1.6. DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL

Transcripción

1 Fundamentos y Teoías Físicas ETS quitectua.6. DINÁMIC DEL PUNTO MTERIL Hemos visto anteiomente que la Cinemática estudia los movimientos, peo sin atende a las causas que los poducen. Pues bien, la Dinámica es la pate de la Física que estudia los movimientos y sus leyes en elación con las causas que los oiginan, o dicho de ota manea, estudia las fuezas en elación con los movimientos que poducen. En este apatado vamos a hace un beve epaso de la Dinámica del punto mateial. Como ya hemos visto, un punto mateial es un punto geomético con masa y que no pesenta otaciones ni defomaciones siendo lo único que se puede obseva en él la posición que ocupa en un instante deteminado, así como sus cambios de posición con especto a un sistema de efeencia. Ya hemos visto que un punto mateial es un cuepo cuyo tamaño puede ignoase al estudia su movimiento. Este hecho está elacionado con la longitud del camino que sigue y no con que el cuepo sea gande o pequeño..6.. PRINCIPIOS DE L DINÁMIC La Dinámica del punto mateial se fundamenta en tes pincipios que, aunque intuidos inicialmente po Galileo (quién demostó en una seie de expeiencias llevadas a cabo en la toe inclinada de Pisa que todos los cuepos, sea cual sea su peso, caen con una misma velocidad salvo pequeñas difeencias atibuibles a la esistencia del aie), fueon enunciados po Newton en el años 687 en su célebe oba Philosophiae Natualis Pincipia Mathematica, pobablemente el libo más famoso de la histoia de la Física. Todos estos pincipios o leyes han sido plenamente confimados po la expeiencia: a) Pimea ley de Newton: Si la esultante de las fuezas que actúan sobe un punto mateial es nula, el punto mateial pemanece en eposo o tiene un movimiento ectilíneo y unifome Si a un cuepo no se le aplica alguna fueza, si está en eposo, pemaneceá quieto, y si su movimiento es ectilíneo y unifome seguiá animado del mismo tipo de movimiento siendo necesaio paa modificalo, aplicale una fueza adecuada, pues si no, continuaá con aquel movimiento indefinidamente. En esumen, la mateia ofece una cieta inecia o esistencia a los cambios de movimiento, de ahí que esta pimea ley de Newton se conozca con el nombe de pincipio de inecia. Demosta expeimentalmente la segunda pate de la ley es complicado debido a la existencia de las fuezas de ozamiento que también estudiaemos en este apatado. b) Segunda ley de Newton: Si la esultante de las fuezas que actúan sobe un punto mateial no es nula, el punto mateial expeimenta una aceleación popocional a la esultante de las fuezas y en su misma diección y sentido e invesamente popocional a una caacteística del cuepo denominada masa inete. Matemáticamente esto se expesa: n Fi i a m n F i i ma

2 Fundamentos y Teoías Físicas ETS quitectua c) Tecea ley de Newton: Si un cuepo actúa sobe oto con una fueza (acción), éste eacciona conta el pimeo con una fueza igual, de la misma diección y de sentido contaio (eacción). Este pincipio nos lleva a tene que considea siempe las fuezas po paejas. Una fueza aislada no puede existi. pimea vista paece que estas dos fuezas debeían anulase, po se iguales en valo y diección y además opuestas, sin embago, no es así ya que ambas no actúan sobe un mismo cuepo, sino sobe cuepos difeentes, en los cuales poducen aceleaciones invesamente popocionales a sus masas espectivas. sí, podemos asegua que del mismo modo que la Tiea atae a un cuepo, el cuepo atae a la Tiea. Si ésta no se mueve hacia el cuepo es poque, dada su enome masa, la aceleación poducida en ella es despeciable. Cuando saltas de una lancha a tiea lanzas la lancha hacia atás y la lancha te empuja hacia delante. Limitaciones y campo de validez de la Mecánica Newtoniana: la Mecánica de Newton, conocida en la actualidad con el nombe de Mecánica Clásica, pesenta dos límites a su campo de aplicabilidad. Paa pode acepta la Mecánica Clásica como válida es peciso que: a) La velocidad de las patículas sea pequeña, en compaación con la velocidad de la luz. En el caso de que las velocidades sean muy gandes, póximas a la velocidad de la luz, la Mecánica Clásica se ha de sustitui po la Mecánica Relativista. b) Las patículas a las que se la aplica la Mecánica de Newton no sean de tamaño atómico, pues en el caso de fenómenos a pequeña escala (tales como los que tienen luga en el campo de la Física tómica y Nuclea) es peciso utiliza la Mecánica Cuántica. Consideemos un punto mateial P de masa m sometido a una fueza esultante F, si se efiee el movimiento del punto a tes ejes coodenados según la Segunda Ley de Newton debe veificase: d x d y d z F ma ( F F F m i + j + k x, y, z ) F F F x y z d x m d y m d z m estas son las tes ecuaciones difeenciales de segundo oden son las ecuaciones de movimiento del punto mateial. En Dinámica del punto mateial apaecen pincipalmente dos tipos de poblemas: ) Detemina la fueza a la que se encuenta sometido un punto mateial cuyo vecto de posición se conoce. ) Detemina el movimiento de un punto, esto es, su posición conociendo el valo de la fueza aplicada.

