Sea cualquier número real. Designamos con la letra el mayor entero que no supere a. Si no es entero, se tiene = + ; 1 +

Transcripción

1 Fraccioes cotiuas: prelimiares. Demostrar el Algoritmo de Euclides. Sea cualquier úmero real. Desigamos co la letra el mayor etero que o supere a. Si o es etero, se tiee + ; >. Exactamete igual, si, o so eteros, se tiee a q + ; a > ; ; a q ; a + >, e virtud de lo cual teemos el siguiete a a desarrollo de e fracció cotiua: a q+ q + q+ + q + a, Si es racioal o irracioal, todos los úmeros so racioales o irracioales, co lo cual el proceso puede prologarse idefiidamete. Si es racioal y puede expresarse mediate ua fracció racioal irreducible co deomiador positivo, el proceso idicado será fiito y podrá efectuarse mediate el Algoritmo de Euclides, esto es: a bq+ r, co 0 r< b. b rq + r, co 0 r< r. r rq + r, co 0 r< r. r r qs+ r, co 0 r< r. r rq + r. dode q, q, q,, q, que se llama cocietes icompletos, so úmeros aturales distitos de cero, salvo q, que puede ser cero y puede expresarse etre parétesis como [ q, q, q,, q ]. Se llama reducidas a los valores que resulta de efectuar las operacioes parciales, esto es: r q; r q + ; r q q + q+ q,..., r q+ a + q+ + q Fácilmete se halla ua ley muy simple de formació de las reducidas, observado que ( >) se obtiee de de sustituyedo los úmeros por + e la expresió literal. E efecto, haciedo para uificar 0 y escribiedo para desigar A co la otació y B co la otació, podemos represetar, sucesivamete, las fraccioes reducidas e la forma siguiete:

2 q+ q P q q q+ q P+ P P,, o r Q q + 0 qq+ Qo Q r ( q + P P q + q P+ P P q P + P P r q + + o,, rs qq+ Q Q qq + Q Q Q Qo q por tato, los umeradores y deomiadores de las fraccioes reducidas los podemos calcular sucesivamete por las formulas: P q P + P Q q Q + Q,. La solució a la fracció propuesta es: [,,, ] dode las reducidas so: 9+ r. r + 4. r y, fialmete, r El procedimieto expuesto recoge la ortodoxia más tradicioal o cietífica del cálculo de fraccioes cotiuas, si embargo e la práctica la aplicació del Algoritmo de Euclides os permite ua solució mucho más secilla.. Calcular la fracció cotiua de la fracció. Utilizado el Algoritmo de Euclides, calculamos los cocietes icompletos: [,,4,5,6] 4

3 Obteemos las reducidas por el procedimieto tradicioal: r r + 7 r r r y ahora, las reducidas utilizado el Algoritmo de Euclides: 4 5 q Hemos operado de la siguiete forma: Si relacioamos co, esto es, , obteemos ua diferecia que 68 4 es el (97,4) 4(+57)+97( 68) y tambié coocida como Idetidad de Bézout, herramieta imprescidible para la resolució de ecuacioes tato modulares como diofáticas.. Calcular la fracció cotiua de la fracció. El desarrollo de la fracció es: [,7,5,,9, ] Por el Algoritmo de Euclides, calculamos las reducidas: 4 5 q Se trata de ua fracció ifiita de u úmero irracioal, como es, dode se alcaza ua exactitud de,45965, ocho cifras.

4 .4 Calcular la fracció cotiua de la fracció. Utilizado el Algoritmo de Euclides, desarrollamos la fracció: ,8,,,,, Calculamos las reducidas: q Hemos calculado la relació que existe etre los dos mayores primos que resulta de la factorizació de Calcular la fracció cotiua de. El desarrollo de la fracció es [,,,,,4,,,6,, ] y las reducidas las obteemos, q Se trata de ua fracció ifiita de u úmero irracioal trascedete, como es, dode se alcaza ua exactitud de,788, cico cifras. 4

5 4.. Fraccioes cotiuas y las ecuacioes lieales.. Calcular coeficietes Bézout de + Segú la Idetidad de Bézout, dados dos úmeros aturales a y b dode el (, ), existe dos úmeros eteros s y t tales que d as+ bt, es decir, mcd ( a, b) as+ bt. Etiee Bézout (70-78), militar y matemático fracés, seguidor y ferviete admirador de Euclides a partir del que, sobre la base de su algoritmo, desarrolla su propio teorema. A partir del teorema expuesto, por el Algoritmo de Euclides: mcd (785,79) Calculamos las reducidas: a Los coeficietes Bézout so el 0 57, ya que 785(+0)+79( 57). El desarrollo completo sería, mcd(785,79) 785( + 0) + 79( 57) 785(0+ 79 t) + 79( t) De dode, la solució a la ecuació: 785(0+ 79 t) + 79( t). Calcular coeficietes Bézout de + El desarrollo de la fracció, es, 6+ q [ 6,4,,4,8 ] Los covergetes so: 4 5 a Teiedo e cueta que (,95)( 4)+97(49), la solució vedrá determiada por ( 4 97 t) + 97(49+ t). 5

6 . Calcular coeficietes Bézout de + Para el desarrollo utilizamos el Algoritmo de Euclides De dode obteemos,,,9,,,, y los covergetes a Como los coeficietes Bézout so 0 56, teemos 4057(0+ 5 t) + 5( t)..4 Resolver la ecuació + Calculamos los coeficietes para 75 + utilizado la fracció [ 8,,,,,,,4 ] y los covergetes a Dode los coeficietes de Bézout so el Aplicados a la solució de la ecuació , teemos Despejamos x: 75x 5+ t, 0 (75x 5+ t), x 9+ t. Por sustitució, despejamos y: 6

7 y 5 75(9+ t) t y t luego, la ecuació tiee como solució: 75(9+ )+( )5.5 Resolver la ecuació +.. Aplicado métodos ateriores, teemos a ,,,,,,,,0 y los covergetes so: Dode los coeficietes Bézout so el y la solució de la ecuació resulta: Despejado y: Despejamos x: ( ó.47) ( ó.47) 6989( ó.47) Luego, la solució de la ecuació, 47( )+977( ) Fraccioes cotiuas y las ecuacioes cuadráticas.. Desarrollar la fracció cotiua. La relació de las fraccioes cotiuas co los cuerpos cuadráticos se basa e que los desarrollos de los irracioales cuadráticos so periódicos. U úmero irracioal α es cuadrático si, y sólo si, los coeficietes de su fracció cotiua se repite periódicamete a partir de u cierto térmio. Para desarrollar el irracioal cuadrático α vamos a calcular los coeficietes a al mismo tiempo que los restos α. Cocretamete a es la parte etera de α y α /( α + a). E la fracció plateada, la 9 está compredida etre 4 y 5, esto es, a 0 4. Para 9+ 4 α y a. Para α y a. Así, sucesivamete, 7

8 llegaríamos a la coclusió de que 9 4,,,,,,8, dode la barra idica el periodo que se repite: α P Q Co lo que 4,589 4,89 9, , prácticamete u cuadrado exacto.. Mediate fracció cotiua, resolver +. Como el discrimiate es 4 4 ( ), desarrollado la fracció cotiua de, obteemos: + + α0 a0, α a, α a 4 4 α + a, α4 + a α5 + a5 6, α6 a6 4 Los covergetes del discrimiate so: α 6 P Q 5 8 P / Q,000 4,000,500,666,606,606,606 Como,606,00, las dos raíces de la ecuació vedrá determiadas por +,606 x 0,0 B± B 4AC ± A,606 x,0 Para más exactitud, debe ampliarse el úmero de coeficietes.. Mediate fracció cotiua, resolver. El discrimiate es 5 4 ( 7)5, que geera dos raíces reales de la forma 8

9 ± ± x ( 7) 5 5. Utilizado las fraccioes cotiuas, obteemos 5 7 a [ 7,,,,,4,,,,, ] Ahora calculamos la fracció covergete 7 {,, 9, 5, 8, 599, 7979, 0578, 8557, 6649} Co la que coseguimos 7,80 7,80 5,00006, co u error isigificate, luego, las raíces primitivas de la ecuació, será 6,4005 y -, Mediate fracció cotiua, resolver + +. La ecuació tiee como discrimiate 4 5, por lo que sus dos raíces complejas, so, ± 5i x,5,95809i x x,5 +,95809i Utilizado las fraccioes cotiuas, desarrollado los primeros 5 restos de 5 y 5, obemos 5,,,, y 5,,0,,0,,,0, que os permite coocer las fraccioes 5,9600 y 5,96079 que divididas por dos resulta los coeficietes,95805 y,95809, más exacta la seguda..5 Mediate fracció cotiua, resolver + +. El discrimiate de la ecuació es , por lo que sus dos raíces complejas so: 7± 55i x ˆ,6,07498i x 6 x ˆ,6+,07498i Para 55 obteemos,,4,,4,,4,,4, y ua fracció de, que dividida por 6 teemos,074986, prácticamete la misma que se da e la solució aterior. 9

