CAPÍTULO 3 Función Exponencial y Función Logarítmica. Por su uso e importancia, es necesario revisar las propiedades de las potencias, que se resumen

Transcripción

1 CAPÍTULO 3 Fució Epoecil Fució Logrític 3.1) Repso de propieddes de ls potecis Por su uso e iportci, es ecesrio revisr ls propieddes de ls potecis, que se resue cotiució. ( ) ) Fució Epoecil Defiició Se f u fució, IR IR f : tl que ( ) f, > 0, 1, f se le ll fució epoecil de se. L gráfic de u fució epoecil depede de l se, ser:

2 Nots pr el Curso MA-030 Mteátic pr Ciecis Ecoóics I N. Figuero & V. Rírez Cso 1: ( ), 1 f : IR IR, f > siguiete:. L gráfic preset l for (0,1) Aquí podeos decir que l gráfic de tod fució epoecil cu se se or que uo, tiee ls siguietes crcterístics: Su doiio es IR. Su áito es Es iectiv. IR. Es estrictete creciete. Es sitótic l eje X egtivo. Itersec l eje Y e ( 0,1). Es cócv hci rri. 83

3 Nots pr el Curso MA-030 Mteátic pr Ciecis Ecoóics I N. Figuero & V. Rírez Cso : ( ), 0 < < 1 f:ir IR, f siguiete:, l gráfic preset l for (0,1) E este cso podeos decir que l gráfic de tod fució epoecil cu se se or que cero eor que uo, tiee ls siguietes crcterístics: Su doiio es IR. Su áito es Es iectiv. IR. Es estrictete decreciete. Es sitótic l eje X positivo. Itersec l eje Y e ( 0,1). Es cócv hci rri. 84

4 Nots pr el Curso MA-030 Mteátic pr Ciecis Ecoóics I N. Figuero & V. Rírez Fució epoecil de se e Se f u fució, IR IR fució epoecil turl. f : tl que ( ) e f, f se le ll Recordeos que e es clro que este úero es u úero irrciol, or que 1, por lo que su gráfic es seejte l del cso ) Fució Logrític Iicios este estudio co u resultdo que pr todos es clro: 8 5. Cosidereos hor l pregut cuál úero deeos elevr el pr oteer 5? Pr respoderl deeos ecotrr u úero tl que 5 8 es el rito de 5 e se escriios 5 8. Es decir que: ; de quí, 8. E este cso, direos que Así hllr el rito de u úero ddo es ecotrr el epoete de u poteci cuo vlor es el úero ddo. Etoces, podeos decir que el rito de se de u úero es el epoete l cul dee elevrse pr oteer. E térios geerles: 85

5 Nots pr el Curso MA-030 Mteátic pr Ciecis Ecoóics I N. Figuero & V. Rírez Dode, se ll otció rític, se ll otció epoecil. Adeás, es coveiete señlr que ls ses ás usds e el trjo co ritos so 10 e ; los respectivos ritos se les ll ritos deciles ritos turles o eperios. E estos csos se costur o escriir l se, es decir: 10 l e l Defiició Se f u fució, f IR IR f > 0, 1, f se le ll fució rític. : tl que ( ), co L gráfic de u fució rític depede de l se, ser: Cso 1: f : IR IR tl que f ( ), > 1, l gráfic es u práol de l siguiete for: E este cso podeos decir que l gráfic de tod fució rític de se or que 1 cuple ls siguietes crcterístics: Su doiio es IR. 8

6 Nots pr el Curso MA-030 Mteátic pr Ciecis Ecoóics I N. Figuero & V. Rírez Su áito es IR. Es iectiv. Es estrictete creciete. Es sitótic l eje Y egtivo. Itersec l eje X e ( 1,0). Es cócv hci jo. Cso : f : IR IR tl que f ( ), 0 < < 1, l gráfic es u práol de l siguiete for: Aquí podeos decir que l gráfic de tod fució rític de se or que 0 eor que 1 cuple ls siguietes crcterístics: Su doiio es IR. Su áito es IR. Es iectiv Es estrictete decreciete. Es sitótic l eje Y positivo. 87

7 Nots pr el Curso MA-030 Mteátic pr Ciecis Ecoóics I N. Figuero & V. Rírez Itersec l eje X e ( 1,0). Es cócv hci rri. 3.4) Propieddes de los ritos Los ritos tiee vris propieddes que se deduce directete del hecho de que so los iversos de los epoetes. Ests propieddes perite covertir los cálculos de ultipliccioes e proles de sus, los de divisioes e rests los de potecis ríces coo ultipliccioes. Así, > 0, 1, M, N IR, etoces: 1) 1 ) 3) 1 0 ( M N ) M N 4) M N M N 5) M N N M ) N M 1 N M 7) M M Ejeplos 3 1) Eprese e for desrrolld l c Solució l c 3 l 3 3l l c ( l l c ) 3l l l c 88

