UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TALLER N

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1 UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TALLER N NOMBRE DE LA CALCULO DIFERENCIAL ASIGNATURA: TÍTULO: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 3: Problemas de Optimización DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA: CALCULO, Trascendentes Tempranas. James Stewart. Editorial Thomson. CALCULO, con Geometría Analítica (Calculo 1). Larson, R., Hosteller, R. y Edwards, B.. Editorial McGraw Hill. Octava Edicion. 1. OBJETIVO: Ilustrar al estudiante las utilidades y posibilidades de aplicación de los conceptos y procesos del calculo en el análisis y solución de problemas que involucran situaciones donde se desea la obtención de resultados óptimos. 2. CONCEPTUALIZACION Y EJEMPLOS. Generalmente por razones de resultados económicos favorables o mas convenientes, muchas de las situaciones problemáticas que abordamos en la cotidianidad, particularmente en el campo de la ingeniería, requieren de análisis que conduzcan a resultados óptimos, esto es, valores máximos o mínimos para las variables de interés (la variable de interés es aquella que se pide ser optimizada): máxima utilidad, mínima perdida, máxima resistencia, área o volumen, mínimo esfuerzo,... Dado que estas variables de interés dependen de otras variables que están involucradas en la situación problema, el proceso a desarrollar se orienta hacia la determinación de los valores que deben tomar esas otras variables que hacen que la variable de interés tome el (los) valor(es) optimo(s). De hecho, en una situación particular, la relación entre las variables involucradas (la de interés y otras asociadas a ella) no esta siempre expresada explícitamente, y debe ser determinada dentro del proceso de análisis. Generalmente su determinación depende del conocimiento de características geométricas, físicas u otras que estén contenidas en la situación problemática. Además, la variable de

2 interés debe ser expresada en función de las otras variables, mas exactamente, en función de una sola de las otras variables, Esto exige analizar características particulares del problema y hacer procesos de substitución para obtener una expresión algebraica de la variable de interés en función de una sola de las otras variables. Obtenida esta expresión, se aplican en ella los procesos de optimización, que es el mismo utilizado para determinar los máximos y mínimos de una función (ver TALLER DE CLASE. APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS 1. ANÁLISIS DE FUNCIONES). En forma similar a los procesos de análisis y solución de problemas de Razones de cambio relacionadas, James Stewart en su Calculo, Conceptos y Contextos (ver Bibliografía Sugerida) propone una estrategia para analizar y resolver problemas de Optimización (el lector notara que son prácticamente idénticas): 1. Lea el problema con cuidado. 2. Si es posible, dibuje un diagrama. 3. Introduzca la notación adecuada. Asigne símbolos a todas las cantidades y variables, mayúsculas para la variable de interés (es recomendable usar un sentido nemotécnico: A para área, V para volumen, R para resistencia, etc.), y minúsculas para las otras variables. 4. Exprese la variable de interés en función de las otras variables definidas en el paso Si en el paso 4. la variable de interés se ha expresado en función de varias variables, utilice la información dada para hallar relaciones entre las variables que permita hacer substituciones y expresar la variable de interés en función de solo una de las variables auxiliares. 6. Aplique los métodos desarrollados en la aplicación relativa a Análisis de funciones, para hallar los valores máximo o mínimo absolutos. Selecciones aquellos valores resultantes que estén contenidos dentro del dominio definido por el problema. Veamos el desarrollo del proceso descrito en los siguientes ejemplos: EJEMPLO 1.De las esquinas una lamina rectangular de hierro de 12 cm. por 20 cm. se deben recortar cuadrados de tal modo que al doblar los lados se forme una caja. De que medida debe ser el cuadrado que se recortara en las esquinas, y que dimensiones tendrá la caja, de tal forma que su volumen sea el máximo posible.

