TEMA 3: CINEMATICA DE UNA PARTICULA

Transcripción

1 La Mecánica es la pare de la Física que esudia el moimieno de los cuerpos. La cinemáica es la pare de la mecánica que describe el moimieno en sí, sin ener en cuena la causa del mismo. La Dinámica es la pare de la mecánica que esudia la relación enre moimieno y las uerzas que lo causan y las propiedades de los objeos que se mueen. 3.. TIPOS DE MOVIMIENTO Hay res ipos comunes de moimienos: () raslación, () roación y (3) ibración. Ejemplos: () un carro, una bala de cañón, corrienes marinas () los planeas, una rueda girando, (3) una cuerda de guiarra, las moléculas de un maerial cuando incide luz en dicho maerial, Primeramene amos a concenrarnos en el moimieno de raslación. Para esudiar el moimieno amos a deinir en primer lugar el ipo de objeo que se a a moer: una parícula. Cuando un objeo se muee, dicho objeo puede eperimenar dierenes moimienos a la ez, por ejemplo, un balón de ubol puede esar moiendose con un moimieno de raslación parabólico y a la ez puede esar roando. Una parícula se deine como un puno, sin eensión, es decir, de amaño cero, de manera que los moimienos de roación o ibración se pueden despreciar. En la nauraleza odos los cuerpos ienen un amaño, pero podemos hacer una aproimación, por ejemplo, cuando se esudia el sisema Sol-Tierra-Luna, debido a que las disancias inolucradas son enormes, los cuerpos celeses puedes aproimarse a parículas. Un mo. de raslación ocurre cuando el sisema de reerencia asociado a la parícula que se muee (, y, z ) permanece paralelo a un sisema de reerencia ijo donde se encuenra el obserador (, y, z). No impora que el moimieno no se de en una línea reca. Los moimienos de raslación se pueden esudiar eniendo en cuena si el moimieno es en una dimensión (moimieno recilíneo y moimieno de caída libre) o en un plano (moimieno parabólico y moimieno circular). 3.. DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION 3... VELOCIDAD PROMEDIO La posición de una parícula denro de un sisema de reerencia iene dada por el ecor posición r desde el origen hasa la parícula. El ecor desplazamieno describe el cambio de posición de la parícula con respeco al sisema de reerencia dado, desde una posición r a una posición r, eso es: r r r, y el iempo que arda la parícula en desplazarse se deine como:. Con esas dos ariables se puede deinir la elocidad de una parícula como el cambio de su posición en el iempo. Maemáicamene éso se escribe como: - -

2 r r r (ecordesplazamieno) iempo La elocidad, por ano, es un ecor con la misma dirección y senido que el ecor desplazamieno y cuya magniud es r. Dicha magniud se epresa en unidades de disancia diididas por unidades de iempo (m/s en el sisema SI). La elocidad así deinida se denomina elocidad promedio porque sólo nos da inormación del puno inicial y el puno inal del moimieno, pero no nos dice nada sobre el recorrido, ése puede ser reco o con curas, puede ser esable o erráico. Digamos que nos dice cuán rápido se muee la parícula en un ineralo de iempo. La elocidad promedio sólo enuele el desplazamieno oal y el iempo oal que arda. Si describimos el moimieno diidiéndolo en eapas, enonces endremos descrio el moimieno con mayor dealle. Si la elocidad promedio es la misma en dirección y senido en dos eapas podemos decir que la parícula se ha moido con elocidad consane. Ejemplo: un señor sale de su casa en un iempo h. Recorre oda Ensenada y llega a su casa en 3 h. Cuál será su elocidad promedio? (Sol.: m/s). NOTA: Velociy inolucra desplazamieno como ecor, speed no incluye dirección, sino el número de meros moido (es la magniud de la elocidad) VELOCIDAD INSTANTANEA Cuando nos ineresa saber cuán rápido se muee la parícula en un insane de iempo esamos manejando elocidad insanánea, o simplemene elocidad. La elocidad insanánea se obiene de la elocidad promedio haciendo muy pequeñio el ineralo de iempo hasa que lo aproimamos a. Maemáicamene eso se describe mediane límies: lim r dr Maemáicamene la órmula anerior es la deinición de deriada:. d Ese concepo es muy úil cuando la parícula se desplaza en eapas y cada eapa iene dierenes elocidades promedio, o bien dierenes en magniud o en dirección, enonces la parícula iene una elocidad ariable. Nos puede ineresar la elocidad de la parícula en un deerminado insane de iempo VELOCIDAD VARIABLE Como imos aneriormene, una elocidad ariable es aquella en la que la elocidad promedio es dierene (en dirección o magniud) en las dierenes eapas del - -

