y con la semiamplitud δ =1. 2.

Transcripción

1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN UNIDAD II II. ENTORNOS Se denomina entorno de un punto a en, al intervalo abierto ( δ a δ ) semiamplitud del intervalo. a, donde δ es la El entorno de a, en notación de conjuntos puede escribirse como: { a δ < < a δ} un valor absoluto: a < δ. Gráicamente se representa así:, o bien como Semiamplitud del intervalo δ Semiamplitud del intervalo δ a - δ a a δ δ Amplitud del intervalo Ejemplo. Obtener el entorno del punto a y con la semiamplitud δ.. Solución. Entorno de a (.,. ) (.,. ) {. < <.} <. esto signiica que el entorno de a son todos los valores de desde. hasta. etremos. Veriicando algunos valores dentro del entorno: si. :... <. si. :.. <.. δ., pero sin incluir a los δ.. δ.

2 Ejemplo. Obtener el entorno del punto a y con la semiamplitud δ.. Solución. Entorno de a (.,.) (.,.) {. < <.} <. esto signiica que el entorno de a son todos los valores de desde. hasta., pero sin incluir a los etremos: si. :... <. si : <. -. δ. - δ. δ. -. Se deine como entorno reducido de un punto a en al entono que ecluye al propio punto a. Es decir, a δ, a δ donde a. es el intervalo abierto ( ) El entorno reducido de a también puede escribirse como: { a δ < < a δ, a} δ como: < a <. Gráicamente esto es:, o bien Semiamplitud del intervalo δ Semiamplitud del intervalo δ a - δ a a δ δ Amplitud del intervalo Ejemplo. Obtener el entorno reducido del punto a y con la semiamplitud. Solución. Entorno reducido de (.,.) (.,.) {. < <., } < <. a si δ

3 esto signiica que el entorno reducido de a son todos los valores de desde. hasta., quitando el y sin incluir a los etremos: si. :.. <. si. :... <.. δ. δ.. δ. Ejemplo. Obtener el entorno reducido del punto a. y con la semiamplitud δ.. Solución. Entorno reducido de a (..,..) (.,.) {. < <.,.} <. <. esto signiica que el entorno reducido de a son todos los valores de desde. hasta., quitando el. y sin incluir a los etremos: si. :... <. si. :....<. -. δ. δ δ. II. DEFINICIÓN DE LÍMITE Si se desea investigar el comportamiento de la unción deinida por ( ) para valores cercanos a tanto menores como mayores a este valor. En la tabla siguiente se muestran los valores de ( ) para valores aproimados pero no iguales a : ( ) ( ) A partir de la tabla, se demuestra que cuando está cada vez más cerca de por cualquiera de los dos se aproima a. Este hecho se epresa al decir que el límite de la unción ( ) lados, ( ) cuando tiende a es igual a. La notación para esta epresión es ( ).

4 Como se puede apreciar del ejemplo anterior, el interés se centra en conocer el valor de la unción ( ) cuando se aproima a un valor a, pero sin ubicarse en dicho valor. Esto es, si se acerca más y más se acerca más y más a un valor L. Esto signiica que a a (pero no es igual a a ), la unción ( ) ( ) tiende a L si tiende a a. La rase " tiende a a " signiica que independientemente de lo próimo que esté del valor a, eiste siempre otro valor de (distinto de a ) en el dominio de que está aún más próimo a a. Deinición de límite: Una unción tiende hacia el límite L en a si para todo ε > eiste algún δ > tal que ( ) L < ε siempre que < a < δ. Se puede deducir de la deinición, que para que eista el límite L de una unción ( ) se orme un entorno de L en ( ) siempre y cuando se pueda generar un entorno reducido de a en. Dado que el entorno de L es: { L ε < y < L ε} { a δ < < a δ a} es necesario que y, el entorno reducido de a es:,, donde δ y ε pueden se tan pequeñas como se desee, por lo que se a. Esto puede a, L. pueden generar una ininidad de entornos cada vez más pequeños, siempre que interpretarse como la ormación de rectángulos cada vez más pequeños que incluyan al punto ( ) Gráicamente esto es: y y () Lε Lε Lε Lε L L-ε L-ε L-ε L-ε a-δ a-δ a-δ a-δ a aδ aδ aδ aδ Nótese como cada entorno L ε i < y < L ε i se orma respondiendo a los entornos a δ i < < a δ i, y a medida que δ tiende a cero (sin llegar a serlo), también ε tiende a cero.

