1.- El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo

Transcripción

1 UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr (tem 6 del libro). PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES Definición: Se llm prodcto esclr de los ectores se not por sigiente form: del ánglo qe formn dichos ectores. Propieddes del prodcto esclr: l nº rel qe se obtiene de l es decir el prodcto de los módlos por el eno.- El prodcto esclr de n ector consigo mismo coincide con el cdrdo de s módlo.- El prodcto esclr es conmttio 3.- El prodcto esclr es distribtio respecto l sm de ectores w w 4.- Se cmple qe pr clqier nº rel qe: Desigldd de Cch-Schwrz 7.- Desigldd de Minkowski Proección ortogonl de n ector sobre otro: Consideremos dos ectores de sobre p como se preci en el dibjo: qe formn entre si n ánglo. Tenemos el ector proección ortogonl UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr

2 Podemos clclr el módlo de p plicndo l definición de eno de l triánglo de l figr: p Ahor bien por l definición de prodcto esclr tenemos: sstitendo en l expresión nterior nos qed: p p Expresión nlític del prodcto esclr Considerndo l bse cnónic esclres entre ellos son: B c i j k es fácil er qe los prodctos Si tenemos dos ectores ( i b j c k ' i j k i b j c k ( ' ) ' i j k plicmos l propieddes del prodcto esclr entonces: ' i i i j i k b ' j i b j j b j k c ' k i c k j c k k Por tnto ' b c ' b c Ejemplo: Ddos los ectores ( ) ( 5 ) entonces (-) + (-) (-) VER: Ejercicios reseltos del libro de texto de l págin 33. APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR.- Módlo de n ector libre: Si ( i b j c k b c b.- Vectores nitrios de l mism dirección qe no ddo: Si ( podemos obtener dos ectores nitrios en l mism dirección qe él obimente de sentido opesto. Estos son: UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr

3 ( b c b b c c b c ) ( b c b b c c b c ) c.- Ánglo entre dos ectores Si tenemos dos ectores ( ( ' ) entonces el ánglo entre ellos: b ' b c c c ' d.- Vectores ortogonles (perpendiclres entre si) Dos ectores ( ' ) son ortogonles se not es ( ' b c e.- Vector norml n plno Como sbemos del tem nterior ddo n plno en form implícit norml ese plno es n ( A B C) VER: Ejercicios reseltos del libro de texto de l págin 35 si sólo si s prodcto esclr Ax B Cz D el ector 3. ÁNGULOS ENTRE ELEMENTOS DEL ESPACIO.- Ánglo entre dos rects Vmos prtir de qe de ls dos rects podemos conocer ss ectores directores tmbién como es obio n pnto por donde psn. Así sen ls rects: Ps por P( x z) r Vector director : ( El ánglo qe formn ls rects es el mismo qe el qe formn ss ectores directores es decir: ' b c c b c ' r s A prtir de est expresión dedcimos qe: Ps por Q( x z ) s Vector director : ( ' ) ) ) r s r s t es decir los ectores directores son proporcionles b.- Ánglo entre dos plnos Dos plnos formn dos ánglos 8 º nosotros siempre nos mos qedr con qél qe se gdo. Además el ánglo qe formn dos plnos enir ddo por el ánglo qe formn ss ectores normles pero teniendo en cent qe el ánglo será gdo. 3 UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr

4 Sen dos plnos Así tenemos qe: ) ) n n con ectores normles respectios n n n n n n n n n n n t n A n A A' B B' C C' B C n A' B' C' entonces: (es decir los ectores normles son proporcionles) c.- Ánglo entre rect plno Vmos clclr este ánglo en fnción del ector director de l rect del ector norml del plno. Por tnto se n rect r de ector director el ánglo es el pedido. Y el ánglo demás sen r n ( son complementrios tenemos qe: n n b n plno co ector norml es A b B c C c n ( A B C). Como emos es el ánglo qe form l rect con el ector norml. Como A B C A prtir de est expresión es fácil er qe: ) n n r ) r n t n (es decir el ector director de l rect el norml del plno son proporcionles) VER: Ejercicios reseltos del libro de texto de l págin PROYECCIONES.- Proección de n pnto sobre n plno Ddo n pnto P n plno como el de l figr se trt de conocer l proección ortogonl de P sobre P 4 UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr

5 El procedimiento nlítico es el sigiente: - Hllmos l rect r qe ps por P es perpendiclr l plno es decir s ector director es el norml del plno - El pnto P es l intersección de l rect hlld el plno b.- Proección de n pnto sobre n rect Ddo n pnto P n rect r como en l figr se trt de conocer l proección ortogonl de P sobre r Q. El procedimiento nlítico es el sigiente: - Constrimos el plno qe ps por P es perpendiclr r (el ector director de l rect es el ector norml del plno) - El pnto Q pedido es l intersección del plno hlldo l rect dd r b.- Proección de n rect sobre n plno Dd n rect r n plno se trt de proectr ortogonlmente l rect sobre el plno dndo como resltdo l rect s 5 UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr

6 El procedimiento nlítico es el sigiente: - Hllmos el plno (n pnto de r ss ectores directores serán el director de r el norml de ) - L rect proección s es l intersección de los plnos ' qe contiene r es perpendiclr VER: Ejercicios reseltos del libro de texto de l págin ELEMENTOS SIMÉTRICOS.- Simétrico de n pnto respecto de n plno ' ' es clqier pnto de Como emos en el dibjo nos dn n pnto P n plno nos piden clclr el simétrico de P respecto de. El proceso es el sigiente: - Clclmos l rect r qe ps por P es perpendiclr (el ector norml de es el ector director de r) - Intersectmos l rect r con el plno pr obtener el pnto M - Clclmos P sndo qe M es el pnto medio del segmento PP ' b.- Simétrico de n pnto respecto de n rect Nos dn como dtos n pnto P n rect r nos piden clclr P. El procedimiento es el sigiente: - Clclmos el plno qe contiene P es perpendiclr r (el ector director de l rect r es el norml del plno ) - Intersectmos el plno l rect r pr obtener el pnto M - Clclmos P sndo qe M es el pnto medio del segmento PP' 6 UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr

7 c.- Simétrico de n pnto respecto de otro pnto - Este cso es bstnte fácil bst clclr P sndo qe M es el pnto medio del segmento PP' VER: Ejercicios reseltos del libro de texto de l págin 4 6. RECTAS QUE SE APOYAN SOBRE OTRAS DOS RECTAS DADAS.- Rect qe se po en dos rects dds ps por n pnto determindo r Se nos pide clclr n rect s qe se po en dos rects r ps por n pnto P. El procedimiento nlítico es el sigiente: - Hllmos el plno qe contiene l rect - Hllmos el plno qe contiene l rect ps por el pnto P - L rect s pedid es l intersección de ( ) VER: Dibjo en el mrgen del libro de texto de l págin 4 r ps por el pnto P r s b.- Rect qe se po en dos rects dds es prlel n dd Se nos pide clclr n rect s qe se po en dos rects r r es prlel n rect r. El procedimiento nlítico es el sigiente: - Hllmos el plno qe contiene l rect r es prlelo l rect r - Hllmos el plno qe contiene l rect r es prlelo l rect r 7 UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr

8 - L rect s pedid es l intersección de ( s ) VER: Ejercicios reseltos del libro de texto de l págin 4 7. DISTANCIAS EN EL PLANO.- Distnci entre dos pntos Ddos dos pntos A( x z) l distnci entre los pntos B( x' ' z') A( x z) determinn se represent como A B b.- Distnci de n pnto n plno d el ector libre qe determinn es B( x' ' z') AB como el módlo del ector x' x ' z ' z AB ( x' x ' z' z) AB ( x' x ' z' z). Se define qe Nos dn n pnto P x z n plno Ax B Cz D como emos en el dibjo H dos forms de clclr l distnci o longitd qe sepr l pnto del plno ª form: Clclndo el pnto Q de form nálog como se clclb el pnto M en el simétrico de n pnto respecto de n plno. Un ez obtenido Q tenemos qe: Este método es más lrgo qe el sigiente pero es rzondo. d P d P Q ª form: Aplicndo l fórml libro en l págin 4 d P Ax B A B Cz C D c demostrción l tenéis en el c.- Distnci entre dos plnos prlelos Ddos dos plnos prlelos Ax B Cz D ( ojo! Obserd qe son prlelos qe tienen los mismos coeficientes en ls ribles). Tmbién tenemos dos forms de clclr l distnci entre ellos: ª form: Tomr n pnto de no de ellos clclr l distnci de ese pnto l otro plno Ax B Cz D' ª form: Aplicr l fórml d A D D' B C VER: Ejercicios reseltos del libro de texto de l págin 43 EJERCICIOS: De l págin 5 los ejercicios De l págin 5 los ejercicios De l págin 5 los ejercicios De l págin 53 los ejercicios UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr