7 Expresiones fraccionarias y radicales

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1 7 Epresiones frccionris rdicles ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Hs visto que l meteorologí es un sistem cótico. Tmbién lo es el recorrido de un objeto que bj por un río. Piens en otros dos sistems cóticos ponlos en común con tus compñeros. Actividd biert 7.II. Construid en clse vrios dobles péndulos con ud de vuestro profesor, utilizndo cuerd, unos bolígrfos un poco de plstilin. Colocdlos todos en l mism posición inicil dejdlos oscilr l vez. Fijos bien en su comportmiento. Qué observáis? Discutidlo en clse. Actividd biert 7.III. El descubrimiento de l teorí del cos se tribue Edwrd Lorenz, un fmoso meteorólogo. En tienes un lectur sobre sus descubrimientos. Léel elbor un resumen escrito de los hllzgos de Lorenz. Actividd biert ACTIVIDADES PROPUESTAS 7.. Actividd resuelt 7.. (TIC) Hll el vlor numérico de l frcción pr los vlores, 0. Pr : Pr 0: Pr : Indetermindo No eiste vlor numérico Indic pr qué vlores de eiste el vlor numérico de ests frcciones. 9 R S El denomindor se nul pr. Pr este vlor, el numerdor vle. No tiene vlor numérico pr. El denomindor se nul pr. Pr este vlor, el numerdor vle 9 0. Así que el vlor de l frcción lgebric pr es indetermindo. 8 Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

2 7.. Es un frcción lgebric? 8 Sí, porque, donde el numerdor es un polinomio el denomindor es un polinomio de grdo 0 no nulo. 7.. En l unidd nterior viste que. Sin embrgo, el vlor numérico de l primer epresión no eiste en 0, el de l segund sí. Sbrís eplicr por qué? L primer epresión no eiste en 0, porque no se puede dividir entre 0, el vlor de l segund epresión en 0 es Escribe un frcción lgebric que esté determind en todos los puntos slvo en en. Pr que no esté determind en ni en, el denomindor tiene que tener los fctores, el numerdor puede ser culquier polinomio, por ejemplo,. R 7.7. Actividd interctiv 7.8. Actividd resuelt 7.9. Comprueb si son equivlentes ls siguientes frcciones. Dos frcciones son equivlentes si el producto de medios es igul l producto de etremos. De modo que se tiene que cumplir que ( )( ) ( ). ( )( ) ( ) Ls frcciones dds son equivlentes Escribe tres frcciones equivlentes ( ) ( ) es equivlente ( )( ),, es equivlente,., ( )(. ) Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles 9

3 7.. (TIC) Simplific ls siguientes frcciones. ( )( ) 8 Fctorizndo cd un de sus prtes tenemos que 8 ( )( ) ( )( ). 7.. Simplific l frcción Fctorizmos numerdor denomindor: Si, 7 clcul su vlor numérico pr. ( )( ). ( )( ) 7.. Observ l figur. Cuántos cudrdos pequeños cben dentro del cudrdo grnde? Cbrá siempre un número entero de cudrdos, se cul se?, cbrán cudrdos pequeños dentro del cudrdo grnde. Siempre que se un entero positivo. 7.. Actividd interctiv 7.. Actividd resuelt 7.. (TIC) Oper ests frcciones ( ) 0 Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

4 7.7. Efectú ls siguientes operciones. 7 7 ( 7 )( ) 7 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) (TIC) Reliz ests operciones: ( ) 0 ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 9 ( )( )( ) 7.9. (TIC) Reliz ls siguientes sums.. d) Fíjte en los coeficientes del numerdor el denomindor en cd sum obtenid. Cuánto vldrá...? 000 d) Actividd interctiv 7.. Actividd resuelt 7.. Clcul estos productos. ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

5 7.. (TIC) Efectú los productos simplific el resultdo. ( ) ( ) ( ) 7.. Oper estos cocientes. 7 : 7 7 : : 7.. (TIC) Clcul estos cocientes simplific. : : ( 7)( ) 7 ( ) ( )( ) 0 ( ) 00 0 : 0 7 ( ) ( )( ) ( ) : ( ) ( ) : Aud Lur resolver su problem.. ( ) 9 : : : : ( ) ( ) : Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

