Criterios de igualdad entre triángulos.

Transcripción

1 TRIÁNGULO Triángulo. Superfiie pln liitd por tres línes (ldos). Polígono ás pequeño. lsifiión de los triángulos. Ldos Ángulos UTÁNGULO Tiene los tres ángulos gudos. RTÁNGULO Tiene un ángulo reto y dos gudos. OTUSÁNGULO Tiene un ángulo otuso y dos gudos. QUILÁTRO Tiene los ldos y los ángulos igules. ISÓSLS Tiene dos ldos y dos ángulos igules. No existe No existe SLNO Tiene los ldos y ángulos diferentes. Propieddes de los triángulos. L su de los ángulos interiores de ulquier triángulo es siepre 18 grdos. < + > - Un ldo es siepre enor que l su de los otros dos y yor que su difereni. yor ldo se opone siepre yor ángulo. riterios de iguldd entre triángulos. os triángulos son igules si tienen los tres ldos respetivente igules. = = = = os triángulos son igules si tienen un ldo y dos ángulos igules. os triángulos son igules si tienen igules dos ldos y el ángulo que forn. = = = = os triángulos son igules si tienen dos ldos (uno yor que el otro) y el ángulo opuesto l yor de ellos igules.

2 P U N T O S Y L Í N S N L T R I Á N G U L O ISTRIS INNTRO Rets que psndo por los vérties de un triángulo equidistn de los ldos que los forn. I Punto oún de ls isetries de los ángulos de un triángulo y equidistnte de sus ldos.entro de l irunfereni insrit. MITRIS IRUNNTRO Rets perpendiulres d ldo de un triángulo por su punto edio. Punto oún de ls editries de los ldos de un triángulo. entro de l irunfereni irunsrit. MINS Rets que unen los vérties de un triángulo on los puntos edios de los ldos opuestos. 1/3 ½ ½ RINTRO Punto oún de ls edins de un triángulo y su entro de grvedd, situdo dos terios del vértie y un terio del ldo. LTURS Rets perpendiulres desde los vérties de un triángulo los ldos opuesto. o ORTONTRO Punto oún de ls lturs de un triángulo.si unios los pies de ls lturs oteneos el TRIÁNGULO ÓRTIO. Triángulo órtio. Triángulo utángulo insrito en otro l unir los pies de ls lturs(puntode orte de ltur y ldo). Ls lturs de un triángulo utángulo son ls isetries de su órtio. Los ldos de un triángulo utángulo son ls isetries de los ángulos exteriores de su órtio. IRUNFRNIS XINRITS irunferenis tngentes un ldo del triángulo y ls prolongiones de los otros dos. 1 2 XINNTROS Puntos de onvergeni de dos isetries exteriores de un triángulo on l isetriz interior del terer vértie. Los tres exinentros de un triángulo deterinn otro triángulo uyos ldos son ls isetries de los ángulos exteriores del priero. 3 Ls isetries interiores de un triángulo oiniden on ls lturs del que forn los exinentros.

3 ONSTRUIÓN TRIÁNGULOS. onstruiones de triángulos onoiendo sus tres ldos. Triángulo esleno. Tres ldos. Situr un ldo ulquier oo se del triángulo. Trzr ros, iendo entro en los extreos del ldo se y on rdios equivlentes d uno de los otros dos ldos respetivente, pr llr el terer vértie. onstruiones de triángulos onoiendo dos ldos y un ángulo. Triángulo esleno. os ldos y el ángulo que rn. onstruir el ángulo ddo. Llevr prtir del vértie ls edids de los ldos y unir los extreos lires. Triángulo esleno. os ldos y el ángulo opuesto uno de ellos. onstruir el ángulo ddo sore un extreo del ldo. Trzr un ro, on entro en el otro extreo y rdio el ldo opuesto l ángulo, que orte en dos (o uno) puntos el ldo del ángulo dndo el terer vértie. onstruiones de triángulos onoiendo dos ángulos y un ldo. Triángulo esleno. Ldo y ángulos de sus extreos. Situr el ldo y onstruir un ángulo en d extreo. Los ldos de los ángulos no oinidentes on el ldo l ortrse dn el terer vértie. onstruiones de triángulos onoiendo sus tres ángulos. sleno. Tres ángulos. Los tres ángulos no son dtos sufiientes, neesitndo otro pr poder definir su onstruión