3 Fundamentos y Teoías Físicas ETS quitectua Ejemplos:. Movimiento en el campo gavitatoio. Fuezas de ozamiento y planos inclinados Fuezas de ozamiento. Fueza de ozamiento es toda fueza opuesta al movimiento, la cual se manifiesta en la supeficie de contacto de dos sólidos, siempe que uno de ellos se mueva o tienda a movese sobe el oto. La fueza de ozamiento siempe actúa en sentido contaio al movimiento del cuepo que desliza. La fueza de ozamiento es popocional a la eacción nomal del plano sobe el que se desliza el cuepo: F ozamiento µn siendo µ un coeficiente adimensional de popocionalidad caacteístico de las supeficies en contacto y denominado coeficiente de ozamiento.. 3. Tensiones en hilos y poleas Los hilos y cuedas solo siven paa tansmiti fuezas de un cuepo a oto y las poleas fijas se utilizan paa modifica la diección y el sentido de las fuezas tansmitidas po los hilos. Po tanto, tensión de un hilo es cada una de las fuezas que éste sopota en sus extemos..6.. TEOREM DEL MOMENTO LINEL O CNTIDD DE MOVIMIENTO Se denomina momento lineal o cantidad de movimiento de un punto mateial p a una magnitud vectoial cuyo valo es igual al poducto de la masa del punto mateial po la velocidad que posee: p mv y está epesentada po un vecto ligado al punto que tiene siempe la diección de su vecto velocidad y es, po tanto, tangente a la tayectoia. La definición de momento lineal p nos pemite escibi la expesión matemática de la Segunda Ley de Newton de la siguiente manea: n dv d( mv) dp n Fi ma m Fi i i dp 3

4 Fundamentos y Teoías Físicas ETS quitectua Esta ecuación es la expesión analítica del teoema del momento lineal según el cual, la esultante de las fuezas que actúan sobe un punto mateial es igual a la deivada especto al tiempo de su momento lineal. Pincipio de consevación del momento lineal. Si sobe un cuepo no se ejece fueza exteio alguna, o la esultante de las que actúan es ceo, su momento lineal pemanece constante: n n dp Fi 0 Fi 0 p i i const TEOREM DEL MOMENTO NGULR O CINÉTICO Se denomina momento angula, o momento cinético, L 0 de un punto mateial especto a un punto O, al momento especto al punto O del momento lineal p del punto mateial consideado: L 0 p Deivando esta expesión con especto al tiempo: dl 0 d( p) d dp dp p + v p + donde el poducto vectoial v p es nulo po se v y p vectoes paalelos y po el teoema del momento dp lineal, F. Po consiguiente: dl0 F M o ( F) Esta expesión epesenta el teoema del momento angula según el cual, la deivada especto al tiempo del momento angula o momento cinético de un punto mateial especto a un punto O es igual al momento con elación a O de la esultante de las fuezas que actúan sobe el punto mateial. Pincipio de consevación del momento angula. Cuando un punto mateial está sometido a la acción de una fueza cuya diección paa constantemente po un punto fijo O (fueza cental), como el momento de dicha fueza especto a O es nulo, al aplica el teoema del momento angula tendemos: dl 0 0 L0 const. Si el momento total de las fuezas que actúan sobe un punto mateial es nulo, el momento angula o cinético pemanece constante. 4

5 Fundamentos y Teoías Físicas ETS quitectua.6.4. TEOREMS DE L ENERGÍ CINÉTIC Y DE L ENERGÍ MECÁNIC Concepto de tabajo: Matemáticamente, el tabajo W ealizado po una fueza F bajo la acción de la que un sistema ealiza un desplazamiento ectilíneo al que le podemos asocia un vecto s, se expesa po el siguiente poducto escala: W F S Si la fueza que ealiza el tabajo no es constate o la tayectoia seguida po el punto mateial no es ectilínea puede considea el desplazamiento expeimentado po el cuepo descompuesto en elementos infinitesimales de desplazamiento d tal que veifiquen que sean ectilíneos y la fueza actuante a lo lago del ecoido definido po los mismos sea constante. El tabajo elemental ealizado po una fueza F a lo lago del ecoido definido po el vecto d viene dado po: Y el tabajo total: dw F d W F d Concepto de enegía cinética: Se denomina enegía cinética a la enegía que posee un cuepo en vitud de su movimiento. Matemáticamente, se expesa: EC mv Teoema de la enegía cinética: Supongamos un cuepo de masa m, inicialmente en eposo, al que se le aplica una fueza F paa que al cabo de un tiempo t adquiea una velocidad v. El tabajo elemental ealizado po esa fueza en un tiempo infinitesimal, en el que el móvil ecoió un espacio ds, vendá dado po: dw F d m a d Y como dv a y ds v, se tiene: dw dv m v m v dv El tabajo total ealizado seá paa i de a : o bien: W m v dv mv W E C E C mv mv 5

6 Fundamentos y Teoías Físicas ETS quitectua La ecuación es la expesión analítica del teoema de la enegía cinética: el tabajo que ealizan las fuezas que actúan sobe un punto mateial en un intevalo de tiempo cualquiea es igual a la vaiación de la enegía cinética del punto en ese mismo intevalo. Teoema de la enegía mecánica: Si la fueza F de la que estamos calculando la ciculación y que en este caso epesenta el tabajo W ealizado po la misma esulta se el gadiente de una función escala U, esto es si F gadu podemos escibi que W U U. Y en tal caso la función escala U ecibe el nombe de función potencial o enegía potencial del campo de fueza y la fueza seá una fueza consevativa. Y si en este caso tenemos en cuenta el teoema de la enegía cinética podemos escibi: W E E U U E + U E + U E + E E + E C C C C C P C P y conocido que la suma de las enegías cinética y potencial constituye la enegía mecánica, la ecuación epesenta el teoema de la consevación de la enegía mecánica. Según este teoema, siempe que las fuezas que actúan sobe un punto mateial sean consevativas, la enegía mecánica del punto pemanece constante duante el movimiento. El peso es una fueza consevativa, de manea que si esta es la única fueza actuando sobe el punto mateial en todo instante la suma de la enegía cinética y la enegía potencial gavitatoia del punto mateial pemanece constante duante el movimiento. 6