5 En caso de eistir, el límite se representa en orma simbólica como: a ( ) L y se lee: el límite de ( ) cuando tienda hacia a es L. Una unción no puede tender a dos límites distintos a la vez. Esto es, si el límite de una unción eiste, es único: El límite eiste si el límite por la izquierda, y el límite por la derecha, son iguales. a a a ( ) ( ) ( ) Estos dos últimos límites se conocen como límites laterales, lo que signiica que se pueden aproimar los valores de ( ) cumple lo siguiente: a L tanto como se quiera, ya sea por la derecha o por la izquierda. De lo anterior, se a ( ) L ( ) L y ( ) L a Para ines prácticos, para determinar si una unción ( ) tiene límite cuando a basta con aplicar la deinición y establecer una epresión que relacione a δ y ε. En caso de no encontrar una relación, la unción no tendrá límite en ese punto. Ejemplos. A través de la deinición, calcular ormalmente los siguientes límites: ) ( ) Solución: ( ) ( ) aplicando la deinición: ( ) L < ε a < δ < ε < δ < ε < δ ( ) < ε < δ ε < < δ ε δ a

6 el límite eiste y es. ) ( ) Solución: ( ) ( ) aplicando la deinición: ( ) L < ε a < δ ( ) < ε < δ < ε < δ ( )( ) < ε < δ ε < < δ ε δ el límite eiste y es. ) ( ) Solución: ( ) aplicando la deinición: ( ) L < ε a < δ < ε < δ < ε < δ ( )( ) < ε < δ ε < < δ ε δ el límite eiste y es. ) Solución: aplicando la deinición: L < ε a < ( ) δ

7 < ε < < ε < δ ( ) ( ) δ < ε < δ aplicando el valor absoluto a los términos del producto: ( ) < ε < δ ε < < δ ε δ el límite eiste y es. ) Solución: ( ) aplicando la deinición: ( ) L < ε a < δ < ε < δ multiplicando por el conjugado del binomio: ( ) < ε < δ ( ) < ε < δ < ε < δ ( ) ε < < δ ( ) ε δ el límite eiste y es. ) Solución:

8 si se desea aplicar la deinición: L < ε a < ( No eiste) ( ) δ no se puede ya que L no es un valor deinido, por lo tanto, el límite no eiste. II. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Sean ( ), g( ) a. [ c] c a dos límites que eisten y c una constante. Entonces: a El límite de una constante es la misma constante.. [ ] a a El límite de la unción identidad es igual al valor de a.. [ c ( ) ] c ( ) a a El límite de una constante multiplicada por una unción es la constante multiplicada por el límite de la unción.. [ ( ) ± g( ) ] ( ) ± g( ) a a a El límite de una suma algebraica es la suma algebraica de los límites.. [ ( ) g( ) ] ( ) g( ) a a a El límite de un producto es el producto de los límites.. a g ( ) ( ) a g a ( ) ( ) g a ( ) El límite de un cociente es el cociente de los límites. n. [ ( ) ] ( ) a n [ ] n N a El límite de la potencia de una unción es el límite de la unción elevada a la potencia.. n ( ) n ( ) n N (si n es par se asume que ( ) > a a El límite de una raíz es la raíz del límite. Ejemplos. Aplicando las propiedades, calcular los siguientes límites: ) ) a )

9 ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ) este límite presenta una indeterminación, sin embargo, si se actoriza el denominador: ( )( ) ) para einar la indeterminación se actoriza el numerador: ( )( ) ( ) ) ( ) este límite presenta una indeterminación, sin embargo, si se actoriza tanto el numerador como el denominador: ( ) ( )( ) ) ( ) para einar la indeterminación se actoriza tanto el numerador como el denominador: ( )( ) ( )( ) ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) a in de einar la indeterminación se actoriza el numerador y el denominador: ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ) ( )

10 para einar la indeterminación se actoriza tanto el numerador como el denominador: ) ( ) ( )( ) este límite presenta una indeterminación, sin embargo, si se actoriza tanto el numerador como el denominador: ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) para einar la indeterminación se actoriza tanto el numerador como el denominador: ) ( )( ) ( )( ) ( ) este límite presenta una indeterminación, sin embargo, si se actoriza el numerador: ( )( ) ) ( )( ) ( ) ( no eiste) ) multiplicando por el binomio conjugado del numerador para deshacer la indeterminación: ( )( ) actorizando el denominador: ( ) ) ( ) para einar la indeterminación se actoriza el denominador: ( ) como no se puede simpliicar, el límite no eiste. ) a in de einar la indeterminación se actoriza el numerador y el denominador: ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

11 ( )( ) ) ( )( ) para einar la indeterminación, se eleva al cuadrado: ( ) ( ) ( ) actorizando el numerador: ( )( ) ( ) ( ) ) este límite presenta una indeterminación, sin embargo, elevando al cuadrado: ( ) ( ) ( ) actorizando el denominador: ( )( ) ( no eiste) ) para einar la indeterminación se multiplica por el binomio conjugado del numerador: ( )( ) ( )( ) II. LÍMITES INFINITOS Los tipos de límites en los que una unción ( ) se hace ininita (ya sea positiva o negativa) cuando tiende a a por la izquierda o por la derecha se conocen como límites ininitos. Qué ocurre cuando se aproima o tiende a cero en la unción ( )? Tabulando la unción se aprecia que cuando tiende a cero por la derecha, los valores de la unción que son positivos, son cada vez más grandes. Es decir, los valores de la unción aumentan. Mientras que, cuando tiende a cero por la izquierda, los valores de la unción son negativos, son cada vez más pequeños. Es decir, los valores de la unción disminuyen.

12 ( ) ( ) Gráicamente en ambos casos, ( ) crece o decrece sin tope, sin ronteras. Esto es, y () () - - El símbolo de ininito ( ) no signiica que el límite eista, ya que no representa un número real. Simboliza el comportamiento no acotado (sin ronteras) de ( ) cuando tiende a a. De manera que, al decir que "el límite de ( ) cuando tiende a a es ininito" se interpreta que el límite no eiste. En general, considérese la unción: las raíces del polinomio q ( ) p ( ) q, provocan que la unción no esté deinida, es decir, sus límites son el ininito. Geométricamente, cada raíz representa a una asíntota vertical. ( ) ( )

13 Ejemplos., los límites laterales no son iguales:, el valor que anula al denominador es, así que el límite en el ininito se presenta en la asíntota ) En la unción ( ) ) En la unción ( ),, los valores que anulan al denominador son y asíntotas y., los límites laterales no son iguales: ) En la unción ( ),, los valores que anulan al denominador son, y se presentan en las asíntotas, y., los límites laterales no son iguales:,., así que los límites en el ininito se presentan en las respectivamente, así que los límites en el ininito II. LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Los límites trigonométricos elementales son aquellos que se obtienen directamente, ya que basta sólo con evaluarlos y recordar los valores notables de dichas unciones. Ejemplos. Evaluar los siguientes límites trigonométricos elementales: ) sen sen. π ) cos cos( ) ( ) π ) tan tan ( π ) π π ) cot cot ( ) π

14 ( ) ( ) ( ) ) csc csc( π) ) sec sec π ) cos cos cos ( ) ( ) ( ) Eisten otros límites cuya evaluación no es tan simple. En este sentido, el límite de la unción sen cuando tiende a cero es muy importante ya que la resolución de muchos límites trigonométricos se basan en su aplicación. Por ello, se evalúa en primera instancia: sen sen ( ) aparentemente, el límite no eiste. Sin embargo, si se tabula la unción ( en radianes), se tiene: sen ±. ±.. ±.. ±.. ±.. ±.. ±.. ±.. Como puede apreciarse el límite tiende a la unidad. Por lo tanto: sen Ejemplos. Considerando el resultado anterior y aplicando identidades trigonométricas, obtener los siguientes límites: ) ( ) ( ) ( ) sen sen sen multiplicando y dividiendo por : sen ( )( ) sen ( ) sen ( ) ( ) ( ) sen ) epresando la potencia como producto: La demostración ormal de este límite puede consultarse en la página del libro Cálculo Dierencial e Integral, de J. Stewart incluido en la bibliograía.

