π ) sn( π ) tg( π ) sn tg f() priódica con príodo T π b) f( π ) sn(( π )) tg(( π )) sn( π ) tg( π ) sn tg f() priódica con príodo T π π π π c) f( ) sn(( ))tg(( )) sn( π )tg( π ) sn tg f() priódica π con príodo T.8. Sñala l príodo d cada una d las siguints funcions: a) f() sc c) f() tg (π) ) f() sn g) f() sn cos b) f() tg d) f() sn f) f() sn cos a) T π c) T ) T π g) f() b) T π π d) T f) T π.9. Compruba qu si una función f() tin príodo T, ntoncs la función f(a) tin príodo T a. Aplicando sta propidad, halla l príodo d las siguints funcions: a) f() sn π c) f() tg(π) ) f() scπ b) f() cos π d) f() cotg π T T f a f( a T) f( a) f(a) s priódica con príodo. a a π π π a) T 6 b) T c) T π π π d) T π π π ) T 6 π 7

15 Asíntotas.0. Estudia las asíntotas d la siguint función polinómica: f() 5. Por sr una función polinómica, no hay asíntotas... Estudia las asíntotas d las siguints funcions racionals: a) f ( ) ) f ( ) b) f ( ) f) f ( ) c) f ( ) g) f() ( ) d) f ( ) a) Asíntota vrtical: a la izquirda y a la drcha. Asíntota horizontal: y 0 n y n. b) No hay asíntotas vrticals. Asíntota horizontal: y n y n. c) Asíntotas vrticals: a la drcha y a la izquirda. No hay asíntotas horizontals. Asíntota oblicua: y n y n. d) No hay asíntotas vrticals. Asíntota horizontal: y n y n. ) No hay ningún tipo d asíntotas. f) Asíntota vrtical: a la drcha y a la izquirda. No hay asíntotas horizontals. g) Asíntota vrtical: y n y n. Asíntota vrtical: a la drcha y a la izquirda. No hay asíntotas horizontals ni oblicuas... Estudia las asíntotas horizontals y oblicuas, y su posición rspcto d la curva, para las siguints funcions racionals: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) a) Asíntota horizontal: y 0 n y n. En y n la curva quda por dbajo d la asíntota. Asíntota horizontal: y n y n. b) En la curva quda por ncima d la asíntota. En la curva quda por dbajo d la asíntota. c) f ( ). Asíntota oblicua: y n y n. 8

16 .. Estudia las asíntotas d las siguints funcions irracionals: a) f ( ) c) 6 b) f ( ) d) f ( ) f ( ) a) El dominio d la función s [, ). No tin asíntotas vrticals. lim No tin asíntotas horizontals. No tin asíntotas oblicuas porqu m lim 0. b) El dominio d la función s (, ] [, ). No tin asíntotas vrticals. 6 No tin asíntotas horizontals porqu lim y s asíntota n y n porqu: y lim 6. m lim ± 6 ( 6 )( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) 6 6 n lim lim lim 0 ± ± ± c) El dominio d la función s (, ] [, ). No tin asíntotas vrticals ni horizontals. y s asíntota oblicua porqu: m lim n lim lim lim 0 d) El dominio s todo R. No hay asíntotas vrticals ni horizontals. y s asíntota oblicua n y por sr una función par, y s asíntota oblicua n ya qu: m lim n lim lim lim 0 9

