En la figura 1 se muestran diferentes trazas polares para G ( jω ) con tres valores diferentes de ganancia K en lazo abierto.

Transcripción

1 Maren de Ganancia y Maren de Fase En la fiura se muestran diferentes trazas polares para G ( jω ) con tres valores diferentes de anancia en lazo abierto. Fiura. Trazas polares de G ( jω ) = ( + jωta )( + jωtb ) ( jω )( + jωt )( + jωt ) Para un valor rande de anancia, el sistema es inestable. Conforme la anancia se G jω pasa por el punto + j. Esto sinifica que para disminuye hacia cierto valor, este valor de anancia, el sistema esta al borde de la inestabilidad y presenta oscilaciones sostenidas. Finalmente, para un valor pequeño de la anancia, el sistema es estable. En eneral, entre más cerca se esté de encerrar el punto + j, más oscilatoria es la respuesta del sistema; por lo tanto, la proximidad al punto + j se utiliza como una medida de maren de estabilidad. Esta proximidad es común representarla en términos del Maren de Ganancia y el Maren de Fase. Maren de Ganancia. Se define como el recíproco de la manitud G ( jω ) en la frecuencia a la cual el ánulo de fase es 8º. Es decir, si se define la frecuencia de cruce de fase ω como la frecuencia a la cual el ánulo de fase de la función de transferencia a lazo abierto es G ( jω ) = 8º, se produce el maren de anancia o bien, en decibeles: = G jω db = lo = lo G jω

2 El maren de anancia expresado en decibeles es positivo si es mayor que la unidad y neativo si es menor que la unidad. Por lo tanto, un maren de anancia en decibeles positivo sinifica que el sistema es estable y un maren de anancia neativo quiere decir que el sistema es inestable. Maren de Fase. Se define como la cantidad de atraso de fase adicional en la frecuencia de cruce de anancia requerida para llevar al sistema al borde de la inestabilidad. La frecuencia de cruce de anancia es la frecuencia ω en la cual la manitud de la función de transferencia en lazo abierto G ( jω ) es unitaria; es decir, G jω = El maren de fase γ es de 8º más el ánulo de fase φ de la función de transferencia en lazo abierto en ω ; es decir: donde γ = 8º + φ φ = G j ( ω ) En la fiura se muestran diferentes tipos ráficas (Bode, Nyquist y Nichols) que ilustran tanto el maren de fase, como el maren de anancia para el caso en que el sistema es estable y para el caso en que es inestable. Si se pretende que un sistema de fase mínima sea estable, su maren de fase deberá ser positivo. Resumiendo, para arantizar que un sistema a lazo cerrado será estable utilizando el análisis en frecuencia del sistema a lazo abierto; entonces los márenes de anancia y de fase deberán ser positivos. Comentarios sobre los márenes de anancia y fase Para un sistema estable de fase mínima, el maren de anancia indica cuánto puede incrementarse la anancia antes de que el sistema se vuelva inestable. Para un sistema inestable, el maren de anancia indica cuánto debe disminuir la anancia para que el sistema se vuelva estable. El maren de anancia de un sistema de primer y seundo orden es infinito, dado que las trazas polares nunca cruzan el eje real neativo. Por lo tanto los sistemas de primer y seundo orden no pueden en teoría ser inestables (Sin embaro, recuerde que los sistemas de primer y seundo orden suelen ser aproximaciones en el sentido de que al obtener las ecuaciones del sistema, no se consideran los pequeños atrasos en el tiempo). Cabe señalar que los sistemas condicionalmente estables tienen dos o más frecuencias de cruce. Para este caso, se mide el maren de fase en la frecuencia de cruce de anancia más alta.

3 Fiura. Márenes de anancia y de fase de sistemas estable e inestable. (a) Trazas de Bode, (b) Trazas de Nyquist y (c) Trazas de Nichols NOTA: El maren de anancia o el maren de fase por si solos no aportan un indicio suficiente de la estabilidad relativa. Se deben considerar ambos en la determinación de la estabilidad relativa.