10 De haberse utilizado 55, habríamos coseguido ua fracció de, que dividida por 6 resultaría, , algo meos exacta que la aterior Fraccioes cotiuas y la ecuació Pell. 4. Mediate fracció cotiua, resolver. Si + es u etero perteeciete al cuerpo cuadrático K Q D y ( ) + ±, siedo Na (, b ) la orma del cojugado, para la ó ua solució sería +, dode el valor de D podemos calcularlo mediate fraccioes cotiuas. Para obteemos a,,6,,6, que geera las siguietes reducidas o covergetes: α x y x Dy Por el desarrollo aterior podemos costatar que 0 es ua solució que satisface a la ecuació plateada. Tambié para las reducidas 4,6, Si hacemos que (0+ ) + (0 ) x 0, (0+ ) (0 ) y (0+ ) + (0 ) x 99, (0+ ) (0 ) y 60 (0+ ) + (0 ) x 970, (0+ ) (0 ) y (0+ ) + (0 ) x 790, 4 4 (0+ ) (0 ) y (0+ ) + (0 ) x , 5 5 (0+ ) (0 ) y obteemos para la ó la siguiete solució: ( α+ β D) + ( α β D) x, ( α+ β D) ( α β D) y. D 0

11 4. Mediate fracció cotiua, resolver. Para, teemos 5,,,,5,,,,0,,, que os proporcioa los siguietes pares de covergetes α x y x Dy De las parejas calculadas, la úica que satisface a la ecuació es la 8, de la que se comprueba que ua solució es Dado lo elevado de los úmeros que coforma la estructura cuadrática, la utilizació de expoetes os lleva cifras muy elevadas, por ejemplo: (50+ 7) + (50 7) x (50+ 7) (50 7) y 8990 (50+ 7) + (50 7) x (50+ 7) (50 7) y Mediate fracció cotiua, resolver. Referete a 7, teemos 6,,,, que os proporcioa los siguietes pares de covergetes: α 6 x y x Dy Alguas de las parejas correspode a las siguietes potecias: (7+ 7) + (7 7) x 0657, (7+ 7) (7 7) y 75 7 (7+ 7) + (7 7) x ,

12 (7+ 7) (7 7) y (7+ 7) + (7 7) x 7497, 4 4 (7+ 7) (7 7) y Mediate fracció cotiua, resolver. Aplicado métodos ateriores, obteemos: α 4 8 x y x Dy De las parejas calculadas, sólo ua satisface a la ecuació: 55. Podemos obteer otras solucioes utilizado expoetes: (55+ ) + (55 ) x 6049, (55+ ) (55 ) y 0 (55+ ) + (55 ) x 6655, (55+ ) (55 ) y (55+ ) + (55 ) x 78080, 4 4 (55+ ) (55 ) y E esta ecuació, 7 que geera desarrollos de: α x y x Dy α 4 4 x y x Dy

13 E el caso de, satisface la ecuació las parejas,4,6, 8 y, referete a 7, las parejas 4 8. Si utilizamos cogruecias para resolver estas ecuacioes, obteemos: ( ó.), co solucioes, +t y + ( ó.7), co solucioes, +7t y 6+ Aplicado el h, para la ecuació plateada: co solucioes ( ó.), +t, 8+, +, 0+. Estos valores de os permite dar solució a la ó, por ejemplo: 0+, +7, 8+6, , 7 8+7, , Coociedo los valores de es fácil deducir el valor de. 4.5 Mediate fracció cotiua, resolver. Por desarrollo de la fracció cotiua, obteemos: α x y x Dy Satisface a la ecuació las parejas pares, siedo el úmero algebraico Como , podemos obteer valores parciales empleado cogruecias. Ya coocemos las solucioes del y del 7, e cuato al 5, ( ó.5), sus dos raíces primitivas so +5 y 4+5. El h os proporcioa las 8 raíces de 05, que so: ( ó.05),,9,4,4,64,7,76,04( ó.05). Alguos valores de so: , 05 +6,