15 sen sen sen sen ( ) ) sen sen ( ( ) ) sen ( ) sen sen u En general, u senu ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) sen sen sen sen ) sen sen sen multiplicando y dividiendo por sen sen sen sen sen sen cos cos ( ) ) cos aplicando la identidad trigonométrica tan : sen sen tan cos sen sen ( ( ) ) ( ) ) sen ( ) sen ( ( ) ) ( sen )( ) ( )( ) y : ( ) ( ) ( ) ( ) tan ( ) tan tan ( ) ( )( ) ( ) epresando las potencias como productos y multiplicando y dividiendo por y ( )( ) sen ( ) sen sen ( ) sen ( )( ) sen sen sen ( ) sen sen ( )( ) sen multiplicando y dividiendo por : sen sen sen cos cos ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) sensen ( ) ( ) aplicando la identidad trigonométrica sen cos : cos sen sen sen ( ) tan tan ( ) ) ( ) sen aplicando la identidad trigonométrica tan : cos ( )( ) ( )( ) :

16 sen tan cos ) csc sen cos cos cos ( ) ( ) aplicando la identidad trigonométrica csc y multiplicando y dividiendo por : sen csc ( ) sen sen tan tan ( π ) ) π π π π sen aplicando las identidades trigonométricas tan tan ( π ) y tan : cos tan tan ( π ) sen( π ) π π π π π π cos π π cos π cos π π cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) II. LÍMITES QUE TIENDEN A INFINITO Dada una unción deinida en un intervalo ( a,). Entonces el ( ) L signiica que los valores de ( ) se pueden aproimar a L tanto como se quiera, si se elige una suicientemente grande. Esta epresión se lee como el límite de ( ) cuando tiende a ininito es L. Similarmente, la epresión ( ) L signiica que los valores de ( ) se pueden aproimar a L tanto como se quiera, si se elige una negativa suicientemente grande y se lee como el límite de ( ) cuando tiende a ininito es L. Para saber si eiste el límite de una unción cuando tiende a ininito es necesario analizar su comportamiento particular. Por su importancia, los límites de este tipo que revisten más interés de estudio son los de las unciones algebraicas y de las racionales. En el primer caso, todos los límites de unciones algebraicas que tienden a ininito (o a menos ininito) no eisten. Ejemplos. Calcular los siguientes límites: ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

17 En el segundo caso, para calcular límites de unciones racionales, normalmente el procedimiento consiste en dividir cada término de la unción por el término en que posee el mayor eponente, se reduce aplicando leyes de eponentes y se toma el límite, considerando que:. Ejemplos. Calcular los siguientes límites: ) ( ) ( ) ( ) Esta es una orma indeterminada, sin embargo, si se divide todo entre se tiene: ) ( ) ( ) ( ) ( ) Es una indeterminación, pero si se divide todo entre se tiene: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Esta es una orma indeterminada, sin embargo, si se divide todo entre se tiene: ( ) no eiste En general, para calcular límites que tienden a ininito (o a menos ininito), de las unciones racionales de la orma: ( ) b b b b a a a a p m m m m m m n n n n n n eisten tres casos posibles: ) Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador y el límite de la unción es cero. ( ) p, si m n <

18 ) Si los grados de los polinomios en el numerador y el denominador son iguales, el límite es el cociente del coeiciente del eponente mayor del numerador entre el coeiciente del eponente mayor del denominador. a p b n ( ), n si n m ) Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, el límite no eiste. Ejemplos. Calcular los siguientes límites: ) Como n < m, p( ) ) Como ( ) ( no eiste) p, si n > m m p no eiste n >, ( ) ( ) ) Como m ) Como m p no eiste n, p( ) n >, ( ) ( ) ) Como m ) Como n < m, p( ) n, p( ) II. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Una unción eponencial es una unción de la orma: ( ) a donde a es un número real positivo y a. El comportamiento general de esta unción se puede apreciar en las siguientes gráicas:

19 () a y y a > < a < Sus características son: Dominio ( -, ) Rango (, ) La asíntota horizontal es el eje Siempre corta al eje y en el punto P (,) Siempre es creciente si a > y siempre es decreciente si < a < La unción crece más rápido si la base es más grande y decrece más rápido si la base es más pequeña. De acuerdo a lo anterior, se puede inerir que:. a, a >. a, a > a a., < a <., < a <. a Ejemplo. Evaluar numéricamente el límite: ( ) Solución. Tabulando: ( )

20 Como se puede advertir, el límite tiende a un número cercano a.. Dicho límite es el número irracional conocido como e y tiene el valor aproimado de e.. Se llama unción logarítmica a la unción real de variable real : y loga El comportamiento general de esta unción se puede apreciar en las siguientes gráicas: ( ) y () log a y a > < a < La unción logarítmica es una aplicación biyectiva deinida de R en R y sus características son: Dominio (, ) Rango ( -, ) La asíntota vertical es el eje y Siempre corta al eje en el punto P (, ) Siempre es creciente si a > y siempre es decreciente si < a < La unción crece más rápido si la base es más pequeña (cuando a > ) y decrece más rápido si la base es más grande (cuando < a < ) La unción logarítmica de base a es la recíproca de la unción eponencial de base a Por lo anterior, se puede inerir que:. log, a > a. log, a > a. log, < a < a. log, < a < a Ejemplo. Evaluar numéricamente el límite: log Solución. Tabulando:

21 log.....,.,.,. es más grande que su logaritmo, así que a medida que crece, la racción va disminuyendo. Por lo log tanto: II. CONTINUIDAD Una unción es continua en a cuando no hay interrupción en la gráica de en a. Su gráica no aparece con huecos o saltos en. Esto es, una unción es continua si su gráica se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. Formalmente, una unción es continua en un punto a si está deinida en ese punto, y además: a ( ) ( a) En caso de no cumplir con la condición se dice que la unción es discontinua. Una unción es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos de ese intervalo. a ( ) ( a) y y Función continua Función discontinua

22 Ejemplos. ) La unción ( ) ( ) ( ) ( ) es continua en el punto porque ) La unción ( ) sen ( ) ( π ) sen ( π ) ( ) π ) La unción ( ) no eiste. ) La unción ( ) límite eista:. es continua en el punto π es discontinua porque en el punto es discontinua porque en el punto ( )( ) ( ).. porque no está deinida y porque el límite no está deinida, aunque el Nótese como en este último ejemplo la unción original puede reescribirse como: ( ), la cual es continua. En estos casos la discontinuidad recibe el nombre de evitable. Las gráicas de ambas unciones es la misma a ecepción de que en la primera tiene una especie de oriicio en el punto y en y la segunda no. Evitar la discontinuidad consiste en rellenar dicho oriicio tal y como se ve en la siguiente igura: y y Función discontinua en Función continua en Las discontinuidades se clasiican en: evitables y no evitables. Una discontinuidad en se puede redeinir en ese punto. Los siguientes tipos de unciones son continuas en sus dominios: a es evitable si

23 Polinomiales Racionales De raíz Trigonométricas Trigonométricas inversas Eponenciales Logarítmicas Sean y g dos unciones continuas en también son continuas en a : a, entonces las siguientes operaciones de unciones g g g si g ( a) g c, siendo c una constante g g o ( ) ( ( )), si es continua en ( a) g. Ejemplo. Determinar si las siguientes unciones son continuas en el punto dado: ) ( ) en el punto Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) como ( ) ( ) unción polinomial)., la unción sí es continua en (lo cual era de esperarse ya que es una ) ( ) en el punto Solución: como la unción no está deinida en ese punto la unción no es ( ) ( ) continua (no tiene caso calcular el límite porque no hay orma de einar la ineistencia). en el punto ) ( ) Solución: El valor anula al denominador, sin embargo, la unción puede rescribirse como: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) por lo tanto, la unción es discontinua en el punto pero es evitable.

24 en el punto Solución: ( ) ( ) como la unción no está deinida en ese punto la unción no es continua (no ( ) tiene caso calcular el límite porque no hay orma de einar la discontinuidad). ) ( ) log en el punto ) ( ) Solución: ( ) log ( ) log ( ) log log ( ) log ( ) como ( ) ( ) (lo cual era de esperarse ya que es una unción logarítmica). ) ( ) en el punto Solución: El valor anula al denominador, sin embargo, la unción puede rescribirse como: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) por lo tanto, la unción es discontinua en el punto pero es evitable. Ejemplos. Analizar la continuidad de las siguientes unciones: ) ( ) Solución. Hay continuidad en todo el intervalo ( ) denominador). Además, no es evitable. ) ( ) Solución. ( ) ( ) Hay continuidad en todo el intervalo ( ) anula el denominador). Además, no son evitables., ecepto en el punto, la unción sí es continua en (ya que ahí se anula el, ecepto en los puntos y (ya que ahí se

25 ) ( ) Solución. ( ) ( )( ) ( )( ) Hay continuidad en todo el intervalo ( ) anula el denominador). Sin embargo, en, ecepto en los puntos y es evitable. (ya que ahí se ) ( ) Solución. > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) como ( ) ( ) entonces el ( ) Por lo tanto, hay continuidad en el intervalo [,).