TEMA 5. VECTORES EN EL ESPACIO

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1 TEMA 5. VECTORES EN EL ESPACIO ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN VECTORES EN EL ESPACIO CONDICIONES INICIALES PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO VECTORES UNITARIOS SUMA Y RESTA DE VECTORES PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR PRODUCTOR ESCALAR. PROPIEDADES MÓDULO, ÁNGULO Y PROYECCIÓN. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA PRODUCTO VECTORIAL PRODUCTO VECTORIAL PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES PRODUCTO MIXTO. DEFINICIÓN PROPIEDADES DEL PRODUCTO MIXTO

2 1. INTRODUCCIÓN El concepto de ector fe tilizado desde finales del siglo XVII para representar y componer magnitdes con dirección y sentido, como son la ferza y la elocidad. A finales del siglo XVIII, Lagrange introdjo las coordenadas, con lo qe aritmétizo las magnitdes ectoriales. Joseph Lois Lagrange Gass tilizó los ectores para representar los números complejos. Möbis (en 1827) se alió de los ectores para resoler problemas geométricos, dando también sentido a las coordenadas. Entre 1832 y 1837, Bellaitis desarrolló n álgebra de ectores, eqialente al actal cálclo ectorial. Hamilton, ( ) tiliza por primera ez el nombre del ector. Finalmente, Grassmann, entre 1844 y 1878, amplió la teoría de ectores, generalizándola a espacios n-dimensionales y definiendo los prodctos interno y externo de ectores. 2

3 2. VECTORES EN EL ESPACIO Condiciones iniciales. Vector AB. Origen A, extremo B. AB Módlo de AB. Distancia de A a B. Dirección de AB es la de la recta sobre la qe están A y B y la de todas las rectas paralelas a ella. Cada dirección admite dos sentidos opestos: de A a B y de B a A. A AB B 2.2. Prodcto de n ector por n número. DEF: El prodcto de n escalar λ 0 por n ector es otro ector a) k k k b) Dado n ector es el opesto de 2.3. Vectores nitarios. DEF: Un ector es nitarios cnado s módlo es 1. a) Dado n ector 1 es n ector nitario con la misma dirección y el mismo sentido qe. 1 b) Dado n ector es n ector nitario con la misma dirección y el mismo sentido qe Sma y resta de ectores

4 2.5. Propiedades de las operaciones con ectores. Sma de ectores 1. Propiedad asociatia: + + w + + w 2. Conmtatia: Vector nlo: Vector opesto: + 0 Prodcto de escalares por ectores 5. Propiedad asociatia: a b a b 6. Distribtia I : ( a b) 7. Distribtia II: ( a b) 8. Prodcto por 1: 1 + a + b + a + b Todas las propiedades le confieren al conjnto de todos los ectores la estrctra de ESPACIO VECTORIAL. 3. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR. DEF: Dados los ectores 1, 2, 3..., 2 V y los escalares a 1, a2, a3..., a n R llamamos combinación lineal al ector resltante: a 1+ a 2 + a a n n Calqier ector se pede poner cómo combinación lineal de otros qe tengan distinta dirección. w Esta combinación lineal es única. 4

5 DEF: Una combinación lineal es linealmente independiente si a a a... a n DEF: Una combinación lineal es linealmente dependiente si algno de los escalares a 1, a2, a3..., a n R es diferente de cero. Ejemplo: Las caternas ( 4, 9, 34, 18), ( 2, 5, 8, 4), ( 1, 7, 3, 1) y ( 0 5, 1, 2) dependientes porqe 3 ( 2, 5, 8, 4) + 2( 1, 7, 3, 1) 4( 0, 5, 1, 2) ( 4, 9, 34, 18) la caterna ( 4, 9, 34, 18) es Combinación lineal del resto., son y por tanto Ejemplo: Las caternas ( 1, 0, 0, 0), ( 0, 1, 0, 0), ( 0, 0, 1, 0) y ( 0 0, 0, 1), son linealmente independientes porqe ningna de ellas se pede poner como combinación lineal de las demás. BASE Vectores coplanarios, son ectores qe están en el mismo plano y son linealmente dependientes, pero tres ectores no coplanarios son independientes. Tres ectores no coplanarios calesqiera forman na base del espacio ectorial tridimensional. B x, y, z Si los tres ectores son perpendiclares entre sí, se dice qe forman na base ortogonal. Si además tienen la misma longitd (se toma la nidad), se dice qe la base es ortonormal. Coordenada de n ector respecto de na base Dada na base, B x, y, z, calqier ector,, se pede poner de forma única como combinación lineal de ss elementos: a x + by+ c z donde: ( a, b c), son las coordenadas del ector respecto la base. Coordenadas de B x y, z, son: x ( 1,0,0) y ( 0,1,0), z ( 0,0,1) 5

6 Operaciones con coordenadas: Sma de ectores Para smar dos ectores se sman ss respectias componentes. El prodcto de n número real k por n ector es otro ector: k ( k, k, k )

7 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Prodctor escalar. Propiedades. El prodcto escalar de dos ectores es n número real qe reslta al mltiplicar el prodcto de ss módlos por el coseno del ánglo qe forman. Expresión analítica del prodcto escalar Ejemplo Hallar el prodcto escalar de dos ectores cyas coordenadas en na base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, 4, 1). (1, 1/2, 3) (4, 4, 1) (1/2) ( 4) Vectores ortogonales Dos ectores son ortogonales si s prodcto escalar es 0. Ejemplo: Calclar los alores x e y para qe el ector (x, y, 1) sea ortogonal a los ectores (3, 2, 0) y (2, 1, 1) Módlo, ánglo y proyección. Interpretación geométrica. Expresión analítica del módlo de n ector 7

8 Ejemplo: Hallar el alor del módlo de n ector de coordenadas base ortonormal. ( 3, 2, 5) en na Expresión analítica del ánglo de dos ectores Ejemplo:Determinar el ánglo qe forman los ectores (1, 2, 3) y ( 2, 4, 1). Propiedades del prodcto escalar 1. Conmtatia 2. Asociatia 3. Distribtia 8

9 9 4. El prodcto escalar de n ector no nlo por sí mismo siempre es positio. Interpretación geométrica del prodcto escalar El prodcto escalar de dos ectores no nlos es igal al módlo de no de ellos por la proyección del otro sobre él., cos Por otra parte, tenemos: OA OA, cos ' ', cos Y como:, cos nos qeda: ', cos OA OA' a lo qe llamamos proyección de sobre

10 OA' es la proyección del ector sobre, qe lo denotamos como: Pr oy Y la proyección del ector sobre, es: Pr oy Ejemplo: Dados los ectores hallar: 1. Los módlos de y 2. El prodcto escalar de y 3. El ánglo qe forman. 10

11 4. La proyección del ector sobre. 5. La proyección del ector sobre. 6. El alor de m para qe los ectores y sean ortogonales. Cosenos directores En na base ortonormal, se llaman cosenos directores del ector (x, y, z), a los cosenos de los ánglos qe forma el ector con los ectores de la base. Ejemplo Determinar los cosenos directores del ector (1, 2, 3). 11

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13 4. PRODUCTO VECTORIAL Prodcto ectorial. El prodcto ectorial de dos ectores es otro ector cya dirección es perpendiclar a los dos ectores y s sentido sería igal al aance de n sacacorchos al girar de a. S módlo es igal a: El prodcto ectorial se pede expresar mediante n determinante: Ejemplos 1. Calclar el prodcto ectorial de los ectores (1, 2, 3) y ( 1, 1, 2). 13

14 2. Dados los ectores y, hallar el prodcto ectorial de dichos ectores. Comprobar qe el ector hallado es ortogonal a. y El prodcto ectorial de es ortogonal a los ectores y. Área del paralelogramo Geométricamente, el módlo del prodcto ectorial de dos ectores coincide con el área del paralelogramo qe tiene por lados a esos ectores. Ejemplo Dados los ectores y, hallar el área del paralelogramo qe tiene por lados los ectores y 14

15 Área de n triánglo Ejemplo Determinar el área del triánglo cyos értices son los pntos A(1, 1, 3), B(2, 1, 5) y C( 3, 3, 1). 15

16 4.2. Propiedades del prodcto ectorial. 1. Anticonmtatia x x 2. Homogénea λ ( x ) (λ ) x x (λ ) 3. Distribtia x ( + ) x + x 4. El prodcto ectorial de dos ectores paralelos en igal al ector nlo. x 5. El prodcto ectorial x es perpendiclar a y a. 16

17 5. PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Prodcto mixto. Definición. El prodcto mixto de los ectores, y es igal al prodcto escalar del primer ector por el prodcto ectorial de los otros dos. El prodcto mixto se representa por [,, ]. El prodcto mixto de tres ectores es igal al determinante qe tiene por filas las coordenadas de dichos ectores respecto a na base ortonormal. Ejemplos 1. Calclar el prodcto mixto de los ectores: Volmen del paralelepípedo El alor absolto del prodcto mixto representa el olmen del paralelepípedo cyas aristas son tres ectores qe concrren en n mismo értice. 17

18 2. Hallar el olmen del paralelepípedo formado por los ectores: Volmen de n tetraedro El olmen de n tetraedro es igal a 1/6 del prodcto mixto, en alor absolto. 3. Obtener el olmen del tetraedro cyos értices son los pntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7). 18

19 5.2. Propiedades del prodcto mixto. 1. El prodcto mixto no aría si se permtan circlarmente ss factores, pero cambia de signo si éstos se trasponen. 2. Si tres ectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, prodcto mixto ale 0. 19