3 moimieno de una parícula. Esa deinición nos ayudó a enender la elocidad insanánea. Supongamos una parícula moiéndose en el plano -y. Cada posición de la parícula esá deinida por el ecor r i + yj. La parícula iene una elocidad en cada puno que es angene a la rayecoria: dr d d d i + dy d j i + y j ACELERACION VARIABLE Ora canidad muy uilizada es la aceleración. Cuando la elocidad de una parícula cambia en un ineralo de iempo se dice que el cuerpo iene aceleración. Supongamos que en un insane de iempo la parícula iene una elocidad insanánea y en iene una elocidad insanánea. La aceleración promerio se deine como: a De la misma manera deinimos la aceleración insanánea como: d a lim d Supongamos una parícula moiéndose en el plano -y. Si su aceleración cambia en dirección y magniud, se dice que la aceleración es ariable. La aceleración en cada puno del moimieno iene dada por: d a d d d d y i + d j ai + ay j ACELERACION CONSTANTE Cuando la aceleración es consane o uniorme la aceleración promedio y la insanánea son iguales REPRESENTACION GRAFICA DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACION Si una parícula se encuenra en la posición y no se muee, se represena gráicamene en un sisema de ejes orogonal cuya abcisa es y la ordenada es, por - 3 -

4 una línea reca paralela al eje de iempos. Si el cuerpo se esá moiendo con elocidad uniorme a lo largo del eje, el moimieno se graica con una linea reca enre A y B. La elocidad promedio se calcula mediane la pendiene de la línea AB. La elocidad promedio es igual a la elocidad insanánea en ese caso. Si el cuerpo iene elocidad no uniorme o ariable, la gráica - será una línea cura. La elocidad promedio es la pendiene de la línea cura. La elocidad insanánea en un puno P se calcula suponiendo que en la ecindad de dicho puno la rayecoria es lineal. Esa línea es angene a la rayecoria en el puno P. La elocidad promedio es la pendiene de dicha angene. De la misma manera se puede graicar la aceleración promedio y la aceleracion insanánea, pero en un sisema de ejes -. Ejercicio : El desplazamieno de una parícula se describe mediane la ecuación: +. Calcular (a) la disancia recorrida enre s y 4s; (b) la elocidad promedio enre esos dos iempos. (a) Para s, 58 m; para 4s, m. Luego 44m (b) 44m y m, luego promedio 44/ 7 m/s Ejercicio : La elocidad de una paricula iene descria por la ecuación.+.. Calcular (a) el cambio en elocidad enre los iempos 3s y 6s; (b) la aceleracion promedio en ese ineralo de iempo. (a) Para 3s,.48 m/s; para 6s,.3 m/s. Luego.84m (b).84m, 3s. Luego a.8 m/s

5 3.3. MOVIMIENTO RECTILINEO Ya sabemos las deiniciones de elocidad y aceleración. Con esas deiniciones nosoros podemos deriar una serie de órmulas que relacionan,, a y y que describen el moimieno de una parícula a lo largo de una línea reca. Vamos a suponer que la aceleración es consane en ese moimieno, por lo que la aceleración insanánea es igual a la aceleración promedio en cada puno. Primeramene amos a considerar la deinición de la magniud de la elocidad promedio: Si la parícula pare de un origen, y, por lo que y. La ecuación anerior quedaría: donde es la disancia recorrida por la parícula en un iempo. Supongamos ahora una parícula con una elocidad inicial en el iempo que iaja con una aceleración consane a, y que alcanza una elocidad en un iempo. Por la deinición de la magniud de la aceleración promedio enemos: a Si despejamos de la ecuación anerior, enemos que la elocidad inal de la parícula es: + a que, si la comparamos con y n + m, es la ecuación de una línea reca cuya pendiene es ma. El siguiene paso es enconrar el desplazamieno de la parícula cuya elocidad inicial en el iempo es y que se muee con aceleración consane. De la igura, la elocidad promedio de odo el moimieno es: + el desplazamieno en un iempo es: + + ( + a ) a

