Fórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada primera de de una función

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1 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de Dervacó Numérca: Aproxmacó de de la la dervada prmera de de ua fucó Prof. Alfredo López L Beto Prof. Carlos Code LázaroL Prof. Arturo dalgo LópezL Abrl, 7 Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos

2 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas OBJETIVOS º. Coocer el cocepto de fórmula de dervacó umérca º. Obteer y aplcar fórmulas de dervacó umérca de tpo terpolatoro para aproxmar prmeras dervadas de fucoes. 3º. Aalzar y obteer cotas del error de aproxmacó de dervadas prmeras medate fórmulas de tpo terpolatoro. 4º. Coocer las prcpales propedades de las fórmulas de dervacó umérca de tpo terpolatoro para aproxmar dervadas prmeras de fucoes. 5º. Obteer y aplcar fórmulas de tpo terpolatoro para aproxmar dervadas de orde superor al prmero, y coocer sus propedades prcpales. Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos

3 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de dervacó umérca: defcó. Defcó Se deoma FÓRMULA DE DERIVACIÓN NUMÉRICA para aproxmar f (x*) sobre el soporte {x, x,..., x } a toda expresó de la forma: f'( x* ) c. f( x) A los úmeros c se les deoma COEFICIENTES (o PESOS) de la fórmula. S c = L (x*), sedo L (x) ( =,,..., ) los (+)polomos de base de Lagrage sobre el soporte {x, x,..., x } a la fórmula se la deoma fórmula de dervacó umérca de tpo terpolatoro (e el setdo de Lagrage). Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos

4 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de dervacó umérca: error. Defcó Sedo f(x) ua fucó dervable e x* y dada la fórmula de dervacó umérca para aproxmar f (x*) sobre el soporte {x, x,..., x }: f '( x* ) f ' c. f( x ) = * se deoma ERROR DE TRUNCAMIENTO de la fórmula para la fucó f(x) el e puto x*, al valor: R f (x*) = f (x*) f * NOTA: Para cada fucó f, Rf : I R x R f (x) Se buscará acotar R f (x) e el tervalo I. Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 3

5 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de dervacó umérca de de tpo terpolatoro Sea. Sedo p (x) el polomo terpolador de Lagrage de ua fucó f(x) sobre el soporte {x, x,, x } se tee que: f(x) = p (x) + ε f (x) = f(x ) L (x) +ε(x) c l l f f'(x*) = f(x ) L (x*) + ε (x*) f R f (x*) A las fórmulas así obtedas se las de dervacó umérca de tpo terpolatoro costrudas sobre el soporte {x, x,, x } Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 4

6 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: obtecó. OBSERVACIÓN E otros térmos, las fórmulas de dervacó umérca de tpo terpolatoro que aproxma el valor de f (x*), se obtee dervado el polomo terpolador de la fucó f(x) y partcularzado la expresó de la dervada e x*. Para ello, puede utlzarse cualquera de las expresoes que proporcoa el polomo terpolador (fórmula de Lagrage, fórmula de Newto, fórmulas e dferecas ftas,...) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 5

7 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: ejemplo.. Ejemplo: Soporte: {x, x } Polomo terpolador de f(x) e este soporte: f(x) p (x) = f (x ) + f x,x (x x ) [ ] Aproxmacó de f (x*) medate ua fórmula de tpo terpolatoro co el soporte {x, x } : f '( x) p '(x) = f x, = [ x ] f(x ) f(x ) x x E u puto x*: f'( x* ) p '( x* ) = f(x ) f(x ) x x x x* x Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 6

8 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: ejemplo.. f '( x* ) p '( x* ) = f(x ) f(x ) x x = (x) f + (x) f c c x x* x α β p (x*) = tg (β) f (x*) = tg (α) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 7

9 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: ejemplo a) Obteer ua fórmula de tpo terpolatoro que aproxme f (x*) sobre el soporte {x =x*-, x =x*-, x =x*} b) Aplcar la fórmula a la aproxmacó de la prmera dervada de la fucó e -x e el puto x* = y co pasos = -, -,, - Solucó: L(x) (x x * + ) (x x*) L' (x*) (x x * + ) (x x*) = L'(x*) = L(x) = = Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 8