17 .. (TIC) Estudia las asíntotas d las siguints funcions: f b) f( ) c) f( ) ln( ) a) ( ) ( ) a) El dominio s todo R. No hay asíntotas vrticals. ( ) lim No hay asíntota horizontal n. ( ) LH lim lim ( ) lim lim LH lim 0 La rcta y 0 s asíntota horizontal n. ( ) m lim No hay asíntota oblicua n. b) El dominio s todo R. No hay asíntotas vrticals. LH LH lim lim lim 0 La rcta y 0 s asíntota horizontal n. lim, ( ) m lim No hay asíntota horizontal ni oblicua n. c) El dominio s,. lim ln( ) s asíntota vrtical por la drcha. lim ln( ) No hay asíntota horizontal ni oblicua n..5. (TIC) Estudia las asíntotas d las siguints funcions: a) f ( ) b) f ( ) ln a) El dominio s (0 ). lim y lim b) El dominio s (, ) lim ln y lim. No tin asíntotas vrticals. 0 No hay asíntota horizontal ni oblicua n. lim ln s asíntota vrtical por la drcha. ln LH lim lim 0 No hay asíntota horizontal ni oblicua. ( ).6. Estudia las asíntotas d las siguints funcions trigonométricas: a) f() sn b) f() sn cos a) No tin asíntotas vrticals ya qu l dominio s todo R. No tin asíntotas horizontals ya qu no ist l límit n ni n. b) Al igual qu la antrior, no tin asíntotas. 0

18 .7. (TIC) Estudia las asíntotas d las siguints funcions con valors absolutos: a) f() b) f() c) f( ) d) f() ln( ) a) La función s pud scribir como una función dfinida a trozos n la qu todos los tramos stán prsados por polinomios. Por tanto, no tin asíntotas. b) lim, lim 0 s asíntota vrtical tanto por la izquirda como por la drcha. 0 0 lim 0, lim 0 y 0 s asíntota horizontal tanto n como n. c) s asíntota vrtical por la izquirda y por la drcha. En, y s asíntota horizontal. En, y s asíntota horizontal. d) s asíntota oblicua. Funcions polinómicas.8. Dada la función f () 9 5: a) Halla los intrvalos d crciminto y dcrciminto. b) Halla los máimos y mínimos rlativos. c) Con los datos obtnidos n los apartados antriors, dibuja la gráfica d la función. d) Hay puntos d cort con los js d coordnadas? f '( ) 6 9, f ''( ) 6 6. Si f '( ) 0, a) Crc n (, ) (, ). Dcrc n (, ) b) Máimo (, 0). Mínimo (, ) d) Corta al j n (0, 5) y al j n trs puntos..9. Dada la función f() 9: a) Halla los puntos d cort con los js. b) Estudia l signo d la función. c) Halla l crciminto d f. d) Halla los máimos y mínimos rlativos. ) Dibuja la gráfica d la función. f) Cuántos puntos d inflión tin la función? f( ) 9 ( ) ( ) ) f ' ( ) ( )( )( ) a) Puntos d cort con los js: (0, 9), (, 0) (, 0). b) La función s simpr positiva, cpto n los puntos qu s anula. c) Crc: (, ) (, ). Dcrc: (, ) (, ). d) Máimo(, 6). Mínimo(, 0). Mínimo(, 0). f) Tin dos puntos d inflión.

19 .0. Dada la función f() a b : 8 a) Calcula los valors d a y b para qu tnga un punto d inflión n (, 0). b) Estudia los intrvalos d crciminto y dcrciminto para los valors d a y b hallados. c) Halla los trmos rlativos para los valors d a y b hallados. d) Estudia los intrvalos d concavidad para los valors d a y b hallados. ) Halla los puntos d inflión d f. f) Dibuja la gráfica d la función. g) Cuántos puntos d cort tin con l j d abscisas? f ' ( ) a b, f ' ' ( ) 6a a) f ' ' ( ) 6 a 0 a y f ( ) 0 ( 8) 8 b 0 b Por tanto, f ( ) b) f ' ( ) 6 0 f ( ) ( )( ) Crc n (, ). Dcrc n (, ) 65 c) Mínimo n, f) d) f ' ' ( ) 0 5 Cóncava hacia arriba (, ), Cóncava hacia abajo: (, ), 50 ) Puntos d inflión (, 0) y, 8. Funcions racionals.. Dibuja las siguints funcions racionals, ralizando l studio d: I. Dominio IV. Asíntotas II. Simtrías V. Puntos singulars y crciminto III. Puntos d cort con los js VI. Puntos d inflión y concavidad a) f ( ) c) f ( ) 8 b) f ( ) a) I. Dominio (, ) (, ) II. No s par ni impar. III. Puntos d cort con los js(, 0), (0, ) IV. Asíntotas vrticals: Asíntotas horizontals: y 0 V. f '( ). Simpr dcrc. No tin trmos ( ) rlativos. 0 VI. f ''( ). Cóncava hacia arriba n (, ) y ( ) cóncava hacia abajo n (, ). No tin puntos d inflión.