6 donde es el área del recángulo y a es el área del riángulo superior de la igura. Eso es, la suma de esas dos áreas es igual al desplazamieno oal de la parícula. De eso se obiene que el desplazamieno de una parícula es igual al área bajo la cura del gráico iempo-elocidad. Ora ecuación para el desplazamieno se puede obener cuando el dao que nos ala es el iempo. Si despejamos de la ecuación: + a y susiuimos en la ecuación de, obenemos: + + a a o si queremos calcular la elocidad inal despejamos, obeniendo: + a Luego las relaciones que se uilizan para calcular el moimieno de una parícula (o de un cuerpo) que se muee con aceleración consane son: + + a + a + a Si en ez de suponer que la parícula pare de una posición, suponemos que pare de una posición inicial, las ecuaciones aneriores son: a + a( ) - 6 -

7 Ejemplo: El odómero de un carro marca 678 km al comienzo de un iaje y 79 km al inal del recorrido. El coche arda 4 h en hacer el iaje. Cuál es la elocidad promedio del coche en km/h?, y en m/s? (Sol.: 6 km/h 7. m/s). Ejemplo : Un cuerpo se muee con una elocidad inicial de 8 m/s a lo largo de una línea reca con aceleración consane y recorre 64 m en 4 s. Para ese ineralo de iempo, calcular: (a) la elocidad promedio; (b) la elocidad inal; (c) la aceleración. (Sol.: (a) 6 m/s; (b) 4 m/s; (c) a.4 m/s ). Ejemplo 3: Un barco que iaja hacia el ese reduce su elocidad de 5 nudos a 3 nudos ( nudo milla náuica/hora) en una disancia de. millas náuicas. Despreciando las corrienes marinas y el rozamieno del casco del barco con el agua, calcular: (a) cuál es la magniud y dirección de la aceleración consane?; (b) cuáno iempo ha ardado en decelerar?; (c) si se supone que el barco sigue decelerando a ese rimo, cuál es el iempo que arda el barco en pararse del odo?; (d) cuál es la disancia que necesia el barco para pararse del odo? (Sol.: (a) a - 54 mi/h ; (b) 8 s; (c) s; (d).8333 mi ) 3.4. MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE El mejor ejemplo de moimieno recilíneo con aceleración consane es el moimieno de caída libre hacia la ierra. En ausencia de resisencia del aire, y siempre que la disancia de caída no sea muy grande (la g aría con la alura), odos los cuerpos caen con la misma aceleración hacia el mismo puno de la supericie de la ierra, independienemene de su amaño, orma y composición. Ese moimieno ideal se denomina caída libre. La aceleración de caída libre se denomina aceleración de la graedad y es un ecor erical g. Cerca de la supericie de la Tierra, su magniud es 9.8 m/s ( 3 /s ). Para esudiar ese moimieno, el sisema de reerencia debe cambiar. El eje de moimieno es ahora erical, posiio hacia arriba, de manera que ahora la aceleración a - g. Las ecuaciones del moimieno son: y + y g - g - gy donde y en

8 Ejemplo 4: Un cuerpo cae libremene desde el reposo. Calcular: (a) su aceleración; (b) la desancia recorrida en un iempo de 3s; (c) su elocidad cuando llega a 7 m; (d)el iempo que necesia el cuerpo para alcanzar una elocidad de 5 m/s; (e) el iempo que arda en recorrer 3 m. (Sol.: (a) g 9.8 m/s ; (b) y 44 m; (c) 37 m/s; (d).55 s; (e) 7.8 s). Ejemplo 5: Se deja caer una peloa desde el borde de un acanilado con una elocidad inicial 5 /s. Calcular: (a) cuál es la elocidad de la peloa después de.5 s?; (b) cuál es la disancia recorrida cuando han ranscurrido.5 s?. (Sol.: (a) 73 ; (b) y 73.5 ). Ejemplo 6: Una piedra se deja caer desde un puene y alcanza el agua del rio en 5 s. Calcula: (a) la elocidad con la que penera el agua; (b) la alura del puene. (Sol.: 49 m/s; (b) y 3 m