10 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: ejemplo (x x * + ) (x x*) L(x) = L' (x*) = (x x * + ) (x x*) L(x) = L'(x*) = (x x * + ) (x x * + ) 3 L(x) = L'(x*) = f'(x*) f(x * ) f(x * ) + f(x*) ( 4 3 ) APLIQUÉMOSLA! Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 9

11 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Ejemplo f'(x*) f(x * ) f(x * ) + f(x*) x* = f = x e -x f () =- ( 4 3 ) Valor aproxmado de f () Dsmur por debajo de u certo umbral empeora el resultado Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos

12 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas El El error e e las fórmulas de de tpo terpolatoro ( ξ(x) ) (+ f x ( x,x ) ξ = ξ(x) /f(x) p (x) = x x + ( ) ( )! = ξ ξ + + R f(x*) ( (+ f ( (x*)) '(x*) (x * )! x ) (+ + f ( ξ(x*)) (x * x ) ( + )! j= j Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos

13 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de desarrollos e sere de Taylor x* x x x = sup(, ) = sup( x*-x, x*-x ) x = x* + θ ( =,..., ) θ [,] S f C + ((a, b)): θ θ f(x ) f( ) f( ) f'( ) f ( ) ( ) j j + + (j ( x * x* x* x* x j j! ( )! f + = +θ = + θ + + * +δ = + c f f c f * c f'( x* ) (x ) = ( x* ) + '( x ) θ + j + + θ + θ +δ j= j! ( + )! (j j + (+ f ( x* ) c ( c f ( x * ) ) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos

14 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de desarrollos e sere de Taylor c f f c f * c f'( x* ) (x ) = ( x* ) + '( x ) θ + S c = L (x*)... Propedad j + + θ + θ +δ j= j! ( + )! (j j + (+ f ( x* ) c ( c f ( x * ) ) c = Propedad c Propedad 3 θ = (Ver la demostracó e presetacó º 6) (Ver la demostracó e presetacó º 7) j c θ = (j =,..., ) (Ver presetacó º 7) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 3

15 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de de desarrollos e e sere de de Taylor + f'( x* ) c f(x ) = f'( x* ) + θ f ( x * +δ ) + (+ ( c ) ( + )! S c = L (x*) y se deota por = θ = x x*: f'( x* ) c f(x ) = f'( x* ) + θ ( x +δ ) ( ( c f + * ) ( + )! f'( x* ) c f(x ) = f'( x* ) + ( ξ ) α ( + )! ξ (+ ( α f ) Rf ( x* ) = f ( ξ ) ( + )! ( (+ α ) Rf ( x* ) f ( ) ( + )! ( (+ α ) ξ Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 4

16 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de de desarrollos e e sere de de Taylor Rf ( x* ) f ( ) ( + )! ( (+ α ) ξ Lema S g C((a,b)), dados (+) coefcetes o egatvos y o todos ulos {γ,γ,...,γ } y (+) putos {ξ,ξ,..., ξ } de (a,b), exste algú puto ξ (a, b) tal que: γ g( ξ ) = γ g( ξ) dode: γ= γ (Ver demostracó e los aputes) Luego: R ( α ) (+ f ( x* ) f ( ) β ( + )! ξ (+ = β f ξ ( ) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 5

17 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de de desarrollos e e sere de de Taylor (Demostracó de las propedades usadas e la presetacó º 3) Propedad S c = L (x*): Demostracó: c = Iterpolado la fucó f(x) = (polomo de grado que se terpolará s error sea cual sea el valor de ) se tee = L (x) + L (x) +.+L (x) = L(x) Dervado la detdad ateror y partcularzádola e x = x* se tee demostrada esta propedad Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 6

