TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.4. APLICACIONES

Transcripción

1 TEM. VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES

2 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... Cálculo del rgo de u mtri.... Cálculo de l ivers de u mtri.... Resolució de ecucioes mtriciles.... Discusió resolució de sistems lieles

3 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... CÁLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ MENOR DE ORDEN r DE UN MTRIZ Dd u mtri de orde m, si se elige r-fils r-colums de ( r m, r ), cosidermos los elemetos que perteece CONJUNTMENTE dichs fils colums oteemos u sumtri cudrd de orde r. l determite de dich sumtri se le deomi meor de orde r de l mtri. EJEMPLO: ) Dd l mtri orde de orde. ) Dd l mtri 9 orde. oteer todos sus meores de orde, de oteer todos sus meores de orde de

4 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... CÁLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ RNGO DE UN MTRIZ Se defie el rgo de u mtri, como el máimo úmero de vectores fil o vectores colum que so lielmete idepedietes. CRCTERIZCIÓN DEL RNGO DE UN MTRIZ Utilido l propiedd 9 de los determites podemos grtir que si u mtri cudrd tiee determite o ulo, etoces sus vectores fil o sus vectores colum so lielmete idepedietes. El rgo de u mtri es el orde del mor meor o ulo que cotiee dich mtri. Se deot por rg (). EJEMPLO. Clcul el rgo de ls siguietes mtrices:

5 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... CÁLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ MÉTODOS PR OTENCIÓN DEL RNGO Método de meor mor rgo Cosideremos el método geerl prtir del siguiete ejemplo: Clculr el rgo de l mtri. PSO : Meores de orde. Como eiste u meor o ulo de orde etoces rg ( ).

6 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... CÁLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ PSO : Meores de orde. uscmos u meor o ulo de orde o ulo que coteg los elemetos del meor terior. El meor. Por tto, rg ( ) Si todos los meores de orde huier sido ulos el rgo de l mtri hrí sido.

7 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... CÁLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ PSO : Meores de orde. uscmos lgú meor de orde o ulo que coteg los elemetos del meor o ulo terior. Cosiderdo ls tres primers fils de l mtri, teiedo e cuet que los meores que uscmos dee coteer ls colums ª ª, oteemos dos meores Cosiderdo ls fils ª, ª (que cotiee el meor terior) l fil ª, se otiee otros dos meores de orde Por tto, rg ( ). Si todos los meores de orde oteidos por este procedimieto huier sido ulos etoces el rgo de l mtri huiese sido.

8 . VECTORES Y MTRICES PSO : Meores de orde. uscmos lgú meor de orde o ulo que coteg el meor o ulo de orde terior. E este cso, como l mtri es de orde, el úico meor de orde es el determite de l mtri : Por tto, el rgo de l mtri es... PLICCIONES... CÁLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ ª fil del pordjutos do desrroll C C C EJEMPLO: Clcul el rgo de l mtri: 7 8

9 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... CÁLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ Es útil pr clculr el rgo e fució de prámetros. EJEMPLO: Clculr el rgo de l mtri ) Método cálculo del rgo: de rgo mor posile meor Pr mtrices costte o es útil. EJEMPLO: Clculr el rgo de l mtri EJEMPLOS: Clculr el rgo de ls mtrices: 7

10 . VECTORES Y MTRICES ) Clcul el rgo de ls mtrices: ) ) 7 8 c) 6 C Clcul el vlor del prámetro pr que el rgo de l mtri se :.. PLICCIONES... CÁLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ : EJERCICIOS EJERCICIOS: Prolems cuestioes de álger liel, P. Orteg. Págs 8-87 Ejercicios 7,8,9,,

11 . VECTORES Y MTRICES Se u mtri cudrd de orde se defie l mtri djut o djut de se escrie ) ( dj l mtri formd por los djutos de los elemetos de l mtri : dj ) ( Por ejemplo, si 8 etoces l djut de est mtri es: dj( )... PLICCIONES... CÁLCULO DE L INVERS DE UN MTRIZ

12 .. PLICCIONES... INVERS DE UN MTRIZ. VECTORES Y MTRICES Se u mtri cudrd de orde que tiee ivers ( ). Etoces: ( dj( )) Por ejemplo, pr oteer l ivers de l mtri del ejemplo terior, clculmos e primer lugr el determite de l mism pr compror si tiee ivers: 6, por tto eiste l ivers de. plicdo l regl provechdo que e el ejemplo terior hemos clculdo l djut de l mtri : t t EJEMPLO. Clcul l ivers de ls siguietes mtrices: 7 ) )

13 . VECTORES Y MTRICES ) Se l mtri: ) Determi pr qué vlores de l mtri tiee ivers. ) Clcul si es posile l ivers de pr ) Clcul e cd cso l mtri ivers: ) ) c) C.. PLICCIONES... INVERS DE UN MTRIZ: EJERCICIOS. EJERCICIOS: Prolems cuestioes de álger liel, P. Orteg. Págs. : 89, 9 Ejercicios,

14 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... RESOLUCIÓN DE ECUCIONES MTRICILES. Diremos que u ecució es mtricil si su icógit o icógits so mtrices. Pr el trtmieto de ls ecucioes mtriciles, deemos cosiderr ls propieddes de ls mtrices. LGUNOS TIPOS DE ECUCIONES MTRICILES: ) Ecucioes mtriciles del tipo k X, dode X, so mtrices de orde m k es u úmero rel o ulo. Etoces X. Por ejemplo, X k ) Ecucioes mtriciles de l form X, dode,, X so mtrices del mismo orde. Etoces X. Por ejemplo, X

15 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... RESOLUCIÓN DE ECUCIONES MTRICILES. ) Ecucioes mtriciles de l form X, dode,, X so mtrices cudrds de orde. Etoces, si eiste se verific que: X X. E cso de o eistir l ivers de, l ecució o tiee solució. Por ejemplo: X, siedo. ) Ecucioes mtriciles de l form X, dode,, X so mtrices cudrds de orde. Si eiste se verific que: X X. E cso de o eistir ivers de, l ecució o tiee solució. Por ejemplo, X, siedo.

16 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... RESOLUCIÓN DE ECUCIONES MTRICILES. cotiució mostrmos lguos esquems de ecucioes mtriciles el método de resolució: ) X C X C si eiste X ( C ). ) X C X C si eiste X ( C ). ) X X C D ( ) X C D ( ) X D C si eiste ( ) X ( ) ( D C). ) ( X ) C si eiste X C X C ) X C. Si eiste, X C. 6) X X X IX ( I) X si eiste ( I) X ( I)

17 . VECTORES Y MTRICES ) Resuelve l siguiete ecució mtricil: C X, siedo: 6 7,, C ) Resuelve ls siguietes ecucioes mtriciles: ) C X X ) C X c) XC co 7,, C ) Resuelve l ecució: X C X si ,, C.. PLICCIONES... RESOLUCIÓN DE ECUCIONES MTRICILES: EJERCICIOS EJERCICIOS: Prolems cuestioes de álger liel, P. Orteg. Pág. 9- Ejercicios,,6

18 . VECTORES Y MTRICES U sistem de m ecucioes lieles co icógits es u cojuto de m ecucioes lieles e ls -vriles comues tods ls ecucioes deomids icógits. E geerl, los sistems se suele represetr por medio de sus ecucioes de l siguiete form: m m m m Los térmios ij co m i j,.,,,, so los coeficietes del sistem m j j,, los térmios idepedietes. FORM MTRICIL DE UN SISTEM m m m m m m m m *.. PLICCIONES... DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES.

19 . VECTORES Y MTRICES Se u sistem de m-ecucioes co -icógits determido por dode es l mtri de coeficietes del sistem de orde m, es el vector de icógits el vector de térmios idepedietes. Diremos que el vector s R es u vector solució del sistem si verific que s. Por ejemplo, ddo el sistem el vector.. PLICCIONES... DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. s es solució 8, 9 EJERCICIOS: Prolems cuestioes de álger liel, P. Orteg Pág. 9; ejercicios, CLSIFICCIÓN DE LOS SISTEMS SEGÚN SUS SOLUCIONES: SISTEMS INCOMPTILES: so sistems de ecucioes que o tiee solució. SISTEMS COMPTILES: so sistems de ecucioes lieles co solució. Los sistems comptiles su ve, se puede clsificr e: SISTEMS COMPTILES DETERMINDOS cudo tiee u úic solució. SISTEMS COMPTILE INDETERMINDOS cudo tiee ifiits solucioes.

20 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. DISCUSIÓN DE SISTEMS: Teorem de Rouché-Fröeius Se el sistems de ecucioes lieles, siedo mtri de coeficietes de orde m, el vector de -icógits el vector de m-térmios idepedietes. Si * ( ) es l mtri mplid del sistem, se verific: * ) El sistem es icomptile rg( ) rg( ). * ) El sistem es comptile rg( ) rg( ); e este cso: i) El sistem es comptile determido rg ( ) º icógits. ii) El sistem es comptile idetermido rg ( ) º icógits. EJEMPLO: Discute los siguietes sistems utilido el Teorem de Rouché-Fröeius: ) 9 ) c) 7 8 EJERCICIOS: Prolems cuestioes de álger liel, P. Orteg. Pág., ejercicio

21 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. DISCUSIÓN DE SISTEMS EN FUNCIÓN DE PRÁMETROS: EJEMPLO: Discute los siguietes sistems e fució de los vlores del prámetro : ) ) c) EJERCICIOS: Prolems cuestioes de álger liel, P. Orteg. Págs. -; 7; -6 Ejercicios 6, 7,, 8

22 . VECTORES Y MTRICES RESOLUCIÓN DE SISTEMS: ) REGL DE CRMER Se el sistem de -ecucioes -icógits ddo por :, co l mtri de coeficietes del sistem. Si, cosidermos pr cd i=,,, l mtri que se otiee sustituedo l colum i-ésim de l mtri por el vector de térmios idepedietes del sistem: i i i i i i i, etoces se verific que:,,, i i i.. PLICCIONES... DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES.

23 . VECTORES Y MTRICES RESOLUCIÓN DE SISTEMS COMPTILES DETERMINDOS CON L REGL DE CRMER: EJEMPLO: Resolver: RESOLUCIÓN DE SISTEMS COMPTILES INDETERMINDOS CON L REGL DE CRMER: EJEMPLO: Resolver: 6 8 t t t RESOLUCIÓN DE SISTEMS HOMOGÉNEOS CON L REGL DE CRMER: EJEMPLO: ) ) PLICCIONES... DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES.

24 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Diremos que dos sistems de ecucioes lieles so equivletes si tiee ls misms solucioes. TRNSFORMCIONES DE GUSS PR OTENER SISTEMS EQUIVLENTES: ) Si sustituimos u ecució por el producto de est ecució por u úmero rel, el sistem resultte es equivlete: Por ejemplo, el sistem es equivlete hemos multiplicdo los dos miemros de l primer ecució por (-). ) Si itercmimos de orde dos ecucioes, el sistem resultte es equivlete: Por ejemplo, el sistem es equivlete ) Si sustituimos u ecució por l sum de est ecució co u comició liel de ls resttes, el sistem que se otiee es equivlete: Por ejemplo, el sistem es equivlete ; hemos sustituido l segud ecució por l sum de ést co l primer.

25 . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. RESOLUCIÓN DE SISTEMS POR EL MÉTODO DE GUSS El método de resolució de sistems de Guss, cosiste e trsformr el sistem de ecucioes e otro equivlete esclodo, utilido ls trsformcioes elemetles dmisiles. U ve oteid l mtri esclod por el método de Guss: Si etoces el sistem es icomptile si el úmero de fils es igul l de icógits etoces SCD,, k k k k el úmero de fils es meor que el úmero de icógits etoces el sistem es comptile idetermido. EJEMPLOS: ) 6 ) 9 ) 7 8 )

26 . VECTORES Y MTRICES ) Discute resuelve los siguietes sistems de tres ecucioes co tres icógits plicdo el método de Guss: ) ) c) 6 d) ) Resuelve los siguietes sistems de ecucioes plicdo l regl de Crmer: ) ) 7 c) 6 d) ) Discute los siguietes sistems segú los vlores del prámetro m resuélvelos cudo se comptiles determidos: ) m m ) m ) Discute resuelve segú los vlores del prámetro m, los siguietes sistems homogéeos: ) m m ) m.. PLICCIONES... DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. EJERCICIOS. EJERCICIOS: Prolems cuestioes de álger liel, P. Orteg p. 9-, ejercicios, 8 9 p. 6- ; ejercicios,