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1 CINEMÁTICA: MOVIMIENTO TRIDIMENSIONAL, DATOS EN FUNCIÓN DEL TIEMPO. Una cucaracha sobre una mesa se arrasra con una aceleración consane dada por: a (.3ˆ i. ˆ j ) cm / s. Esa sale desde un puno ( 4, ) cm en con velocidad v 1. ˆ j cm / s. Cuáles son las componenes de sus vecores de posición y velocidad en cualquier insane del iempo? Solución: I.T.T. 95 Texo solución Un pescado nada sobre un plano horizonal y iene una velocidad v 4i ˆ + ˆ j puno en el océano cuya posición respeco a una roca es r 1i ˆ 4 ˆ j con aceleración consane durane. s su velocidad es de v ˆ i 5 ˆ j son las componenes de la aceleración? b) En donde se encuenra el pescado en 5 s? Solución: I.T.T. 95 Texo solución ( ) m / s en un ( ) m. Después de nadar ( ) m / s. a) Cuáles El vecor de posición del puno A varía en función del iempo según la ley: r αi ˆ β ˆ j, donde α y β son consanes posiivas. Hallar: a) la ecuación de la rayecoria del puno y(x), represenarla gráficamene, b) la velocidad, aceleración y sus módulos en función del iempo, c) la dependencia del ángulo θ enre los vecores velocidad y aceleración en función del iempo, d) la velocidad media en los primeros segundos del movimieno. Solución: I.T.T. 97, 3 a) Despejando el iempo en la expresión de x() y susiuyendo en la de y() enemos la ecuación de la rayecoria: y x( ) α x y β y( ) β α α x x Se raa de una rayecoria parabólica. b) Derivando sucesivamene la posición obenemos la velocidad y la aceleración: Física Cinemáica Página 1

2 v ( ) d r d α ˆ i β ˆ j, v( ) α + 4β a ( ) d v d β ˆ j, a( ) β c) Como la aceleración esá dirigida a lo largo del eje Y y con senido negaivo, el ángulo que formará con la velocidad vendrá dado por: y a v x gθ v x v y α β θ d) El vecor velocidad media en los primeros segundos vendrá dado por: v m ( ) r ( ) r ( ) αi ˆ β ˆ j ( ), y b[ 1 cos( ω ) ] donde b y ω Un puno se mueve en el plano XY según la ley x bsen ω son consanes posiivas. Hallar: a) la disancia s recorrida por el puno durane un iempo τ, b) el ángulo enre la velocidad y la aceleración en función del iempo. Solución: I.T.T. 97, 3 a) Derivando la posición obenemos la velocidad: v ( ) d r d bω cos ( ω ) i ˆ + bω sen( ω) ˆ j v( ) bω Al ser consane el módulo de la velocidad enemos que la disancia s que nos piden será: τ s v d bωτ b) Al ser consane el módulo de la velocidad enemos que no hay aceleración angencial, con lo que la aceleración iene en odo momeno dirección normal a la rayecoria: v ( ) a ( ) Física Cinemáica Página

3 Un puno se mueve en un plano de modo que sus aceleraciones angencial y normal son a α y a n β 4 siendo α y β consanes posiivas. En el momeno el puno se enconraba en reposo. Deerminar en función del recorrido s: a) el radio R de curvaura de la rayecoria del puno, b) su aceleración a. Solución: I.T.T. 97, 3 a) A parir de la aceleración angencial podemos sacar información sobre el módulo de la velocidad y el recorrido s en función del iempo: a α v a d α s v d 1 α v sα Susiuyendo esos resulados en la expresión de la aceleración normal: a n v R β4 sα R ( ) β s α R α 3 sβ b) El módulo de la aceleración vendrá dado por: a a + a n α + β 4 ( ) α + 4βs α α β s 4 α 6 Una parícula localizada inicialmene en el origen iene una aceleración de a 3 ˆ j m / s y una velocidad inicial de v 5i ˆ m / s. Halle: a) el vecor de posición y la velocidad en cualquier iempo y b) las coordenadas y la rapidez de la parícula en s. Solución: I.T.T. 9, 96, 98, Texo solución Un cuerpo se desplaza a lo largo de una curva plana de modo que sus coordenadas recangulares, como función del iempo, esán dadas por x 3 3, y +1. Suponiendo que esá dado en s, y las coordenadas en m, calcule: a) la posición del cuerpo cuando 1s, b) las componenes de la velocidad en cualquier insane, c) el módulo de la velocidad en 1s, d) la velocidad en, e) los iempos cuando la velocidad es cero, f) la aceleración en cualquier insane, g) la aceleración cuando, h) los iempos en que la aceleración es paralela al eje Y. Física Cinemáica Página 3