18 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de de desarrollos e e sere de de Taylor (Demostracó de las propedades usadas e la presetacó º 3) Propedad S c = L (x*): Demostracó: Iterpolado la fucó f(x) = x (polomo de grado que se terpolará s error sea cual sea el valor de ) se tee x = L (x) x + L (x) x +.+L (x) x c θ = Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos x = Dervado la detdad ateror e x* resultará que: L(x) x = c x = c (x * +θ ) = x * c + c θ Se aula por Propedad de dode se tee la gualdad que se quería demostrar 7

19 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de de desarrollos e e sere de de Taylor (Demostracó de las propedades usadas e la presetacó º 3) Propedad 3 S c = L (x*) y j < : Demostracó: c θ = j Iterpolado la fucó f(x) = (x x*) j (polomo de grado j que se terpolará s error co los (+) putos de soporte) se tee (x-x*) j = L (x) (x x*) j + L (x) (x x*) j +.+L (x) (x x*) j ( ) j j j x x * = L(x) θ Dervado la detdad ateror y partcularzado e x* resultará que: j c = θ de dode se tee la gualdad que se quería demostrar j Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 8

20 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas x* x x = sup(, ) EJEMPLO Sea θ y θ tales que: f(x) f(x) f(x) f(x) f ( x* ) = x x x x* = θ x x* = θ Se verfca que: = x x = (x - x*) - (x - x*) = θ θ = (θ θ ) y: f(x ) f(x ) f(x*) = S f C ((a, b)): θ f(x ) = f( x* +θ ) = f( x* ) +θ f'( x* ) + f '( x * +δ ) θ f(x ) = f( x* +θ ) = f( x* ) +θ f'( x* ) + f '( x * +δ ) ( θ θ ) f '( x* ) "( ) "( ) ( f x* f x* ) + θ +δ θ +δ Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 9

21 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas ( θ θ ) f(x*) = γ x x* x = sup(, ) Casos partculares: EJEMPLO (cot.) f '( x* ) + θ f "( x* +δ ) "( ) θ f x* +δ ( ) "( ) "( ) γ f(x*) f '(x*) + ( θ f x* +δ θ f x* +δ ) Error de orde R( x* ) = "( ) f ζ () R( x* ) " f ( ) x* = x = ; γ = ; θ = ; θ = ; f x* = x = ; γ = ; θ = -; θ = ; f = ζ () Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos

22 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Casos partculares (cot.): EJEMPLO (cot.) x* = (x +x )/ = ; γ = ; θ = - ½; θ = ½ ; E este caso, s f C 3 ((x, x )): R( f x* ) f "( ζ) "( ) f = ζ 3 f (x ) = f ( x* + ) = f ( x* ) + f '( x* ) + "( ) '''( ) f x* + 6 f ξ 3 f (x ) = f ( x * ) = f ( x* ) f '( x* ) + "( ) '''( ) f x* 6 f ξ f( x* + ) f ( x* ) = f'( x* ) + ( f'''( ξ ) + f''' ( ξ) ) 6 R( f x* ) = "' ( f ( )) "'( ) 6 ξ = 3 f ξ Pero. Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos

23 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: orde de de exacttud. Defcó Se dce que la fórmula de dervacó umérca: f = * f '( x* ) ' c. f( x ) es exacta para la fucó f(x) e el puto x* cuado R f (x*) = Defcó Se dce que la fórmula de dervacó umérca: f = * f '( x* ) ' c. f( x ) es exacta de orde k cuado es exacta para cualquer polomo de grado meor o gual que k y e cualquer puto x* de la recta real. Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos

24 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: orde de de exacttud. EJEMPLO: La fórmula de dervacó umérca de tpo terpolatoro costruda sobre el soporte {x, x }: f( x* ) f(x ) f( x) x x tee u error de trucatura verfcado: R f (x*) < M dode: M = sup ( f "(x) ) x < x< x S f(x) es u polomo de grado <, se verfca que M =. E cosecueca, la fórmula ateror es exacta de orde. Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 3

25 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: orde de de exacttud. Teorema Las codcó ecesara y sufcete para que ua fórmula de dervacó umérca costruda sobre u soporte de (+) putos {x, x,..., x } sea exacta de orde es que sea ua fórmula de tpo terpolatoro. Demostracó: a) Demostremos que s f'( x* ) c. f( x) es de tpo terpolatoro etoces la fórmula es exacta de orde. S f(x) es cualquer polomo de grado < y deotamos por p (x) a su polomo terpolador de Lagrage sobre el soporte {x, x,..., x } se verfca para cualquer puto x*: f(x) = p (x) = f(x ) L(x) f '( x* ) = f(x ) L '( x* ) = c.f(x) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 4

26 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: orde de de exacttud. b) Demostremos que s f'( x* ) c. f( x) es de tpo terpolatoro es exacta de orde, etoces S es exacta de orde, para cualquer polomo de grado < y e cualquer x* es exacta. E partcular lo será para cada uo de los polomos de base de Lagrage L j (x) (j =,,...) Lj c L j '( x* ) =. ( x) Recordado que L j (x ) = δ,j se tee que: L '( x* ) = c. δ = c j, j j (j =,,..., ) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos (j =,,..., ) c.q.d. 5

27 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: Propedad Propedad E toda fórmula de dervacó umérca costruda sobre el soporte de (+) putos {x, x,..., x } y que sea de tpo terpolatoro f'( x* ) c. f( x) se satsface que: Demostracó: x: L (x) = c = = L (x) ' L '(x) = L '( x* ) = c = c.q.d. Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 6

28 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: Ejerccos Ejerccos propuestos: º) Cosdérese la fórmula de dervacó umérca de tpo terpolatoro: f'( x* ) c. f( x) y sea m u etero tal que < m <. Demuéstrese que etoces: c x m = ( * ) m x m Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 7

29 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: Ejerccos º) Demuéstrese que para toda fucó f C ((x,x )) sempre exste algú puto x* (x, x ) para el que es exacta la fórmula de dervacó umérca de tpo terpolatoro costruda sobre el soporte {x, x }: f '( x* ) L'(x*) f(x ) + L '(x*) f(x) Obsérvese que segú lo ateror, para cualquer valor o egatvo del etero k exste algú puto x* para el que la fórmula de dervacó umérca de tpo terpolatoro costruda sobre el soporte {x, x } proporcoa el valor exacto de la dervada de cualquer polomo de grado k e x*. Quere ello decr que la fórmula de dervacó cosderada es de orde k para cualquer valor o egatvo del etero k? Se cotradce el teorema sobre el orde de exacttud de las fórmulas de dervacó umérca de tpo terpolatoro? Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 8

30 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: fórmulas usuales a) Soporte co puto {x } f(x) p (x f ) = (x ) b) Soporte co putos {x, x } f(x) p (x) f(x ) f x,x x x f '( x* ) p '( x*) = = + [ ] ( ) f'( x* ) p '( x*) = f[ x, x ] f(x ) f(x) = x x* x f(x + ) f(x ) x* = x f '(x) (Fórmula e adelato o backwd) f(x ) f(x ) x* = x f '(x) (Fórmula e retroceso o upwd) f( x* + ) f( x* ) x* = (x +x )/ f '( x* ) (Fórmula cetrada) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 9

31 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas c) Soporte co 3 putos {x, x, x } Fórmulas de de tpo terpolatoro: fórmulas usuales [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) f(x) p (x) = f(x ) + f x,x x x + f x,x,x x x x x ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) f'( x* ) p '( x* ) = f x,x + f x,x,x x * x + x * x f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) x x x x x* x x* x x x x x (( ) ( ) ) = + + Prmer caso partcular: soporte equdstate y x* = x x* x x x f( x* + ) + 4 f( x* + ) 3 f( x* ) f '( x* ) (Fórmula e adelato co 3 putos) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 3

32 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro: fórmulas usuales Segudo caso partcular: soporte equdstate y x* = x x* f( x* + ) f( x* ) f '( x* ) x x x (Fórmula cetrada co 3 putos) Tercer caso partcular: soporte equdstate y x* = x x* x x x f '( x* ) 3 f( x* ) 4 f( x * ) + 3 f( x* ) (Fórmula e retroceso co 3 putos) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 3

33 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos 3