U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #26B Sexto grado Máximo común divisor. Problemas.

Transcripción

1 GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas Guía # 6B. Tema: Máximo común Fecha: Profesor: Fernando Viso Nombre del alumno: Sección del alumno: CONDICIONES: Trabajo individual. Sin libros, ni cuadernos, ni notas. Sin celulares. Es obligatorio mostrar explícitamente, el procedimiento empleado para resolver cada problema. No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo. No pueden moverse de su asiento. ni pedir borras, ni lápices, ni calculadoras prestadas. Marco Teórico: El máximo común divisor (m.c.d.) de dos números es el mayor número de dos números que los divide exactamente. Ejemplo #: Dados los números 8 y 4, cuál es el m.c.d.? Solución:, 3 y 6 dividen a ambos números y el mayor de los tres es 6, por tanto, 6 es el m.c.d. de los dos números dados. Ejemplo #: Dados los números 60, 00 y 0, cuál es el m.c.d.?. Solución: Estos números son divisibles por, 4 5, 0 y 0. No hay ningún número mayor que 0, por tanto, 0 es el m.c.d. de los tres números dados. M.C.D. por inspección: Cuando los números son pequeños, puede hallarse el m.c.d. por simple inspección. Como el m.c.d. de varios números tiene que ser divisor del menor de ellos, se procederá así: Nos fijamos en el número menor de los dados. Si éste divide a todos los demás, será el m.c.d. Si no los divide, buscamos cual es el mayor de los divisores del menor que divide a todos los números y éste será el m.c.d. FVR (/09/0)

2 Ejemplo #3: Halla r el m.c.d. de 6, y 8. Solución: El número 6 es el menor de los tres y divide exactamente a los otros dos, por, tanto, 6 es el m.c.d de los tres números dados. Ejemplo #4: Hallar el m.c.d. de 0, 90 y 70. Solución: En este caso 0 no es divisor de 70 y 90. Si tomamos ahora 0, éste es el máximo divisor de 0 y es, además, divisor de 70 y 90; por tanto, 0 es el m.c.d. de los tres números dados. Ejemplo #5: Hallar el m.c.d. de 48, 7 y 84. Solución: 48 no divide a los demás. El número es el máximo divisor de 48 que adicionalmente es divisor de 7 y de 84. METODOS PARA HALLAR EL M.C.D. Cuando no es fácil hallar el m.c.d. por inspección, se utilizan dos métodos: (a) Por divisiones sucesivas. (b) Por descomposición en factores primos. M.C.D. de dos números por divisiones sucesivas. La regla para encontrar el m.c.d. en este caso, se funda en el siguiente teorema: Se divide el mayor de los números dados por el menor. Si la división es inexacta, se divide el divisor por el primer residuo; el primer residuo por el segundo residuo; éste por el tercero y así sucesivamente hasta obtener una división exacta. El último divisor será el m.c.d. Ejemplo #6: Hallar el m.c.d. de 50 y 5. Solución: En este caso 50 es divisible por 5, por tanto, 5 es el m.c.d. de ambos números. Ejemplo #7: Hallar el m.c.d. de 7 y Entonces, el m.c.d. de 7 y 5 es 7. FVR (/09/0)

3 Nota: Si en el proceso de hallar el m.c.d. encontramos un resido que sea primo y la división siguiente no se exacta, no es necesario continuar la operación y podemos afirmar que el m.c.d. es y que por tanto los números dados son primos entre si. Ejemplo #7: Hallar el m.c.d. de 47 y 46. Solución: En este caso la solución es. Se ha encontrado el residuo primo 37 y la división siguiente no es exacta. M.C.D. de más de dos números por divisiones sucesivas: Para hallar el m.c.d. de más de dos números por divisiones sucesivas se halla primero el m.c.d. de dos números, después se toma otro número y el m.c.d. encontrado y se encuentra el m.c.d. de ellos dos; después se toma otro número y el segundo m.c.d. encontrado y se encue3ntra el m.c.d. entre ellos dos y así sucesivamente hasta el último número. El último m.c.d. es el m.c.d. de todos los números dados. Ejemplo #8: Hallar el m.c.d. de 4940, 440, Primero se halla el m.c.d. de 48 y 09: El m. c. d. 78 Luego se halla el m.c.d. de 440 y 78: El m. c. d 6 Y por último se halla el m.c.d. entre 4940 y 6: FVR (/09/0) 3

4 Luego, el m.c.d. de todos los números es 6. Regla práctica para encontrar el m.c.d. de varios números por descomposición de factores primos: Se descomponen los números dados en sus factores primos. El m.c.d. se forma con el producto de los factores primos comunes con su menor exponente. Ejemplo #9: Hallar el m.c.d. de 800, 40, 60 y 08. Solución: Se empieza por desglosar al número 800: Se sigue con el número 30: Se continua con el número 60: Por último, se desglosa el número 08: FVR (/09/0) 4

5 Resumiendo: m. c. d Ejemplo # 0: Hallar el m.c.d. de 70, 890, 04 y 500. Solución: Como 890 es múltiplo de 70 porque y como 500 es múltiplo de 04 ya que , prescindimos de 890 y 500 y hallamos el m.c.d. de 70 y 04: El m.c.d. = 7 34 Método abreviado para cálculo del m.c.d.: El m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos puede hallarse rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor común, los cocientes nuevamente por un factor común y así sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre si. El m.c.d. es el producto de los factores comunes. Ejemplo # : Hallar el m.c.d. de 08, 90 y 690 por el método abreviado: Factor común FVR (/09/0) 5

6 El m.c.d.= 3 6 Ejemplo #: Hallar el m.c.d. de 3430, 450, 980 y 440. Factor común El m.c.d.= Hallar los divisores comunes a dos o más números: Los divisores comunes de dos o más números son divisores del m.c.d. de estos números, porque todo divisor de dos o más números divide a su m.c.d. Por tanto, para hallar los divisores comunes a dos o más números hallaremos primero el m.c.d. de los números dados y luego los factores simples y compuestos de este m.c.d. y estos factores serán los divisores comunes a los números dados. Ejemplo # 3: Hallar los números comunes a 80 y 5: Se halla primero el m.c.d. de los números dados: Entonces, el m.c.d.= 36, y ahora hallaremos los factores simples y compuestos de Entonces, podemos decir que 36 3 factores de 36 son: ; ; 4; mostrados en la tabla siguiente y podemos también escribir que los 3 y 9, como también los productos de pares e impares En conclusión, los factores, o divisores, de los números 80 y 5 son: ; ; 3; 4; 6; 9; ; 8 y 36. FVR (/09/0) 6

7 PREGUNTAS: Hallar los divisores comunes de los siguientes números:.- 8 y 7: Primero hallaremos el m.c.d. de ambos números: Por simple inspección el m.c.d. es 8 y 8 3 ; entonces, los divisores serán: Los divisores son: ; ; 3; 6; 9 y y 00: Por simple inspección el m.c.d. es 40. Luego: De donde: Entonces, los divisores se encuentran en la tabla siguiente: Los divisores son: ; ; 4; 5; 8; 0; 0 y y 7: m. c. d. 3 4 Luego, los divisores serán: FVR (/09/0) 7

8 Los divisores de los dos números dados son: ; ; 3; 4;; 6; 8; y y 0: m. c. d Los divisores de los números dados son: ; ; 3; 5; 6; 0; 5 y y 5: m. c. d Ahora: Los divisores serán: ; 3; 5; 9; 5 y y 45: Primero hallaremos el m.c.d. de ambos números: FVR (/09/0) 8

9 m. c. d Los divisores de ambos números son: ; 7 y y 800: m. c. d Luego: Entonces, los divisores son: ; ; 4; 5; 8; 0; 6; 0; 3; 40; 80 y y 55: m. c. d Luego, los divisores son: ; 3; 5; 7; 5; ; 35 y y 4500: m. c. d Los divisores serán: FVR (/09/0) 9

10 Divisores de 450 y 4500: ; ; 3; 5; 6; 9; 0; 5; 8; 5; 30; 50; 75; 50; 5 y , 84 y 40: m. c. d. 7 8 Los divisores son: Divisores de los tres números dados: ; ; 4; 7; 4 y , 300 y m. c. d Los divisores son: Los divisores son: ; ; 3; 4; 5; 6; 0; ; 5; 0; 30 y , 50 y 450: m. c. d FVR (/09/0) 0

11 Los divisores son: ; 3; 7 y , 500, 350 y 50: m. c. d Luego, los divisores serán: Divisores: ; ; 5; 0; 5 y , 5, 430 y 800: m. c. d Los divisores son: ; 3; 9; 7 y 8. Problemas..- Hallar el m.c.d. de los siguientes grupos de números: (a). 540 y 050: m. c. d (b).- 90, 490 y 560: Se encontrará el mc.d. por descomposición en números primos: FVR (/09/0)

12 m. c. d ; 90 y 590: m. c. d Se podrán dividir tres varillas de 0 cms., de 4 cms. y de 30 cms. en pedazos de 4 cms. de longitud sin que sobre ni falte nada en cada varilla?. No se puede en la tercera varilla porque 30 no es divisible por Se tiene tres varillas de 60 cms., 80 cms. y 00 cms. de longitud respectivamente. Se quieren dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre ni falte nada. Diga tres longitudes para cada varilla: m. c. d. 5 0 Si se dividen en pedazos de 0 cms. de longitud, no sobra ni falta nada en cada varilla. También, todas pueden dividirse en pedazos de 4 cms., de 5 cms. y 0 cms. de longitud sin que sobre ni falte nada. 4.- Si quiero dividir cuatro varillas de 36, 46, 57 y 66 cms. de longitud en pedazos de 9 cms. de longitud. Cuántos cms habría que desperdiciar en cada varilla y cuántos pedazos obtendríamos de cada una?. FVR (/09/0)

13 Cuando nos referimos a pedazos, son trozos de 9,0 cms. de longitud. cms pedazos Desperdicio cms cms pedazos Desperdicio cms cms pedazos Desperdicio cms cms pedazos Desperdicio cms :, :, : 3, : 3, Un padre da a un hijo 80 ctvs., a otro 75 ctvs., y a otro 60 ctvs. para repartir entre los pobres, de modo que cada uno de a los pobres la misma cantidad. Cuál es la mayor cantidad que puedan dar a cada pobre y cuántos los pobres socorridos? m. c. d. 5 ctvs Socorridos Dos cintas de 36 metros y de 48 metros de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. Cuál será la longitud de cada pedazo? m m. c. d Cuál será la mayor longitud de una medida con la que se puedan medir exactamente tres dimensiones de 40 metros, 560 metros y 800 metros? m m. c. d. 5 0 FVR (/09/0) 3

14 8.- Se tienen tres cajas que contienen 600 libras, 000 libras y 339 libras de jabón respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloques del mismo peso y el mayor posible. Cuánto pesa cada bloque y cuántos bloques hay en cada caja? lbs m. c. d. 6. Cada caja tiene: bloques bloques bloques Un hombre tiene tres rollos de billetes de banco. En uno tiene $4500, en otro tiene $540 y en el tercero tiene $6500. Si todos los billetes son iguales y de la mayor denominación posible; cuánto vale cada billete y cuántos billetes tiene cada rollo? m. c. d. 5 0 $ Cada rollo tiene el siguiente número de billetes de $0: billetes billetes billetes Se quieren envasar 6 kilos, 53 kilos y 07 kilos de plomo en tres cajas, de modo que los bloques de plomo en cada caja tengan el mismo peso y el mayor posible. Cuánto pesa cada pedazo de plomo y cuántos caben en cada caja?. Se utilizará el método abreviado para calcular el m.c.d., como sigue: FVR (/09/0) 4

15 m. c. d. 3kg Número de bloques de 3 kilos en cada caja: 6 7 bloques bloques 3 53 bloques 3.- Una persona camina un número exacto de pasos andando 650 cms., 800 cms. y.000 cms. Cuál es la mayor longitud posible de cada paso? cms m. c. d Cuál es la mayor longitud de una regla con la que se puede medir exactamente el largo y el ancho de una sala que tiene 850 cms. de largo y 595 cms. de ancho? cms m. c. d Compré cierto número de trajes por $.050. Vendí una parte por $.500 cobrando por cada traje lo mismo que me había costado. Hallar el mayor valor posible de cada traje y en ese supuesto, cuántos trajes me quedan? m. c. d $ traje FVR (/09/0) 5

16 trajes. Compré 4trajes y vendí trajes ; entonces me quedan Se tiene tres extensiones de 3.675,.575 y.75 metros cuadrados de superficie respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. Cuál ha de ser la superficie de cada parcela para que el número de parcelas de cada una sea el menor posible?. Si el número de parcelas es espera que sea el menor posible es que porque el área de cada parcela será el mayor posible, o sea, es un problema de m.c.d m m. c. d FVR (/09/0) 6