SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2º BACHILLER

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1 UNIDAD SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES º BACHILLER

2 OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Mnejr los métodos de resolución de sistems de dos/tres ecuciones con dos/tres incógnits (reducción, sustitución e igulción.. Profundizr en el método de Guss pr resolver y clsificr sistems de ecuciones lineles, tnto comptibles determindos como indetermindos.. Clsificr y resolver los sistems de ecuciones lineles según sus soluciones.. Plnter y resolver, medinte sistems de ecuciones lineles, problems bsdos en l relidd CONCEPTOS. Ecuciones y sistems de ecuciones lineles. Soluciones. Clsificción según sus soluciones.. Sistems equivlentes.. Método de Guss. Clsificción de sistems por el método de Guss.. Interpretción geométric.

3 . INTRODUCCIÓN Definición Se llm ecución linel un ecución polinómic de grdo uno con un o vris incógnits. Ejemplos: + y 5 y + z L ecución epres l condición que debe cumplir el número o números buscdos, es decir, en el primer ejemplo, se busc un número cuyo triple se (sólo hy uno: ). En el segundo ejemplo se buscn dos números que cumpln que el doble del primero ms el segundo, se 5 (hy infinits posibiliddes y5, 5 y5, y9 ) representndo gráficmente cd pr (,y), se form un rect en el plno. Igulmente, en el tercer cso hbrí infinitos tríos de números que cumplen l ecución: y z, y z, y z Si representármos gráficmente tods ls soluciones, se formrí un plno en el espcio. Definición En generl, se llm ecución linel tod iguldd del tipo: n n b donde,,, n son los coeficientes (dtos conocidos),,,, n son ls incógnits (dtos por conocer) y b es el término independiente. Definición Se llm solución de un ecución linel un conjunto de números (s,s,,s n ) que sustituidos en el lugr de ls incógnits hcen que se verifique l iguldd. Cd solución se llm solución prticulr y el conjunto de tods ells se denomin solución generl. Ejemplo: Dd l ecución y + z, (,,) es un solución prticulr + y z L solución generl es: y y y,z R z z

4 Definición Dos ecuciones se dicen equivlentes si tienen l(s) mism(s) solución(es). Ejemplo: Son equivlentes: ) 6y + z 9 y y + z b) y y y. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición 5 Se llm sistem de m ecuciones lineles con n incógnits un conjunto de m ecuciones de l form: nn b nn b b m m mn n m donde: i m ij son los coeficientes, j n i i n son ls incógnits j m son los términos independientes b j Ejemplos: y + z + y y + z 7 + y 5 + y y + y y + z t y + z t Definición Se llm solución del sistem un conjunto de n números reles (s, s,, s n ) que sustituidos en ls incógnits hcen que se verifiquen tods ls ecuciones simultánemente. El conjunto de tods ls soluciones se llm solución generl y cd un de ells solución prticulr. Ejemplos: ) (,,) es l solución del sistem + y + z + y + z y + z ) z y z z z z R es l solución generl del sistem y + z + y + z

5 Definición 5 Un sistem se dice homogéneo si todos los términos independientes son nulos (b i, i). Ejemplo: y + y z + y + z Observ que los sistems homogéneos siempre tienen, l menos, l solución trivil (,,) Si el sistem se compone de ecuciones con dos incógnits, represent un conjunto de rects. Resolverlo consiste en verigur si eiste un punto común tods ells y clculrlo. Si ls ecuciones tienen tres incógnits, se trt de un conjunto de plnos en el espcio y, l resolverlo, estrímos clculndo el punto o puntos comunes todos los plnos (si es que eiste(n) ) Ejemplos: ) y + y, y solución únic (,) sumndo Luego mbs rects se cortn en el punto (,). ) y y y y (restndo) Imposible Es evidente que ls dos ecuciones son contrdictoris: si y es igul, su doble - y, no puede ser sino. Por tnto, ls rects no tienen puntos comunes, son prlels. ) y y y y (restndo) cierto siempre En este cso, mbs ecuciones son l mism y, por tnto, se trt de dos rects coincidentes con infinitos puntos comunes. Puesto que se cumple y -, ls infinits soluciones serín de l form: (, -) siendo culquier nº rel. Se deduce entonces que los sistems pueden tener o no soluciones y se estblece l siguiente clsificción: 5

6 Definición 6 Se dice que un sistem es comptible si tiene solución. En cso contrrio se dice que es incomptible. En el primer cso, si l solución es únic se trt de un sistem comptible determindo. Por el contrrio, si tiene infinits soluciones, se le llm comptible indetermindo. Ejemplos: En el cso de los tres ejemplos citdos nteriormente, se puede observr que el sistem del ejemplo ) es COMPATIBLE DETERMINADO (solución únic), el sistem del ejemplo ) es INCOMPATIBLE (ecuciones contrdictoris) y el tercer sistem es COMPATIBLE INDETERMINADO (infinits soluciones en función de un prámetro ). SISTEMAS EQUIVALENTES Definición 7 Dos sistems se dicen equivlentes si, teniendo ls misms incógnits, tienen ls misms soluciones (No necesrimente el mismo nº de ecuciones). Ejemplo: Los sistems + y y y tienen l mism solución (,) + y + y 5 y son equivlentes pues mbos De hecho, l utilizr los métodos de reducción, Guss etc. pr resolver sistems, se emple como estrtegi cmbir el sistem inicil por otro equivlente más sencillo de resolver, trvés de un serie de trnsformciones que, unque vrín el sistem, no cmbin su solución. Ests trnsformciones son ls siguientes: Trnsformciones Equivlentes ) Cmbir el orden de ls ecuciones del sistem ) Despejr un incógnit de un ecución y sustituirl en ls demás ) Multiplicr (dividir) un ecución por un nº rel distinto de. ) Añdir o suprimir un ecución que se combinción linel de otrs ecuciones del sistem. 5) Sustituir un ecución por el resultdo de sumrle otrs multiplicds por números Al resolver sistems se emplen ests trnsformciones de mner conveniente pr conseguir, ddo un sistem inicil, otros más sencillos con ls misms soluciones. 6

7 7. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS En cursos nteriores se hn estudido los métodos de sustitución, igulción, reducción y Guss. Repsremos únicmente este último- MÉTODO DE GAUSS Consiste en trnsformr el sistem inicil en otro equivlente tringulr o esclondo, es decir, en el que cd ecución teng un incógnit menos que l nterior. De est form, l últim ecución tendrí un sol incógnit que, un vez resuelt, se llevrí l ecución nterior pr despejr sucesivmente el resto de incógnits. Ejemplo: Resuelve el siguiente sistem: z y z y z y z y z y ) ( z y + + z y 5z y z y z 5z y z y z y sistem de Guss (equivlente l inicil) El método de Guss permite clsificr los sistems en comptibles o incomptibles, pues pueden drse tres situciones: ) Si l últim ecución es de l form n b, el sistem es comptible determindo. Como ejemplo es válido el cso nterior. ) Si l últim ecución es de l form, el sistem es comptible indetermindo. Ejemplo: z y z y z y (-) z y 5 z y z y z y z y + z z z 5 y z y + + z z z 5 y 5z 7 z z) 5 ( Soluciones: (7-5z, -5+z, z) donde cd vlor de z d lugr un de ls infinits soluciones. (-)

