Nº caras. Nº vértices

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Raquel Eugenia Ortega Villalobos
hace 7 años
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1 Tipo De Caras (Ángulo Interior) Triángulo Equilátero (60º) Cuadrado (90º) Pentágono (108º) Hexágono (10º) Nº caras por vértice Suma de los ángulos de cada vértice Nº caras Nº vértices Nº aristas C + V - A Nombre 3 180º Tetraedro 4 40º Octoedro 5 300º Icosaedro 6 No se puede construir 3 70º Cubo 4 No se puede construir 3 34º Dodecaedro 4 No se puede construir 3 No se puede construir

2 PROBLEMAS TEMA 5 1- Se tiene un ortoedro de área total 370 dm. La superficie de una cara es 50 dm. Midiendo 5 dm la arista perpendicular a dicha cara, hallar el valor de las otras aristas.,5,5 dm A1 = x y = 50 A = z y A3 = z x Z = 5 y = A = 370 = A 1 + A + A 3 ; 370 = y + 5 x; 370 = y + 10 x; 7 ± = y + x x y = 50 { x + y = 7 x y = 50 { x = 7 y y (7 y) = 50; y 7y + 50 = 0; = 7 ± 3 ; y 1 = 5; y = y 1 = 5 dm 5 x = 50; x = dm; z = 5 dm 370 dm y = dm x= 50; x = 5 dm; z = 5 dm 370 dm

3 - Se tiene un tubo de 4 cm de radio interior. Si se tapa por un extremo y se echa un litro de agua, qué altura alcanzará? h= 19.9 cm Radio 4 cm A = πr = 50,4 cm = 0 5 dm V = A h; h = 1 dm 3 0 ; h = dm = 0 cm 5 dm 3- Hallar el área y el volumen de un tetraedro regular de 10 dm de arista. En un tetraedro regular sus caras son triángulos equiláteros. Para hallar la altura de cada cara usamos el Teorema de Pitágoras: a = h c + ( a ) ; = h c ; h c = 8,66 dm Ac = b h = 10 8,66 = 43,3 dm AT = 4 43,3 = 17, dm En un prisma triangular caben 3 tetraedros por lo tanto el volumen es V = 1 A 3 c h t Para calcular la altura del tetraedro necesitamos la apotema. La apotema es 1/3 de una mediana de la base. Apotema: 1 h 3 c =,88 dm Altura del tetraedro: apotema + h t = h c ; 8,66,88 = h t ; h t = 8,16 dm V = 1 3 A c h t = 117, 77 dm 3

4 4- Un octaedro regular tiene de arista 1 cm. Cuánto vale su área? Y su volumen? A=500 cm ; V= 814 cm 3 Para hallar el área de una de las caras del octaedro necesitamos la altura que la calcularemos con el Teorema de Pitágoras. a = ( b ) + h c ; = h c ; h c = 10,39 cm A c = b h c = 1 10,39 = 6,34 cm A t = 8 6,34 = 498, 7 cm Un octaedro está formado por pirámides cuadrangulares regulares unidas por la base. En un cubo caben 3 pirámides cuadrangulares regulares por lo tanto el volumen es: V p = 1 3 A c h p Para calcular la altura de una pirámide necesitamos la apotema. La apotema es la mitad de una de las diagonales de la base. La diagonal la calculamos con el Teorema de Pitágoras: La apotema es la mitad de la diagonal d = l + l ; d = 88; d = 16,97 cm 16,97 = 8,48 cm La altura la calculamos con el Teorema de Pitágoras. a + h p = l ; h p = 8,49 cm V p = 1 3 A c h p ; V P = 407,5 cm 3 V = V p ; V = 815, 04 cm 3 V = 3 l3 = 81,16 cm 3

5 5- Las diagonales de un rombo miden 8 cm y 6 cm. Calcular el área y el volumen engendrado por el mismo al girar alrededor de la diagonal mayor. A=30PIcm ; V=4PIcm 3 D = 8 cm d = 6 cm Para calcular el volumen Para calcular el área A b = πr = 3,14 3 = 8,6 cm V = 1 3 A b h = 75,36 cm 3 g = r + h ; g = 5 cm A l = πrg = 47,1 cm A t = 6,8 = 94,4 cm 6- Un triángulo equilátero de 4 cm de lado gira alrededor de un lado. Hallar el volumen engendrado. V=16PI cm 3 Se forman dos conos unidos por la base. El radio de la base es la altura del triángulo equilátero y la altura de cada cono es la mitad de un lado del triángulo equilátero, es decir, cm. r + ( l ) = l ; r = 16 4 ; r = 3,46 cm A b = πr = 3,14 3,46 = 37,59 cm V = Ab h 3 = 50,1 cm 3

7- La longitud del arco de un sector circular mide 31,416 cm y su radio 0 cm. Hallar la superficie total del cono de revolución cuyo desarrollo fuera el sector. Cuál es su volumen?

6 7- La longitud del arco de un sector circular mide 31,416 cm y su radio 0 cm. Hallar la superficie total del cono de revolución cuyo desarrollo fuera el sector. Cuál es su volumen? V= 15/3 V15 PI cm 3 505,6 A sc = 31,416 cm = A b r = 0 cm = g P = 31,416 = πr; r = 5 cm radio de la base del cono h + r = g ; h = g r ; h = = 375; h = 19,36 cm A b = πr = 78,54 cm A c = 1 3 A b h; A b = 78,54 19,36 3 = 506,84 cm 3

7 8- Hallar el volumen engendrado por un trapecio isósceles que gira sobre la base mayor de 1 m, sabiendo que la otra base mide 7 m y el lado no paralelo 9 m. 647,83 PI m 3 035, h cono = B b = 1 7 =,5 cm r + h cono = g ; r = g h cono ; r = 9,5 = 74,75; r = 8,64 cm A b = πr = 74,75π cm V cono = 1 3 A b h cono = 6,9π cm 3 h cilindro = b = 7 cm V cilindro = A b h cilindro = 53,5π cm 3 V t = V cono + V cilindro = 14,58π + 53,5π = 647, 7π cm 3

8 9- Una pirámide regular hexagonal tiene de arista básica 3 cm y de arista lateral 5 cm. Hallar su área lateral, su área total y su volumen. Al= 4,9 cm; At = 66,33 cm; V= 31, cm3 h c + ( L b ) = L l ; h c = 5,5 =,75; h c = 4,76 cm A l = 6 Lb h c = 6 3 4,76 = 4, 84 cm Un hexágono regular está formado por 6 triángulos equiláteros por lo que el radio del hexágono es 3 cm, lo mismo que mide el lado. Apotema + ( L b ) = r h ; Apotema = r h ( L b ) = 9,5 = 7,5; A b = P apotema Apotema =,69 cm = 3 6,69 = 4,1 cm A t = A l + A b = 4,84 + 4,1 = 67, 05 cm h + apotema = h c ; h = h c apotema ; h = 19,96; h = 4,46 cm V = 1 3 A b h = 35, 99 cm 3

9 10- Una cámara cilíndrica termina en una semiesfera y tiene por volumen 60,6 m 3. Hallar la superficie total del conjunto siendo 4,5 m el radio del cilindro. V t = V cilindro + V semiesfera = 60,6 m 3 V semiesfera = 4 3 πr3 = 190,85 m 3 V cilindro + 190,85 = 60,6 ; V cilindro = 69,77m 3 = A b h; 69,77 = πr h; 69,77 = π 4,5 h; h = 69,77 = 0,10 m 636,17 A b = πr = 63,61 m A lateral = πr h =,8 m A semiesfera = 4πr = 17,3 m A t = A b + A lateral + A semiesfera ; A t = 193, 66 m

10 11- Un trapecio rectángulo tiene por bases 0 y 8 m y por altura 6 m. Gira alrededor de la base mayor. Qué figura se engendra? Determinar su área y su volumen. A b = πr = 113,09 m P b = πr = 37,69 m A l,cilindro = P b h = 753,8 m Para calcular g empleamos el Teorema de Pitágoras r + h cono = g ; = g ; 100 = g ; g = 10 A l,cono = π r g = 188,49 m A t = 1055, 38 m V cilindro = A b h cilindro = 61,8 m 3 h cono = 8 0 = 8 m V cono = 1 3 A b h cono = 301,57 m 3 V t = A cilindro + A cono = 563, 37 m 3

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