TEMA 4: TRIGONOMETRÍA

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1 TEMA 4: TRIGONOMETRÍA 1. Cuántos radianes tiene una circunferencia? 2. Cuántos grados tiene un radián? 3. Cuántos radianes tiene un grado? 4. Cuántos radianes tiene un ángulo α de 210 o? 5. Determina los grados de un angulo β de 5 radianes. 6. Pasa a radianes: (a) 45 o (d) 315 o (g) 40 o (j) o (b) 135 o (e) 1295 o (h) -855 o (k) 855 o (c) 225 (f) 30 o (i) 60 o (l) o 7. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, expresados en radianes: a) cos 3π d) cot 1, 2 ( 2 ) 2π b) sin e) csc 5 3 c) tan 2, 5 f) sec 3, 1 8. Sea ABC un triángulo rectángulo en B, de modo que AB=10 y BC=5. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos  y Ĉ. 9. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm, y uno de sus catetos 10 cm, cuáles son las razones trigonométricas de sus ángulos agudos? 10. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 5 cm y su ángulo opuesto, 20 o. Construye dicho triángulo. 11. En un triángulo rectángulo la hipotenusa AC mide 10 cm y sina=0,2051. Cuánto miden los dos catetos? Y los ángulos agudos? 12. Si en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 13 cm y uno de sus ángulos agudos es tal que su tangente trigonométrica es 0,8, cuál es la longitud de los dos catetos? 13. Halla tg76 o y cos38 o. 14. Copie en la calculadora 39 o Pasa a o el ángulo Halla α y β directamente con la calculadora sabiendo que cosα = 0, 83 y tgβ = 2, 5. 1

2 16. Si tgβ = 0, 6924, halla cosβ. 17. Obtén con la calculadora el seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos: (a)19 o (c)32 o (e)48 o (b)64.5 o (d)70 o 30 (f)83 o Utiliza la calculadora para hallar el ángulo α en cada caso: (a) sin α = 0.45 (b) cos α = 0.8 (c)tgα = Calcula las siguientes razones trigonométricas: a) sin 700 o d) cot 495 o b) cos 1125 o e) csc 610 o c) tan( 400 o ) f) sec 1635 o 20. Halla los ángulos menores que 360 o que verifican: a) sin α = 0, 1875 d) cot α = 1, 5607 b) cos α = 0, 3761 e) csc α = 3, 0123 c) tan α = 3, 7 f) sec α = 4, Calcula las razones trigonométricas de un ángulo α del tercer cuadrante si tanα = Si un ángulo α verifica que sin 2 α = 1 4, en qué cuadrante se encuentra? Cuál es el valor de α? 23. Si tanα = 1 y cosα > 0, en qué cuadrante se encuentra? Cuánto mide α? 24. Un ángulo α está en el segundo cuadrante y se sabe que cosα = 3/4. Halla las restantes razones trigonométricas de α. 25. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo α sabiendo que pertenece al tercer cuadrante y tanα = Se sabe que un ángulo α del cuarto cuadrante es tal que cscα = 5/3. Cuáles son las restantes razones trigonométricas del mismo? 27. A partir de las razones trigonométricas de 30 o, halla el seno, el coseno y la tangente de 60 o, 150 o, 210 o y 330 o (-30 o ). sin(α + β) = sin α cos β + cos β sin α sin(α β) = sin α cos β cos β sin α sin 2α = 2 sin α cos α sin α 1 cos α 2 = ± 2 cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β cos 2α = cos 2 α sin 2 α cos α 1 + cos α 2 = ± 2 2

3 tan α + tan β tan (α + β) = 1 tan α tan β tan 2α = 2 tan α 1 tan 2 α tan α tan β tan (α β) = 1 + tan α tan β 1 cos α tan α 2 = ± 1 + cos α 28. Resuelve la ecuación sin 2x = cos x, donde 90 o x 90 o. 29. Resuelve la ecuación sin(2x + 60 o ) + sin(x + 30 o ) = 0 con 0 o x 360 o. 30. Se sabe que sin 20 o = 0, 3420; cos 20 o = 0, 9397; tan 20 o = 0, 3640 y sin 15 o = 0, 2588; cos 15 o = 0, 9659; tan 14 o = 0, Calcula las razones trigonométricas de 35 o, 5 o y 40 o. 31. Sabiendo que cos120 o =-0.5, calcular las razones trigonométricas de 60 o. 32. Si tanα = 0, 7 y α está en el primer cuadrante, calcula las razones trigonométrics del ángulo complementario, 90 o -α, y del ángulo suplementario, 180 o -α. 33. Sabiendo que α + β = 360 o y que sinα = 0.4 (90 o <α < 180 o ) calcula las razones trigonométricas de β. 34. Los ángulos α y β se diferencian en 180 o. Si cosα = 0, 3 y sinα > 0, determina las razones trigonométricas del ángulo β. 35. Si sinα = 1/3, calcula sin(α+30 o ), sin(α+45 o ), cos(α 60 o ), tan(60 o α). 36. Si tanα = 3, calcula tan2α, sin 2α y coα/ De un ángulo α del segundo cuadrante se sabe que su cotangente vale -5/3. Calcula las razones trigonométricas del ángulo α/ Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60 o. Para que la altura de la escalera, estango abierta, sea de dos metros, qué longitud deberá tener cada brazo? 39. Una escalera de 4m está apoyada contra la pared. Cuál será su inclinación si su base dista 2m de la pared? 40. Representa las siguientes funciones: (a) y = sen(x) (b) y = sen(2x) (c) y = cos(x) (d) y = tg(x) 41. Simplifica al máximo estas expresiones: ( π ) ( ) 3π (a) sin 4 + α sin 4 α ( π ) (b) sin(π + α) cos 2 α 3

4 (c) tan(-α) + tan(π α) (d) sin(5π α) + sin (π + α) sin 42. Halla sinx a partir de tanx. 43. Expresa cosx en función de tanx/2. ( ) 3π 2 + α 44. Resuelve la ecuación trigonométrica sin2x=cosx, donde -90 o x 90 o. 45. Resuelve la ecuación sin(2x+601)+sin(x+30 o )=0 con 0 o x 360 o. 46. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: (a) sin2x=sinx, 0 o <x<360 o (b) 2sin 2 x = sin x, 0 o <x<360 o (c) cot 2 x csc x = 1, 0 o <x<360 o (d) 10sin 2 x + cos x = 7, 0 o <x<360 o (e) cos2x-2sin 2 2x = 1, 0 o <x<360 o (f) cos 2 x sin 2 x = 1 2, 0o <x<360 o (g) cosx=sinx, 0 o <x<360 o 47. Halla la longitud del lado de un pentágono regular inscrito en un círculo de 10 cm de radio. 48. Un triángulo isósceles tiene una base de 10 cm y los dos ángulos iguales de la base miden 75 o cada uno. Determina la longitud de su altura y la de los dos lados iguales. 49. Desde un punto A se observa el ancho de una columna cil ndrica de 0,8 m de diámetro bajo un ángulo de 6 o. Halla la distancia del punto A al eje de la columna. 50. Una escalera de 2 m de longitud está apoyada a una pared y se separa de ella 0,5 m. Calcula el ángulo que forma con el suelo. 51. Al observar un árbol desde un punto situado a 10 m de su base se mide un ángulo de 35 o. Qué altura tiene el árbol? 52. Una construcción en forma de pirámide cuadrangular mide 40 m de altura y, su base, 50 m de lado. Halla el ángulo de inclinación de sus caras laterales respecto del suelo. 53. Para medir la distancia de un barco (situado en el punto P) a la costa (punto Q), nos situamos en un punto B de la costa a 300 m del punto Q y medimos el ángulo PBQ, que resulta ser de 72 o. A qué distancia se encuentra el barco de la costa? 4

5 54. Desde un determinado punto situado en el suelo se observa una torre bajo un ángulo de 22 o. Si nos apartamos 10 m de la base de la torre, el ángulo de visión es de 15 o. Qué altura tiene la torre? A qué distancia de su base se encuentra el primer punto de observación? 55. Desde un punto A al pie de una colina, una persona camina 300 m subiendo una pendiente de 24 o y, a continuación, asciendo 100 m en la misma dirección por una pendiente de 31 o hasta alcanzar la cima de la colina. Calcula la distancia en línea recta de A a la cima de la colina y el ángulo de elevación de la misma observado desde A. 56. Comprueba: 57. Demuestra: 1 + cos α sin α = sin α 1 cos α 3 4 cos 2 α = 4 sin 2 α Comprueba esta identidad: 59. Comprueba: 60. Demuestra: 61. Comprueba: 62. Puede ser sec α = 0.5? Por qué? cos α 1 + sin α sin α cos α = 2 sec α 1 sec α + tan α = cos α 1 + sin α 2 tan α + cot α tan α + cot α = 1 + sin2 α 2 tan α sin 2α = 1 + tan2 α 63. Si sinα = 0, 5 y tanα es negativa, en qué cuadrante se encuentra el ángulo α? 64. Puede ser que el seno, el coseno y la tangente de un ángulo sean todos negativos? 65. Si cotα es negativa, qué signo tiene el producto secα csc α? 66. Si la medida de un ángulo aumenta de 0 o a 90 o, su coseno, aumenta o disminuye? y su seno? y su tangente? 67. Al aumentar de 90 o a 180 o, cómo varían el seno y el coseno de un ángulo? Y si el ángulo varía de 270 o a 360 o? 68. Si tanα = 3, cuánto vale tan(180 o -α)? 5

6 69. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa vale 1 y uno de los ángulos agudos mide 30 o. Cuál es la longitud de los dos catetos? 70. Sabemos que sinα = 0, 2 y que está en el primer cuadrante. Cuánto vale cos(90 o + α)? Y sin(180 o +α)? 71. Calcula tan(α + β + γ) en función de tanα, tan β y tan γ. 72. Un sistema de dos ecuaciones trigonométricas con dos incógnitas es un conjunto formado por dos ecuacines trigonométricas en les que intervienen dos ángulos distintos. Resuelve el sistema de ecuaciones trigonométricas: { sin x + cos y = 2 csc x + sec y = Halla una fórmula que exprese sin4α en función de sinα y de cosα. 74. Resuelve la ecuación trigonométrica: 4cos 3 x sin x 4 cos x sin 3 x = 1. ( x ) ( 75. Comprueba que cosx = cos 4 sin 4 x ) Resuelve la ecuación trigonométrica:sin 4 x cos 4 x = Resuelve la ecuación trigonométrica: sin 4 x cos 2 x = Comprueba la siguiente preposición: Si ABC es un triángulo rectángulo, y AH la altura correspondiente a la hipotenusa, entonces, AH 2 = BH CH. 79. Una cometa está sujeta a una cuerda de 25 m de largo y se eleva de manera que la cuerda forma un ángulo de 37 o con el suelo. A qué altura vuela? 6