8 En relidd, esto ocurre porque lgun de ls ecuciones del sistem es combinción linel de otrs (l tercer es l sum de ls dos primers) y, por tnto, no port nd nuevo y podrí suprimirse, quedndo un sistem de dos ecuciones con tres incógnits que no puede tener solución únic. ) Si l últim ecución es de l form k siendo k, el sistem es incomptible y no tiene solución. Ejemplo: + y + z + y z + y z 6 + y + z y z 5 y z + y + z y z 5 5 bsurdo El sistem no tiene solución porque hy un contrdicción en sus ecuciones. Suponiendo que se cumpliern ls dos primers, su sum: +y-z, deberí dr y no 6 como indic l tercer. Actividd. Resuelve por el método de Guss los siguientes sistems: ) + y + z y z + y + z b) y + z + y z 8 + y z 8 c) + y + z + y z z 8

9 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS CC SS II PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. (JULIO 7) El propietrio de un br h comprdo refrescos, cervez y vino, por un importe totl de euros (sin impuestos), siendo el vlor de los refrescos igul l vlor conjunto de l cervez y el vino. Trs ñdir los impuestos, l fctur sciende 6 euros. Hllr el vlor inicil de cd un de ls bebids, sbiendo que los impuestos sobre los refrescos, l cervez y el vino ern del 6%, el % y el %, respectivmente.. (JULIO 6) Tenemos el triple de pers que de nrnjs. Si decidimos dr 5 nrnjs y 8 pers cd uno de los chicos de un grupo, nos sobrrán solmente pers. Cuánts nrnjs y pers tenemos? Cuántos chicos hy en cd grupo?. (JULIO 5) Los 76 niños de un poblción rurl están distribuidos en tres colegios A, B y C. Los mtriculdos en C suponen l curt prte de los mtriculdos en A, y l diferenci entre el número de lumnos de A y el de lumnos de B es inferior en un unidd l doble de mtriculdos en C. Averigur cuántos niños recibe cd uno de los colegios.. (JULIO ) Un empres h invertido 7 euros en l compr de ordendores portátiles de tres clses A, B y C, cuyos costes por unidd son, y respectivmente. Sbiendo que, en totl, h dquirido 55 ordendores y que l cntidd invertid en los de tipo A h sido l mism que l invertid en los de tipo B, verigur cuántos prtos h comprdo de cd clse. 5. (JUNIO ) En l fbricción de ciert mrc de chocolte se emple leche, cco y lmendrs, siendo l proporción de leche, doble que l de cco y lmendrs junts. Los precios por cd kilogrmo de los ingredientes son: leche, 8 euros; cco, euros; lmendrs, euros. En un dí se fbricn 9 kilos de ese chocolte, con un coste totl de 58 euros. Cuántos kg se utilizn de cd ingrediente? 6. (JULIO ) Jun y Pedro invierten euros cd uno. Jun coloc un cntidd A l % de interés (nul), un cntidd B l 5%, y el resto C l 6%, mientrs que Pedro invierte l cntidd A l 5%, l B l 6%, y l C l %. Hllr ls cntiddes A, B y C, sbiendo que Jun obtiene unos intereses nules de 6, y Pedro obtiene (JULIO ) Por l compr de 8 kg de cfé nturl y 5 kg de cfé torrefcto se hn pgdo pt. Hllr el precio del kilo de cd tipo de cfé, sbiendo que si se mezcln prtes igules, el kilo sle 8 pt. 9

10 8. (JULIO ) Se dispone de un depósito de litros de cpcidd y de tres medids A, B y C. Se sbe que el volumen de A es doble del de B, que entre ls tres medids llenn el depósito, y que ls dos primers lo llenn hst l mitd. Qué cpcidd tiene cd medid? 9. (SEPTIEMBRE 998) Hllr ls eddes de los tres hijos de ciert person, sbiendo que: l edd ctul del myor es el doble de l que tendrá el menor el ño que viene; l edd del medino es ectmente l mitd de l sum de ls eddes de los otros dos; l diferenci de edd entre el myor y el menor coincide con l edd que tení el medino hce dos ños.. (JUNIO 999) En un tetro hy locliddes de tres clses, A, B y C, cuyos precios son 5, y pt. Respectivmente. Cierto dí, l recudción totl fue de pt. Si se sbe demás que de clse A se vendieron tnts locliddes como de ls clses B y C junts, y que de l B se vendió el doble que de l C, verigur cuánts locliddes de cd clse se vendieron ese dí.. (SEPTIEMBRE 998) Un individuo invirtió un totl de 6 millones de pesets en tres empress A, B y C, obteniendo un beneficio de 5. pt. En A invirtió el doble que en B y C junts, y l rentbilidd de A fue del 5%, l de B el %, y l de C el %. Qué cntidd de dinero invirtió ectmente en cd un de ests empress?. Invirtiendo millón de pesets en cciones de tipo A y millones en cciones de tipo B obtendrímos unos intereses totles nules de 8. pt., y si invertimos millones en A y millón en B obtenemos 6. pt. Cuáles serín los intereses si se invirtiern millones en A y 5 millones en B?. Un tiend h vendido 6 ejemplres de un videojuego por un totl de 68. pt. El originl costb. pt., pero tmbién h vendido copis, presuntmente defectuoss, con descuentos del % y del %. Sbiendo que el número de copis vendids fue l mitd del de originles, clculr cuánts copis se le plicó el descuento del %.. En ciert helderí, por un cop de l cs, dos horchts y cutro btidos te cobrn un dí. Otro dí, por cops de l cs, y horchts te cobrn, y un tercer dí, te piden 6 por un horcht y btidos. Tienes motivos pr pensr que lguno de los tres dís te hn presentdo un cuent incorrect? 5. Cuál debe ser el vlor de pr que el pr (,) se solución del siguiente + y sistem? 5y 6. Clsific y resuelve, cundo se posible, los siguientes sistems: ) + y z + y + 5z y + z + 5 b) y z 5z + y z c) + y + z + y z y z

11 d) y + z y + y z e) + y z 7 + y + z + y z d) + y y + z 5y + z CUESTIONES 7. Rzon si son verdders o flss ls siguientes firmciones, incluyendo un contrejemplo en cso negtivo:. Un sistem de ecuciones que tiene más incógnits que ecuciones es siempre comptible determindo b. Si un sistem tiene más ecuciones que incógnits, será comptible determindo c. Un sistem homogéneo tendrá como solución (,, ) d. Un sistem que tiene el mismo número de incógnits que de ecuciones es comptible determindo e. Un sistem de dos ecuciones con dos incógnits puede tener ectmente dos soluciones f. Un sistem que teng menos ecuciones que incógnits es siempre incomptible + y + z 8. Añde un ecución l sistem y + z sistem se: ) comptible determindo b) comptible indetermindo c) incomptible de mner que el nuevo 9. Si un sistem de dos ecuciones con tres incógnits le ñdimos un ecución que es combinción linel de ls ecuciones que tenímos, obtenemos un sistem de tres ecuciones con tres incógnits. Qué relción eiste entre los dos sistems?