14 4. 5. Fraccioes cotiuas y las formas cuadráticas. 5. Mediate fracció cotiua, resolver + +. La solució de ua forma cuadrática + +, requiere los siguietes pasos: Calcular el discrimiate: Calcular la estructura del úmero algebraico: Z. Calcular la orma: + ( ) + ( ). Calcular ua de las variables: ( + ) /( ) Calcular la otra variable, como: ( )+ 0. ±. Los datos utilizados correspode a,,,,,, fracció cotiua desarrollada ateriormete. La estructura ( ) ( ) α + β D α β D ± β D α Dβ que, utilizado expoetes, podemos escribir como: ( α+ β D) ( α β D) ± X D ± Y calcula ua de las variables depediedo del valor que adopte, esto es: >, >,. La ecuació plateada correspode al caso último, por lo que tiee raíces iguales co sigos cotrarios para ambas variables, veamos: (+ ) ( ) ±, ± (+ ) ( ) ± 4, ± 4 (+ ) ( ) ± 5, ± (+ ) ( ) ± 56, ± (+ ) ( ) ± 09. ± 09 Estos resultados se puede comprobar mediate a la aplicació de ±. 5. Mediate fracció cotiua, resolver + +. El discrimiate es Si desarrollamos la fracció cotiua de 5, co 5,4,4, obteemos 9+4 5, que es el úmero algebraico ecesario para dar solució a esta ecuació. 4

15 El cojugado o de este úmero es (, ) Esta debe teer valor de ±, caso cotrario, D o sería ivertible para el producto, o sería u domiio de itegridad y, por tato, o sería solució del cuerpo cuadrático. Observar que esta o es más que la solució de la ó. Como 5, por tato mayor que, calculamos mediate la aplicació de ( α+ β D) ( α β D) D ± Y (9+ 4 5) (9 4 5) 5 ± 8, (9+ 4 5) (9 4 5) 5 ± 44, (9+ 4 5) (9 4 5) 5 ± 584, (9+ 4 5) (9 4 5) ± 4668 (9+ 4 5) (9 4 5) ± El valor de lo sustituimos e la ecuació y despejamos e + + 0, esto geerará dos raíces que se irá combiado hasta alcazar ifiitas solucioes. De los valores calculados para, veamos cuales so los que correspode a : x Bx C x x 5 x( 8) 5( 8) x , x + 5 x( 8) + 5( 8), x 9 x 9 x 99 x + 5 x( + 44) + 5( + 44), x 5 x 99 x + 5 x( 44) + 5( 44), x 5 y, e defiitiva: x ± 57 x + 5 x( ± 584) + 5( ± 584), x ± 994 x ± 6776 x + 5 x( ± 4668) + 5( ± 4668), x ± x ± 4985 x + 5 x( ± 8040) + 5( ± 8040). x ± Mediate fracció cotiua, resolver + +. El valor del discrimiate es 5 4 y, mediate fracció cotiua, obteemos el valor para,,,,,6,,,,,6, que, co el desarrollo: 5

16 α 6 x y x Dy descubrimos la (, ) , a partir de la cual calculamos el valor de, ya que, distito de uo: ( α+ β D) ( α β D) D ± X ( ) ( ) ± 60 ( ) ( ) ± ( ) ( ) ± ( ) ( ) 4 4 ± Sustituimos estos valores e la ecuació plateada y obteemos por y + By+ C 0: y ± 9 y + y( ± 40) + 5( ± 40), y ± 4 y ± 769 y + y( ± 6080) + 5( ± 6080), y ± 694 y ± y + y( ± 64640) + 5( ± 64640), y ± y ± y + y( ± ) + 5( ± ). y ± Como hemos podido comprobar, estas ecuacioes geera ifiitas solucioes pero, si la estructura del úmero algebraico es alta como e este caso, su cosecució es difícil si o se cueta co istrumetos iformáticos. E este caso hemos utilizado la calculadora de 7. 6