6 7.7. Actividd resuelt 7.8. Clcul el vlor numérico pr de cd epresión rdicl. ( ), no eiste. ( ) d) ( ) 8 d) ( ) (TIC) Comprueb que ls siguientes epresiones rdicles no son equivlentes Keko piens que ests dos epresiones son equivlentes. Qué opins tú? No son equivlentes, porque signndo e, no se obtiene el mismo vlor numérico Actividd resuelt 7.. Actividd resuelt 7.. Un lumno dice que los rdicles son igules. Es ciert est firmción? Y si los rdicles son 8? Sí, 8 8 Sí, 7.. Simplific estos rdicles. 8 d) d) 8 Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

7 7.. Simplific estos rdicles hst conseguir un rdicl irreducible. 8 z z z z z z z z Reduce índice común estos rdicles. b, b, b, 9 7, b b ( ( ( ) b ( ( b ) Reliz ls siguientes operciones. ( ) ( ) 7.8. Efectú ests operciones. : ( ) : : : 7 : ( ) : : 7.9. Etre fctores de estos rdicles z zt z t z z z z z z 7 z zt zt t t t zt 0 z t z z z t t t z t z t 7.0. Clcul ests sums de rdicles. 8 9 ( ) 8 9 ( ) Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

8 7.. (TIC) Reliz estos cálculos. b: 7 b : ( : b 7.. (TIC) Efectú ls siguientes operciones. b b b : b b b b ( b ) b b b b b b b 0 ( ) 0 : : : EJERCICIOS Frcciones lgebrics equivlentes 7.. (TIC) Determin el vlor numérico de ests frcciones lgebrics pr e Hll los vlores de pr los cules el vlor numérico de l frcción lgebric 7 es indetermindo. Ls ríces del denomindor. Vemos qué ocurre con estos vlores cundo los sustituimos en el numerdor. Si, Si, 7 0. Indetermindo Indetermindo (TIC) Simplific ls siguientes frcciones lgebrics. ( )( ) ( ) ( )( ) d) d) ( )( ) ( )( ) ( ) Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

9 7.. Puede ser que el resultdo obtenido l clculr el vlor numérico de un epresión lgebric se otr epresión lgebric? Rzon tu respuest. No, porque l clculr el vlor numérico de un epresión lgebric se sustituen ls vribles por números se relizn ls operciones, quedndo como resultdo un vlor numérico no otr epresión lgebric Reduce común denomindor ests frcciones lgebrics. 8 ( )( )( ) 0 8 ( )( )( ) ( )( )( ) 7 8 ( )( )( ) 8 ( ) ( 8)( ) 7.8. Indic qué pres de frcciones lgebrics son equivlentes. ( ) 9 9 ( ) ( ) Sí son equivlentes, tnto el numerdor como el denomindor de l segund coinciden con el de l primer multiplicdos por ( ). No son equivlentes. Si,. No son equivlentes. El denomindor de l segund es l fctorizción del denomindor de l primer, en los numerdores no se estblece l relción de iguldd porque el numerdor de l segund frcción no coincide con el desrrollo del numerdor de l primer Clcul el verddero vlor de cd frcción pr pr. 0 0 ( )( ) ( )( ). Indetermindo Indetermindo. ( )( ) Sustituimos,. Sustituimos,. ( ) Pr,. Pr,. ( ) 0 No tiene vlor numérico Cuál de ests frcciones lgebrics no es equivlente? ( ) ( ) L frcción no equivlente es l b. ( )( ) ( )( ) Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

10 Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles 7 Operciones con frcciones lgebrics 7.. Simplific ests frcciones lgebrics. d). No se simplific. d) 7.. Oper simplific ls siguientes frcciones lgebrics. ) ( ) ( Reliz ls operciones. d) : d) : 7.. Oper simplific. : 8 : :

11 7.. Oper simplific, reduciendo previmente común denomindor. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 9 ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 9 ( )( )( ) 7.. Oper simplific ls siguientes frcciones lgebrics, clculndo previmente ls áres de ls figurs geométrics que precen en los numerdores en los denomindores. ( ) ( ) 7.7. Reliz ests operciones simplific el resultdo. : 9 ( )( ) ( ) ( ) 0 8 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 9 ( )( ) ( 9)( ) ( )( ) 7.8. (TIC) Oper simplific. : : ( ) : : ( ) : : ( ) : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) : : : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 8 Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