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13 UNIDAD DIDÁCTICA MATRICES º BACHILLER

14 OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Reconocer informciones que se puedn representr medinte mtrices.. Operr con mtrices.. Reconocer crcterístics especiles de ls operciones con mtrices, tendiendo sus propieddes.. Resolver ecuciones y sistems de ecuciones mtriciles. 5. Resolver problems que se puedn representr medinte mtrices. 6. Relizr potencis n-ésims de mtrices. CONCEPTOS. Definición de mtriz. Tipos de mtrices.. Operciones con mtrices: sum, producto por un esclr, producto de mtrices y potencis ( método de inducción). Propieddes.. Mtriz invers: definición y cálculo directo.. Ecuciones y sistems mtriciles.

15 MATRICES. DEFINICIÓN Se llm mtriz todo conjunto de n os reles ordendos en un tbl de m fils y n columns epresd entre préntesis. Se represent por un letr myúscul A, B o como ( ij ), (b ij ) Ejemplos: A B En generl, culquier mtriz es de l form: A... m... m... m n n... mn Cd ij indic el elemento correspondiente l fil i y l column j. (El primer subíndice indic fil y el segundo column) Si l mtriz tiene m fils y n columns, se dice que es de orden o dimensión mn. Const de m n elementos. Ejemplos: A 5 es un mtriz de orden y contiene 6 elementos. B ( ) es de orden Dos mtrices A y B son igules si tienen l mism dimensión y coinciden término término. A ( ij ) A B ij b ij B (b ij ). TIPOS DE MATRICES. Mtriz Fil: Const de un sol fil, es decir, es de orden n. Ejemplo: A ( ) 5

16 . Mtriz Column: Const de un sol column, es decir es de orden m. Ejemplo: B. Mtriz Cudrd: Un mtriz cudrd es quell que tiene el mismo nº de fils que de columns, esto es, es de orden nn unque se epres únicmente n. En cso contrrio se llm rectngulr. Ejemplo: C mtriz de orden En ls mtrices cudrds se llm digonl principl l formd por los elementos,,, nn. L otr digonl se llm digonl secundri y está formd por los ij tles que i+j n+. A Digonl Secundri Digonl Principl. Mtriz Trspuest de A: Dd un mtriz A, se define su mtriz trspuest y se escribe A t, como quell que se obtiene cmbindo en A fils por columns. Ejemplo: A 5 A t 5 Se observ que si A es de orden mn, A t será de orden nm..5 Mtriz simétric: Tod mtriz cudrd que coincide con su trspuest, es decir: A A t o bien ij ji ij Ejemplo: A 5 5 Comprueb que coincide con su trspuest y observ que se produce un simetrí respecto l digonl principl. 6

17 7.6 Mtriz Hemisimétric o Antisimétric: Tod mtriz cudrd que coincide con l opuest de su trspuest: A -A t Ejemplo: A Mtriz Nul: Todos sus elementos son igules. Eiste un pr cd orden. Se represent O mn Ejemplo: O O.8 Mtriz Digonl: Tod mtriz cudrd en l que los elementos que no pertenecen l digonl principl son, es decir ij j i Ejemplo: A.9 Mtriz Unidd/ Identidd: Tod mtriz digonl donde los elementos de l digonl son igules. Se represent I o I n Ejemplo: I I. Mtriz Tringulr Superior: Tod mtriz cudrd en l que los elementos situdos por debjo de l digonl principl son igules. Ejemplo: B. Mtriz Tringulr Inferior: Tod mtriz cudrd en l que los elementos situdos por encim de l digonl principl son igules. Ejemplo: A 7 5

18 Actividd. Escribe, si es posible: ) L mtriz unidd de orden 5 b) Un mtriz digonl de orden c) L mtriz nul de orden d) Un mtriz simétric de orden. OPERACIONES CON MATRICES. SUMA Y RESTA Definición: Dds dos mtrices A ( ij ) y B (b ij ) del mismo orden mn, se define su sum como otr mtriz del mismo orden, cuyos elementos se obtienen sumndo los respectivos elementos de A y B que se encuentrn en el mismo lugr, es decir ( ij ) + (b ij ) ( ij + b ij ) Ejemplo: Propieddes. Asocitiv: (A + B) + C A + (B + C). Conmuttiv: A + B B + A. Elemento Neutro: L mtriz nul O del mismo orden (A+O O+A A). Elemento Opuesto de A: Tod mtriz A ( ij ) tiene un mtriz opuest -A (- ij ) y que: ( ij ) + (- ij ) O Por cumplir ests cutro propieddes, se dice que el conjunto de mtrices de orden mn, es un Grupo Abelino respecto l sum. Definición de RESTA: Sum con l mtriz opuest A B A + (-B). PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Definición: Dd un mtriz A( ij ) de orden mn y un nº rel p, se define el producto p A como otr mtriz de orden mn cuyos elementos se obtienen multiplicndo cd elemento de A por p, es decir, p A p ( ij ) (p ij ) Ejemplo:

19 Propieddes. Distributiv respecto l sum de mtrices p (A + B) p A + p B. Distributiv con respecto l sum de esclres. Asocitiv mit (k + p) A k A + p B (k p) A k (p A). A A ( es el elemento neutro del producto de n os reles) siendo p,k números reles culesquier y A,B mtrices de orden mn. Por cumplirse ests propieddes respecto l producto de un mtriz por un esclr, y por ser un grupo belino respecto l sum, se dice que el conjunto de mtrices de orden mn es un Espcio Vectoril.. PRODUCTO DE MATRICES Vemos primero lgunos ejemplos: ) ( ) 5 + ( ) b) ( ) + ( ) ( ) ( ) + 7 ( ) ( ) c) ( ) 5 +? No es posible Se observ que cd fil de l mtriz resultnte se obtiene multiplicndo esclrmente dich fil de l primer mtriz, por cd column de l segund. Tmbién se observ que pr que dicho producto esclr se posible, es necesrio que el número de columns de l primer mtriz se igul que el número de fils de l segund. Además, l mtriz producto tendrá tnts fils como l primer mtriz y tnts columns como l segund. Por tnto: Definición: Dos mtrices A de orden mn y B de orden st son multiplicbles, si el nº de columns de A coincide con el nº de fils de B, es decir, n s. 9

20 Definición: Dds dos mtrices A ( ij ) de orden mn y B (b ij ) de orden np, se define el producto de A y B como otr mtriz C (c ij ) de orden mp, donde cd elemento c ij se obtiene multiplicndo esclrmente l fil i de A por l column j de B. Es decir:... i... m... i... m n... in... mn b b... bn b b b j j... nj bp c bp b cm np... c ij... cp... cmp donde c ij i b + b b j i j in nj Actividdes. Reliz ls siguientes operciones: ) - 5 b) c) d) Dds ls mtrices A y B clcul: ) A+B b) A+B c) A B d) A e) A - B f) B A g) A B A h) (A+B) (A-B). Clcul A B y B A siendo A y B Propieddes. Asocitiv (A B) C A (B C)

21 . Distributiv respecto l sum A (B + C) A B + A C (A + B) C A C + B C Se deduce que sólo se puede scr fctor común un mtriz en un sum, si dich mtriz multiplic en todos los sumndos por el mismo ldo (derech o izquierd) y que:. NO se cumple l conmuttiv De hecho, es posible que no eist A B o B A según l dimensión de cd mtriz. Por ello, es importnte mntener el orden en el que prezcn ls mtrices que se vn multiplicr. Si A es de orden mn B es de orden np A B es de orden mp B A no eiste Se hce necesrio entonces hblr de multiplicción por l izquierd o por l derech. Como consecuenci de esto, no se cumplen ls igulddes notbles: (A ± B) A ± AB + B (A + B) (A B) A B porque (A+B) (A+B) (A+B) A no se puede sustituir por A B.. Si A B A C B C + A B + B A + B, como A B es distinto de B A, Busc un ejemplo que lo confirme 5. Si A B O A O ó B O Ejemplo: - - Actividd 5. Hllr e y pr que: y 8

22 . POTENCIA DE UNA MATRIZ Definición: Se define l potenci n-ésim de A, mtriz cudrd, como: A n A A... A n veces Es evidente que si A es rectngulr no se podrá multiplicr por sí mism. Pr clculr A n dd l mtriz A, nos serviremos del método de inducción. 7 Ejemplo: Dd l mtriz A, hllr A n. El método de inducción requiere tres psos: ) Clculmos ls primers ó potencis: A, A, A 7 A 7 A A A A A A n ) Suponemos, plicndo l mism regl, que A n ) Demostrmos que l siguiente potenci A n+ sigue tmbién l mism regl en cuyo cso, como n represent culquier potenci, demostrrímos que si un potenci sigue ese ptrón, l siguiente tmbién, por lo que serí un ptrón válido pr todo vlor de n. 7(n + ) Es decir, se deberí cumplir: A n+ vmos comprobrlo: 7n n+ A n A A n 7(n + ) c.q.d. Actividd 6. Clcul l potenci n-ésim de ls mtrices: 7 ) A b) D

23 . MATRIZ INVERSA Definición: Se define mtriz invers de A cudrd y de orden n, y se escribe A -, como l mtriz de orden n que cumple: A A - A - A I No tods ls mtrices cudrds tiene invers. Descubriremos l cus en l siguiente unidd sobre determinntes. Ejemplo: Clculo Directo: Dd l mtriz A, hllr A - Llmmos A t z y. Se debe cumplir: t z y + + t y z t y z + + t y t y z z Luego l mtriz invers es: A En l siguiente unidd estudiremos otr mner más ventjos de clculr l mtriz invers, pues si l mtriz es de orden o superior, hbrí que mnejr un número elevdo de incógnits (9, 6 ) Clcul l mtriz invers de B 6, z - y y, t

24 5. ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Son quellos en los que ls incógnits son mtrices. Ejemplos: ) Hllr l mtriz X tl que A X B dds A y B ) Hllr ls mtrices A y B tles que: A + B A B 5 Se procede de l mism form que con ecuciones lineles teniendo en cuent l no conmuttividd. Ejemplo: ) A X B si utilizmos l mtriz invers y l multiplicmos en mbos miembros: A A X A B I X A B X A B (Es importnte multiplicr A en mbos miembros por l izquierd o en mbos por l derech pr que l ecución no vríe dd l no conmuttividd) ) X A B X A A B A X I B A X B A Comprueb que siempre se verific: A I I A A (es decir, l mtriz unidd ctú de elemento neutro del producto) Actividdes 7. Si A y B, resuelve ls ecuciones: ) A +X B b) A XB 8. Hll ls mtrices X e Y tles que: 5X + Y 5 X+Y 9

25 5 MATRICES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS CC SS II. Reliz tods ls multiplicciones posibles entre dos de ls mtrices: i. A ( ) B C 5. Encuentr el vlor de e y pr que se verifique cd iguldd: b) ) y c) b) t z y. Dds ls mtrices A y B 5 comprobr que (B A) t A t B t. Hllr, en cd cso, l mtriz X que verifique: b) ) + X c) X 6 d) c) A 9 5. Clcul el vlor de m y n pr que se cumpl l iguldd: A - m A n I O siendo A 7 5, I l mtriz identidd de orden y m,n R. (Observ que O no puede ser el número pues l iguldd no podrí cumplirse. Lógicmente es l mtriz nul de orden )

26 6. Clcul l potenci n-ésim de ls mtrices: i. ) B b) C 7. Dd l mtriz A, es posible hllr un mtriz B tl que 5 A B 5?, y un mtriz C tl que C A? Rzónlo. 8. Dd l mtriz A, hll l mtriz B tl que B A t A I 5 y resuelve l ecución A X. 9. Resolver el sistem mtricil: 5X Y X 5Y - PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. (JULIO 7) Hllr A, A, A y A 5, siendo A l mtriz: A Se percibe lgún ptrón que permit divinr cuál es A 5,y en generl, A n?. (SEPTIEMBRE 999) Si I es l mtriz identidd de orden, y A, hllr el vlor que deben tener e y pr que se cumpl l iguldd: A - A yi. (SEPTIEMBRE 99) Sbiendo que: A+B 7 A B 5 Clculr, si es posible, A B y A B t. 6

27 CUESTIONES. Indic por qué no pueden efecturse ls siguientes operciones: b) ) ( 7) + ( 8 5 ) c) b) d) c). Si l mtriz A tiene orden nm y l mtriz B, mn, indic si pueden relizrse ls siguientes operciones y, en cso firmtivo, di el orden de l mtriz resultnte: ) A B b) B A c) A d) A B+I n e) A+B f) A 5. Rzon si es verddero o flso: b) Tod mtriz digonl es simétric c) L mtriz nul de orden es simétric d) L mtriz unidd es tringulr superior e) Tod mtriz tringulr superior e inferior es digonl f) Tod mtriz nul es digonl 6. Si A y B son mtrices cudrds de orden n, rzon cuáles de ls siguientes propieddes son cierts: ) A B B A b) (A+B)+C A+(B+C) c) (A B) t A t B t d) A A A A A e) (A+B) t A t +B t f) (A+B) A +AB+B g) B A+C B B (A+C) 7. Justific por qué no es ciert l iguldd (A+B) (A-B) A - B 5 8. Dd l mtriz A, eiste un mtriz B tl que A B se l mtriz A? Rzon tu respuest. 7

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29 UNIDAD DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES º BACHILLER

30 OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Conocer el concepto de determinnte de un mtriz cudrd.. Conocer y plicr ls propieddes de los determinntes.. Clculr el vlor de un determinnte de culquier orden emplendo l regl de Srrus y el desrrollo por los elementos de un líne.. Utilizr los determinntes pr segurr l eistenci de l invers de un mtriz y pr clculr dich invers. 5. Hllr el rngo de un mtriz por medio de sus menores. 6. Resolver ecuciones mtriciles trvés de l mtriz invers. 7. Enuncir, comprender y plicr l regl de Crmer pr l resolución de sistems de ecuciones. 8. Clsificr sistems trvés del teorem de Rouché. CONCEPTOS:. Determinntes de orden y : concepto y cálculo.. Propieddes de los determinntes.. Menores complementrios y mtriz djunt.. Cálculo del vlor de un determinnte de culquier orden por el desrrollo de un líne. 5. Determinción de l mtriz invers. 6. Rngo de un mtriz. 7. Epresión mtricil de un sistem. 8. Regl de Crmer. 9. Teorem de Rouché.

31 . INTRODUCCIÓN Pr llegr l definición de determinnte de un mtriz son necesrios lgunos conocimientos previos. Definición Se llmn permutciones de n elementos (n os nturles) ls distints mners en que pueden ordenrse. De entre ells, se llm permutción principl l que respet el orden nturl creciente de sus elementos. Ejemplo:,,,,,,,,, son permutciones de elementos.,,, es l permutción principl. Con elementos hy permutciones:, y,. Con elementos hy 6 permutciones:,,,,,,,,,,,, Con elementos hy permutciones. Escríbels. Determin, en generl, el número de permutciones pr n elementos. Definición Se dice que elementos de un permutción culquier de n elementos presentn un inversión, si están en orden contrrio l de l permutción principl, y se dice que presentn permnenci si están en el mismo orden. Ejemplo: 5 Permnenci inversión Pr contr tods ls inversiones de un permutción, se compr cd elemento con todos los que le siguen. Ejemplo: Inv. Inv. Inv. Est permutción tiene inversiones en totl.

32 Definición Se dice que un permutción es de clse pr si tiene un nº pr de inversiones y de clse impr si tiene un nº impr de inversiones. Indic l clse de ls siguientes permutciones: 5 5 De ls n! permutciones de,,, n, l mitd ( n! ) son de clse pr y l otr mitd son de clse impr. Ejemplo: Veámoslo con ls permutciones de tres elementos: inversiones PAR inversiones IMPAR inversiones IMPAR inversiones PAR inversiones PAR inversiones IMPAR Definición Se llm signtur de un permutción l nº ( ) ν donde ν represent l nº de inversiones de l permutción. Por tnto, ls permutciones pres tendrán signtur y ls impres -. PROPOSICIÓN Si en un permutción intercmbimos entre sí elementos culesquier, ést cmbi de clse. Ejemplo:, 5,,, 5 inversiones: Clse IMPAR Intercmbimos el con el 5:,,,, 5 inversiones: Clse PAR Demostrción ) Si intercmbimos dos n os consecutivos, lo único que se lter es el orden estblecido entre ellos porque su situción respecto los restntes no vrí. Por tnto, ument o disminuye unidd el nº de inversiones y cmbi l clse. ) Si no son consecutivos, hy h espcios intermedios entre mbos n os. Pr psr el º hst el lugr del º hy que relizr h cmbios con su inmedito l derech, y pr psr del º l lugr del º, h- cmbios con el consecutivo su izquierd. Son en totl h- cmbios consecutivos y en cd uno de ellos cmbi l clse. Por ser un nº impr de cmbios, el resultdo finl (pr o impr) es contrrio l inicil.

33 Utilizremos el ejemplo nterior pr comprender l ide. Prtimos de l permutción. 5,,, de clse impr e intercmbimos el 5 con el trvés de sucesivos cmbios consecutivos. Pr llevr el 5 l lugr del hy que hcer cmbios con su inmedito l derech y pr retroceder el hst el lugr del 5 se necesitn cmbios consecutivos con el inmedito l izquierd cmbios consecutivos cmbios consecutivos 5 cmbios Como en cd intercmbio cmbi l clse e inicilmente er impr, quedrá finlmente pr (IMPAR-pr-impr-pr-impr-PAR). DETERMINANTE DE UNA MATRIZ El determinnte de un mtriz es, en definitiv, un número rel. El cálculo de dicho número en cd mtriz, se reliz de l siguiente form: ) se hcen todos los productos posibles de elementos de distint fil y column ) se sumn (restn) todos los productos djudicándoles un signo + o según un criterio que se eplic continución. Según este procedimiento, sólo ls mtrices cudrds tendrán determinnte. DETERMINANTES DE ORDEN Pr epresr el determinnte de un mtriz ést se escribe entre brrs. y son los dos únicos productos de elementos de fil y column distint. El primer subíndice es, en mbos, lo que grntiz que hy uno de cd fil y no se repite ningun. Igulmente, los segundos subíndices son, y, (permutciones de,) que indicn que hy uno de cd column sin repetición y que se hn contempldo tods ls posibiliddes. Los sumndos cuy permutción se pr llevrán signo + y quellos de permutción impr, signo -. Ejemplo: 5 - (- ) 5

34 DETERMINANTES DE ORDEN Se comprueb que los 6 sumndos son todos los posibles y que,, son los primeros subíndices (uno de cd fil) y los segundos subíndices son tods ls permutciones de,,. El signo de cd sumndo se corresponde con l clse de l permutción de l siguiente form: PAR (+) IMPAR (-) IMPAR (-) PAR (+) IMPAR (-) PAR (+) Se grupn los sumndos positivos y los negtivos medinte el siguiente esquem conocido como REGLA DE SARRUS. Ejemplo: (-) - Ahor podemos generlizr l definición mtrices cudrds de culquier orden. Definición Dd un mtriz A cudrd de orden n, se llm determinnte de A y se escribe A, l nº rel que se obtiene l sumr todos los posibles productos de elementos de fil y column distints, es decir, sum de productos de l form j j n jn donde j, j,, j n represent ls n! permutciones de,,, n siendo el signo de cd sumndo positivo o negtivo, dependiendo de si l permutción es pr o impr. Es decir, A (-) ν j j n jn

35 - Hy n! sumndos con n fctores cd uno. - n! sumndos son positivos y n! son negtivos. -Cd sumndo puede tener los fctores ordendos por columns permutndo ls fils. Actividdes A (-) ν j j j n n. Clcul los siguientes determinntes: ) 5 b) b + b c) 5 d) 5 e) y. Resuelve ls ecuciones: ) b) -7 c) 8 Definición Un mtriz cudrd A se dice regulr si su determinnte es distinto de. En cso contrrio se llm singulr. Prece evidente que clculr determinntes de orden o superior, serí ecesivmente lborioso si seguimos l definición, pues hbrí que clculr productos de elementos cd uno, de 5 etc. Se hce necesrio entonces encontrr un método equivlente pr determinntes de orden superior y, pr ello, hremos previmente un estudio de sus propieddes.. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES ) El determinnte de un mtriz cudrd coincide con el de su trspuest. A A t Ejemplo: A (-) + (-) (-) (-) (-) 5 (-) 5 A t (-) (-)+ (-) (-) (-) 5 (-) 5 De hecho, coinciden uno uno todos los sumndos. 5

36 ) Si se intercmbin entre sí dos línes (fils o columns) de un mtriz, su determinnte cmbi de signo Ejemplo: (-) + 5 (-) + (-) 5 (-) (-) (-) - Se hn intercmbido l fil y l fil. Justificción Al intercmbir dos línes, se intercmbin dos elementos en cd permutción, por lo que ést cmbi de clse. Por ello, cd sumndo cmbi de signo y con ello el resultdo finl. ) Si en un mtriz cudrd hy línes igules, su determinnte es. Al intercmbir entre sí ls dos línes igules el determinnte no vrí pero, por otro ldo, debe cmbir de signo, según l propiedd nº, es decir A - A A ) Si se multiplicn todos los elementos de un mism líne (fil o column) por un nº k, todo el determinnte qued multiplicdo por dicho número. Se debe que en todos los sumndos del determinnte precerá un solo elemento de es líne, luego todos los sumndos estrán multiplicdos por k que puede scrse como fctor común. - - Ejemplo: 5 + (-) + (-) (-) (-) (-) 5 (-) (-) * (-8) (-) 6 (-) (-) 5 (-8) 6 5 Igulmente, esto indic que si un líne complet es múltiplo de un número, éste puede scrse como fctor común. Ejemplo:

37 5) Si todos los elementos de un líne de un mtriz son ceros, su determinnte será cero. Lógicmente, en todos los sumndos del determinnte precerá un elemento de es líne, por lo que todos los sumndos serán nulos y, por tnto, el determinnte será. 6) Si en un mtriz cudrd hy dos línes proporcionles, su determinnte es. Puede slir como fctor común l constnte de proporcionlidd, quedndo línes igules. Ejemplo: ) Si todos los elementos de un líne de un mtriz se descomponen en un sum de dos sumndos, su determinnte se descompone en l sum de dos determinntes de l siguiente form: + b d + e c f d c f + b e c f 8) El determinnte de un mtriz no vrí si cmbimos un líne por l sum de ell más un combinción linel de otrs. Ejemplo: f - f + f Esto es debido que en bse ls propieddes nteriores: (-) (-) (-) (-) 7

38 9) Si en un mtriz un de ls línes es combinción linel de otrs, su determinnte es. (Englob ls propieddes, 5, 6) Ejemplo: f f - f (-) - (-) 5 (-) + ) A B A B ( A + B A + B ) El determinnte del producto de mtrices es el producto de los determinntes. Actividdes. Si se cumple que b c A d e f, hll: g h i ) A b) A c) b c d e f g h i d) d g e h b f i c e) d g b e h c f i. Comprueb, sin desrrollrlo, que el siguiente determinnte es múltiplo de : Clcul, sin desrrollr, el determinnte: b b + c + b c + b c c. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA Definición Dd un mtriz cudrd de orden n, A ( ij ), se llm menor complementrio del elemento ij y se escribe α, l determinnte de l mtriz que result l suprimir en A l fil i y l column j. ij 8

39 Ejemplo: A 5 α α - Cd elemento tendrí su menor complementrio Definición Se llm djunto del elemento ij y se escribe A ij, l producto: A ij (-) i+j α ij Ejemplo: A (-) α - (-) En l mtriz del ejemplo nterior: A (-) 5 α - (-) A (-) α - 5 Se observ que cd elemento de l mtriz le corresponde su djunto y que éste, es igul l menor complementrio si l sum de subíndices es pr y es opuesto si dich sum es impr. PROPOSICIÓN Si A es un mtriz cudrd de orden n, su determinnte es igul l sum de los productos de los elementos de UNA líne (fil o column) por sus djuntos correspondientes. Ejemplo: Si desrrollmos por l fil : (-) A + A + (-) A (-) + + (-) Si desrrollmos por l column : A + (-) A + 5 A + (-) Si desrrollmos por l fil : A + A + A

40 Se observ que se puede clculr un determinnte de orden trvés de determinntes de orden (pr clculr un determinnte de orden n es necesrio clculr n determinntes de orden n-) y que, demás, el resultdo es el mismo independientemente de l líne que se elij pr desrrollr. Por su evidente ventj, elegiremos siempre l líne que teng myor número de ceros. Es más, podemos pensr en conseguir más ceros usndo ls propieddes de los determinntes, sobre todo l nº 8. Ejemplo: [] A [ ] A Se fij un fil o column (que y teng el myor número de ceros) y dentro de ell se elige un elemento que llmremos pivote (por comodidd se elegirá, si eiste, un ). Si se decide hcer ceros en l fil del pivote, se fij su column y vicevers (se fij l fil si se decide hcer ceros en l column del pivote) El resto de ls columns (fils en el segundo cso) se cmbirán sin vrir el determinnte, trvés de l propiedd 8. Actividdes 6. Resuelve los determinntes: ) 5 b) c) d) 5 e) 5 f) 5 c c c + c Desrrollo por f Pivote Pivote c c

41 5. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Definición Se llm mtriz invers de un mtriz dd A cudrd, otr mtriz del mismo orden A - tl que: A A - A - A I Pr clculr l mtriz invers introduciremos lgunos conceptos. Proposición L sum de los elementos de un líne por los djuntos de un líne prlel ell es. Ejemplo: Ddo el determinnte Multiplicmos los elementos de l fil por los djuntos de l fil : A + A + A + (-) y que en relidd, A + A + A En relidd es el desrrollo de un determinnte con dos línes igules Definición Se llm mtriz djunt de l mtriz A y se escribe Adj(A) l mtriz que result de sustituir en A cd elemento por su djunto A ij. Adj(A) A A A A A A A A A Ejemplo: A Adj(A)

42 PROPOSICIÓN Tod mtriz conmut con l trspuest de su djunt y demás el resultdo de ese producto es A I, es decir: A ( ) t Adj.(A) ( ) t Adj.(A) A A I Demostrción A ( Adj.(A) ) t A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A I y que en l digonl se encuentrn los productos de los elementos de un líne por sus propios djuntos (lo que d lugr l determinnte de l mtriz), y el resto son productos de los elementos de un líne por los djuntos de un prlel ( que equivlen por l proposición nterior) Definición Se llm Mtriz Invers de un mtriz dd, A cudrd, otr mtriz del mismo orden A - tl que: PROPOSICIÓN A A - A - A I Si A es un mtriz cudrd cuyo determinnte es distinto de (regulr), eiste su invers A - y coincide con: Demostrción [ Adj.(A) ] t A - A Se deduce de l proposición nterior que A, por ser un nº rel, puede psr dividiendo l otro miembro de l iguldd. (Por supuesto sólo si es distinto de ) A [ Adj.(A) ] t [ Adj.(A) ] t A A I

43 A [ ] A Adj(A) t [ ] A Adj(A) t A I Se observ entonces que l mtriz que verific ls condiciones de l invers (conmut con A y el producto es l identidd), es: [ ] A Adj(A) t. Ls mtrices singulres (cuyo determinnte es ) no tienen invers. Ejemplo: Hllr l mtriz invers de A A ) Adj(A) ) [ ] Adj.(A) t ) A - [ ] A Adj.(A) t ) Comprobr que A A - I Actividdes 7. Hll, si es posible, l mtriz invers en cd cso: ) b) 6 c) 8. Dd l mtriz A ) Pr qué vlores de tendrá invers (será inversible) l mtriz? b) Hll dich mtriz invers pr.