9 CLASE 6// MOVIMIENTO PARABOLICO Ahora enramos en el esudio del moimieno en dos y res dimensiones. Ya habíamos iso que la elocidad y la aceleración son dos ecores de la orma: i + y j + z k a a i + a y j + a z k para una parícula que se muee en res dimensiones. Consideraremos que la parícula se muee en un plano con aceleración consane. Si la parícula se muee en el plano -y, las componenes z a z. Si la aceleración es consane, las componenes a y a y son consanes, eso es, el ecor a no aría para cualquier sisema de reerencia. Con eso, el moimieno de la parícula se puede considerar como la suma de dos moimienos que ocurren simuláneamene con aceleración consane, uno a lo largo del eje y el oro a lo largo del eje y. Al sumar esos moimienos, la parícula se moerá a lo largo de un recorrido en el plano -y. Si nos ijamos en el moimieno a lo largo del eje, las ecuaciones que lo describen son las de un moimieno recilíneo con aceleración consane: a + a ( ) + a Si nos ijamos ahora en el moimieno a lo largo del eje y, las ecuaciones que lo describen son las mismas que las aneriores, pero ahora con las componenes ericales: y + y y y + y y + y + ay y y + a y (y y ) - 9 -

10 y y + a y Si junamos ambos conjunos de ecuaciones para describir maemáicamene el moimieno de la parícula en el plano, endremos las ecuaciones generales ecoriales para la posición de la parícula y la elocidad inal de la misma: r r + + a + a Un caso especial de ese ipo de moimieno es el moimieno parabólico o de proyecil: una parícula se muee en un plano erical con una elocidad inicial y cuya aceleración es la aceleración de la graedad g, que es erical y hacia abajo. Un ejemplo es una peloa de gol, o de baseball, o una bala. Para analizar ese moimieno amos a despreciar el eeco de rozamieno del aire. Supongamos que el proyecil iene una elocidad inicial i + y j, cuyas componenes son: cosα, y sen α. Durane el moimieno, ano la posición r como la elocidad de la parícula cambian conínuamene, pero la aceleración a es consane y siempre dirigida ericalmene hacia abajo (a g). Eso es, el proyecil no iene aceleración horizonal. Para poder analizar ese moimieno se realiza una simpliicación, que es álida porque se ha comprobado eperimenalmene: en un moimieno parabólico o de proyecil el moimieno horizonal y el moimieno erical son independienes el uno del oro. Esa simpliicación nos permie romper el problema en dos dimensiones y esudiar el moimieno horizonal y el erical por separado: un moimieno recilíneo con elocidad consane (el horizonal) y un moimieno recilineo uniormemene acelerado (el erical). Supongamos que en la posición del proyecil es y, y su elocidad es, que es un ecor que orma un ángulo α con el eje horizonal ( cosα, y sen α ). Como la aceleración es erical, la componene maniene su alor a lo largo de odo el recorrido: cosα La componene erical de la elocidad cambiará en cada puno del recorrido debido al eeco de la aceleración a y -g, luego: y sen α g que corresponde a la elocidad del moimieno de caída libre. La magniud del ecor elocidad en cualquier insane es: + y - -

11 y el ángulo que orma con la horizonal es: an α y el ecor elocidad es angene al recorrido del proyecil en cada puno. La coordenada de la posición de la parícula es: ( cosα ) y la coordenada y es: y y + y + ½ g ( senα ) ½ g donde y. Las ecuaciones aneriores nos dan y y con respeco al iempo. Si las combinamos, obenemos la ecuación: y g (anα ) ( cosα ) que es la ecuación de la rayecoria del proyecil, que es de la orma y b c, que es la ecuación general de una parábola. Por ello, el moimieno de un proyecil se denomina moimieno parabólico. Ejemplo 6: Un aión de rescae uela a 98 km/h (55 m/s) a una aluud consane de 5 m sobre el niel del mar, donde se encuenra loando la ícima de un nauragio. El piloo quiere lanzar una cápsula de rescae de manera que ésa impace en el agua muy cerca de la ícima. (a) Cuál sería el ángulo α enre la línea de isión del piloo a la ícima cuando se realiza el lanzamieno? (b) cuando la cápsula de rescae alcanza el agua, cuál es su elocidad (magniud y ángulo)?. (Sol.:(a) α an m 48 o 5m ; (b) (55 m/s) i (99 m/s)j, 3 m/s, β - 6 o ) - -