I Unidad Vectores.

Transcripción

1 I Unidad Vectores

2 Contenido Vectores como desplazamiento Operaciones con vectores Componentes de un vector Producto escalar vectorial de dos vectores Ejemplo de otras cantidades vectoriales

3 Conceptos Mecánica. Es una rama de la física. Su objetivo es describir (con la cinemática) eplicar (con la dinámica) el movimiento de los cuerpos. Cinemática. Describe el movimiento de los cuerpos sin preocuparse de las causas que lo producen. Dinámica. Describe el movimiento de los cuerpos considerando las causas que lo producen, las causas del movimiento son las fuerzas

4 Conceptos SISTEMS DE MGNITUDES Y UNIDDES. Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud. Una medición se epresa con un número seguida de un símbolo de la unidad usada. magnitudes físicas fundamentales. Sistema Internacional (SI)

5 Conceptos Vectores sí como la derivada no eiste en la naturaleza, siendo, paradójicamente, su función esencial de eplicar gran parte de la naturaleza, tenemos que los vectores tampoco eisten en la naturaleza... Y su función esencial es eplicar parte del mundo físico

6 Conceptos Vectores Rigurosamente hablando, el vector, los vectores o los espacios vectoriales son modelos matemáticos sobre los cuales podemos tomar decisiones que, hasta el momento, eplican de buena manera la naturaleza newtoniana

7 Conceptos Vectores Nos referimos a los vectores como una magnitud física representada con una línea con una saeta que parecen flechas. La punta del vector (de la flecha) nos da una buena idea del sentido donde lanzamos o aplicamos este vector

8 Conceptos Magnitudes Físicas Magnitud Vectorial Son entidades matemáticas que cuentan con: Módulo Dirección Sentido Magnitud Escalar Son magnitudes físicas que quedan completamente definidas por un número las unidades utilizadas en su medida tales como: Masa Presion Volumen Temperatura

9 Magnitudes físicas Escalares sociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad Vectoriales sociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección su sentido

10 Escalares Masa, densidad, temperatura, energía, trabajo, etc Magnitudes físicas Vectoriales Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, torque, etc.

11 ases para el estudio del movimiento mecánico SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio. Se le asocia (t) Observador z(t) z (t) Sistema de Coordenadas Reloj

12 Movimiento plano Coordenadas Cartesianas (m) (,) ordenada P (8,3) Q (-2,2) origen O abcisa (m)

13 Movimiento plano Coordenadas Polares (r,θ) origen O θ

14 Relacion entre (,) (r,θ) (m) (,) ordenada r origen O θ abcisa (m) r cosθ rsen θ 2 r + 2 tan θ

15 z Vectores θ p ϕ ϕ Notación Dirección θ, ϕ Módulo > 0

16 Propiedades de Vectores C Dados, si entonces Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo C

17 Suma de Vectores C C Le del polígono R

18 El vector resultante es aquel que vector que va desde el origen del primer vector hasta el etremo del ultimo

19 Entonces si se tiene los siguientes vectores C D El vector resultante de la suma de todos ellos será:

20 C R D R + + C + D

21 Propiedades de Vectores µ µ ˆ - Opuesto Nulo 0 Vector unitario μ + ( - )

22 Propiedades de la suma de Vectores Le Conmutativa R + + Diferencia Le R - R sociativa + ( + C) ( + ) + C R + (-) R -

23 Le conmutativa (Método paralelogramo) Los vectores pueden ser desplazados paralelamente para encontrar el vector suma Como se eplica esta regla?

24 Multiplicación de un vector por un escalar Dado dos vectores Se dicen que son paralelos si si α > 0 α si si α < 0 α 1

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26 Ejemplo 8: Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores C R 2 C

27 Vectores unitarios en el plano ĵ î î Vector unitario en la dirección del eje + ĵ Vector unitario en la dirección del eje +

28 Vectores unitarios en el espacio z kˆ î ĵ

29 Representaci ón de un vector z z θ ϕ z cos sen ϕ ϕ cosθ sen θ sen θ i j + 2 k z 2 z

30 Observaciones: Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido. La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado

31 Determínese la resultante de los siguientes vectores 4u + 3u R + 7u

32 + 8u 4u 4u R +

33 Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud Que sucede si los vectores no están en la misma dirección?, podremos determinar directamente su magnitud?

34 R + La magnitud en este caso no puede determinarse directamente, por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla

35 3u 4u 6u

36 3u 4u + 6u +

37 10u + + 5u R R u Por Pitágoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante 2

38 C D C D

39 D C R D C R R R 15 u 5 u R R R + 10 R 5

40 ( 2, 2,z 2 ) z ( 1, 1,z 1 ) Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por

41 ( 2, 2,z 2 ) z ( 1, 1,z 1 ) ( )i ˆ + ( )j ˆ + (z z )kˆ

42 Producto escalar de dos vectores cos θ Proección de sobre cosθ Proección de sobre cosθ

43 iˆ iˆ 1 iˆ ˆj 0 ˆ j ˆj 1 iˆ kˆ 0 kˆ kˆ 1 ˆ j kˆ 0 iˆ ˆj kˆ z + + X X Y Y Z Z

44 Producto vectorial de dos vectores C C senθ î î 0 ˆj ˆj 0 k ˆ kˆ 0 iˆ ˆj kˆ ˆ j kˆ iˆ kˆ iˆ ˆj

45 kˆ) ĵ î ( kˆ) ĵ î ( C z z Y Z Z Y X C z z C z C Demostrar:

46 Ejemplo 1: Determinese la suma de los siguientes vectores: 3i ˆ + 8j ˆ + 5kˆ -5i ˆ + 2ˆj 3kˆ C 4i ˆ 7ˆj 2kˆ

47 Ejemplo 2: z 5m Determine la suma de los vectores indicados 10m 8m C

48 3î 4î Ejemplo 9 Dados los vectores: + 3ĵ 5kˆ + 5ĵ 3kˆ Determine : a) El producto escalar entre ellos. b)el producto vectorial entre ambos e) el ángulo que forman entre sí. Tarea 9c, 9d 10

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