Divisores de un número y regla del producto

Transcripción

1 Divisores de un número y regla del producto Eugenio Flores En estas notas, nuestra intención es llegar a través de varios pasos naturales, a poder ver la fórmula para calcular los divisores de un número como un simple ejercicio de regla del producto. Tratáremos de hacerlo de una manera que sea sencilla no sólo de entender, además de llevar al salón de clase. Vamos a recordar varias cosas sobre divisibilidad: a. Decimos que un número entero d divide a otro número entero n si existe un entero k tal que. También decimos que n es múltiplo de d, o que d divide a n. Únicamente en este caso cuando la división es entera, o el residuo cero- diremos que un número divide a otro. b. Es fácil ver que si d es divisor de un número, entonces d también es divisor. A lo largo de todo este documento y casi siempre en general- vamos a considerar únicamente los divisores positivos de un número. c. El Teorema Fundamental de la Aritmética nos dice que todo número puede factorizarse de manera única salvo orden- como producto de potencias positivas de números primos. No está de más, tampoco, tener en mente a qué nos referimos como regla del producto. Rápidamente recordemos los problemas de guardarropa: si Carmen tiene 5 blusas y pantalones de cuántas maneras se puede vestir? Una manera sencilla de resolver el problema cuando los números son chicos, es con un diagrama de árbol: Blusa Blusa Blusa Blusa 4 Blusa 5 Pntalón Pantalon Sólo necesitamos contar las ramas finales, que son 5. Si ahora consideramos los pares de zapatos que tiene Carmen, puede volverse tardado hacer un diagrama de árbol. En lugar, vemos que cada una de las combinaciones que ya tenemos, puede combinarse con cada uno de los pares de zapatos. Si por una combinación tenemos combinaciones nuevas, por 5 vamos a tener quince veces ; es decir, x 5 = 80. En general, si una cierta tarea puede realizarse de m maneras y, para cada una de esas maneras, una segunda tarea puede realizarse de n maneras, entonces ambas tareas juntas pueden realizarse de mn maneras. Esta es, precisamente, la regla del producto.

2 Empezaremos por el final, haciendo una tabla. A cada número, debemos encontrar los números que tienen esa cantidad de divisores. Vamos a hacerlo de dos maneras: vamos a empezar dando números de ejemplo pues es muy poco probable que alumnos de secundaria sugieran desde un primer momento la forma del número como producto de primos. Aunque desde el principio vamos a escribir también la forma, pronto nos vamos a dar cuenta que es la manera más fácil. : El es el único número que tiene un único divisor, pues es la unidad. :,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, p (, p) Todos los números primos tienen exactamente divisores y son, además, los únicos números que tienen exactamente divisores. Esta es, precisamente, la definición de un número primo: Un número es primo si y sólo si tiene exactamente divisores positivos. : 4, 9, 5, 49,, p (, p, p ) 4: 6, 0, 4, 5,,, 6, 5, 55, pq (, p, q, pq) 8, 7, 5, 4, p (, p, p, p ) Con cuatro divisores damos un paso muy importante: es el primer número que tiene más de una forma posible. Debemos hacer notar que 4 = x, mientras que no es posible encontrar dos números ambos distintos de para hacer esto con,, pues son primos. Además, los primeros ejemplos son todos el doble de un número. El número 5 es un buen ejemplo para ver que no sólo el doble cumple. Además, el 4 nos ayuda a ver que no todos los dobles funcionan. Los alumnos hacen adivinanzas tratando de generalizar a veces nada más avientan números al azar- siempre hay que tener un contraejemplo sencillo y rápido para tratar de ayudar en su adivinanza. 5:, 8, 656, p 4 (, p, p, p, p 4 ) Los ejemplos se vuelven más escasos conforme el número de divisores aumentan. Además se vuelve más complicado calcularlos. Para aquí, la mayoría puede darse cuenta que si queremos k divisores, entonces p k- siempre funciona. Debemos recalcar aquí que esta es la única manera para 5 pues es primo. 6: 64, p 5 (, p, p, p, p 4, p 5 ), 8, 50, 75, p q (, p, q, p, pq, p q) El primer caso ya debería ser sencillo. Es más, debería surgir casi sin ejemplo pues empezamos a trabajar con números muy grandes. Sin embargo, hay que notar que aunque para algunos alumnos para este punto ya sea claro que cualquier primo elevado a la quinta potencia cumple, lo más probable es que intenten calcular el número para,, 5, en lugar de decir precisamente cualquier primo elevado a la quinta potencia.

3 Hay que recalcar que el 6 = x. Entonces, si tomamos un número de dos divisores y tomamos uno de divisores, su producto va a tener 6 divisores. Es importante observar que tienen que ser números que tengan un primo distinto como base, para ello basta ver que aunque el 4 tiene divisores y el tiene divisores, el 8 no tiene 6 divisores sino 4. Estos casos hay que mencionarlos. 7: p 6 (, p, p, p, p 4, p 5, p 6 ) 8: p 7 (, p, p, p, p 4, p 5, p 6, p 7 ) p q (, p, q, p, pq, p, p q, p q) pqr (, p, q, r, pq, pr, qr, pqr) El 8 es también importante, pues esta vez tiene casos distintos. El primer caso debería salir natural. Como es más fácil ver que 8 = 4 x que 8 = x x, el segundo debe ser más sencillo que el último. Sin embargo, el ejemplo más sencillo del último es 0, que no es un número tan grande. El ejemplo más sencillo del segundo es 4. A partir de aquí, es buena idea preguntar primero si el número es quién por quién y entonces buscar la forma correspondiente. 9: p 8 (, p, p, p, p 4, p 5, p 6, p 7, p 8 ) p q (, p, p, q, q, pq, p q, pq, p q ) Pues 9 = x. La forma con un único primo es normalmente la más fácil de ver, la de cajón. Sin embargo, si empezamos a preguntar si el número es quién por quién, ver que es sí mismo por a veces no es tan sencillo. 0: p 9 (, p, p, p, p 4, p 5, p 6, p 7, p 8, p 9 ) p 4 q (, p, p, p, p 4, q, pq, p q, p q, p 4 q) Pues 0 = 5 x. Esta lista completa debe estar escrita en el pizarrón. Así, cuando digamos que 0 = 5 x, podemos señalar a los números que tienen 5 divisores y a los que tienen divisores. Lo importante es llevarlos a que escojan la forma que cumple cada uno y lo multipliquen escogiendo letras distintas. Eso último es importantísimo. Si escogen la misma letra, el ejemplo del normalmente ayuda a ver que no es cierto. : p 0 (, p, p, p, p 4, p 5, p 6, p 7, p 8, p 9, p 0 ) : p (, p, p, p, p 4, p 5, p 6, p 7, p 8, p 9, p 0, p ) p 5 q p q p qr Los números primos deberían ser bastante fáciles. El ayuda a preguntar si no hay más. Para justificar que no hay más, es necesario decir todas las maneras en que podemos encontrar como multiplicaciones. Curiosamente, la cosa que estamos ejercitando aquí es precisamente la cantidad de divisores de un número y el Teorema Fundamental de la Aritmética.

