TEMA 8 POLÍGONOS: CONSTRUCCIÓN Y ÁREAS

Transcripción

1 TEMA 8 POLÍGONOS: CONSTRUCCIÓN Y ÁREAS Triángulos y rectas notables 1) Dados dos vértices A, B y el ortocentro H de un triángulo, construir dicho triángulo. 2) Determinados el incentro O y los vértices B y C de un triángulo, construir ese triángulo. 3) En los lados de un ángulo XOY tomar sendos segmentos iguales OA = OB. Trazar la mediatriz de AB y demostrar que dicha recta pasa por el punto O y es bisectriz del ángulo XOY. 4) Los triángulos ABC y A BC están situados en distinto semiplano respecto a BC, su lado común. La recta BC es la bisectriz de los ángulos ABA y ACA. a) Comparar los otros dos lados de esos triángulos; b) Los vértices A y A se unen con cualquier punto M de la base BC. Demostrar que AM = A M. 5) El circuncentro y el incentro de un triángulo ABC coinciden. Demostrar que ese triángulo es equilátero. 6) Dos lados de un triángulo ABC se prolongan longitudes iguales a ellos AB = AB, AC = AC. El vértice A se une con D y con D, puntos medios de los segmentos BC y B C. Comparar entre sí los segmentos BC y B C, en primer lugar, y los segmentos AD y AD después. 7) Señalar, en la bisectriz AM del ángulo A de un triángulo cualquiera ABC, los segmentos AE = AB y AF = AC. Compara los segmentos BF y CE. 8) Por un punto M de AM, bisectriz de un ángulo A, se trazan dos rectas que forman sendos ángulos iguales con AM. Una corta a los lados del ángulo A en B y C, la otra a los mismos lados respectivamente en D y E. Demostrar: a) EM = BM b) MD = MC c) ED = BC. 9) El triángulo ABC y el triángulo A B C son tales que AB = A B ; BC = B C y además, las medianas relativas a BC y a B C son iguales. Demostrar que el triángulo ABC es igual al triángulo A B C. 10) La mediana AM de un triángulo ABC se prolonga una longitud MD = MA. Se trazan los segmentos DB y DC. En la figura formada, hallar los triángulos iguales. 95

2 11) La altura AH de un triángulo ABC se prolonga una longitud HD = AH. Se trazan los segmentos DB y DC. En la figura resultante, hallar los triángulos iguales. 12) En un triángulo ABC (AB > AC), se traza la bisectriz AD siendo D el punto de corte con BC. Por dentro del triángulo se traza una recta Dx que con AD forme un ángulo Adx igual al ángulo ADC, y que corte a AB en E. Demostrar que DE = DC y AE = AC. 13) En los lados de un ángulo cualquiera con vértice O se toman respectivamente los segmentos OA = OB ; OC = OD. Las rectas AD y BC se cortan en un punto I. Demostrar que AD = BC y que IA = IB. 14) Un triángulo en el que una línea es a la vez altura y bisectriz es un triángulo isósceles. Demostrarlo. 15) ABC es un triángulo isósceles en el que AB = AC. Las perpendiculares a los lados AB y AC en B y C se cortan en M. Estudiar el triángulo BMC y luego los triángulos ABM y ACM. Si O es el punto medio de BC, demostrar que los puntos A, O, M están en línea recta. 16) Las medianas BD y CE relativas a los lados iguales del triángulo isósceles ABC (AB = AC) se cortan en un punto I. Demostrar que los triángulos BIC y DIE son isósceles. 17) En AB y AC, lados iguales de un triángulo isósceles, se toman sendos segmentos iguales BD = CE. Los puntos D y E se unen con M, punto medio de la base BC; comparar los segmentos ME y MD, y demostrar que el triángulo AME es igual al triángulo AMD. Áreas de figuras planas 18) El perímetro de un triángulo equilátero mide 0.9 dm y la altura mide 25,95 cm. Calcula el área del triángulo. 19) Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse 4 m². 20) El área de un trapecio es 120 m², la altura 8 m, y la base menor mide 10 m. Cuánto mide la otra base? 21) En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el área del jardín. 22) Calcula el área del cuadrado que resulta de unir los puntos medios de los lados de un rectángulo cuya base y altura miden 8 y 6 cm. 96

3 23) Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m y 92 m. La anchura de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 m de ancho perpendicular a las dos bases. Calcula el área de la zona arbolada que queda. 24) Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno tiene un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín. 25) Dado el cuadrado ABCD, de 4 m de lado, se une E, punto medio del segmento BC, con el vértice D. Calcular el área del trapecio formado. 26) Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la fachada de este edificio sabiendo que se gastan 0.5 kg de pintura por m 2. 27) Hallar el área de la figura en rojo tomando como unidad de medida uno de los cuadraditos. Se puede hacer de varias formas pero, serías capaz de calcularlo de una forma muy sencilla? 28) Si alargamos 6 metros el lado de un cuadrado, el área de éste aumenta 288 m 2. Calcular el lado del cuadrado. 29) La razón entre la anchura y la longitud de un rectángulo es de 1/3, la diagonal mide 24 m. Calcular los lados y el área de este rectángulo. 30) En un rectángulo la diagonal tiene 30 m. y la razón de sus lados es 4/3. Calcular el área de ese rectángulo. 31) Determinar las dimensiones de un rectángulo cuya área es 15/16 de la de un cuadrado que tiene 320 m. de perímetro, y éste es igual al del rectángulo. 32) Un triángulo equilátero tiene 20 cm de lado. Calcular la altura y su área. 97

