Ley de los números grandes

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1 Capítulo 2 Ley de los úmeros grades 2.. La ley débil de los úmeros grades Los juegos de azar, basa su sistema de gaacias, fudametalmete e la estabilidad a largo plazo garatizada por las leyes de la probabilidad. Cosideremos el juego de la ruleta americaa. Esta cosiste e ua rueda e posició horizotal, por dode puede circular ua pequeña bola. La rueda está subdividida e 38 zoas eumeradas, cada ua de las cuales subtiede u águlo de la misma magitud. Al estabilizarse el movimieto de la bola, ésta permaece quieta e ua de las zoa. E u juego típico, el jugador paga dólar por apostar la salida de uo de los 38 úmeros. E caso de gaar, se le devuelve el dólar más 35 dólares adicioales. E caso de perder, pierde u dólar. Supoiedo que la probabilidad de salida de los úmeros es uiforme, el valor esperado de la gaacia X del jugador sería E(X) = = 0,05263 Podríamos pregutaros que importacia tiee este cálculo. La ley de los úmeros grades, descubierta por Jacob Beroulli e el siglo 8 os da la respuesta. Teorema 2.. (Ley débil de los úmeros grades: versió co mometos de orde 2). Cosideremos ua sucesió {X : } de variables aleatorias i.i.d. de cuadrado itegrable. Luego, para todo ǫ > 0 se tiee lím P X ) k E(X) ǫ = 0. El adjetivo débil ha sido itroducido para distiguir este resultado de la llamada ley fuerte de los úmeros grades, que establece que e realidad la covergecia del promedio empírico a la esperaza es casi segura. E térmios del juego de la ruleta americaa, la ley de los úmeros grades os idica que el valor promedio de la gaacia de la casa de apuestas por jugador tiede a E(X) = 0,05263, y por lo tato es positivo. Es decir, auque de vez e cuado aparecerá jugadores afortuados que gaará 35 dólares, la ley de los úmeros grades establece siempre existirá ua catidad suficietemete grade de apuestas a partir de las cuales el balace para la casa es favorable. La demostració de la ley débil de los úmeros grades es secilla, y se basa e la siguiete observació. Lema 2.2. Sea X,...,X variables aleatorias cetradas o correlacioadas de a pares. Luego 29

2 30 CAPÍTULO 2. LEY DE LOS NÚMEROS GRANDES V ar(x + + X ) = V ar(x ) + + V ar(x ). Demostració. (Prueba de la ley débil de los úmeros grades). Sea ǫ > 0. Por la desigualdad de Tchebytschev y el lema aterior P( X + + X / > ǫ) V ar(x ) ǫ 2. Claramete el miembro izquierdo tiede a 0 cuado tiede a. La ley débil de los úmeros grades sigue siedo válida si supoemos sólo que la sucesió de variables aleatorias es itegrable. Veremos este resultado como u caso particular de la ley fuerte de los úmeros grades. Por otra parte, ua variació del Lemma 2.2, demostrada por Begt vo Bahr y Carl-Gustav Essee, permite fácilmete geeralizar el Teorema 2.6. Lema 2.3. (Desigualdad de vo Bahr-Essee). Sea {X : } ua sucesió de variables aleatorias idepedietes y cetradas. Luego para todo r 2 se tiee que r E X k 4 E( X k r ). (2.) Observació. Este resultado fue publicado e 965 e The Aals of Statistics. El 4 que aparece e el lado derecho de (2.) se puede mejorar por u 2. El primer paso para probar la desigualdad de vo Bahr-Essee, es el siguiete resultado de Clarkso de 936, itroducido para el estudio de espacios uiformemete covexos. Lema 2.4. (Desigualdad de Clarkso). Si r 2, etoces para todo par de reales x e y se tiee que x + y r + x y r 2( x r + y r ). Demostració. La desigualdad es trivialmete cierta para y = 0 o para r =. Luego, como ambos miembros de la desigualdad so fucioes pares, basta supoer que x y > 0 y r >. Defiimos t = y/x. Luego teemos que probar que ( + t) r + ( t) r 2( + t r ). Si f(r) = ( + t) r + ( t) r y g(r) = 2( + t r ), otemos que Además g (r) = 2t r lt 0. f (r) = ( + t) r l( + t) + ( t) r l( t). Como f(2) = g(2), es suficiete demostrar que f (r) 0. Ahora otemos que f (r) = ( + t) r (l( + t)) 2 + ( t) r (l( t)) 2 0. Luego, basta probar que f () 0. Pero f () = ( + t)l( + t) + ( t)l( t) 0.