44 PROPOSICIÓN L mtriz invers de A, si eiste, es únic. Demostrción Por reducción l bsurdo, supongmos que A posee mtrices inverss B y C, es decir: A B B A I entonces: A C C A I C C I C (A B) (C A) B I B B socitiv Se deduce entonces, que no puede hber dos inverss distints, pues suponiendo que ls hubier, serín l mism. 6. RANGO DE UNA MATRIZ Definición Se llm menor de orden p de un mtriz A, culquier determinnte de orden p que se obtiene l suprimir en A lgun fil y/o column. Ejemplo: A 5 menores de orden :, -, 5 menores de orden :,, menores de orden : -, hy en totl hy en totl Est mtriz no puede tener menores de orden o superior por contener sólo fils. Es evidente que si A es de orden mn y p es el orden de culquier de sus menores, entonces p n y p m, o lo que es lo mismo: p min { m,n} Si l mtriz es cudrd se entiende que el menor de myor orden posible es ell mism.

45 Definición Se llm rngo de un mtriz l orden del myor de los menores distinto de cero de dich mtriz. Se escribe rg(a). Ejemplo: en l mtriz nterior por ser A diremos que rg(a) pues es el orden del menor más grnde posible distinto de. Pr clculr el rngo de un mtriz se comienz por los menores de myor orden posible p. Si lguno de ellos es, entonces rg(a) p. Si todos son nulos, se estudin los menores de orden p- y se repite el proceso. Ejemplo: A 5 6 Pr hllr el rngo estudiremos primero los menores de orden (los de myor orden posible). Si lguno de ellos es distinto de, el rngo de l mtriz es. Si todos ellos son igules (rg(a) ), nlizremos los de orden idénticmente., 5 6, 5 6, 5, 6 Observmos que todos son lo que signific, como sbemos, que lgun líne es combinción linel de otrs (en este cso f f + f ). Psmos los menores de orden :, -6 Por tnto, rg(a) Según ls propieddes de los determinntes si uno de ellos es distinto de cero es porque tods sus línes son independientes entre si, puesto que si un fuese combinción linel de otr, su determinnte serí. Es por ello que el rngo indic el número (máimo) de fils o columns independientes de un mtriz. 5

46 7. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA Sbemos que un iguldd mtricil se trnsform en un sistem de ecuciones: z y t - z y t + z y + t De l mism mner podemos pensr en el proceso inverso, es decir, en obtener un iguldd mtricil prtir de un sistem de ecuciones ddo. Pr ello definiremos ls siguientes mtrices: Ddo el sistem genérico: n n b n n b b m m mn n m Llmmos A l mtriz de los coeficientes: A... m... m n n... mn de orden mn Llmmos X l mtriz column de ls incógnits: X... n de orden n Llmmos B l mtriz column de los términos independientes: B b b... bm de orden m Entonces se cumple que el sistem es equivlente l ecución mtricil A X B 6

47 Comprueb que dich iguldd d lugr l sistem de ecuciones inicil y observ que l form que doptn ls mtrices es necesri pr que su orden respectivo permit l multiplicción. Es evidente que l mtriz X de ls incógnits quedrí directmente despejd si multiplicmos l iguldd por l mtriz invers de A (evidentemente por l izquierd) En eso se bs el método de Crmer pr resolver sistems. Actividd 9. Ddo el sistem de ecuciones lineles: ) Epresrlo en form mtricil b) Resolver mtricilmente + y + z y + z + y + z REGLA DE CRAMER Definición Se llm sistem de Crmer todo sistem con el mismo nº de ecuciones que de incógnits, donde el determinnte de l mtriz de los coeficientes es distinto de. ( A ) ) sbemos que l epresión mtricil del sistem es A X B. ) Como A es regulr, eiste A -. ) A - A X A - B I X A - B X A - B Si multiplicmos A - B con mtrices genérics, obtendremos un regl de plicción que evitrá que tengmos que clculr en cd sistem l mtriz A -. Lo hremos suponiendo n pr simplificr ls operciones. X A - B A A A A A A A A A A b b b A ba ba ba + b A + ba + b A + b A + ba + b A 7

48 b A + b A + b A A b b b El numerdor es el producto de los elementos b, b, b por los djuntos de l column, es decir, es el desrrollo por l c de un determinnte en el que los elementos de l primer column son b, b, b. b A + b A + b A A b b b A (desrrollo por l column ) b A + b A + b A A A b b b (desrrollo por l column ) Ejemplo. Resolver y + z + y z y z - Se l mtriz A Por l regl de Crmer: y z solución (,,) 8

49 Actividd. Resuelve por el método de Crmer, cundo se posible, los sistems: ) + y z y + z + y z b) y + z + y + z y + z c) y + z + y z 5 y z d) + y z y + z + y + z Observ los sistems: ) + y + y b) + y + y 5 c) + y y En el cso ) ls dos ecuciones son igules, luego se trt de un sistem COMPATIBLE INDETERMINADO (infinits soluciones). Observ que, por es rzón, l mtriz de los coeficientes tiene rngo A. Como los términos independientes mntienen l mism proporción, si los incorpormos l mtriz, ést seguirá teniendo rngo. C En el cso b) el sistem es INCOMPATIBLE, pues ls ecuciones son contrdictoris. Observ que l mtriz de los coeficientes sigue teniendo rngo pero l mtriz mplid (con los términos independientes) tiene rngo pues l últim column es independiente de ls nteriores: A C 5 Por último, el sistem c) es COMPATIBLE DETERMINADO pues ls dos ecuciones son independientes entre sí, y por ello, tnto l mtriz de los coeficientes como l mplid tienen rngo. A C Prece evidente que eiste un relción direct entre l comptibilidd del sistem y los rngos de l mtriz de los coeficientes y de l mtriz mplid, pues dicho rngo revel l dependenci o independenci entre ls ecuciones. De ello trt el teorem de Rouché-Frobenius. Así como l regl de Crmer permite resolver sistems, el teorem de Rouché permite clsificrlos es función de los rngos de l mtriz de los coeficientes A y de l mplid C. 9

50 7. TEOREMA DE ROUCHÉ- FROBENIUS Ddo el sistem: n n b n n b b m m mn n m donde A... m... m n n... mn es l mtriz de los coeficientes y C cumple que:... m... m n... n mn b b... bm es l mtriz mplid, entonces se L condición necesri y suficiente pr que el sistem teng solución es que el rngo de l mtriz A de los coeficientes y el de l mtriz C mplid, sen igules, es decir El sistem tiene solución rg(a) rg(c) Demostrción Si el sistem tiene solución (s, s,, s n ) entonces. C... m... m n... n mn m s + s + s + m s s s n n mn sn sn sn por tnto l últim column es combinción linel de los nteriores y por tnto no ument el rngo, es decir: rg(a) rg(c) Si el rg(a) rg(c), l últim column de C es combinción linel de ls nteriores y por tnto eisten n números reles s, s,, s n tles que B s C + s C + + s n C n por lo que (s, s,, s n ) es un solución del sistem. Pueden drse csos: c.q.d. 5

51 ) Si rg(a) rg(c) el sistem es incomptible. (l últim column es independiente y no mntiene ls combinciones lineles de los primeros miembros) ) Si rg(a)rg(c) nº de incógnits n, el sistem es comptible determindo. (Hy tnts ecuciones independientes como incógnits) ) Si rg(a)rg(c) < nº de incógnits n, el sistem es comptible indetermindo. (Hy menos ecuciones que incógnits, pues eisten combinciones lineles entre ells) ** Observ que en relidd el rg(c) sólo puede ser igul l de A o un unidd myor, pues C sólo incorpor un column más que puede ser dependiente o independiente de ls nteriores** Si el sistem es homogéneo (todos los términos independientes igules ), el rg(a)rg(c) obligtorimente, puesto que l últim column de ceros no puede umentr el rngo (es dependiente de ls nteriores). Luego todo sistem homogéneo es comptible. L solución trivil (,,, ) será únic si es comptible determindo y estrá compñd de otrs infinits soluciones si es indetermindo. 6. DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON UN PARÁMETRO Vemos un ejemplo de plicción del teorem de Rouché l estudio de l comptibilidd de un sistem: Ejemplo: Discutir y resolver (cundo se posible) según los vlores del prámetro, el sistem: + y + z + y z + y + z Obtenemos previmente ls mtrices A y C. A C Anlizmos el rngo de A pr comprrlo con el de C A (+) ó - Se distinguen entonces posibles csos: er Cso:,- En este cso rg(a) ( pues A ) y rg(c) necesrimente, pues no puede ser menor que el de A y tmpoco puede ser por ser C de orden. 5

52 Según el teorem de Rouché, pr cd vlor de,-, se trtrí de un sistem comptible determindo y que rg(a) rg(c) nº de incógnits. Pr resolverlo utilizremos l regl de Crmer: + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) y ( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) z ( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) Hemos obtenido sí l solución únic pr cd posible sistem según cuál se el vlor de. º Cso: A C En este cso rg(a) puesto que A. Como entonces rg(a). Igulmente, rg(c) pues todos los menores de orden son, l ser l últim fil l sum de ls dos primers. Se trt entonces de un sistem comptible indetermindo y que: rg(a) rg(c) < nº incógnits. Pr resolverlo podemos prescindir de l tercer ecución por ser un combinción linel de ls nteriores. + z + y z Por trtrse de un sistem de dos ecuciones con tres incógnits, dejremos un culquier de ells como prámetro o vrible (z por ejemplo en este cso) z y + z ( z) + z - + z z z luego su solución es: ( - z, - + z, z) donde z R 5

53 5 er Cso: - A C Sbemos que rg(a) puesto que A. Como entonces rg(a). Sin embrgo rg(c) y que Por el teorem de Rouché el sistem es incomptible puesto que rg(a) rg(c) y por tnto, no tiene solución.

54 5 DETERMINANTES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS CC SS II. Pr qué vlores de se nul este determinnte? 8. Hll, si es posible, l mtriz invers en cd cso: ) 5 5 b). Hll los vlores de t pr los que l mtriz A no es inversible siendo: A 6 t t. Dds ls mtrices A t y B t donde t es un nº rel: ) Hll los vlores de t pr los que A B tiene invers b) Hll los vlores de t pr los que B A tiene invers 5. Dd l mtriz A, determin l mtriz B que verific: B I A t A 6. Resolver l ecución A I, siendo A y R. 7. Dds ls mtrices A, B 8, C 5 y D resuelve, despejndo, ls siguientes ecuciones mtriciles: ) AX + B C D b) (B+C)X A D c) AX B D C d) ABX CX C

55 55 8. Dds ls mtrices: A 5, B, C y D hllr l mtriz X que verific AB + CX D. 9. Sbiendo que z y c b 5, hll: ) z y c b b) z y c b c) z y z c y b z y Si A es l mtriz A, clcul l mtriz B (A t A ). Hll tmbién el determinnte de l mtriz (A t A ) 76.. Dd l mtriz A t t t ) Hll los vlores de t pr los cules A no tiene invers b) En el cso t, hll, si eiste, l mtriz X que cumple: XA ( -) PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. (JUNIO 6) El sistem de cutro ecuciones con cutro incógnits 5+y, 5u+v, +y-, u+v, se puede epresr en l form AX B, donde A, X y B son mtrices cudrds. Encontrr dich epresión y resolver el sistem mtricilmente.. (JUNIO 5) Hllr l mtriz X que cumple A X A B, siendo A y B

56 56. (JUNIO ) Hllr l mtriz X que cumple AXA BA, siendo A y B 5. (JUNIO ) Hllr l mtriz X que cumple AXB C, siendo A, B, C 6. (JULIO ) Resolver l ecución mtricil AX B C O, siendo A, B 9 C 5 7. (JUNIO /) Dd l mtriz A 5 m ) encontrr los vlores de m pr los que eiste mtriz invers. b) si m es uno de esos vlores, hllr A 8. (JUNIO /) Dds ls mtrices A, B hllr l invers de A-B, y l mtriz X tl que X(A-B) A+B. 9. (JUNIO 99/) Encontrr un mtriz X tl que AX + B C, siendo A, B, C Se puede hllr lgun mtriz Y tl que YA + B C?. (JUNIO 98/99) Resolver l ecución mtricil AX BX + C, siendo A, B, C. (SEPTIEMBRE 97/98) Resolver l ecución mtricil XA B + C, siendo A 9 6, B, C

57 57. (JUNIO 97/98) Hllr el vlor que debe tener pr que l mtriz A I se l invers de ) I (A, siendo I l mtriz unidd de orden y A CUESTIONES. Indic ls propieddes de los determinntes que justificn ls siguientes igulddes: ) b) c) A qué es igul el determinnte de un mtriz digonl?, y tringulr? 5. Rzon si es ciert l siguiente firmción: Sen A,B y C mtrices cudrds del mismo orden tles que A y A BA C Podemos segurr que BC? Justific tu respuest. 7. Es ciert l siguiente iguldd? Rzónlo sin relizr los cálculos. 5 ` 5 8. Qué condición debe cumplir un mtriz cudrd pr tener invers? 9. Eiste lgún vlor de pr el cul l mtriz no teng invers?

58 58

59 UNIDAD DIDÁCTICA PROGRAMACIÓN LINEAL º BACHILLER

60 OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Representr informciones medinte inecuciones.. Resolver inecuciones y sistems de inecuciones de un y dos incógnits.. Identificr, plnter y resolver problems de progrmción linel. CONCEPTOS. Inecuciones y sistems de inecuciones lineles con un o dos incógnits.. Cálculo de los máimos y mínimos de un región fctible del plno. Resolución de problems de progrmción linel. 6

61 PROGRAMACIÓN LINEAL. INTRODUCCIÓN Definición Se llm inecución un desiguldd entre dos epresiones lgebrics en l que intervienen incógnits. Pueden precer los signos <, >,,. Se llm solución l conjunto de vlores que verificn l desiguldd. Ejemplo: ) - < < solución: (-, ) b) +y Dos inecuciones son equivlentes cundo tienen ls misms soluciones. Son trnsformciones equivlentes: ) Sumr o restr un mismo número los dos miembros de l inecución. b) Multiplicr o dividir mbos miembros por un número positivo. c) Multiplicr o dividir mbos miembros por un número negtivo cmbindo el sentido de l desiguldd.. INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA < > Son de l form +b. Su solución puede ser: o bien todos los números reles (R), o bien ningún nº rel (Ø) o, generlmente, un semirrect de R que incluirá o no su etremo según si se dmite o no l iguldd. Ejemplo: ) Ls soluciones son: (, ] b) solución: Ø c) + < 5+ < 5 solución: R 6