3 SOLUCIÓN. Se entiende que diversos tamaños del cuadrado a recortar dará como resultado cajas de diferentes dimensiones, con diferentes formas y volúmenes. Se desea diseñar aquella que tenga volumen máximo. Sea V el volumen de la caja, la variable de interés que va a ser maximizada (se pide calcular las dimensiones de la caja de volumen máximo). Sea x la medida del lado del cuadrado que va a ser recortado en las esquinas de la lamina. x x 12 2x 12 x x x 20 2x x 12 2x 20 2x 20 Se entiende entonces que las dimensiones de la caja son: largo 20 2x, ancho 12 2x, y alto x. Entonces, el volumen V de la caja esta dado por la expresión algebraica V = (20 2x) * (12 2x) * x = 4x 3 64x x Observe que en esta expresión del volumen, V = 4x 3 64x x, el volumen V esta solo en función del lado x del cuadrado a recortar como señala el paso 5. del proceso. Por tanto podemos proceder a aplicar el proceso de optimización señalado en el paso 6. consistente en derivar V con respecto a x, igualar a 0 la derivada y resolver la ecuación V = 0 para la variable x. Veamos: Derivando V con respecto a x e igualando a 0 tenemos: V = 12x 2 128x = 0 Resolviendo esta ecuación se obtienen las soluciones X = , y x = Como el ancho de la lamina es de 12 cm., el lado máximo posible debe ser inferior a 6 cm., por lo que la primera solución, X = , no es valida. La medida optima del lado del cuadrado a recortar es x = cm. Las dimensiones de la caja para tener un volumen máximo deben ser:

4 Largo = 20 2x = 20 2 * = cm., Ancho = 12 2x = 12 2 * = cm., Alto = x = cm. EJEMPLO 2.Se va a producir un envase de lata de forma cilíndrica con tapa para que contenga 1 Litro (1000 cm 3 ) de aceite. Encuentre las dimensiones del envase que minimizara el costo del metal para fabricar la lata. SOLUCIÓN. La construcción del envase implica recortar una pieza rectangular de lata a partir de la cual se fabricara el cuerpo cilíndrico del envase, y dos piezas circulares que serán sus tapas superior e inferior. Ademas, el costo mínimo de material se asocia a la cantidad mínima del mismo. Asignamos A al área total del envase, A t al área de las tapas, A c al área del cuerpo del envase, r al radio del cuerpo cilíndrico y h a su altura. radio r radio r A t = π r 2 h A c = 2 π r h h radio r A t = π r 2 2 π r El área total A esta dada como A = A t + A t + A c = 2 A t + A c = 2 π r π r h

5 Como el área A esta en función de 2 variables, el radio r y la altura h, se debe buscar la forma de eliminar una de esas 2 variables y dejar una sola. Para eso podemos usar la información del problema en el sentido de que el volumen del envase es de 1 litro (1000 cm 3.). Esto es, Volumen = π r 2 h = 1000 De esta expresión se concluye que h = 1000 / (π r 2 ) Substituyendo esta expresión de h en la expresión del área A tenemos A = 2 π r π r h = 2 π r π r (1000 / (π r 2 )) = 2 π r / r Así, tenemos una expresión de A en función de una sola variable, r: A(r) = 2 π r / r, con la condición r > 0 Aplicando el proceso de optimización sobre esta función tenemos: A (r) = 4 π r 2000 / r 2 = 4 (π r 3 500) / r 2 Haciendo A (r) = 0 y resolviendo para r, se obtiene que r = 3 (500 / π) cm. Substituyendo este valor de r en h = 1000 / (π r 2 ), se obtiene que h = 2 3 (500 / π) = 2 r cm. EJEMPLO 3.Un trozo de alambre de 10 m. se corta en dos partes. Una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triangulo equilátero. Como debe cortarse el alambre de modo que el área total encerrada sea: a) máxima, b) mínima. SOLUCIÓN. Se trata de cortar el alambre en dos partes y formar con cada parte una figura, una para formar un cuadrado y la otra para formar un triangulo equilátero. Cual medida del corte nos produce una medida total del área máxima o mínima?. Sea x la medida del trozo para formar el triangulo. Luego la medida del trozo para formar el cuadrado será 10 x. 10 m. x 10 - x Como el triangulo es equilátero, cada lado tendrá medida de x/3. Igualmente, cada lado del cuadrado tendrá medida de (10 x)/4.