20 b) I. Dominio: R. II. Es una función par. III. Puntos d cort con los js: (0, 0) IV. Asíntotas horizontals: y V. f '( ). Dcrc n (, 0), y crc n (0, ). ( ) Mínimo n (0, 0) 6 VI f ''( ) ( ) Cóncava hacia abajo:, Puntos d inflión:. Cóncava hacia arriba, y,,., c) I. Dominio (, ) (, ) II. No s par ni impar. III. Puntos d cort con los js: (0, 0) IV. Asíntotas vrticals: Asíntotas horizontals y oblicuas no tin. 6( ) V. f ' ( ). Dcrc n (, ) (, ). ( 8) Crc n (, 8 ( 6) VI. f ' ' ( ) ( 8) ). Máimo n, Cóncava hacia abajo ( 6, 0) (0,) Cóncava hacia arriba (, 6 ) (, ) Punto d inflión: 6,.. (PAU) Calcula l valor d k para qu la siguint función tnga una asíntota oblicua n y 5: k 7 k f ( ) k 7 k f ( ) k k 5.. (PAU) Calcula l valor d k para qu la siguint función tnga un máimo rlativo n l punto : f ( ) k Cuál s l valor d st máimo? k k ( k ) f ( ), f ' ( ) f'() 6k 0 k. S pud obsrvar qu a la ( ) ( ) izquirda d la función crc y a la drcha dcrc. El valor d la función n s.

21 Funcions irracionals.. (PAU)(TIC) Dada la función f ( ) 8 : a) Halla l dominio d f. b) Halla los puntos d cort con los js. c) Estudia l crciminto d la función. d) Halla los máimos y mínimos rlativos d f. ) Dibuja la gráfica d la función. f) D acurdo con la gráfica, sñala los intrvalos d concavidad d la función. a) Dominio: R b) No corta a los js. c) f ' ( ) 8 Dcrc n (, ) y crc n (, ). d) Mínimo n (, ) f) La función simpr s cóncava hacia arriba..5. (PAU)(TIC) Dada la función f ( ), halla l dominio, los puntos d cort con los js, las asíntotas y los trmos rlativos d f, y traza la gráfica d la función. Dominio: [0, ) Puntos d cort con los js: ninguno Asíntotas vrticals: 0 porqu lim 0 Asíntotas oblicuas y n f ' ( ). Mínimo n (, ),.6. (TIC) Dada la función f ( ) : a) Halla l dominio d f. b) Halla los puntos d cort con los js. c) Estudia las asíntotas d la función. d) Calcula los trmos rlativos d f. ) Traza la gráfica d la función. a) Dominio: (, ) [0, ) b) Puntos d cort con los js: (, 0) c) Asíntotas vrticals: 0 lim 0 Asíntotas oblicuas y n y n d) ( ) f '( ) ( ). Mínimo n (, 6 )