4 EJEMPLO Obtener los márenes de fase y de anancia para el sistema de la fiura 3, en los siuientes casos:. =. = R( s ) Y ( s) + s s ( + )( s + 5) Solución: Fiura 3. Sistema de control de tercer orden. La solución se puede obtener mediante dos métodos: a) Analítica b) Gráfica En el primer caso, es necesario saber que el maren de anancia ocurre cuando el G jω = 8º. Por lo tanto, es posible obtener analíticamente la ánulo de fase frecuencia a la que esto ocurre: ( ω) G j ( ω) G j ( ω ) = = = ( jω )( jω + )( jω + 5) ( jω )( ω + 6 jω + 5) 6ω jω ( ω 5) ω ( ω 5) = arctan ( 5) ( 5) 6ω 6ω ω ω G ( jω ) = 8º = arctan ω ω tan ( 8º ) = = 6ω 5 = ω = 5 Sustituyendo el valor de la frecuencia 5 ω = en la función de manitud es posible calcular el maren de anancia:

5 ( ω ) G j = = ω ( ω 5) + 6ω ω = 5 3 Por lo tanto, el maren de anancia para = {,} respectivamente es: M & M 3 = 3 G ( jω ) = = ; M [ ] db = lo M = lo 3 = db = 3 =.3 G ( jω ) = = ; M [ ] db = lo M = lo.3 =.4576 db = De iual forma, el maren de fase se calcula analíticamente sabiendo que ocurre en la frecuencia que produce una manitud unitaria; es decir: G( jω ) = = ω ( ω 5) 6ω ω ω ω + = ( 5) 6 ω ω + ω = ω ω ω ω = 4 4 ω + 6ω + 5ω = Definiendo: ϖ = ω se tiene que: ϖ + 6ϖ + 5ϖ = ; donde las raíces son 4.83 ϖ.67 = =.5 ; j ϖ = = j 5.6 Para = {,} respectivamente. Y las frecuencias correspondientes son:.5. para ω ϖ = = = = 5.6 = 3.9 para = Sustituyendo la frecuencia ω para cada caso, se obtiene el maren de fase: ( ω 5) ω G ( jω ) = arctan = φ 6ω & M = γ = 8º + φ f

6 φ = 54.6 & φ 3.6 = = = Por lo tanto, los márenes de fase son: γ = 5.38º & γ = 3.65º = = Finalmente se tiene que para = respectivamente:, los márenes de anancia y de fase son [ ] M db = db M = 5.38º f Tanto el maren de anancia como el maren de fase son positivos; lo que da como resultado un sistema estable en lazo abierto: = = 3 G s + G s s s + s s + 6s + 5s + Donde las raíces del polinomio característico son: { 5.4, j,.9.3 j} tienen parte real neativa (los polos están en el semiplano izquierdo) Para el caso en que = los márenes de anancia y de fase son respectivamente: [ ] M db =.4576 db M = 3.65º f Lo que implica que el sistema en lazo cerrado será inestable: = = 3 G s + G s s s + s s + 6s + 5s + Donde los polos correspondientes son: { 7., j, j} que hay dos polos complejos en el semiplano derecho. + y se observa Para el método ráfico esto se puede observar directamente de las raficas de Bode o de Nichols. En las fiuras 4 y 5 se muestran las trazas de Bode para cada caso y en las fiuras 6 y 7 las trazas de Nichols correspondientes.

7 Fiura 4. Trazas de Bode para el sistema de control de la fiura 3, con = Fiura 5. Trazas de Bode para el sistema de control de la fiura 3, con =

8 Fiura 6. Trazas de Nichols para el sistema de control de la fiura 3, con = Fiura 6. Trazas de Nichols para el sistema de control de la fiura 3, con =