17 5.4 Mediate fracció cotiua, resolver + +. Para el discrimiate D , dode 44 [,, 6,, 6... ] co desarrollo de la fracció cotiua: dode el úmero algebraico es 0+ y la Calculamos el valor de, ya que 5: ( α+ β D) ( α β D) D ± Y (0+ ) (0 ) ±, (0+ ) (0 ) ± 60, (0+ ) (0 ) ± 97, (0+ ) (0 ) 4 4 ± 880, (0+ ) (0 ) 5 5 ± Sustituyedo estos valores e la ecuació pricipal, las raíces de so: x ± x + 8 x( ± ) + 5( ± ), x ± x ± 4 x + 8 x( ± 60) + 5( ± 60), x ± 49 x ± 88 x + 8 x( ± 97) + 5( ± 97), x ± 8758 x ± 69 x + 8 x( ± 880) + 5( ± 880), x ± 747 x ± 556 x + 8 x( ± 47640) + 5( ± 47640). x ± Mediate fracció cotiua, resolver + +. El discrimiate 4 45 co, 45,4,4, que geera el úmero algebraico y la (, ) , os revela que la ecuació plateada tiee solució. 7

18 La ecuació tiee A y C distitos a uo, además, el coeficiete idepediete es tambié distito a uo, lo que os obligaría a utilizar ideales para resolver dicha ecuació, o obstate, podemos despejar de la forma siguiete: m(( α+ β D) ( α β D) ) ± Y, D dode es el coeficiete idepediete. 8(( ) ( ) ) 45 ± 9, 8(( ) ( ) ) 45 ± 0976, 8(( ) ( ) ) 45 ± Ahora, sustituimos estos valores e la ecuació plateada y obteemos para : x ± 46 + ± + ± x ± 0 x x( 9) ( 9) 8, x ± ± + ± x ± x x( 0976) ( 0976) 8, x ± ± + ± x ± x x( 64496) ( 64496) Mediate fracció cotiua, resolver + +. El discrimiate es que, aplicado fraccioes cotiuas, geera ua orma de (7+ 7 )(7 7, co lo que obteemos: 9(7+ 7) (7 7) x 7 7 Ahora, e fució de este resultado, podemos obteer alguas solucioes como: x y - y y y y 708 Se puede obteer ifiitas solucioes. 8

19 4. 6. Fraccioes cotiuas y los cuerpos cuadráticos. 6. Defiició de los cuerpos cuadráticos Sea K Q( α) u cuerpo cuadrático dode α es u etero algebraico y raíz de u poliomio [ ] x bx c Z x + +. Sea b ac m d b b 4ac α ± y K Q b c 4. Podemos establecer que 4, dode d es libre de cuadrados, es K Q( m d ) Q( d ). Teemos pues que todo cuerpo cuadrático es de la forma K Q( d ) dode d es u etero libre de cua- d Como e el poliomio míimo ( d, Q) x ( )( ) d x + d x d resulta drados,. que los elemetos de K so de la forma a + b d, dode a, b Q, la extesió K / Q es ua extesió de Galois y sus automorfismos so la idetidad y el determiado por ( d ) d. σ A este automorfismo le llamaremos simplemete cojugado de K, y lo represetaremos como ua orma, dode N ( a + b D ) a + Db, si es u cuerpo cuadrático imagiario ó N ( a + b D ) a Db, si es u cuerpo cuadrático real Así, la diferecia etre u cuerpo cuadrático imagiario o complejo y u cuerpo cuadrático real es que, el discrimiate del primero es egativo y el del segudo positivo. Cuado D < 0 hay ua catidad fiita de valores de a y b, si D > 0, los valores de a y b so ifiitos. 6. A partir del úmero 69, calcular ua represetació e cuerpos cuadráticos imagiarios. Sabemos que la raíz cuadrada de 69 está compredida etre cuadrados iguales o meores a 8 co 69, so: , , , , , < 69 < 9. Las diferecias de Auque de todas estas diferecias podemos crear represetacioes, vamos a elegir la peúltima: Calculamos la orma : N ( 7 + 5) Calculamos el producto de: a b C ( )( ) Calculamos la suma de: a b B ( ) ( ) El poliomio míimo será: x 4x Mediate el discrimiate comprobamos si es cierto: 9

20 D b 4ac dode d 5 que es libre de cuadrados. La ecuació geerada tiee como solució: x 7 + 5i y x 7 5i Podemos utilizar la fracció cotiua de 5 que es: dode , { 4, 4, },,,,,,,,, , que es ua buea aproximació. 6. A partir del úmero 69, calcular ua represetació e cuerpos cuadráticos reales. Como estas represetacioes se ecuetra e diferecias de cuadrados iguales o superiores a 9 co el úmero 69, los resultados puede ser ifiitos. Por ejemplo: 9 69, , 0 69, Vamos a tomar la última represetació: , 69 5, Calculamos la orma : N ( ) Calculamos el producto de : a b C ( )( ) Calculamos la suma de: a b B ( ) ( ) , El poliomio míimo será: x 0x Mediate el discrimiate comprobamos si es cierto: D b 4ac dode 9 d que es libre de cuadrados. La ecuació geerada tiee como solució: 0

21 x y x 5 9 Podemos utilizar la fracció cotiua de 9 que es , { 4,, } 6,,,,,,, dode , es ua buea aproximació. 6.4 Crear u sistema co la ecuació x 4x Aparte de la factorizació de eteros cuadráticos, ua ecuació geerada puede servir para crear u sistemas algebraico destiado, por ejemplo, a ua aplicació iformática. Supogamos que trasformamos la ecuació x 4x e ua fució multivariable f ( x, y) x 4y La solució de este sistema, si la tiee, pasa por ecotrar cuatro valores, dos para x y dos para y, dado su carácter de cuadrático. El procedimieto es muy simple: Calculamos el valor de x e fució de y utilizado modulares y, calculamos y mediate sustitució. Por ejemplo: (.4) x x + mód que es equivalete a x ( mód.4) y que tiee como solucioes x + 4 t x + 4t Ahora, por sustitució, calculamos y. ( 4 t) 4y que resulta para y 5 + t + 4t ( 4 t) 4y que resulta para y 7 + 6t + 4t co lo que teemos, para el sistema propuesto, la siguiete solució: x + 4 t, y 5 + t + 4t f ( x, y) x 4y x + 4 t, y 7 + 6t + 4t

22 6.5 Crear u sistema co la ecuació x 0x Trasformamos la ecuació x 0x e ua fució multivariable de la forma f ( x, y) x 0y Calculamos x e fució de y : x x + mód (.0) ecuació que es equivalete a x ( mód.0) que tiee como solucioes: x t, x + 0t Por sustitució, calculamos y : (9 0 t) 0y que resulta para y 5 + 8t + 0t ( 0 t) 0y que resulta para y 7 + 4t + 0t Co lo que, la solució de este segudo sistema, resulta x t, y 5 + 8t + 0t f ( x, y) x 0y x + 0 t, y 7 + 4t + 0t Fraccioes cotiuas y los úmeros especiales. 7. Calcular la fracció cotiua de Pi. El úmero Pi co 50 decimales es: La fracció cotiua es: {,7,5,,9,,,,,,,,4,,,,,,,,,84,,,,5,,,,4} y los covergetes: {, 7, 06,55,0990,0448 5, , , , }

23 7. Calcular la fracció cotiua de e. El úmero e co 50 decimales es: La fracció cotiua es: {,,,,,4,,,6,,,8,,,0,,,,,,4,,,6,,,8,,,0} y los covergetes: {,, 8, 4,9 7,87,06 9,9 7,64 465,457 56,7 00,5 8544, , , } 7. Calcular la fracció cotiua de la proporció áurea. La proporció áurea co 50 decimales es: La fracció cotiua es: {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,} y los covergetes: {,,,5,8 5, 8,,4,55 4,89 55,44 89, 44,77,60 77, }

24 BIBLIOGRAFIA ALACA, S. Y VILLIEAMS, K., Itroductory Algebraic Number Theory, ISBN: HARDY, G.H. ad WRIGHT,E.M., A Itroductio to the Theory of Numbers, ISBN: IVORRA CASTILLO, Carlos, Teoría de Números, (aputes e PDF) KOSHY, Thomas, Elemetary Number Theory with Aplicatios, ISBN: VERA LÓPEZ, Atoio, Problemas y Ejercicios de Matemáticas Discreta, ISBN: X APOYO INTERNET (Calculadora) 4