3 2.. LA LEY DÉBIL DE LOS NÚMEROS GRANDES 3 E efecto, basta otar la seguda derivada de la fució g(x) = xl x, es positiva, y por lo tato es ua fució covexa. Luego f (r) 0. Necesitamos u lema ates de probar la desigualdad de vo Bahr-Essee. E lo que sigue, dada ua variable aleatoria X, desigaremos por X a ua variable aleatoria idepediete de X pero co la misma distribució. Lema 2.5. Sea X e Y variables aleatorias cetradas e idepedietes. Supogamos que para algú r se tiee que E X r < y E Y r <. Luego E X r E X + Y r. Demostració. Por la desigualdad de Jese para esperaza codicioal E X r = E( E(X + Y X) r ) E(E( X + Y r X)) = E X + Y r. Demostració. (Prueba de la desigualdad de vo Bahr-Essee). Si X e Y so variables aleatorias arbitrarias, la desigualdad de Clarkso implica que Luego E X + Y r + E X Y r 2(E X r + E Y r ). (2.2) E X X r 4E X r. (2.3) Supogamos ahora que la distribució de Y codicioada a X es simétrica. Luego E X +Y r = E X Y r, y de (2.2) teemos que E X Y r E X r + E Y r. (2.4) Demostraremos la desigualdad de vo Bahr-Essee ocupado u argumeto de iducció. Claramete la desigualdad se satisface para =. Supogamos ahora que es cierta para m. Luego E S m+ r = E S m + X m+ r E S m + X m+ X m+ r E S m r + E X m+ X m+ r E S m r + 4E X m+ r, dode e la primera desigualdad hemos ocupado el Lemma 2.5, e la seguda la desigualdad (2.4) y e la tercera la desigualdad (2.3). Por lo tato es cierta para = m +, lo que termia la demostració. Teorema 2.6. (Ley débil de los úmeros grades: versió co mometos de orde r > ). Cosideremos ua sucesió {X : } de variables aleatorias i.i.d. co mometos de orde r fiitos, y r >. Luego, para todo ǫ > 0 se tiee lím P X k ) E(X) ǫ = 0.

4 32 CAPÍTULO 2. LEY DE LOS NÚMEROS GRANDES Proseguimos co ua geeralizacióes de la ley débil. La primera debilita la codició de itegrabilidad. Teorema 2.7. (Ley débil de los úmeros grades geeralizada). Sea {X : } ua sucesió de variables aleatorias i.i.d. e u espacio de probabilidad (Ω, M,P). Luego las siguietes codicioes so equivaletes. (i) Existe ua sucesió {a : } tal que para todo ǫ > 0, (ii) lím P( X ) = 0. Además, si (i) se satisface, ecesariamete lím P X ) k a ǫ = 0. a = E(X X ). Demostració. Primero probamos que (ii) implica (i). Defiimos X = X X. Por la desigualdad de Tchebychev, para cada ǫ > 0 P X ) k E(X ) ǫ ǫ 2 E((X ) 2 ) + P( X ). (2.5) Pero E((X )2 ) = x2 df X (x) = 2 (F X () F X ( )) 2 xf X (x)dx = 2 (F X ( ) F X ()) x(f X ( x) F X (x))dx = 2 (F X ( ) + F X ()) x(f X ( x) + F X (x))dx = 2 P( X ) xp( X x)dx. (2.6) Esto prueba que el primer térmio del lado derecho de la desigualdad (2.5) tiede a 0 cuado tiede a. Corolario 2.8. Sea {X : } ua sucesió de variables aleatorias i.i.d. simétricas e u espacio de probabilidad (Ω, M,P). Luego las siguietes codicioes so equivaletes. (i) Para todo ǫ > 0, lím P X ) k ǫ = 0. (ii) lím P( X ) = 0. Ejemplo. El teorema aterior muestra que la ley débil de los úmeros grades se puede satisfacer auque la distribució comú de la sucesió o sea itegrable. Por ejemplo, tomemos F X defiida por F X (x) = xl x.

5 2.. LA LEY DÉBIL DE LOS NÚMEROS GRANDES 33 La siguiete geeralizació de la ley débil de los úmeros grades, muestra que icluso la hipótesis de idepedecia o es ecesaria. Defiició 2.9. (Arreglo triagular). U arreglo triagular de variables aleatorias es u cojuto {X,k } de variables aleatorias idexadas por y k. Teorema 2.0. Cosideremos u arreglo triagular {X,k } de variables aleatorias itegrables e u espacio de probabilidad (Ω, M,P). Luego, las siguietes codicioes so equivaletes. (i) Para todo ǫ > 0, lím P ( X,k ) E(X,k ) > ǫ = 0. (ii) lím E ( ( ) (X,k E(X,k ))) ( (X,k E(X,k ))) 2 = 0. Demostració. Para probar que (ii) implica (i) basta ocupar la desigualdad de Tchebychev co la fució x 2 /( 2 + x 2 ). Ahora otemos que si Y es ua variable aleatoria arbitraria, se tiee que para tod ǫ > 0, P( Y ǫ) (P (X,k E(X,k ))) 2 x 2 + x 2dF Y (x) ǫ 2. Eligiedo Y = 2 +( P, vemos que esto implica que (X,k E(X,k ))) 2 ( ) Y 2 E + Y 2 ǫ 2 + P( Y ǫ). Como ǫ > 0 es arbitrario, esto muestra que (i) implica (ii). Teemos el siguiete corolario co ua codició más explícita. Corolario 2.. Sea {X,k } u arreglo triagular de variables aleatorias de cuadrado itegrable e u espacio de probabilidad (Ω, M, P). Supogamos que las siguietes codicioes se satisface: (i) V ar(x,k) = o( 2 ). (ii) lím sup k,j: k j Cov(X,k,X,j ) = 0, Luego, para todo ǫ > 0 se tiee que lím P ( X,k ) E(X,k ) > ǫ = 0. Pero la codició (ii) implica que los dos térmios del lado derecho coverge a 0 cuado tiede a.

6 34 CAPÍTULO 2. LEY DE LOS NÚMEROS GRANDES Demostració. Por el Teorema 2.0, vemos que basta probar que ( ) 2 lím 2E (X,k E(X,k )) = 0. La esperaza e esta expresió se puede escribir como V ar(x,k ) + Por la hipótesis (i), basta probar que lím 2 k,j k,j Cov(X,k,X,j ). Cov(X,k,X,j ) = 0. Ahora, Cov(X,k,X,j ) V ar(x,k )V ar(x,j ) V ar(x,k ) + V ar(x,j ). Luego, sólo teemos que probar que para todo δ > 0 existe u m tal que lím sup 2 k,j : k j m Cov(X,k,X,j ) δ. Pero esto es evidetemete cierto porque el térmio del lado izquierdo de esta exresió es meor o igual a sup k,j: k j m Cov(X,k,X,j ) que tiede a 0 por la codició (ii). Ua aplicació iteresate de la ley de los úmeros grades para demostrar ua versió del teorema de aproximaciío de Weierstrass. Teorema 2.2. (Teorema de Berstei). Cosideremos ua fució cotiua f e el itervalo [0,]. Luego, los poliomios de Berstei B (x) = k=0 aproxima uiformemete a f e [0,]. ( f(k/) x k) k ( x) k, 2.2. Ua versió elemetal de la ley fuerte de los úmeros grades La covergecia e probabilidad, e la ley débil de los úmeros grades, se puede fácilmete trasformar e covergecia casi segura, si le exigimos más a la sucesió de variables aleatorias i.i.d. Teorema 2.3. (Versió elemetal de la ley fuerte de los úmeros grades). Cosideremos ua sucesió {X : } de variables aleatorias i.i.d. co mometos de orde 4 fiitos. Luego ( P lím X k ) = E(X ) =.

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