4 onstruión del TRIÁNGULO QUILÁTRO. O Ldo. Insrito. ltur. Trzr dos ros que se orten, de rdio el ldo y on entro en los extreos de éste. l punto oún de los ros trzdos orresponde l terer vértie. Trzr l editriz de un rdio. l segento de editriz orrespondiente l uerd de l irunfereni es el ldo del triángulo. Llevr sore l isetriz de un ángulo de 6 y prtir del vértie l ltur. Trzr por el pie de ést un perpendiulr que deterine en los ldos del ángulo los otros vérties. F G F ltur - 1 Seejnz de triángulos. onstruir sore un ret un triángulo equilátero y olor on los pies en oún l ltur dd y l del uxilir. Trzr prlels los ldos del triángulo uxilir por el otro extreo de l ltur dd st ortr l ret se. ltur - 2 Seejnz de triángulos(insrito) Trzr dos irunferenis, de rdio l itd de l ltur, un desde el punto edio de ést y otr desde su pie en l ret se. Los ldos del triángulo psrán por el punto de orte de s irunferenis y el otro extreo de l ltur. ltur - 3 Reliones entre ángulos. olor l ltur oinidiendo on el ldo de un ángulo reto y dividir éste en dos opleentrios de 3 y 6. L ret perpendiulr por el pie de l ltur se ort on l oún de estos ángulos opleentrios deterindo el ldo. F G F F ltur - 4 Reliones entre ángulos. Trzr un ro de irunfereni desde el pie de l ltur que l orte en un punto y, desde éste, otro de igul rdio que orte l priero. Trzr por el otro extreo de l ltur perpendiulres l ret que une el pie de l ltur on los ortes de os ros pr otener el ldo. ltur - 5 Propiedd de l edin. ividir l ltur en tres prtes igules. L irunfereni trzd on entro en l prier división y on rdio equivlente dos prtes es l irunsrit l triángulo y d el ldo l ortr l ret se trzd por el pie de l ltur. ltur - 6 Seejnz de ángulos. onstruir un ángulo de 6 prtir de un punto ulquier de l ret se y est por ldo. Trzr prlels l otro ldo del ángulo por el extreo de l ltur lire st ortr l ret se pr otener los ldos del triángulo equilátero.

5 onstruión del TRIÁNGULO ISÓSLS. se y ltur. Trzr l editriz del ldo se y llevr l longitud de l ltur sore ell pr deterinr el vértie opuesto. Ldos igules y ltur oinidentes. = Trzr un ret perpendiulr l ltur por su pie. on entro en el otro extreo de l ltur trzr un ro, on rdio uno de los ldos igules, que orte l ret dndo los vérties y extreos de l se. se y ángulo opuesto. Propiedd ángulos interiores. onstruir el ángulo on vértie en un extreo de l se y ldo su prolongión. L isetriz del supleentrio deterin l edid de los ángulos de l se. O se y rdio de l irunfereni irunsrit. Trzr un perpendiulr por el extreo de un diáetro de l irunfereni y llevr sore ell (itd d ldo)l se. Ls perpendiulres por los extreos de l se deterinn los vérties l ortr l irunfereni. r O se y rdio de l irunfereni irunsrit. 1 Trzr l editriz de l se. Hllr el entro de l irunfereni irunsrit trzndo un ro, on el rdio ddo, desde el extreo de l se y ortndo l editriz. l trzdo de l irunfereni d dos soluiones posiles.

6 onstruión del TRIÁNGULO ISÓSLS. 1 Â/4 Su de l ltur y un ldo igul y el ángulo opuesto l se. Trzr, l segento su del ldo y l ltur, un perpendiulr por un extreo y en el otro onstruir un ángulo igul l urt prte del ddo. L editriz del segento que une el vértie del ángulo y el punto de orte del ldo en l perpendiulr d el punto(vértie) de unión entre el ldo y l ltur. l l F G + G Su de l ltur y un ldo igul y el ángulo opuesto l se. 1 (Proporionlidd de los triángulos.) olor sore l isetriz del ángulo y prtir del vértie el segento su de ltur y ldo. Trzr un perpendiulr l segento su por un punto ulquier. Llevr, l longitud que y desde este punto st el vértie, prtir de éste y sore un ldo del ángulo. l segento que re l perpendiulr sore el ldo llevrlo sore éste y prtir del punto lldo nteriorente. L prlel, l segento que une el nuevo punto enontrdo on el extreo lire del segento su, trzd por el prier punto lldo en el ldo sepr dio segento su. Seiperíetro y ltur. Períetro y ltur. Trzr l ltur y el seiperíetro forndo ángulo reto. L editriz de l ipotenus sepr el seiperíetro. (Repetir l operión si se d el períetro). Períetro y ángulos igules. onstruir en los extreos del períetro ángulos de vlor l itd de los ddos. L editriz del segento que v desde el extreo del períetro st el orte de los ldos de los ángulos onstruidos sepr los ldos. ½

7 onstruión del TRIÁNGULO RTÁNGULO Hipotenus y su de los tetos. o onstruir un ángulo de 45 en un extreo del segento orrespondiente l su de los tetos. on entro en el otro extreo y rdio l ipotenus, trzr un ro que orte l ldo del ángulo dndo un o dos posiles soluiones igules. o 45 - Hipotenus y difereni de los tetos. onstruir un ángulo de 45 en un extreo del segento difereni de los tetos y sore su prolongión. on entro en el otro extreo y rdio l ipotenus, trzr un ro que orte l ldo del ángulo dndo el vértie. L perpendiulr trzd por este punto l prolongión deterin el terer vértie. Hipotenus y difereni de los tetos. 1 9 o - onstruir el ro pz de un ángulo de 135 y segento l ipotenus. on entro en un extreo de l ipotenus y rdio el segento difereni entre tetos, ortr l ro pz. l segento que une el extreo usdo de l ipotenus y el punto lldo ort, en su prolongión l ro pz del ángulo reto y segento l ipotenus dndo l soluión. teto y su edin. on entro en l itd del teto y rdio su edin, trzr el ro que liit el extreo del otro teto. teto y l edin del otro teto. on entro en un extreo del teto y rdio l edin, trzr el ro que ort en su itd l otro teto, situdo perpendiulrente en el otro extreo.

8 onstruión del TRIÁNGULO RTÁNGULO. 1 Medin de un teto y de l ipotenus. 1/3 onstruir el ro pz de l edin del teto. on entro en el punto situdo un terio del extreo de di edin y rdio dos terios de l edin de l ipotenus, trzr el ro que ort l pz dndo el vértie entre tetos y filitndo l onstruión. Medin de un teto y ángulo de su extreo. Sore un segento ulquier levntr un perpendiulr en un extreo y onstruir el ángulo ddo en el otro, deterinndo un vértie. Situr l edin desde dio vértie y psndo por l itd del segento uxilir. Por el extreo lire de l edin trzr un prlel l segento uxilir pr otener los otros vérties l ortr ls prolongiones de los ldos que divergen del vértie priero. Medin y ltur orrespondientes l ipotenus. onstruido el ro pz de un segento de longitud dos vees l edin orrespondiente l ipotenus, trzr, on distni l ltur dd, un prlel l segento que ort l ro pz y d el terer vértie. teto, isetriz del otro teto. O onstruir el ro(irunfereni) pz de l isetriz. on entro en un extreo de l isetriz(prier vértie) trzr un ro de rdio el teto que ort l irunfereni pz en dos puntos: uno es el segundo vértie y el otro por donde psrá el ldo. H/6 F 2/3 Hipotenus y de edin de un teto. esde el punto edio de l ipotenus trzr un ro de rdio l sext prte de ést y su ro pz. on entro en un extreo de l ipotenus y rdio dos terios de l edin del teto, trzr un ro que orte l priero llndo el rientro del triángulo y l situión de l edin. Uniendo los extreos lires de l edin y l ipotenus se otiene el terer vértie l ortr el ro pz.

9 onstruión de TRIÁNGULOS. ½ ½ Períetro y ángulos de l se. onstruir en los extreos del períetro ángulos de vlor l itd de los ddos. L editriz del segento que v desde el extreo del períetro st el orte de los ldos de los ángulos onstruidos sepr los ldos. os ldos y edin del terero. prtir de un punto olor l longitud de l edin en os sentidos. Hiendo entro en los extreos lires y on los ldos por rdios trzr ros que se ortn en un punto. L unión del punto oún de ls edins on el lldo d l itd del terer ldo. 2/3 2/3 2/3 F G Tres edins. onstruir un triángulo de ldos igules los dos terios de d edin. l segento que une un vértie de este triángulo on el punto edio del ldo opuesto equivle l itd de un ldo. Ldo, ángulo opuesto y otro ldo. Ldo, ángulo opuesto y l ltur. Ldo, ángulo opuesto y l edin. onstruir el ro pz del ángulo y el ldo onoidos.. on entro en un extreo del ldo y por rdio el otro ldo, trzr un ro que ort l ro pz dndo el vértie opuesto.. Trzr un prlel l ldo, l distni de l ltur, que l ortr l ro pz d el vértie opuesto (dos soluiones). on entro en el punto edio del ldo y rdio l edin, trzr un ro que l ortr l ro pz d el vértie opuesto (dos soluiones) Ldo, ángulo de un extreo y isetriz del ángulo del otro extreo. F onstruir en un extreo del ldo el ángulo ddo. on entro en el otro extreo del ldo y rdio l isetriz, trzr un ro que ort l otro ldo del ángulo fijndo l isetriz. onstruir un ángulo, siétrio respeto de l isetriz igul l otenido pr deterinr el terer ldo del triángulo.

10 onstruión de TRIÁNGULOS. 1 isetriz, su ángulo y otro ángulo. onstruir el ángulo y l isetriz ddos. Sore uno de los ldos del ángulo onstruir el otro y trzr por el extreo lire de l isetriz un prlel l ldo del ángulo onstruido. Ángulo su isetriz y l irunfereni insrit. r onstruir sore un ret se el ángulo y su isetriz. Trzr l irunfereni insrit y por el extreo lire de l isetriz un tngente ell pr otener el terer ldo. Ldo, ángulo de un extreo y su isetriz. onstruir sore un ret se el ángulo y su isetriz. Trzr un ret que un el otro extreo del ldo y pse por extreo lire de l isetriz pr otener el terer ldo. os ángulos y ltur orrespondiente l ldo opuesto uno de ellos. onstruir un ángulo en el extreo de un seirret. Trzr, l distni de l ltur, un prlel que orte l ldo dndo el vértie donde onstruir el otro ángulo. Ldo su ltur y otr ltur. Trzr el ldo y un prlel l distni de l ltur orrespondiente. on entro en uno de los extreos del ldo desriir un ro de rdio l otr ltur. L tngente l ro por el otro extreo del ldo d el terer vértie l ortr l prlel. Ángulo, su ltur y otr ltur. Trzr sore un ret se un prlel l distni de un ltur. onstruir el ángulo sore l ret se y que orte l prlel dndo otro vértie. l terero se deterin trzndo por este últio un ret tngente l ro de rdio l ltur del ángulo y entro su vértie. os ldos y ltur del terero. Trzr un prlel un ret se l distni de l ltur. esde un punto ulquier de l prlel trzr ros on rdios igules ls edids de los ldos que orten l ret se dndo vris soluiones.

11 onstruión de TRIÁNGULOS. 2 os ldos y edin de uno de ellos. Llevr sore un ret se el ldo y desriir dos ros: uno on l edin y otro, desde un extreo, on el otro ldo. l punto oún de os ros es el terer vértie. os ldos y ltur de uno de ellos. Llevr sore un ret se el ldo y trzr un prlel l distni de su ltur. esde un extreo del ldo trzr un ro que l ortr l prlel d ls soluiones. Ldo, ltur y edin reltivs. Llevr sore un ret se el ldo y trzr un prlel l distni de su ltur. l ro trzdo on su edin ort di prlel dndo ls soluiones. Ldo, ángulo de su extreo y ltur. Llevr sore un ret se el ldo y onstruir el ángulo en uno de sus extreos. Trzr un prlel l ldo l distni de l ltur que orte l ángulo dndo l soluión. Ldo, ángulo de su extreo y edin. Llevr sore un ret se el ldo y onstruir el ángulo en uno de sus extreos. Trzr un ro, on rdio l edin del ldo, que l ortr l ángulo d l soluión ltur y edin de un ldo, siendo que éste es el dole que otro de los ldos del triángulo. Sore un ret se llevr perpendiulrente l ltur.. esde su extreo lire trzr un ro que orte l ret se fijndo el punto edio del ldo y l edin. L editriz de l edin ort l ret se dndo otro vértie siendo siétrio el terero. Ldo, ángulo opuesto y l su de los otros dos ldos. * Proeso de onstruión en los ejeriios: Períetro y ángulos de l se. os ldos y el ángulo opuesto uno de ellos.