Espacios Normados (Normas en R n )

Transcripción

1 Espacios Normados (Normas en R n ) Uno de los conceptos más importantes del cálculo y del analisis matemático es el de métrica o distancia. En R n la noción de metrico depende a su vez del concepto de norma de un vector. Norma de un vector: Si r = ( x, ȳ) R es la longuitud del segmento de recta que une los puntos = (, ) y P = (x, y), sabemos por el Teorema de Pitagoras que esta longuitud esta dada por x + y. Este número no negativo lo denominamos la norma de un vector v = OP. En el espacio tridimensional tambien tenemos x + y + z como la norma de un vector con respecto al origen. Definición.- Si x = (x 1,..., x n ) R n, definimos la norma euclidiana de x como el real no negativo x z que denotaremos por cualquiera de los simbolos x ó N(x) es decir, x = N(x) = x z Tenemos asi una función : R n R que designamos la norma euclidiana, la cual asigna a cada vector x R n un real x. Desigualdad de Cauchy-Shwarz Sean x = (x 1,..., x n ) ȳ = (y 1,..., y n ) elementos de R n entonces x 1 y x n y n x yn y yn Primero probaremos la desigualdad x 1 y x n y n x y n y y n lo cual implica la desigualdad deseada ya que x 1 y x n y n x 1 y x n y n 1

2 Solución: Si alguno de los vectores x ó ȳ es entonces la desigualdad se cumplo trivialmente, pues en este caso ambos miembros son. Si x, ȳ hagamos α = x y n β = y y n usando α y β, la desigualdad a probar se escribe x 1 y x n y n αβ y como α, β > esta desigualdad es equivalente a x 1 y 1 α β x n y n α β 1 Dado que para cualquiera reales a y b se cumple tenemos entonces que ab a + b x 1 α y 1 β x nα y nβ x 1 α + y 1 β x n α + y n β = x x n α + y y n β = = 1 Pasemos ahora a las propiedades de la norma euclidiana. Proposición.- Para cualquiera vestores x, ȳ R n α R se cumple: i) x = ii) α x = α x iii) x + ȳ x + ȳ iv) x = x = Demostración : i) x = x x n pues es la raíz positiva x

3 ii) α x α x = (αx 1 ) (αx n ) = α x α x n = α (x x n) = α x x n = α x iii) x + ȳ x + ȳ = (x 1 + y 1 ) (x n + y n ) = x 1 + x 1y 1 + y x n + x n y n + yn = x x n + (x 1 y x n y n ) + y y n = x + (x 1 y x n y n ) + ȳ Aplicando la desigualdad de Cauchy-Shwarz x 1 y x n y n x ȳ se tiene que x + (x 1 y x n y n ) + ȳ x + x ȳ + ȳ = [ x + ȳ ] x + ȳ [ x + ȳ ] y al sacar raiz obtenemos x + ȳ x + ȳ iv) Si ȳ = se tiene entonces x x n = es decir x x n = pero x i x i = i = 1,..., n x = El concepto general de Norma en R n. Las propiedades de la norma euclidiana nos ayudan para definir la nocion abstracta de Norma. Definición: Una norma en R n es cualquier función : R n R que satisface las siguientes propiedades que denominaremos Axiomas de Norma para cualesquiera x, ȳ R n y toda α R se cumple 3

4 i) x = ii) α x = α x iii) x + ȳ x + ȳ iv) x = x = Proposición: Para toda norma : R n R se cumple: i) x = x x R n ii) x ȳ x ȳ x, ȳ R n Demostración : i) x = 1 x = x ii) x = x ȳ + ȳ x ȳ + ȳ x ȳ x ȳ Intercambiando x por ȳ obtenemos ȳ x ȳ x = x ȳ ȳ x x ȳ Otras normas en R n Definimos 1 : R n R por 1 = x x n norma en R n x R n. Por demostrar 1 es una i) Dado que x R x, se tiene 1 = x x n x R n ii) Si α R y x = (x 1,..., x n ) R n, entonces α x = αx αx n = α x α x n = α ( x x n ) = α x x R n 4

5 iii) Si x = (x 1,..., x n ) y ȳ = (y 1,..., y n ) son elementos de R n x + ȳ = x 1 + y x n + y n x 1 + y x n + y n = x x n y y n = x 1 + ȳ 1 Si x 1 = x x n = y como cada x i i = 1,..., n entonces x x n = x i = i = 1,..., n x = Consideremos ahora la función : R n R dada por = máx{ x x n } x R n Proposición.- La función : R n R es una norma en R n, que se denomina norma del máximo o norma cúbica. Demostración : 1. Puesto que x i i = 1,..., n entonces máx{ x x n } es decir x. Sea α R y x R n. Se tiene entonces que α x = máx{ αx 1,..., αx n } = máx{ α x 1,..., α x n } Supongamos ahora que x iα = máx{ x 1,..., x n } 5

6 x iα x i i = 1,..., n α x iα α x i i = 1,..., n αx iα αx i i = 1,..., n por lo que α x iα = αx i = máx{ αx 1,..., αx n } = máx{ α x 1,..., α x n } es decir α máx{ x 1,..., x n } = máx{ αx 1,..., αx n } = máx{ α x 1,..., α x n } α x = α x 3. x + ȳ = máx{ x 1 + y 1,..., x n + y n } Sea x 1 α + y 1 α máx{ x 1 + y 1,..., x n + y n } como se tiene que x 1 α + y 1 α x 1 α + y 1 α máx{ x 1 + y 1,..., x n + y n } x 1 α + y 1 α pero por definición de máx{ x x n } máx{ y y n } también se tiene que x 1 α máx{ x x n } y 1 α máx{ y y n } luego máx{ x 1 + y 1,..., x n + y n } máx{ x x n } + máx{ y y n } o sea x + ȳ x + ȳ 6

7 4. x máx{ x x n } sea x 1 α = máx{ x x n } entonces x 1 α = x 1 α = Sea I = [, 1]. Demsotrar que f = sup{ f(x) }. Es una norma de C[, 1]. Solución: Recordar que toda función real continua definida en un intervalo cerrado es acotada, por tanto f está bien definida. Puesto que f(x) x I entonces f y ademas f = sii f(x) = x I, i.e. sii f = Recordemos un resultado Sean ay b números reales tales que a b + ε. Demostar que a b Supongase que a > b entonces a = b + δ, δ > tomamos entonces δ = ε a > b + δ > b + δ = b + ε a b ahora sea ε >. Entonces existe x I tal que f + g = sup{ f(x) + g(x) } f(x ) + g(x ) + ε f(x ) + g(x ) + ε sup{ f(x) } + sup{ g(x) } + ε = f + g + ε 7

8 f + g f + g Sea k R entonces kf = sup{ kf(x) } = sup{ k f(x) } = k sup{ f(x) } = k f(x) Demostrar que f = [, 1]) 1. f = f(x) dx es una norma de C[, 1] (funciones continuas en el intervalo f(x) dx puesto que f(x). Tenemos que kf = = 1 = k kf(x) dx k f(x) dx = k f f(x) dx f(x) dx 3. Tenemos que f + g = = 1 1 f(x) + g(x) dx [ f(x) + g(x) ]dx f(x) dx + = f + g g(x) dx 8