22 k 5.7. Halla l valor d k para qu la función f ( ) tnga un trmo rlativo n. a) Qué tipo d trmo s? b) Dtrmina l dominio d la función. c) Halla las asíntotas d la función para l valor obtnido. d) Traza la gráfica d la función para dicho valor. ) A la vista d la gráfica, stablc los intrvalos d crciminto. f) A la vista d la gráfica, stablc los intrvalos d concavidad. Tin algún punto d inflión? k 5 a) f '( ), f ' 0 k ( ).Es un mínimo. b) Dominio: (, ) c) Asíntotas vrticals: No tin asíntotas horizontals ni oblicuas. 5 5 d) Crc n,. Dcrc n,. ) f ' ' ( ) 0. Punto d inflión:, 5. ( ) f) Es cóncava hacia arriba n, y cóncava hacia abajo n,. Funcions ponncials.8. (PAU)(TIC) Dada la función f() ( ), calcula: a) Los intrvalos d crciminto y dcrciminto. b) Los intrvalos d concavidad. c) Los máimos y mínimos rlativos, y los puntos d inflión d la función. d) Con los datos antriors, traza la gráfica d f. f ' ( ) ( ) 0, f ' ' ( ) ( ) 0 a) Dcrcint n (, ) y crcint n (, ) d) b) Cóncava hacia arriba n (, ) Cóncava hacia abajo n (, ). c) Punto d inflión n (, ). Mínimo (, - ).9. (PAU)(TIC) Dada la función f(), halla: a) El dominio d f. b) Los puntos d cort con los js. c) Las asíntotas d la función. d) Los intrvalos d crciminto y los trmos rlativos. ) Con los datos antriors, traza la gráfica d la función. f) A la vista d la gráfica, indica cuántos puntos d inflión pos. a) Dominio: R b) Punto d cort con los js: (0, 0) ) c) No tin asíntotas vrticals ni horizontals. y 0 s asíntota horizontal n. d) f '() ( ), f '() 0 0 Crc n ( ) (0 ) y dcrc n (, 0). Máimo: (, ). Mínimo: (0, 0) f) Tin dos puntos d inflión. 5

23 k.50. Calcula l valor d k para qu la función f() tnga un punto d inflión n 0. Halla, para l valor obtnido: a) El dominio d f. b) Los puntos d cort con los js. c) Las asíntotas d la función. d) Los intrvalos d concavidad y los puntos d inflión. ) Con los datos antriors, traza la gráfica d la función. f) A la vista d la gráfica, indica cuántos máimos y mínimos rlativos tin f. g) A la vista d la gráfica, indica, si s qu ist, l valor dl máimo y mínimo absoluto n todo l dominio. k k f ' ( ) f ' ( ) f ' ' (0) 0 k 0 k f ( ) a) Dominio: R b) Puntos d cort con los js (0, ) (, 0) (, 0) c) Asíntota horizontal: y 0 n d) Cóncava hacia arriba n (, 0). Cóncava hacia abajo n (0, ). Puntos d inflión: (0, ),,. ) f) Máimo rlativo: ( ; 0,6). Mínimo rlativo: (0,7;,0). g) No tin máimo absoluto y l mínimo absoluto val,0. Funcions logarítmicas.5. Dada la función f() ln( ): a) Halla l dominio d f. ) Estudia l crciminto y los trmos rlativos d f. b) Estudia las posibls simtrías d la función. f) Estudia la concavidad y los puntos d inflión. c) Calcula los puntos d cort con los js. g) Traza la gráfica d la función. d) Dtrmina las asíntotas d la función. a) Dominio: (, ) (, ) b) Simétrica rspcto dl j (función par) c) Puntos d cort con los js ( 5, 0) y ( 5, 0) d) y son asíntotas vrticals. ) Dcrc n (, ). Crc n (, ). No tin trmos rlativos. f) Cóncava hacia abajo n todo su dominio. No tin puntos d inflión. g) 6