12 7.9. (TIC) Oper ls siguientes frcciones lgebrics Clcul cuánto hn de vler los números A B, pr que se verifique l siguiente iguldd: A B. B( ) ( ) ( A B) A B A B A B A ( ) B B 7.. Epres el áre del cudrilátero coloredo, medinte un polinomio en. cm cm Cuánto miden los ldos del cudrilátero? Pr resolver el problem, le restremos l áre del rectángulo grnde el áre de los cutro triángulos rectángulos, que son igules dos dos: A A, A A. ( ) Áre A Áre A ; ( ) Áre A Áre A Áre del rectángulo ; Áre de l figur ( ) ( ) 0 El cudrilátero es un prlelogrmo, por tnto, tiene los ldos igules dos dos. Usmos el teorem de Pitágors pr clculr los ldos l m del prlelogrmo: l ( ) 8, m ( ) Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles 9

13 Epresiones rdicles equivlentes 7.. Hll el vlor numérico de ests epresiones rdicles pr los vlores e. 7.. Oper ls siguientes epresiones rdicles. 8 d) 8 9 d) 7.. Indic qué pres de epresiones rdicles son equivlentes No lo son, pr, (cundo no se indic el signo, se consider signo positivo), Sí, que ( 8 ) 8 No, que 9 ( 9 ) Escribe tres rdicles equivlentes estos. 8 b b b b 7 7 b 7.. Reduce estos rdicles índice común: Simplific los siguientes rdicles. 8 b 8 ( ) d) 0 ( ) 8 8 b b ( ) 0 d) ( ) 0 Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

14 7.8. Simplific ls siguientes epresiones rdicles z z bc d) z 0 0 z z 8 b c b c 7 z. No se puede simplificr. d) z z Utilizndo el teorem de Pitágors, clcul l digonl del cmpo de fútbol. Si 0 e 8, cuál serí l longitud de dich digonl? d. Si 0 e 8, d (TIC) Cuál de ls siguientes epresiones rdicles no es equivlente z? 9 8 z z z d) z 0 L b, porque 9 z 9 z z Operciones con epresiones rdicles 7.7. Reliz ests operciones con rdicles. : d) : : d) 7.7. Etre fctores de los siguientes rdicles. 8 z b 8 8 z z z b b b b b b Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

15 7.7. Efectú ests operciones con epresiones rdicles. : d) : d) (TIC) Oper ls siguientes epresiones rdicles b b b b b b ( b b b ) 9 ( ) 7.7. Clcul ests sums de rdicles. 9 ( ) Reliz ls siguientes operciones. e) ( ) 9 : d) f) : d) 8 : : e) f) : : 9 Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

16 7.77. Etre fctores de los siguientes rdicles d) d) (TIC) Oper simplific. b b b b 0 ( b ) ( b ) b b b b b b b b b b b (TIC) Reliz ests operciones. 9 ( ) ( ) ( ) Escribe con un solo rdicl z t. z t z t z t z t z t z t 7.8. En un epresión rdicl de índice n, por cuánto hemos de dividir el rdicndo pr que l epresión rdicl quede dividid por? Por n, porque n n n Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

17 PROBLEMAS 7.8. Reliz ls siguientes operciones utilizndo epresiones lgebrics. El cociente entre un número su siguiente más el cociente entre dicho número su nterior. El cociente entre dos números pres consecutivos más el cociente entre dos números impres consecutivos. L sum de los inversos de dos pres consecutivos. d) L sum de los inversos de dos números impres consecutivos. d) 7.8. Epres, medinte un frcción lgebric, el áre del triángulo isósceles de l figur. h A 7.8. Epres, medinte un frcción lgebric, el áre de l prte colored. Ldo del cudrdo coloredo: l l l l l l l l A 7.8. Hssn vive en un pequeño pobldo de Mrruecos le seprn de l escuel tres cmpos de cultivo de trigo, ven centeno, como indic l figur. l Centeno Escuel 00 m Cuál es l epresión lgebric que hce mínimo el trecto recorrido por Hssn pr llegr l escuel? Trigo Aven Pobldo Primero, Hssn recorre l digonl del cmpo de trigo: d. Después, l del cmpo de centeno: d 00. L distnci totl que recorre Hssn es d 00. Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

