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1 .- Hallar la probabilidad de obtener al menos una cara al tirar n veces una moneda. Si A sacar al menos una cara en n lanzamientos entonces A no sacar ninguna cara en n lanzamientos. Si A i sacar cara en el i-ésimo lanzamiento ; entonces A A A... An siendo los sucesos A i independientes. Entonces: p( A )p( A A... An )p( A ).p( A )...p( A n ) ½** n)**/ n Por tanto: p(a) - n n n.- A la vista de un león que se acerca, un cazador dispone de cuatro balas. El cazador sabe que en tales circunstancias hace blanco uno de cada cinco disparos. Dispara una bala tras otra hasta que el león caiga abatido, momento que dejará de disparar. Calcular la probabilidad de los sucesos siguientes. A que el cazador salve la vida B que se salve con el último disparo. El suceso A el cazador no salve la vida no haga blanco con ningún disparo. Entonces A A A A A siendo A i hacer blanco en el i-ésimo disparo. Luego: A ) A A A A ) al ser los sucesos independientes A ) A ) A ) A ) Entonces A) - 0,90 A A A A ) A ) A ) A ) A ) 0,0.- Sean A y B dos sucesos, A y B sus complementarios. Se verifica A) 0, B ) 0, y 0,. Hallar: AU B ), A I B ) y B/A). Sabemos que: A) 0, B ) 0, luego - B ) 0, 0, A I entonces AI P ( 0,.0, 0, Entonces: AU B ) A)+ - A I B ) 0, +0,0-0,0, A I 0, B/A). A) 0,.-Un juego consiste en lanzar tres monedas al aire. Si las tres monedas aparecen de igual modo se gana. En caso contrario se vuelve a tirar. a) Cuál es la probabilidad de ganar en la primera tirada? b) Cuál es la de perder las dos primeras y ganar la tercera? Sean A obtener cara en la ª moneda A obtener cruz con la ª moneda

2 A obtener cara con la ª moneda A obtener cruz con la ª moneda A obtener cara con la ª moneda A obtener cruz con la ª moneda a) Se gana si salen todas caras o cruces A I A I A o A luego: P[( A I A I A )U ( A I A I A )] A I A I A )+ A I A I A ) al ser los sucesos independientes A )A )A )+ A ) A ) A ) + 8 b) Si B ganar en una tirada tenemos que y por tanto B ) - entonces nos piden B I B I.- Tres amigos juegan con un dado de la siguiente forma: cada uno lo lanzará a lo sumo una vez. Si el primero en lanzar saca un, gana y se acaba la partida. Si no, lanza el segundo, que gana si obtiene un o, acabando la partida. Si tampoco gana este, lanza el dado el tercero, que gana si obtiene, o. Si no gana el tercero, la partida se termina. Halla la probabilidad de ganar que tiene cada uno y la probabilidad de que la partida acabe sin ganador. Sean A obtener en la ª tirada A obtener o en la ª tirada A obtener, o en la ª tirada Tenemos que : B ganar el º jugador A B ganar el º jugador A I A B ganar el º jugador B nadie gane A I A I A Entonces al ser las tiradas independientes: B ) A ) B ) A I A ) A ) A ) A I A I A B ) A I A I A ) A ) A )A ) A I A I A ) A ) A ) A ).- Sean A y B dos sucesos, A y B sus complementarios si se verifica B ), : AU B ) y A I B ), hallar A),, P ( A/ y A I B ) Sabemos - B ) -

3 AU B ) A) + - A I B ) luego A)+ - entonces A) A I B ) - A I B ) - A I 7.-Si A y B son sucesos independientes tales que A) 0, 0,7 ; calcular A I B ) Como los sucesos son independientes: A I B ) A ) B ) [ - A )][- B )] (- 0,)(-0,7) 8.-Si P es una probabilidad puede existir sucesos A y B de forma que A) 0,; 0,7 y A I B ) 0,? Si fuese cierto lo anterior tendríamos que AU B ) A) + - A I B ) 0, + 0,7 0,, > lo cual es imposible pues la probabilidad de cualquier suceso es menor o igual que.luego no pueden existir dichos sucesos. 9.- Sean A y B dos sucesos cuyas probabilidades son A) y. Se pide: a) Hallar AU B ) si los sucesos son independientes b) Hallar A I B ) y si AU B ) (Obviamente en este caso A y B no serán independientes) a)si A y B son independientes A) + - A I B ) + - A I B ) A) b) A I B ) A) + -AU B ) entonces AU B ) A I En una urna tenemos 8 bolas blancas y negras. Se extraen tres bolas sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de extraer : a) Las dos primeras negras y la tercera blanca b) Al menos una blanca

4 Calcular la probabilidad de los mismos sucesos si se realizan las tres extracciones con reemplazamiento. Sean B obtener blanca en la ª elección B ª B ª N ª N ª N ª i) Sin reemplazamiento ii) a) N N B ) N ) P ( N / N ) P ( B ) / NN b) N I N I N es obtener todas negras menos una blanca. N 8 0 N I N N I N I N ) N ) P ( N / N ) P ( N ) / NN N I N I N ) - N I N I N ) - Con reemplazamiento I es obtener al 0 0 a) N N B ) N ) N ) B ) b) N I N I N ) N ) N ) N ) 8 N I N I N ) - N I N I N ) -.- En una ciudad se publican periódicos A, B y C. El 0% de la población lee A, el 0 % lee B y el % el C; el % A y B, 9% A y C, el % B y C, mientras que sólo el % lee los tres. Calcula el porcentaje de la población que lee, al menos, uno de los tres periódicos. Si A suceso lee el periódico A B suceso lee el periódico B C suceso lee el periódico C ; tenemos que A) 0,; 0,; C) 0,; A I B ) 0,; AI C ) 0,09; C I B ) 0,0 y A I B I C ) 0,0. Luego AU B UC ) A) + P ( +C) - A I B ) - AI C ) - C I B ) + A I B I C ) 0, + 0, + 0, -0, - 0,09-0,0 + 0,0 lee al menos uno de los tres periódicos..- En una carrera ciclista participan corredores españoles y franceses. Hallar la probabilidad de que : a) los primeros sean españoles b) los primeros sean españoles y el ª sea francés

5 E corredor español F corredor francés a) E I E I E ) 7 b) E I E I F ) 7.- Para elegir a un muchacho entre tres se prepara una bolsa con dos bolas negras y una blanca. Los tres van sacando, por orden, una bola que no devuelven. Quien saque la bola blanca gana Quién lleva mas ventaja: el primero, el segundo o el tercero? Sea B obtener blanca y N obtener negra. El primer jugador gana si ocurre B El segundo jugador gana si ocurre NI B El tercer jugador gana si ocurre NI N I B NI N) P ( B N ) / NI N I N) P ( N / N ) P ( B N N ) Tenemos que los tres tienen la misma ventaja. /

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