a la componente imaginaria de z. Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria.

Transcripción

1 Númeos Complejos Un Defnón Llmemos númeo omplejo un númeo z que se ese e l fom, one y son númeos eles, e vef:. Al númeo se lo enomn pte el e z y l númeo, pte mgn e z. pte } pte } mgn Se esgn on Re ( z) l pte el el númeo omplejo z y on Im ( z) l omponente mgn e z. Conón e gul Dos númeos omplejos son gules uno tenen l msm pte el y l msm pte mgn. Defnón onjunto e númeo omplejo Se enomn on l let C l onjunto e toos los númeos omplejos: Not: { z / z ; R R} C, Un númeo omplejo uy pte mgn es eo se entf on un númeo el que se enomn omplejo el. 0 R Too númeo el puee onsese un númeo omplejo uy pte mgn es eo. Un númeo omplejo uy pte el es eo se enomn mgno puo. Po ejemplo: 0

2 Un Nª Dos númeos omplejos se enomnn onjugos s tenen l msm pte el y ls ptes mgns opuests. El omplejo onjugo el omplejo z se n on z ; luego z S z, su omplejo onjugo es z z, su omplejo onjugo es z Dos númeos omplejos son opuestos s tenen pte el y l pte mgn opuests. El omplejo opuesto el omplejo z se n on z ; luego z S z, su omplejo opuesto es z z, su omplejo opuesto es z Uón el onjunto e los númeos omplejos El onjunto e los númeos eles está nluo en el onjunto e los númeos omplejos: R C, poque s R, es z 0, y, entones, z C Ntules ( N) N0 Enteos ( Z ) Ronles Enteos Negtvos Fonos Ionles { o} ( Q) Re les R Complejos ( I) Imgnos( Im) ( C) Repesentón e los númeos omplejos Nos peguntmos s poemos epesent gáfmente los númeos omplejos. Conseno que un númeo omplejo puee onsese omo el punto e un plno e ooens (; ), one es l pte el y es l pte mgn. Los númeos omplejos eles se epesentn en el eje e ls sss (eje el) y los númeos omplejos mgnos puos soe el eje e ls oens (eje mgno).

3 Númeos Complejos Este plno fomo se enomn plno omplejo C. z 0 Eje el Foms e expes un númeo omplejo Poemos expes los númeos omplejos e uto foms stnts. S lo expesmos e l fom se enomn fom noml o nóm S lo expesmos ( ; ) se enomn fom e p oeno, one l pme omponente es l pte el y l segun es l pte mgn. El punto ( ; ) se enomn fjo e z. Ls ots os foms l vmos nom, peo l euón se veá en ños posteoes. S osevs l sguente fgu, l fj el punto z que etemno un tángulo etángulo oz el que se onoen ls mes e sus tetos y y se puee lul su hpotenus po el teoem e Ptágos. A l me e ést l esgnemos on y l llmemos móulo el veto o el nú- meo omplejo. Entones El veto fom un ángulo φ on el semeje postvo e ls sss tomo en el sento nthoo. Dho ángulo se enomn gumento el veto. El vlo e ϕ puee etemn mtemátmente po tgonometí o en po meón. En este uso usemos est últm fom. Y s emos que z, ϕ, estemos esgnno los númeos omplejos en notón pol o fom pol. Exste ot fom e expes l númeo omplejo, que es l fom tgonomét, que se estuá el ño sguente.

4 Un Nª Opeones on los númeos omplejos Sum P sum os númeos omplejos, se sumn sepmente sus ptes eles e mgns En símolo: Not L sum e os númeos omplejos onjugos es un númeo el gul l uplo e l omponente el el númeo omplejo. En símolo: 0 Dfeen En el so e l est ente númeos omplejos, se ope e l sguente mne. Eje mgno Eje el ϕ z 0

5 Númeos Complejos Not L feen e os númeos omplejos onjugos es un númeo mgno puo gul l uplo e l omponente mgn el númeo omplejo. En símolo: Multplón P multpl on númeos omplejos, se ope on ellos omo s se tt e polnomos, teneno en uent que Not El pouto e os númeos omplejos onjugos es un númeo el gul l l sum e los uos e l omponente el y l omponente mgn e uno ulque e esos númeos omplejos. En símolo:

6 Un Nª ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 0 Dvsón P v os númeos omplejos, se multpln veno y vso po el omplejo onjugo el vso, multplno numeoes y enomnoes ente sí. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0

7 Númeos Complejos Potenón Veemos, en pme lug, ls potens suesvs e l un mgn, esomponeno en potens e gul se o o ( ) ( ) L tee olumn e gules se expes que Ls potens suesvs e se epten uto vloes pt e los vloes e,, -; -. o, optno Clul ( ) omo Cálulos Auxles x ( )... Not En genel, s l v m po, el oente y el esto, se tená que: m ( ) m

8 Un Nª To poten e exponente ntul e tene el msmo vlo que l poten e e exponente gul l esto e l vsón ente e ese exponente o po uto. Cuo y uo e un númeo omplejo S se tene pesente l efnón e poten, esult fál pone en even, que p el álulo el uo o el uo e un númeo omplejo, l fom nóm se ompot omo un nomo. Es e que: P el uo e un omplejo Susttuyeno - otenemos Susttuyeno otenemos