18 7.8. En l fotogrfí observmos l ctedrl de Sntigo de Compostel. Est ctedrl posee un plnt en form de cruz ltin como l de l figur. ( 0) m (0 ) 0 m Epres el áre de dich plnt como un epresión lgebric en. Dividimos l plnt en tres rectángulos (de izquierd derech clculmos el áre de cd uno de ellos. A [0 ( 0)] ( ) 90 A (0 ) 0 A ( 0) 900 El áre totl es A A A A En el código de circulción, ls señles en form de triángulo indicn peligro. L señl de ced el pso solo difiere de un triángulo equilátero en sus vértices, que estos están redondedos. Suponiendo que fuese un triángulo equilátero, epres el áre de l señl si el ldo mide centímetros. h, A Epres el áre del siguiente trpecio isósceles. cm 8 cm Áre de cd triángulo: h A T A. Áre del rectángulo: 8 ( 8) 9 9 Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

19 7.89. Prtiendo de un rectángulo ddo se obtiene otro rectángulo duplicndo l longitud de mbos ldos. L longitud de l digonl del nuevo rectángulo tmbién es el doble? Rzon l respuest. Llmmos los ldos del primer rectángulo b; por el teorem de Pitágors, su digonl será d b. Los ldos del segundo rectángulo serán b, su digonl, D b b d, luego l digonl del nuevo rectángulo es el doble que l digonl del primero. AMPLIACIÓN Al simplificr l epresión: m m : m m m m m m m se obtiene: m d) m m m m m, m m m, con lo que l división pedid es m m m m. L respuest correct es l b El número es igul : 7 d) Llmndo dicho número, tenemos que dicho número es positivo,. L respuest correct es l d. 7, como 7.9. Si < b, b 9 b es igul : b b b d) b 9 ( ) b b b b b, pues b es mor que. L respuest correct es l b Si A B, entonces: A < B A > B A B d) AB > Compremos sus cudrdos: A, 8 B A, l ser A B números positivos, A B. L respuest correct es l c. Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

20 7.9. Si > > 0, cuál de ls siguientes epresiones es l mism que L respuest correct es l c. d) ( )? 7.9. Si 0 e 0, se verific: Nunc Solo si 0 Solo si 0 d)solo si 0 Al ser e números no negtivos, l iguldd dd es equivlente ( ), que es válido solmente si 0. L respuest correct es l d. AUTOEVALUACIÓN 7.. Reduce común denomindor ests frcciones.,,,, ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 7.. Oper los siguientes rdicles b b b b b b ( b b b ) b b b b b b b b b b Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles 7

21 7.. Reliz ests operciones con frcciones lgebrics. 9 9 ( ) : : ( )( ) ( ) ( ) ( ) Escribe dos epresiones rdicles equivlentes l epresión. Respuest biert, por ejemplo: 8, 7.. Simplific ls siguientes frcciones. 7 7 ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 7.. Reliz ls siguientes operciones con epresiones rdicles. : : ( ) ( ) ( ) 7.7. Hll el vlor numérico de ests epresiones. Pr e. Pr e Simplific los siguientes rdicles. 8 bc 8 c 8 8 b c b c c c 8 Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

22 PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS Aplic e interpret > Turbulencis El vión se encuentr kilómetro de ltitud v intentr subir hst los kilómetros. Cd minuto que ps, l ltitud del vión viene dd por l epresión A, donde es l ltitud en el minuto nterior. Sin embrgo, el ltímetro no es ecto, l ltitud inicil podrí vrir 0 metros rrib o bjo. 7.. Copi rellen l tbl indicndo l ltitud del vión según psn los minutos, prtiendo de l ltitud inicil, que puede vrir entre metros. Pr ello, plic l frcción A() l ltitud en kilómetros del minuto nterior, redonde en cd pso dos decimles. Altitud inicil (km) Altitud min. Altitud min. Altitud min. Altitud min. Altitud min. Altitud min. 7 Altitud min. 8 Altitud min. 9,00,7,,0,7,0,80,9,0 0,9,,0,9,8,9,,,08,0,77,,8,8,9,,0, 7.. Represent hor estos dtos en un gráfic como l siguiente. Altitud inicil (km) Tiempo (min.) Observ l pequeñ vrición en l ltitud inicil cómo evolucion l ltitud del vión los pocos minutos. Qué conclusiones etres? Cundo el vión rebs los km de ltitud desciende, cundo está por debjo de km sube, intentndo siempre estbilizrse lrededor de su ltitud óptim de km. 7.. Hz un breve informe sobre lo que hs prendido preséntlo en clse. Actividd biert Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles 9

23 Clcul construe > El reglo de cumpleños 7.. Epres en lenguje lgebrico ls dimensiones de l cj, llmndo l longitud de l ltur en centímetros. Altur: Longitud: Anchur: 7.. Epres en lenguje lgebrico ls dimensiones de l cj, hor llmndo l longitud de l rist mor en decímetros. Longitud: Altur: Anchur: 7.. Clcul en cd cso l longitud de ls digonles de ls crs l de un digonl de l cj. Digonl ltur - longitud: Digonl ltur - nchur: ( ) ( ) 8 Digonl longitud - nchur: ( ) 0 Digonl de l cj: En el otro cso: ( ) ( ) 0 Digonl ltur - longitud: ( ) 8 Digonl ltur - nchur: ( ) 0 Digonl longitud - nchur: ( ) Digonl de l cj: ( ) ( ) Escribe frcciones lgebrics que muestren el cociente entre los ldos de cd un de ls crs de l cj. Altur Longitud ; Altur Anchur ; Longitud Anchur 7.. Determin el vlor de ls rzones hllds nteriormente cundo l ltur de l cj es 8 centímetros. Altur Longitud 8 8 ; Altur Anchur ; Longitud Anchur Hll l epresión que determin l superficie el volumen de l cj en función de l ltur. Superficie: ( ( ) ( ) ( )( ) ) ( ) 8 Volumen: ( )( ) 0 Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

24 7.7. Con un crtón rectngulr de centímetros queremos construir l cj más grnde posible con ess crcterístics. Diseñ cómo se h de cortr plegr el crtón ls dimensiones de l cj utilizndo un crtón, después pliégl constrúel. Cumple todos los requisitos? Actividd biert Observ refleion > Los cuerpos redondos 7.. Obtén pr cd un de ells l epresión que nos permite clculr el rdio. r L π ; r S π ; r Vco π h ; r A π ; r Vci π h ; r Ves π 7.. Si un cono tiene un ltur igul l doble del rdio su volumen es igul l de un esfer, cuál es l rzón entre los rdios del cono de l esfer? Cono: Rdio, r. Altur, r. Volumen, π r r Esfer: Rdio, R. Volumen, π R π r π r π R, es decir: r R, por lo que r R 7.. Observ que el rdio veces prece elevdo, veces l cudrdo en ocsiones l cubo. A qué se debe est diferenci? Eplíclo con tus plbrs en cd cso. Actividd biert Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles

25 Proecto editoril: Equipo de Educción Secundri del Grupo SM Autorí: Rfel Arévlo, José Luis González, Jun Alberto Torresno Edición: Elen Clvo, Miguel Ángel Ingelmo, Yolnd Zárte Corrección: Ricrdo Rmírez Ilustrción: Féli An, Modesto Arregui, Jun Frncisco Cobos, Domingo Duque, Féli Moreno, Diseño: Pblo Cnels, Alfonso Runo Mquetción: SAFEKAT S. L. Coordinción de diseño: José Luis Rodríguez Coordinción editoril: Josefin Arévlo Dirección del proecto: Aíd Mo Culquier form de reproducción, distribución, comunicción públic o trnsformción de est obr solo puede ser relizd con l utorizción de sus titulres, slvo ecepción previst por l le. Diríjse CEDRO (Centro Espñol de Derechos Reprográficos, si necesit fotocopir o escner lgún frgmento de est obr, ecepción de ls págins que incluen l leend de Págin fotocopible. Ediciones SM Impreso en Espñ Printed in Spin Unidd 7 Epresiones frccionris rdicles