TEMA 1: VECTORES EN EL PLANO

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1 Profesora: María José Sánchez Qeedo TEMA 1: VECTORES EN EL PLANO El estdio del Análisis Vectorial se remonta al siglo XVII, cando el ingeniero holandés Steen ( ), formló el principio del paralelogramo de ferzas, del qe se derió el triánglo de ferzas y calqier polígono de ferzas Posteriormente se io qe todos estos principios eran aplicables a magnitdes representadas mediante A, A ectores, y qe la resltante no era más qe la sma de ectores 1 VECTORES EN EL PLANO Características de n ector OPERACIONES CON VECTORES Sma de ectores de forma gráfica y analítica Diferencia de ectores de forma gráfica y analítica Propiedades de la sma de ectores Prodcto de n nº real por n ector Propiedades del prodcto de n nº real por n ector 3 ASE DEL CONJUNTO DE VECTORES DEL PLANO 4 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES DEL PLANO 5 PROYECCIONES INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR 6 PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR EXPRESIÓN CARTESIANA 7 APLICACIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR: ÁNGULO FORMADO POR DOS VECTORES 8 CRITERIO DE ORTOGONALIDAD INTRODUCCIÓN Hay magnitdes qe no qedan definidas con sólo n número, sino qe reqieren además otro tipo de información para qedar completamente determinadas Estas magnitdes, denominadas magnitdes ectoriales, como la elocidad, la aceleración exigen además, na dirección y n sentido para qedar plenamente definidas Ante las necesidades qe srgen en el estdio de las magnitdes mencionadas, aparece el concepto de ector Con el Cálclo Vectorial iniciamos otra parte my importante de la Geometría: la GEOMETRÍA ANALÍTICA La es na parte de las Matemáticas qe estdia las figras geométricas tilizando el Álgebra gracias a las coordenadas de los pntos y ectores 1

2 Profesora: María José Sánchez Qeedo 1 VECTORES EN EL PLANO Spongamos qe realizamos n desplazamiento (del tipo derechaizqierda y arriba-abajo) desde el pnto A=(1,3) al pnto =(4,7) independientemente de la trayectoria segida nos hemos trasladado 3 nidades hacia la derecha y 4 nidades hacia arriba La traslación se representa geométricamente por n segmento orientado, A, al qe llamamos ector Se denomina ector fijo a n par de pntos del plano dados en n cierto orden El primer pnto es el origen y el segndo es el extremo y se denota A A En el ejemplo, los números (3,4) indican la traslación horizontal y ertical, respectiamente Este par de números reciben el nombre de coordenadas cartesianas del ector A A A coordenadas del ector 4,7 1,3 3,4 Las coordenadas de n ector PQ se hallan restando las coordenadas del pnto extremo PQ Q P y el pnto origen Las coordenadas de n pnto, A indican posición Las coordenadas de n ector, A, indican traslación Ejemplo: El ector PQ, de coordenadas (-,5), representa na traslación con origen en P(4,-3) Cáles son las coordenadas del pnto Q? PQ Q P Q P PQ Q 4, 3,5 (,) Obsera el significado del signo de las coordenadas de n ector Positia (>0) Negatia (<0) 1ª Coordenada Traslación a la derecha Traslación a la izqierda ª Coordenada Traslación hacia arriba Traslación hacia abajo

3 Profesora: María José Sánchez Qeedo Imaginemos ahora na bandada de aes qe se han trasladado conjntamente desde los pntos A1, A, A3 hasta los pntos 1,, 3, respectiamente A 1 (1,1) 1 (4,5) A 11 3,4 A (1,-1) (4,3) A 3,4 Independientemente de ss pntos de origen y destino, todas las aes han realizado la misma traslación A 3 (-,) 3 (1,6) A 3,4 3 3 Los ectores A 1 1, A, A 3 3,, qe tienen todos las mismas coordenadas, se dicen eqipolentes Podemos decir entonces qe la bandada ha realizado na traslación de ector (3, 4), sin especificar los pntos de origen ni destino de ningna de las aes qe la componen Tal ector, qe indica simplemente na traslación sin pntos de origen o destino específicos, se denomina ector libre Un ector libre se representa igalmente por n segmento orientado, con origen en calqier pnto del plano Un ector qe sí posee origen y destino específicos se denomina ector fijo Ejemplo: Un romboide tiene 3 értices de coordenadas A(3,4), (1,1) y C(7,0) Halla las coordenadas del 4º értice, sabiendo qe se encentra sitado en el primer cadrante El ector AD tiene qe tener las mismas coordenadas qe el ector C, pesto qe ambas traslaciones son eqipolentes Designemos dicha traslación por el ector libre C C ( 7,0) (1,1) (6, 1) AD D A D A AD A ( 3,4) (6, 1) (9,3) 3

4 CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR LIRE 1 Dirección: indicada por la recta en la qe el ector se apoya, o por calqiera de ss paralelas A CD Sentido: el indicado por la pnta de flecha 3 Módlo: es la longitd del segmento qe determina o distancia entre el origen y el extremo, se denota por A Profesora: María José Sánchez Qeedo A A A C D r r C D s s Se calcla a partir de ss coordenadas mediante el teorema de Pitágoras El módlo del ector se indica por el símbolo Por ejemplo, el módlo de (3,4) es Nota: Estas tres características determinan completamente el ector libre, es decir, conociendo las 3 podemos representar el ector sin posibilidad de confndirlo con ningún otro Para determinar n ector fijo es necesaria na carta característica: El pnto origen, llamado también pnto de aplicación Dos ectores fijos A y CD son eqipolentes A CD el mismo sentido y el mismo módlo: A CD A CD A CD A A CD D Al conjnto de todos los ectores eqipolentes A F entre si se les denomina ector libre C E si tienen la misma dirección, D C A = a 4

5 Profesora: María José Sánchez Qeedo Una forma alternatia de determinar gráficamente n ector es la sigiente: Dar el ánglo, α, qe forma con el semieje positio de las x Este ánglo se denomina argmento del ector, y determina s dirección y s sentido Dar el módlo, R, del ector Ejemplo: Representa gráficamente el ector,, de módlo R = y argmento α = 30º Abreiadamente lo escribimos 30 º OPERACIONES CON VECTORES Denominaremos por V al conjnto de ectores libres del plano SUMA DE VECTORES DE FORMA GRÁFICA Recordamos qe todo ector libre pede desplazarse libremente por el plano A la hora de operar sitaremos el pnto de aplicación de n ector donde más nos conenga Método 1: Concatenación Cada ector indica na traslación Smarlos es calclar la traslación total Método : Paralelogramo Los ectores se encadenan: el origen del º coincide con el extremo del 1º El ector sma se obtiene niendo el origen del 1º con el extremo del º Obtendremos el mismo ector sma por n procedimiento distinto Los ectores se llean a origen común SUMA DE VECTORES DE FORMA ANALÍTICA Por el extremo de cada ector se traza na paralela al otro ector, formándose n paralelogramo El ector sma es el ector diagonal mayor del paralelogramo 5

6 Profesora: María José Sánchez Qeedo Si, y entonces, 1 1, 1 1 DIFERENCIA DE VECTORES DE FORMA GRÁFICA Un método es el sigiente: Si no lo están ya, lleamos los ectores a origen común = de oy a DIFERENCIA DE VECTORES DE FORMA ANALÍTICA,, Si y entonces 1 1, 1 1 PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES 1 Es na operación interna: a, b V a b V Conmtatia: a, b V a b b a 3 Asociatia: a, b, c V a b c a b c 4 Elemento netro: 0 V, 0 AA a 0 a a V 5 Elemento simétrico: a A V a AV, / a ( a) 0 ( a) a 0 Por cmplir todas estas propiedades diremos qe V, tiene estrctra de GRUPO AELIANO PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UN VECTOR Sea el ector libre a y el nº real, el ector dirección : a a si 0 a a sentido : si 0 a a a módlo : a a si 1 se prodce na dilatación si 1 se prodce na contracción a es el qe tiene: 6

7 Profesora: María José Sánchez Qeedo Ejemplo: Si 1,4, t = 3 entonces 3 31, 4 (3,1) PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UN VECTOR Sea V,, y consideremos el cerpo de los números reales R,, Las sigientes propiedades relacionan la sma de ectores con el prodcto de n número real por n ector definido anteriormente 1 Es na ley externa: R, a V a V Distribtia respecto de la sma de ectores: R, a, b V a b a b 3 Distribtia respecto de la sma de números reales:, R, a V a a a 4 Asociatia mixta del prodcto:, R, a V a a 5 Netralidad de la ley externa : 1, 1 R a V a a RESUMIENDO: el conjnto de ectores del plano V con las operaciones sma de ectores + y prodcto de n nº real por n ector erifica: V, es GRUPO AELIANO V,, Las propiedades qe relacionan la ley interna " +" con la ley externa " " Por cmplirse las dos condiciones anteriores podemos decir qe: El conjnto de ectores del plano con las operaciones definidas V,,, R tiene estrctra de ESPACIO VECTORIAL SORE EL CUERPO R 3 ASE DEL CONJUNTO DE VECTORES DEL PLANO Dos ectores con distinta dirección 1, se dice qe forman na base del conjnto de ectores V del plano, ya qe calqier ector del plano se pede poner como combinación lineal de ellos Si además son perpendiclares y tienen de módlo la nidad se dirá qe forman na base ortonormal 1 { } O 7

8 Fijada la base 1, Profesora: María José Sánchez Qeedo calqier ector x del plano se pede poner como combinación lineal de los elementos de la base, esto es, existirán dos únicos nº y qe se denominan escalares, de modo qe x 1 denomina COORDENADAS DEL VECTOR x EN LA ASE, a la pareja, se le LAS COORDENADAS DE UN VECTOR CAMIAN SI SE CAMIA LA ASE, PERO UNA VEZ FIJADA LA ASE LAS COORDENADAS DEL VECTOR SON ÚNICAS 4 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES DEL PLANO El prodcto escalar de dos ectores es n número, qe mide conjntamente s tamaño y s grado de paralelismo Se define mediante cos Obsera qe el signo del prodcto escalar de dos ectores está relacionado con el tipo de ánglo qe forman 0º< < 90º (agdo) cos > cos( ) = 90º (recto) cos =0 0 90º< < 180º (obtso) cos <0 0 5 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR PROYECCIONES proy 8

9 Profesora: María José Sánchez Qeedo Sean y dos ectores, sitados en n origen común Trazamos la recta de apoyo de y sitamos n foco en la ertical a esa recta qe pasa por el extremo de Solo n segmento de la recta qeda en sombra La proyección de sobre es la longitd de ese segmento, con signo positio si está del lado al qe apnta, y negatio en caso contrario proy proy proy 0 proy 0 proy 0 A la ista de la figra, proy es el cateto adyacente al ánglo en n triánglo rectánglo de hipotensa Por tanto, sando trigonometría: proy cos Esta fórmla se parece a la del prodcto escalar De hecho, si la mltiplicamos por cos proy proy, es decir obtenemos cos proy proy Esto es, el prodcto escalar de dos ectores y es igal al módlo de no de ellos mltiplicado por la proyección del otro sobre él 9

10 Profesora: María José Sánchez Qeedo 6 PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR FÓRMULA PARA LA EXPRESIÓN CARTESIANA El prodcto escalar de dos ectores y tiene de las sigientes propiedades: Conmtatia: Asociatia respecto de escalares: k k k Distribtia respecto de la sma de ectores : La propiedad distribtia nos da n método my fácil para mltiplicar escalarmente ectores dados en forma cartesiana Ejemplo: Obseremos los alores de los prodctos escalares cando se toma na base ortonormal: { } cos 0º cos 0º ( ) ( ) Así qe el prodcto escalar anterior qeda: En definitia el prodcto escalar consiste simplemente en smar el prodcto de las coordenadas horizontales con el prodcto de las coordenadas erticales pero CUANDO SE CONSIDERA UNA ASE ORTONORMAL { } Fórmla del prodcto escalar para la expresión cartesiana de los ectores: Si 1 1 y 1 entonces 1 1 1, o lo qe es igal,, y, 1 1 Ejemplo: (, 5) y (7,4) entonces 7 ( 5)

11 Profesora: María José Sánchez Qeedo 7 APLICACIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR AL CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES A partir de las dos fórmlas para el prodcto escalar: cos 1 1 Si las igalamos: cos cos La última expresión permite calclar el ánglo entre dos ectores expresados en forma cartesiana Ejemplo: Calclar el ánglo formado por (, 5) y (7,4) ,94º cos arccos , 05º El primer alor es el qe da la calcladora El segndo alor es s simétrico en el tercer cadrante, en el qe el coseno también es negatio De los dos alores, el primero es el álido ya qe debe ser 0º< < 180º 8 CRITERIO DE ORTOGONALIDAD DE VECTORES Dos ectores son ortogonales si y sólo si s prodcto escalar es 90º cos 0 0 Ejemplo: Son los ectores ( 1, 7) y (11,) perpendiclares? No lo son porqe ( 1, 7) (11,) Ejemplo: Encontrar las coordenadas de n ector ortogonal a (3,) Hay infinitas respestas posibles La más sencilla consiste en cambiar las coordenadas de de orden, y na calqiera de ellas de signo Obtenemos n (, 3), ó bien, n (,3) Los ectores y Además y el ector n son perpendiclares, pesto qe 3 ( 3) 0 nlo n tienen el mismo módlo A este ector, n, se le denomina ector normal a Gráficamente se obsera qe y n son los ectores diagonal de dos rectánglos girados 90 no respecto a otro Obsera en la figra qe si y forman n ánglo, entonces y n forman el ánglo complementario a, es decir 90 - n 11