24 .5. Dada la función f ( ) ln : a) Halla l dominio d f. b) Calcula los puntos d cort con los js. c) Dtrmina las asíntotas d la función. d) Estudia l crciminto y los trmos rlativos d f. ) Estudia la concavidad y los puntos d inflión. f) Traza la gráfica d la función. a) Dominio: (, ) (, ) b) No tin puntos d cort con los js. c) Asíntotas vrticals, Asíntota horizontal, y 0 n y n 6 f ' ( ), f ' ' ( ) ( )( ) ( ) ( ) d) Es crcint n todo l dominio. No tin trmos rlativos. ) Es cóncava hacia arriba n (, ). Es cóncava hacia abajo n (, ). No tin puntos d inflión. k.5. Halla l valor d k para qu la función f ( ) tnga un trmo rlativo n. ln Para st valor: a) Estudia l dominio d la función. b) Halla los puntos d cort con los js. c) Calcula intrprta l valor d lim. 0 ln d) Dtrmina las asíntotas d la función. ) Estudia l crciminto y los trmos rlativos d f. f) Dmustra qu la gráfica no tin puntos d inflión. g) Traza la gráfica d la función. k ln k f ' ( ), f '( ) 0 k 0 ( ln ) a) Dominio: (0, ) (, ) b) No tin puntos d cort con los js. 0 LH c) lim l lim lim 0 0 ln d) Asíntota vrtical: ) Dcrc (0, ) (, ). Crc (, ). Mínimo (, ) f) f ' ' ( ( ) ( ln ) ln ln ).No tin solución ral no hay puntos d inflión. 7

25 Funcions trigonométricas.5. (TIC) Dada la función f() sn sn(): a) Estudia las simtrías y la priodicidad d f. b) Calcula los puntos d cort con los js. c) Halla los trmos rlativos. d) Traza la gráfica d la función. a) Es una función impar (simétrica rspcto d ). Es una función priódica d príodo T π. sn 0 0, π b) sn sn 0 sn sn cos 0 cos π Los puntos d cort son (0, 0) y ( π, 0). c) f '() cos cos 0 cos cos 0 π 5π ± 8 ± cos, cos cos π π Crc n 0, 5 π π,π y dcrc n, π 5π π,.máimo π 5π, y mínimo, d) sn.55. (TIC) Dada la función f() : sn a) Estudia su priodicidad. b) Halla las asíntotas vrticals d f. c) Calcula los puntos d cort con los js. d) Halla los trmos rlativos d f. ) Traza la gráfica d la función. a) Función priódica d príodo π. sn b) lim π sn sn y lim π sn π. s asíntota vrtical por la izquirda y por la drcha. sn c) 0 sn 0 0 sn π. Los puntos d cort n [0, π ) son (0, 0) y ( π, 0). cos π π d) f '( ) 0 Crc n 0, ( sn ) π,π y dcrc n π π,. Máimo π, ) 8

26 tras funcions.56. (TIC) Dada la función f() : a) Eprésala mdiant una función dfinida a trozos. b) Rprsnta gráficamnt la función. c) Dónd s ncuntran los puntos críticos d f? d) Halla los trmos rlativos d la función. ) Halla l máimo y l mínimo absoluto d f. a) b) si f( ) si < < 0 si 0 c) Los puntos críticos son las solucions d la cuación f'() 0 más aqullos puntos dl dominio dond no ist la drivada. Por tanto, todos los valors d prtncints al intrvalo [, 0] son puntos críticos. d) Todos los valors d prtncints al intrvalo [, 0] son puntos dond la función alcanza un mínimo rlativo ya qu n sus crcanías, a la drcha y a la izquirda, la función no toma valors mnors. ) La función no pos máimo absoluto. El mínimo absoluto d la función s y s alcanza n cualquira d los puntos dl intrvalo [, 0]..57. (TIC) Dada la función f ( ) a) Estudia l dominio d f. b) Calcula los puntos d cort con los js. c) Compruba qu no tin ninguna asíntota. d) Indica los puntos críticos, studia l crciminto y calcula los trmos rlativos. ) Traza la gráfica d la función. si 0 f( ) si < 0 a) Dominio: R b) Puntos d cort con los js: (0, 0) y (,0) c) No tin asíntotas. d) si > 0 f '( ) si < 0 f'() 0 ) Los puntos críticos son y 0 (ya qu no ist f'(0)). Crc, (0, ) y dcrc,0. Máimo:, 9

27 PRBLEMAS.58. Las siguints figuras rprsntan las gráficas d las funcions: f() h() g() ( ) j() () Indica cuál s la gráfica qu corrspond a cada una d llas. a) b) c) d) a) h() ( ) b) g() c) j() ( ) d) f().59. Construy la gráfica d una función qu cumpla todos y cada uno d los siguints rquisitos: I. Dominio: D(f) (, ) (, ) v. Tin un mínimo rlativo n. II. lim f ( ) lim f ( ) VI. Es crcint n l intrvalo (, 0). III. lim f ( ) 0 lim f ( ) 0 VII. Es dcrcint n: (, ) (0, ) (, ). IV. Tin un máimo rlativo n (0, 0)..60. (TIC) Dibuja la función f ( ) obtnindo sus asíntotas y trmos rlativos. Con la ayuda d ( ) ( ) dicha gráfica, dibuja las funcions g ( ) y h ( ). Asíntota horizontal: y 0 n y n. Máimo rlativo: (0, ). f () () f () () f () 50

28 .6. Partindo d la gráfica d y cos, construy las gráficas d las siguints funcions: a) y cos( π) d) y π cos b) y cos ) y cos c) y cos f) y cos f () cos a) d) b) ) c) f).6. La función qu aparc n la gráfica s dl tipo f () a b sn(c d). Indica los valors d a, b, c y d. f π S considra la gráfica d la función f() sn. Si s comprim horizontalmnt a la mitad, s traslada π unidads hacia la izquirda, s dilata vrticalmnt al dobl y, finalmnt, s dsplaza una unidad hacia arriba, s obtin la gráfica dada. π Por tanto, f( ) sn y los valors buscados son a, b, c, d π. 5

29 PARA PRFUNDIZAR.6. Dibuja la gráfica d las funcions: a) f ( ) c) f ( ) 8 ) ln f ( ) ln b) f ( ) 8 d) f ( ) f) f ( ) sn cos a) d) b) ) c) f).6. Dmustra la igualdad algbraica: ( )( ) a b a ab b a b Apoyándot n la igualdad antrior, dmustra qu la rcta y 0 s una asíntota horizontal d la función f ( ). a) ( a b)( a ab b ) a a b ab a b ab b a b 6 ( )( ( ) ( ) ( ) ) b) lim ( ) lim lim ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) lim 0 ( ) ( ) 6 ( ) 5

30 .65. D una función f() continua n todo R s conoc la gráfica d su drivada (figura adjunta). S sab, admás, f qu f(0). Dibuja la gráfica d f() y ncuntra su prsión analítica. a si > 0 f( ) si 0 b si < 0 Como la función db sr continua n 0 a b si 0 f( ) si < S considran la funcions f, priódica con príodo T, y g otra función cualquira: a) Dmustra qu ( g f)( ) s una función priódica. b) Es ( f g)( ) priódica? c) Aplicando la propidad indicada n l apartado a, dmustra qu sn f ( ) s priódica. d) S pud aplicar la propidad antrior a la función f() sn(ln)? a) ( g f )( T ) g( f ( T )) g( f ( )) ( g f )( ) b) En gnral no. g f s priódica d príodo T. c) f() sn s priódica d príodo π. Por l apartado a ( ) sn g f ( ) s priódica d príodo π. d) No. Para podr aplicarla, a la db afctarl dirctamnt una función priódica. Elig la única rspusta corrcta n cada caso: RELACINA CNTESTA.. S conoc la gráfica d y f(): π La gráfica d y f( π ) s: A) C) π B) D) π π E) Ninguna d las antriors opcions s cirta. S db dsplazar f() unidads hacia arriba y π unidads a la izquirda. La rspusta corrcta s la E. 5