8 Nots pr el Curso MA-030 Mteátic pr Ciecis Ecoóics I N. Figuero & V. Rírez 1 ) Eprese coo u solo rito Solució 1 ( ) 3.5) Ecucioes epoeciles rítics E ls ecucioes epoeciles l icógit es u epoete. Se utiliz coo odelos teáticos de creciieto de polcioes udiles, de cteris e ciertos estudios de rqueoí, presió tosféric e iterés copuesto etre otros. Desrrolleos u ejeplo de ecucioes epoeciles. Si P represet l polció udil e el tiepo t (e ños), k el ídice de creciieto P 0 l polció iicil, etoces pr periodos cortos de tiepo, u odelo de creciieto de l polció udil viee ddo por Es decir: k t P P0 e e 0, 0 t L cul es u ecució epoecil de vrile t Cóo ecotrr el vlor de t? Pr resolver ecucioes epoeciles, es coveiete deterir si ls ses so igules, pues st plicr l siguiete propiedd: 89

9 Nots pr el Curso MA-030 Mteátic pr Ciecis Ecoóics I N. Figuero & V. Rírez L cul se justific por el hecho de que l fució epoecil es iectiv. Así, podeos epler l propiedd terior pr resolver ecucioes epoeciles e ls cules ls ses so igules o ie, puede trsforrse e equivletes. Pr resolver u ecució epoecil e l cul ls ses o so equivletes, st recordr que l fució rític es iectiv, pues esto os perite firr: Es decir, si deeos resolver u ecució coo, podeos utilizr el hecho terior pr escriir: Aplicdo propieddes de los ritos se tiee que: por últio: Eiste otros tipos de ecucioes epoeciles, coo por ejeplo e 5e 1 0, o ie, e ls que es ecesrio relizr trsforcioes lgerics. 90

10 Nots pr el Curso MA-030 Mteátic pr Ciecis Ecoóics I N. Figuero & V. Rírez Ejeplo Resuelv l ecució 3 33 Solució ( ) (Al fcorizr por fctor coú) S { } Ahor, pr resolver ecucioes rítics, se dee plicr ls propieddes de los ritos. E ecesrio verificr e l ecució origil ls respuests que se oteg pr deterir si es ecesrio descrtr lgu de ells. Ejeplo Resuelv l ecució ( 4) ( 1) 1 Solució ( 4) ( 1) ( 1) 4 1 4, 4 si 1 91

11 Nots pr el Curso MA-030 Mteátic pr Ciecis Ecoóics I N. Figuero & V. Rírez Prue 1 1 S ( 4) ( 1) { } ) Cio de se E ocsioes, result útil cir ritos co u se ritos e otr se. Cosidereos que se os d deseos deterir. Se Escriios lo terior e for epoecil toos el rito co se e os ldos Que result ser l fórul de cio de se 9

12 Nots pr el Curso MA-030 Mteátic pr Ciecis Ecoóics I N. Figuero & V. Rírez Ejeplo Utilice l fórul de cio de se los ritos coues o turles pr evlur el siguiete rito. Eprese l respuest co cutro deciles. 5 8 Solució , ) Iecucioes epoeciles rítics El proceso de solució de iecucioes epoeciles rítics es siilr l proceso de resolució de ecucioes. Adeás, se dee cosiderr ls propieddes de ls iecucioes vists e el Cpítulo 1. Ejeplos 1) Resuelv l siguiete iecució epoecil 5 3 > 5 Solució > 5 > 5 3 > > 5 ] 5, [ 93

13 Nots pr el Curso MA-030 Mteátic pr Ciecis Ecoóics I N. Figuero & V. Rírez ) Resuelv l siguiete iecució rític ( 5) > ( ) ( 4) Solució Priero deeos recordr que estos ritos tiee restriccioes e rzó del doiio de l fució rític, e este cso deeos de grtizr que los rguetos de estos tres ritos se positivos. Est cosiderció l retoreos e l prte fil de l solució. Vos utilizr ls propieddes de los ritos pr reescriir l iecució co u epresió rític cd ldo del síolo de desiguldd. ( 5) > [ ( )( 4) ] Coo l fució es creciete, que l se es or que uo, teeos que: ( 5) > [( )( 4) ] 5 > 4 3 > < 0 ( 1)( 3) < 0 8 ] 3, 1[ Ahor itersecos co ls codicioes de doiio 5 > 0 > 0 < < 1 4 > 0 3 < < 1 De dode l solució es ], 1[ 94