Aplicaciones de la derivada.

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1 Aplicaciones de la derivada. (Máimos y mínimos) MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS Entre los valores q puede tener una unción ( ), puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máimo y punto mínimo absolutos. Si una unción continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máimo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máimo. Por el contrario, si una unción continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo. Una unción puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos. Mediante unos gráicos veamos unos ejemplos de curvas sin máimos ni mínimos, lo que común mente se llama una unción sin máimos ni mínimos Es importante recordar que La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máimos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal. En los puntos críticos máimos, las unciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la unción es menor que en su entorno. En un punto crítico máimo relativo, al pasar la unción de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa. En un punto crítico mínimo relativo, la unción deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva METODO PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máimos y mínimos relativos en una unción, analizaremos dos mecanismos:

2 1. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA. Seguimos el siguiente proceso: Obtener la primera derivada. Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máimos o mínimos en la unción Se asignan valores próimos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máimo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo. Cuando eisten dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a in de evitar errores al interpretar los resultados. sustituir en la unción original ( ) el o los valores de la variable independiente () para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máimo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva Este procedimiento consiste en: Calcular la primera y segunda derivadas Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación Sustituir las raíces (el valor o valores de ) de la primera derivada en la segunda derivada. Si el resultado es positivo hay mínimo. Si la segunda derivada resulta ser negativa hay un máimo. Si el resultado uera cero, no se puede airmar si hay o no un máimo o mínimo sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la unción original, para conocer las coordenadas de los puntos máimo y mínimo Una unción se puede ver como un tipo particular de curva en el plano de coordenadas. Por ejemplo, observe las siguientes iguras:

3 La graica. Describe una unción, pero las gráicas 1 y no corresponden a unciones. Lo esencial es que la unción asigna a cada (en el eje de las ), un solo valor () (en el eje de las y). Uno de los asuntos que demandó métodos ininitesimales ue el cálculo de los valores máimo y mínimo de una unción. Por ejemplo si: ( ) 1, su graico es:_ Observe que el valor máimo que alcanza la unción es cuando =0. (El máimo se da cuando el valor y está más arriba, el mínimo cuando está más abajo en la gráica.) Si se trata de unciones sencillas como esta parábola, el cálculo del máimo es sencillo, (es el vértice, y hay métodos matemáticos áciles para calcular el vértice de una parábola). Sin embargo, el asunto es más diícil cuando se trata de unciones más complejas. Por ejemplo, observe la gráica de la unción ( ) 6. La pregunta es Donde alcanza el máimo si consideramos la unción solamente en el intervalo (-,4) (es decir, solamente las entre - y 4)? Justamente es el cálculo dierencial la herramienta más potente para solucionar este tipo de problemas. A manera de resumen lo que se ha presentado es:

4 a a a a 0 : a es mínimo 0 : a es máimo 0 : a a a 0 : 0 : 0 : es creciente en es creciente en IV IV IV a a a 0 : a 0 : a a 0 : etc... es mínimo a es máimo Ejemplo: Hallar los valores máimos y mínimos si los hay para la unción: 1 Deinamos el Dominio de : - 1 0, si 1 hay discontinuidad. por tanto Dm IR - 1 Calculamos la primera derivada de la unción. por el método del cociente llegamos a: los 1 Igualamos a cero este resultado: 0 de ahí obtenemos 1 Valores críticos para : 0,, Analizando los intervalos resultantes tenemos: -,0 0,1 1,, -

5 Vemos que en = 1 no hay máimo porque = 1 no pertenece al dominio de la unción, pero en = tenemos un mínimo, para determinar el puto eacto evaluamos la unción en = así: 7 7 Luego el mínimo se encuentra en el punto:, APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS Eisten muchos campos del conocimiento (aritmética, geometría, economía, ísica, biología, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando los conceptos de máimos y mínimos del cálculo dierencial Para resolver los problemas a partir de los datos eistentes, es importante en primer lugar, encontrar la epresión matemática de la unción que represente el problema y cuyos valores máimos o mínimos se desean obtener. Deberá plantearse en unción de una sola; las condiciones del problema deben aportar suicientes relaciones entre las variables, para poderse epresar a todas ellas en unción de una sola variable independiente, Una vez que se tenga la unción en la orma Y=(X), se aplican las normas ya estudiadas. En muchos problemas prácticos resulta muy sencillo identiicar cuales valores críticos dan máimos o mínimos; y en consecuencia, ya no será necesario aplicar el procedimiento completo. Es conveniente construir la gráica que represente la unción en cuestión, a in de veriicar los resultados obtenidos. Problemas: 1. Se tiene una lámina circular que tiene de radio 70 cm. De la que se desea cortar un rectángulo de la mayor área posible. Qué medidas debe tener el rectángulo? Cuál debe ser el área máima? Algunas ormas de cortar el rectángulo en círculo. Solución: Si representamos la longitud del rectángulo con L. El ancho con A. siendo el diámetro D = r = 140 cm. Puesto que el diámetro del círculo es la recta transversal del rectángulo, que lo divide en dos triángulos rectángulos Por el teorema de Pitágoras: L + A = D (140 cm.) de ahí que: L + A =19600, lo que equivale a A L el máimo de la unción. El área del rectángulo será Y = L A = L L obteniendo Y= L L. Y = L L se iguala la derivada a cero L L = 0 despejando L en la derivada L= 9800 Al sustituir en la unción: y= L L = = Para encontrar el ancho del cuadrado: A= L = = El rectángulo solución, resulto el cuadrado que mide por lado 9800, 99 cm. Correspondiéndole un área de 9800 cm

6 . De una lámina de 10 cm. X 75 cm. Se desea construir una caja sin tapa, del mayor volumen posible recortando cuadrados iguales de las esquinas de la lámina y doblando hacia arriba las salientes para tomar las caras laterales. Cuáles deben de ser las dimensiones de la caja para que su volumen sea máimo? Cuál es el volumen máimo que puede contener? 10 cm 75 cm La igura muestra los cortes que se hacen a la lámina y la igura de la caja resultante. Solución: Al asignar a la altura de la caja y V a su volumen, se epresa algebraicamente V = (10 - X) (75 - X) (). V = 4X - 90 X Acá es importante resaltar que no se le pude recortar a la lámina más de 7.5 cm., por lo que la altura debe estar en el intervalo: 0<X<7.5 Calculando el máimo en la unción V = 4X - 90 X X v= 1X - 780X X - 780X =0 X 1 = 50 y X = 15 desde ahora puede descartarse el valor X = 50 por estar Fuera del intervalo: 0< X<7.5 V = 4X sustituyendo los valores X1 = 50 y X = 15 en la segunda derivada V = 4 (50) = 40 por ser positivo, hay un mínimo para X =50 V = 4(15) = - 40 por lo tanto se encuentra el máimo que buscamos en =15 Al sustituir en la unción V = 4X - 90X X el valor X = 15, encontramos el volumen máimo de la caja V = 4(15) - 90 (15) (15) V = cm de acuerdo a esto las medidas deben ser: La altura debe ser X = 15 cm, La longitud es (10 - X) = 10 - (15) = 90 cm, y El ancho es (75 - X) = 75 - (15) = 45

7 Taller- ejercicios generales: 1. Eplique la dierencia entre un mínimo absoluto y un mínimo relativo, lo mismo para los máimos.. Trace la gráica de una unción que tenga un máimo relativo o local en y sea derivable en. 1, que tenga un máimo absoluto pero no. Trace la gráica de una unción sobre mínimo absoluto. 4. Trace la gráica de una unción sobre 1, un máimo absoluto como un mínimo absoluto. que sea discontinua pero que tenga tanto 5. Trace la gráica de para encontrar los valores máimos y mínimos, absolutos y relativos o locales de. a. () 8-1 b. () 0 c. () d. () 1-1 -, - 4, si 0 e.. si 4 -, - 1, si si Encuentre los puntos críticos de las siguientes unciones: a. 5 4 b. 4 c. s 4 t t 4t 6t 1 d. y 1 p - 1 p 4 e. hp. t t g. h. - ln 7. Determine los puntos críticos de las unciones: a. 4 4 b. 1 5 c. e 1 d. e. 8. Determine los valores de para los cuales las unciones dadas son cóncavas hacia arriba o hacia abajo, también determine los puntos de inleión si los hay: a. 4 7 b. 4-5 c. 4

8 9. Se quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 pulgadas cuadradas de material. qué dimensiones producirán una caja de volumen máimo? 10. Hallar los números positivos que minimizan la suma del doble del primero más el segundo, si el producto de dichos números es Hallar los puntos de la gráica de 0, que están más próimos del punto 1. Una página rectangular ha de contener 4 pulgadas cuadradas de teto. Los márgenes superior e inerior tienen 1,5 pulgadas de ancho y los laterales 1 pulgada. qué dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel requerida? 1. qué longitud y ancho debe tener un rectángulo de 100 cm de perímetro para que su área se máima? 14. Hallar dos números, cuya dierencia sea 50, de modo que su producto sea lo menor posible.