31 .. La función f() A) Es par. D) Prsnta una simtría rspcto dl j. B) Es impar. E) Ninguna d las antriors rspustas s cirta. C) Prsnta una simtría rspcto dl j La rspusta corrcta s la E. f( ) f( ). Por lo tanto no s par ni impar y, n conscuncia, no prsnta simtrías. f( ).. La rprsntación gráfica d la función f() ln() s: A) B) C) D) E) Ninguna d las antriors ln si ln 0 ln si La rspusta corrcta s la D. f( ) ln si ln < 0 ln si <.. La rlación ntr los valors d m y n para qu la función polinómica f()m n m n tnga un punto d inflión n s: A) m n 0 C) m n 0 E) m n 0 B) m n 0 D) m n 0 La rspusta corrcta s la A. f '( ) m n m, f ''( ) 6m n 0 6m n 0 m n 0 m n 0.5. El númro d puntos d cort con los js d coordnadas d la gráfica d f()a b c d pud sr: A) Uno con l j infinitos con l j. D) Ninguno con l j y dos con l j. B) Uno con l j y cinco con l j. E) Uno con l j y dos con l j. C) Ninguno con l j y cuatro con l j. Al sr una función polinómica db tnr un punto con l j y al sr una función polinómica d cuarto grado pud tnr cro, dos o cuatro puntos d cort con l j La rspusta corrcta s la E. Sñala, n cada caso, las rspustas corrctas:.6. Dada la función f() A) Tin un máimo rlativo n. D) Es cóncava hacia arriba n todo su dominio. B) Es discontinua n 0. E) Tin una asíntota horizontal a la drcha n y 0. C) Tin una asíntota vrtical n. Las rspustas corrctas son la A y la E. La función s continua n todo R ya qu > 0 para cualquir ; por tanto, no tin asíntotas vrticals. f '( ) ( ) 0 f ''( ) ( ) ( ), f ''() < 0. Por tanto tin un máimo n. y 0 s asíntota horizontal a la drcha ya qu La función cambia d concavidad n. lim lim 0. 5

32 .7. Dada la función f() ln A) Tin un mínimo rlativo n. B) Su dominio s (0 ). C) Tin una asíntota vrtical. D) Es dcrcint n todo su dominio. E) Cuando los valors d s acrcan a los valors d la función s acrcan cada vz más a una rcta oblicua Las rspustas corrctas son A y C. El dominio d la función s (0, ) υ ( ). En tin una asíntota vrtical ya qu lim f( ). ln ln f '( ) 0 ln, f ''( ) f ''( ) > 0. (ln ) :(ln ) Tin un mínimo n.la función s crcint n (, ) No tin asíntota oblicua ya qu m lim lim 0. ln ln Elig la rlación corrcta ntr las dos afirmacions dadas:.8. La función y f() vrifica qu: a) f'(0)0 y f`'(0)>0. b) Tin un mínimo rlativo n 0. A) a s quivalnt a b D) a y b no s pudn dar a la vz. B) a implica b pro b no implica a. E) Ninguna d las dos afirmacions s pud vrificar. C) b implica a pro a no implica b. Una función pud tnr un mínimo n 0 y no sr drivabl n 0. La rspusta corrcta s la B. Sñala l dato inncsario para contstar:.9. S vrifica qu lim f( ) y qu lim f( ). Como part d la información para dibujar la gráfica d la función g() f( ) s aportan, ntr otros, los siguints datos: a) La función f tin una máimo rlativo n 5 b) La función g tin un máimo rlativo n c) La función s cóncava hacia abajo n todos los puntos d su dominio d) La función g tin una asíntota vrtical n A) Pud liminars l dato a. D) Pud liminars l dato d. B) Pud liminars l dato b. E) No pud liminars ningún dato. C) Pud liminars l dato c. g tin una asíntota vrtical n : lim g ( ) lim f ( ) lim f ( ). La rspusta corrcta s la D. Analiza si la información suministrada s suficint para contstar la custión:.0. S considra una función continua n todo R y s prtnd asgurar su concavidad hacia abajo n l intrvalo (, ). a) La función s cóncava hacia arriba n l intrvalo (, ). b) La función s impar. Es dcir, prsnta una simtría rspcto dl orign d coordnadas. A) Cada afirmación s suficint por sí sola. D) Son ncsarias las dos juntas. B) a s suficint por sí sola, pro b no. E) Hacn falta más datos. C) b s suficint por sí sola, pro a no. Si la función s impar, la concavidad n s la contraria d la concavidad n. La rspusta corrcta s la D. 55

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