4 33) Las bases de un trapecio miden 25 cm y 7 cm, cada lado no paralelo tiene 15 cm. Calcular el área del trapecio. 34) El área de un trapecio isósceles es 112 cm 2 y la suma de las bases 28 cm. Calcular las bases, la altura, los lados no paralelos, si el perímetro es 48 cm. 35) Hallar el área de un trapecio rectángulo cuyas bases tienen 320 y 460 m y la diagonal mayor 575 m. Triángulos rectángulos 36) Los tres lados de un triángulo rectángulo son números enteros consecutivos. Calcularlos. 37) En un río y a 3 m de la orilla se hinca un palo que, estando vertical, sobresale 2 m del agua y abatido toca con su extremo en la orilla. Cuál es la profundidad del río? 38) La altura de un triángulo rectángulo isósceles divide a la hipotenusa en dos segmentos de 3 m cada uno. Calcular la altura y los catetos. 39) El menor de los catetos de un triángulo rectángulo mide 9 m y la hipotenusa tiene 3 m. más que el otro cateto. Calcular estos dos últimos lados y el área del triángulo. 40) Una cuerda está tirante entre dos puntos A y B que distan 5 m. Otra cuerda de 25 m. tiene fijos sus extremos en A y en B. Se estira esta segunda cuerda de modo que forme con la primera un triángulo rectángulo en A o bien un triángulo isósceles tal que CA = CB. Calcular el área de la superficie limitada por ambas cuerdas en cada caso. 41) El triángulo ABC es rectángulo en A. La hipotenusa BC = 35 m, el cateto AB = 28 cms. a) Calcular el cateto AC, la altura AH y los segmentos BH y CH; b) Se dibuja HN paralelo a AB. Calcular HN, AN y CN. 42) El hueco de una ventana mide 4,1 m de ancho y 2,6 m de altura. Puede introducirse por la ventana un mesa de ping-pong de 4,8 m de ancho? 43) Una puerta mide 210 cm de altura por 80 cm de ancho. Cuál es el ancho mayor que puede tener un tablero para que pase por esta puerta? 44) Una escalera de 4,5 metros se coloca contra una pared con la base de la escalera a 2 metros de la pared. A qué altura del suelo está la parte más alta de la escalera? 45) Una escalera de 6 metros se apoya contra una pared, quedando la parte superior de la misma a una altura de 5.4 metros. A qué distancia está el pie de la escalera de la base de la pared? 98

5 46) Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 10 cm respectivamente. Cuánto mide cada uno de los lados? Calcula el área del rombo. 47) Un lado de un rombo mide 45,62 dm y una de sus diagonales mide 52,48 dm. Cuánto mide la otra diagonal? Cuál es el perímetro del rombo? Cuál es el área del rombo? 48) Halla el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 2 cm de radio. 49) En un triángulo isósceles, la base mide 10 cm y los otros dos lados miden 12 cm cada uno. Halla la altura correspondiente al lado desigual. 50) Desde un punto P se traza una tangente a una circunferencia. La distancia de P al punto de tangencia es de 35 cm, y la distancia de P al centro de la circunferencia es de 37 cm. Cuánto mide el radio? 51) En una circunferencia de 41 dm de radio trazamos una cuerda de 18 dm de longitud. Halla la distancia de la cuerda al centro de la circunferencia. Polígonos regulares 52) Un hexágono regular tiene 60 m de perímetro. Calcular su apotema. 53) Halla el perímetro de un hexágono regular cuya apotema tiene 5,60 m. 54) En función del radio r de la circunferencia inscrita, calcular el lado del hexágono regular circunscrito. 99

6 TEMA 8 SOLUCIONES Triángulos y rectas notables 1) Se une el punto H con A y con B. Por A se traza una perpendicular a BH, y por B una perpendicular a AH. La intersección de ambas perpendiculares determina el vértice C. 2) Se construye el triángulo auxiliar BOC y sobre los lados de éste y exteriormente a él, los ángulos < OBA = < OBC < OCA = < OCB ABC es el triángulo solución. Para que el problema sea posible es necesario que < OBC + < OCB < 90º 3) Por equidistar de A y de B, el punto O está en la recta OM, mediatriz de AB. Por otro lado, las oblicuas iguales OA y OB, cuyos pies equidistan del de la perpendicular OM, forman con ella ángulos iguales. Así que OMA = OMB puesto que OA = OB por construcción, MA = MB por pasar por M la mediatriz y <OMA = <BMO = 90º por ser mediatriz, de donde <AOM = <BOM. 4) Los triángulos ABC y A BC son iguales por tener un lado común BC y los dos ángulos adyacentes tal como se sigue del hecho de que BC sea bisectriz de los ángulos ABA y ACA. