Introducción a la actividad Material Didáctico: Tiempo (1hr.45min)
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- Juan Antonio Márquez Ojeda
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1 Código/Título de la Unidad Didáctica: CALCULOS TRIGONOMETRICOS Actividad nº/título: A1. TRIGONOMETRÍA FORMULAS GENERALES Introducción a la actividad Material Didáctico: Tiempo (1hr.45min) 1. OBJETIVO El objetivo de esta actividad es identificar los diferentes términos relacionados con la trigonometría que se aplican en la resolución de problemas básicos en el área de fabricación mecánica.
2 2. CONCEPTOS BÁSICOS. DEFINICIONES Con el teorema de Pitágoras (teorema_pitágoras.swf) se obtenía la relación que hay entre los diferentes lados de un triángulo rectángulo. Con la trigonometría, tenemos la relación que existe entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Hay una serie de términos que se deben recordar para trabajar con la trigonometría estos términos son: seno de un ángulo, coseno de un ángulo, tangente de un ángulo. En el siguiente ejemplo vemos cual es la fórmula del seno de un ángulo y como se puede emplear para obtener un valor desconocido. tri_angulo_mesa.swf FORMULAS TRIGONOMETRICAS de UN ANGULO AGUDO de un TRIANGULO RECTANGULO A continuación, se a tomar contacto con las fórmulas trigonométricas, en los siguientes apartados de esta actividad, se verá la aplicación práctica de las fórmulas. Angulo agudo: es un ángulo cuyo valor es inferior a 90º En la imagen anterior tenemos un triángulo rectángulo ( caso1_triangulo.swf), se sabe que: - en un triángulo rectángulo uno de sus tres ángulos mide 90º - que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo, mide 180º - luego en un triángulo rectángulo tendremos, un ángulo de 90º y dos ángulos menores que 90º, es decir dos ángulos agudos. - En la imagen, vemos que α y β son ángulos menores de 90º luego son ángulos agudos. caso1_triangulo.swf
3 En la siguiente animación, se puede apreciar los ángulos que forman una circunferencia. Esta información es útil para operar con ángulos. Se debe tener en cuenta que: el ángulo total de la circunferencia es de 360º en una circunferencia hay 4 ángulos de 90º ang_circ.swf Seno: En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo, es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo cateto opuesto seno α = = hipotenusa Cateto opuesto al ángulo: es el lado que está en frente del ángulo. En la imagen se observa que el lado a es el que está en frente del ángulo α, es decir es el cateto opueso. a b Coseno: En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo, es el cociente entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa del cos α = cateto contiguo hipotenusa = c b
4 triángulo Cateto contiguo al ángulo: es un lado que forma el ángulo. En la imagen se observa que el lado c es el que forma el ángulo α junto con la hipotenusa. coseno.swf Tangente: En un triángulo rectángulo, tangente de un ángulo agudo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. cateto opuesto tg α = = cateto contiguo a c tangente.swf
5 3. EJERCICIO ENUNCIADO DEL EJERCICIO (CONSIDERACIONES) Se ha visto las relaciones trigonométricas de un ángulo agudo y se ha visto como en un triángulo rectángulo hay un ángulo de 90º y dos ángulos agudos. Escribe las relaciones trigonométricas para el ángulo β de la imagen. PREGUNTAS Pregunta1 Posibles respuestas Doc. De ayuda (link) Seno de β? Sen β = c Sen β = b ejercicio.swf JUSTIFICACIÓN En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo, es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo. En la imagen, se observa que el cateto opuesto a β es c y la hipotenusa es b luego: c Sen β = b ejercicio.swf Pregunta2 Posibles respuestas Doc. De ayuda (link)
6 Coseno de β? cos β = a Cos β = b ejercicio.swf JUSTIFICACIÓN En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo, es el cociente entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa del triángulo En la imagen, se observa que el cateto contiguo a β es a y la hipotenusa es b luego: a cos β = b ejercicio.swf Pregunta3 Posibles respuestas Doc. De ayuda (link) Tangente de β? Tg β = c tg β = a ejercicio.swf JUSTIFICACIÓN
7 En un triángulo rectángulo, tangente de un ángulo agudo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. En la imagen, se observa que el cateto opuesto a β es c y el cateto contiguo es a luego: tg β = c a ejercicio.swf
8 4. EJEMPLO DE APLICACIÓN I EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA FORMULA DEL SENO Con la fórmula del seno de un ángulo podemos resolver el siguiente problema planteado, que consiste en calcular la altura del bloque patrón que se debe poner en la mesa de senos de la animación. caso1_datos.swf Pasos para obtener el valor: Datos que disponemos En la animación nos dice que el ángulo α es de 30º. Este ángulo coincide con el ángulo de inclinación de la mesa. Otro dato que se da es la longitud de los ejes de la mesa que es de 250 mm i1.gif i2.gif Aplicar fórmula Como se ha visto la fórmula del seno es la siguiente: sen α = cateto opuesto hipotenusa Sustituyendo los valores conocidos, tenemos que:
9 i3.gif a sen 30 = de donde 250 a = sen 30 x 250 Obtener los valores con la calculadora a = sen 30 x 250 para obtener el seno de un ángulo, basta con escribir el ángulo en la calculadora, en este caso 30 y pulsar la tecla (sin). De esta forma se observa que el seno de un ángulo de 30º es 0.5. Sustituyendo los valores, tenemos que: a = 0.5 x 250 =125 mm Por lo que a = 125, es decir el bloque patrón o cala debe tener una altura de 125 mm calculadora.jpg Se observa como con la fórmula del seno, hemos obtenido un valor desconocido a partir de unos datos conocidos.
10 5. EJERCICIO ENUNCIADO DEL EJERCICIO (CONSIDERACIONES) Para realizar este ejercicio es importante tener en cuenta: La suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180º Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90º también llamado ángulo recto (concepto_perpendicular.swf) Una circunferencia tiene 360 º (ang_circ.swf) Es importante practicar con este ejercicio, debido a que facilitará el identificar valores de ángulos a partir de un ángulo conocido. Este tipo de problemática es muy frecuente en los talleres en la acotación de planos. PREGUNTAS Pregunta1 Posibles respuestas Doc. De ayuda (link) Para los siguientes triángulos, indica el valor de los ángulos a partir del ángulo conocido: Valor de α = 90 º Valor de β = 60 º Valor de α = º Valor de β = º ejer_1.swf JUSTIFICACIÓN Se sabe que en un triángulo rectángulo uno de sus ángulos es del 90º ( está formado por dos rectas perpendiculares) concepto_perpendicular.swf, además se sabe que la suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180º por lo que tenemos que: Sabemos que el triángulo tiene un ángulo de 90º α = 90º Nos dan el valor de otro ángulo de este triángulo 30º Y 180 = 90º + 30º+ β luego β = = 60º SOLUCION: Valor de α = 90 º Valor de β = 60 º Pregunta2 Posibles respuestas Doc. De ayuda (link)
11 Indica el valor del ángulo: Valor de δ = º Valor de δ = 150 º ejer_2.swf JUSTIFICACIÓN Observando los diferentes ángulos que se establecen en una circunferencia, vemos que δ y el ángulo de 30º que nos dan como dato suman 180º. Observa el ángulo de 180º en la siguiente animación. Se tiene entonces que: 30º + δ = 180º Luego: δ = 180º - 30º = 150º ang_circ.swf Pregunta3 Posibles respuestas Doc. De ayuda (link) Indica el valor del ángulo: Valor de δ = 60 º Valor de δ = º ejer_3.swf JUSTIFICACIÓN
12 Observando los diferentes ángulos que se establecen en una circunferencia, vemos que δ y el ángulo de 30º forman un ángulo recto o de 90º. Observa el ángulo de 90º en la siguiente animación Se tiene entonces que: 30º + δ = 90º Luego: δ = 90º - 30º = 60º ang_circ.swf
13 6. EJERCICIO DE EUCLIDES ENUNCIADO DEL EJERCICIO (CONSIDERACIONES) El objetivo de este ejercicio, es practicar con ángulos para identificar valores de ángulos desconocidos, a partir de un ángulo conocido, teniendo en cuenta que : Se deben identificar los triángulos rectángulos y el ángulo de 90º La suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180º Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90º también llamado ángulo recto (concepto_perpendicular.swf) Una circunferencia tiene 360 º (ang_circ.swf) Dispones de una circunferencia que puedes arrastrar sobre los vértices de los triángulos para ver la relación de los diferentes ángulos respecto a una circunferncia. euclides.swf PREGUNTAS
14 Justifcación Angulo 1 : 60 º a partir de que la suma de tres ángulos de un triángulo es de 180 º se obtiene que: 30º + 90º + Angulo 1 = 180 º Angulo 1 = 180º -30º - 90º = 60º Angulo 2 : 30 º en la imagen se observa que el ángulo 1 y 2 forman un ángulo recto (90º). Como el ángulo 1 se ha calculado y es de 60º se tiene que: Angulo1 + Angulo 2 = 90º Angulo 2= 90º - Angulo1 Angulo 2 = 90º -60º = 30º A partir de estos datos se obtienen el resto de ángulos de la imagen. Para el ángulo 5 y 6, se observa que están construidos por las mismas rectas y no son consecutivos uno del otro, es decir uno está en frente del otro por lo que son iguales. angulos_rectas.swf A MEMORIZAR Fórmula del seno Fórmula del coseno Fórmula de la tangente Cateto Opuesto Cateto Contiguo Memorizar.swf INFORMACIÓN EN:
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