4 A partir de aquí pues el, 4 y 5 no ofrecen mucho problema- la idea es dar números más bien grandes. Un par de números primos que son sencillos- y un par de números grandes que sepamos que tienen muchos divisores. Cómo encogemos esos números? Auxiliándonos de nuestra tabla del pizarrón, por supuesto. 7: 8: 0: Lo primero que hay que hacer es expresar cada uno de nuestros números como alguien por alguien. El 7 es primo, así que la única manera va a ser la de cajón. Recordemos que el 8 tiene 6 divisores:,,, 6, 9, 8. Entonces, lo podemos ver rápidamente de maneras distintas: x8, x9, x6; siempre podemos hacer esto con todos los números tomar el más chico y el más grande, luego el segundo más chico y el segundo más grande, el tercero más chico y el tercero más grande y así sucesivamente. Hay más formas? Hay que preguntarnos por los divisores de los divisores: 9 = x y 6 = x. Entonces, de la forma x9, tenemos la forma xx; y de la forma x6, tenemos la forma xx. Como son la misma forma, en total tenemos 4 maneras distintas. Más adelante vamos a ver que podemos ahorrarnos este segundo paso. Ya que sabemos de cuántas maneras distintas, hay que encontrar una forma para cada manera. La idea es escoger una forma para cada uno de los números que se están multiplicando. La de cajón es fácil. Tomemos x9: necesitamos un número que tenga divisores y un número que tenga 9 divisores. Con divisores es p; con 9 divisores puede ser p 8 o p q. Al juntarlos, tenemos las formas pq 8 y pq r ; observemos que esta segunda forma es precisamente xx, de ahí que podemos ahorrarnos un paso en lo que hicimos antes: las formas salen por si solas si mezclamos todas con todas. Qué formas salen con x6? El 0 es el número más pequeño que es producto de primos distintos, xx5. Ya sabemos que tiene 8 divisores, lo que nos da 4 maneras distintas. Tiene más? Por qué? Qué formas salen para 0 divisores? Una vez que podemos resolver ejercicios así, vamos a voltear el ejercicio. Hasta ahora, hemos estado dando un número entero y queremos encontrar qué formas tienen esa cantidad de divisores. Ahora queremos dar una forma y saber cuántos divisores tiene. pqr : p q : Los primeros ejercicios están en nuestra lista. Esto nos ayuda a ver que hasta ahora han entendido y que saben utilizar la lista. (A estas alturas, a lo mejor la lista ya no cabe entera en el pizarrón, por eso cada alumno debe escribirla en su libreta también.)

5 p 5 qrs: pqrs: Ninguno de estos números está en la lista. La idea es ver que hay pedazos de la forma que sí aparecen en la lista. Por ejemplo, sabemos que p 5 tiene 6 divisores y que qrs tiene 8. Entonces, su producto debe tener 6x8 = 48 divisores. Hay varias maneras de encontrar pedazos del segundo en la lista; lo más fácil, sin embargo, es darse cuenta que cada uno tiene, entonces su producto debe tener xxx = 6 divisores. Esa es la idea que queremos seguir en los últimos ejemplos: p q 7 r 7 s : Este número no está en la lista. Además, los únicos pedazos que podrían sí estar son bloques de un solo primo. Y esa es la idea: p tiene divisores, q 7 y r 7 tienen 8 divisores cada uno, s tiene divisores. Entonces su producto debe tener x8x8x divisores. Este es el truco! Ver todo número como producto de las formas de cajón pues esas son las más fáciles de saber cuántos divisores tienen. p k : k + De todo este conocimiento que hemos adquirido, falta un paso mínimo para la que conocemos como Fórmula para calcular los divisores de un número: La única dificultad sería explicar los subíndices. Por qué usamos subíndices? Porque si no lo hacemos, simplemente se nos acabarían las letras. Incluso para los que siguen hasta aquí sin problemas, ver la fórmula puede generar problemas. Por qué siempre es más uno? Hay que recordar que esto es un ejercicio de conteo, de regla del producto. Vamos a proponer una alternativa: Carmen quiere servirse un barquillo de helado. En su congelador, tiene suficiente helado para hacer 8 bolas de chocolate, de vainilla, 4 de fresa y 5 de mango. De cuántas maneras distintas se puede servir el barquillo? Es cierto que podría servirse,, o hasta 8 bolas de chocolate, pero también podría no servirse chocolate. Entonces, tiene 9 maneras distintas de servirse chocolate: 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8. De servirse vainilla? Son maneras distintas. Además, 5 maneras de servirse fresa y 6 maneras de servirse mango. Entonces, en total puede hacer esto de 9xx5x6 maneras distintas. Sólo hay que cambiar barquillo de helado por divisor y los sabores por números primos.