6 (10 x)/4 x/3 x/3 (10 x)/4 x/3 Sea A t el área del triangulo, A c el área del cuadrado y A el area total de las dos figuras. El área A t del triangulo se calcula como (base * altura) / 2. La base es x/3, y la altura (sen 60º) * (x/3), ya que, como el triangulo es equilátero, sus ángulos interiores miden 60 o. Así, A t = (x/3 * (sen 60º) * (x/3)) / 2 = (sen(60 o )/18) * x 2 El área A c del cuadrado se calcula como lado * lado, por lo que A c = ((10 x)/4) 2 = (100 20x + x 2 )/16 El área total, dada por la suma de las áreas A t y A c es A = A t + A c = (sen(60 o )/18) * x 2 + (100 20x + x 2 )/16 A= ((sen 60º)/18 + 1/16) * x 2-5/4 x + 25/4 A = x x La expresión anterior para el área es una función cuadrática que representa una parábola que abre hacia arriba (ya que el valor a = >0), por lo que el valor critico de la función hace referencia a un mínimo. Como x puede tomar un valor que va desde mínimo 0 hasta máximo 10, el valor máximo de la función lo tomara en alguno de estos valores extremos de x. Aplicando el proceso de minimización, A = x 1.25 = 0 x = 1.25 / = 5.65 El anterior es el valor de x para el cual el área es mínima, lo cual ocurre tomando 5.65 cm. de alambre para hacer el triangulo, y el resto para hacer el cuadrado. En efecto, si evaluamos A en ese valor obtenemos

7 A(5.65) = cm 2. El área máxima se obtiene en alguno de los valores extremos de x, bien sea x = 0, o x = 10. Evaluando A en esos valores de x obtenemos A(0) = 6.25 cm 2 A(10) = cm 2 De lo anterior concluimos que el área máxima se obtiene cuando x = 0, esto es, cuando todo el alambre se usa para hacer el cuadrado, de lado 2.5 cm. 3. EJERCICIOS 1. Si se cuenta con 1200 cm 2. de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja. 2. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de cm 3. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. 3. Encuentre los puntos sobre la hipérbola y 2 x 2 = 4 que están mas próximos al punto (2. 0). 4. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que se pueda inscribir en un círculo de radio r. 5. Halle el punto de la recta y = 2x 3 mas cercano al origen. 6. Halle el área del rectángulo mas grande que se pueda inscribir en un triangulo rectángulo con catetos cuyas longitudes son 3 cm. y 4 cm. respectivamente, si dos de los lados del rectángulo se encuentran a lo largo de los catetos. 7. Se inscribe un cilindro circular recto en una esfera de radio r. Encuentre el volumen mas grande posible de ese cilindro. 8. Una ventana tiene forma de rectángulo rematada por un semicírculo (por consiguiente el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo). Si el perímetro de la ventana es de 4.3 m., encuentre las dimensiones de la ventana de modo que entre la mayor cantidad posible de luz. 9. Una cerca de 2.7 m. de altura esta situada paralela a un edificio a una distancia de 3.2 m. de este. Cual es la longitud de la escalera mas corta

8 que llegara desde el suelo, pasando por encima de la cerca, hasta la pared del edificio? 10.Un bote sale de un muelle a las 2:00 p. m. y viaja hacia el sur a una velocidad de 20 Km./h.. Otro bote ha estado viajando hacia el este a 15 km./h. y llega al mismo muelle a las 3 p. m.. En que momento estuvieron los dos botes mas próximos?