4 Solución: I.T.I. 95,, 1, 4, I.T.T. 1, 4 a) Susiuyendo en las expresiones que nos dan: x( 1) 1, y( 1) b) Derivando: v x dx d 6 6 v y dy d c) v x ( 1), v y ( 1) d) v x ( ), v y ( ) m / s v v j e) Llamemos a al insane en que la velocidad se anula, enonces: v x ( a ), v y a ( ) 6 a 6 a, a a 1 f) Derivando la velocidad: a x dv x d g) a x ( ) 6, a y ( ) 1 6 a 6 i + j ( ) a y dv y d h) Llamemos b al insane en que la aceleración es paralela al eje Y, enonces: a x ( ) 1 b 6 b b 1 (Como se indica en el enunciado las unidades uilizadas en el problema son las del S.I.) Un puno se mueve pariendo del origen de coordenadas con una aceleración a ˆ j + k ˆ y una velocidad inicial v 3ˆ i, ambas medidas en el S.I. Calcular: a) el vecor de posición del puno en función del iempo, b) la velocidad y la aceleración en s, c) las aceleraciones normal y angencial en ese insane así como el radio de curvaura. Solución: I.T.I. Texo solución Un puno se mueve según la rayecoria xy 4, siguiendo la ley horaria x. Calcular las componenes caresianas de la velocidad y la aceleración. Solución: I.T.I. Texo solución Física Cinemáica Página 4

5 El mov. ridimensional de una parícula viene dado por: r c i ˆ + Rsen( ω ) ˆ j + Rcos( ω ) k ˆ donde c, R y ω son consanes. Calcular los módulos de la velocidad y la aceleración de la parícula. Qué ipo de movimieno esá realizando la parícula? Solución: I.T.I. 97, Texo solución Una parícula se mueve según una rayecoria elípica definida por el vecor de posición: r A cos( ω ) i ˆ + B sen( ω) ˆ j. Demosrar que la aceleración esá dirigida hacia el origen y que es proporcional a la disancia de la parícula al origen. Solución: I.T.I. 98 Texo solución Física Cinemáica Página 5

6 Una parícula se mueve en el espacio con una velocidad v e ˆ i + c ˆ j ˆ k, siendo c una consane. Calcular: a) el vecor de la posición de la parícula en función de, sabiendo que en el insane, la parícula se encuenra en el puno (,, 1), b) el radio de curvaura de la rayecoria en el momeno, c) el valor de la consane c para que la rayecoria sea plana. Solución: I.T.I. 99,, 5, I.T.T. 99,, 5 a) Con las condiciones iniciales que nos dan la ecuación de la posición con el iempo será: r ( ) r ( ) + v ( ) d,,1 ( ) + e, 1 3 c 3, e 1, 1 3 c 3, b) Si calculamos la aceleración: a( ) d v d ( e, c, ) En enemos que: a ( ) ( 1,, ) v ( ) ( 1,, ) a ( ) v ( ) ( ) angene a la rayecoria a a n R curvaura c) Una solución fácil de ver es hacer c con lo cual la velocidad sólo endría componenes x y z, y la rayecoria se desarrollaría en el plano XZ. Una parícula pare del origen en el iempo con una velocidad de 6 m/s en la dirección OY posiiva. Su aceleración viene dada por a i ˆ 3 ˆ j (m/s ). En el insane en que alcanza su máxima alura hallar: a) la velocidad de la parícula, b) sus coordenadas (x, y). Solución: I.T.I. 9, 97, 99,, 5, I.T.T. 96, 99,,, 5 Calculemos su velocidad y posición en función de : v ( ) v + r ( ) r + a ( ) d, 6, v ( ) d,, ( ) + (, 3, ) d, 6 3, ( ) + (, 6 3, ) d ( ), 6 3, Física Cinemáica Página 6

7 En el momeno en que alcanza su máxima alura: v y ( ) 6 3 máx.alura máx.alura s máx.alura a) La velocidad en dicho insane será: v ( máx.alura ) ( máx.alura, 6 3 máx.alura, ) ( 4,, ) b) La posición en dicho insane será: r máx.alura ( ) máx.alura, 6 máx.alura 3 máx.alura, ( 4, 6, ) Una parícula se mueve en el plano XY de acuerdo con la ley a x 4 sen( ), a y 3cos( ). Si cuando, x, y 3m, v x, 4ms -1, v y,, enconrar la ecuación de la rayecoria. Deermine la velocidad cuando π 4 s. Solución: I.T.I. 93, 96, 1, 4, I.T.T. 1 Inegrando las aceleraciones: v x ( ) v x, + a x d 4 + 4sen( ) d 4 cos( ) v y ( ) v y, + a y d + ( ) 3cos d 3sen( ) Cuando π 4 s: v x π 4 4 cos π 4 v π y 4 3sen π 4 3 Inegrando la velocidad: x( ) x + v x d + 4 cos( ) d 4sen( ) y( ) y + v y d 3 + 3sen( ) d 6 3cos( ) Física Cinemáica Página 7

8 Para calcular la rayecoria (ecuación que relaciona x con y) hay que eliminar el parámero en las expresiones aneriores. Despejando las funciones rigonoméricas: sen( ) x 4 cos( ) 6 y 3 Teniendo en cuena que cos ( ) + sen x 4 + y 6 3 ( ) 1 Se raa de una elipse con cenro en el puno (, 6) y con semieje x igual 4 y semieje y igual a 3. (Las unidades uilizadas en el problema son las del S.I.) 1 Un cuerpo se desliza a lo largo de una curva plana de modo que sus coordenadas recangulares esán dadas por: x( ) 3 3, y( ) +1 ( en s y x, y en m). Calcule: a) la posición del cuerpo cuando 1 s, b) las componenes de la velocidad en cualquier insane, c) el módulo de la velocidad en 1 s, d) la velocidad en, e) los iempos en los que la velocidad se anula, f) la aceleración en cualquier insane del iempo, g) la aceleración cuando, h) los iempos en los que la aceleración es paralela al eje Y. Solución: I.T.I. 96 Texo solución Un ave vuela en el plano XY con una velocidad v (.1.8 ) i ˆ + 5 ˆ j medida en el S.I. y la dirección +Y es verical hacia arriba. En el ave esa en el origen. a) Calcular los vecores de posición y aceleración en función del iempo. b) Qué alura iene el ave al pasar volando sobre el origen de coordenadas? Solución: I.T.I. 3, I.T.T. 4 a) La posición de la parícula vendrá dada por: r ( ) v ( )d [(.1.8 )ˆ i + 5 ˆ j ]d ˆ i +.5 ˆ j La aceleración la obendremos derivando: a ( ) d v d 5.6 ˆ i + 5 ˆ j b) Llamemos a ese momeno 1, si sobrevuela el origen de coordenadas: Física Cinemáica Página 8

9 x( 1 ) En ese momeno su alura será: y( 1 ) m Un puno se mueve en el plano XY de manera que v 4[ ( 1+ ) i ˆ + ˆ j ]. Si la posición es (1, ) cuando enconrar la ecuación caresiana de la rayecoria. Solución: I.T.I. 93, 3, I.T.T. 4 La posición del puno en cualquier insane vendrá dada por: r ( ) r + v ( )d i ˆ + ˆ j [( )ˆ i + ˆ j ]d ( )ˆ i + ( + )ˆ j ( ) para cada componene enemos que: x( ) , y( ) + [ ] Despejando el iempo en la segunda ecuación y susiuyendo en la primera: y x( y) y 4 Se raa por lo ano de una parábola abiera a lo largo del eje X posiivo y que iene su vérice en el origen. x Física Cinemáica Página 9

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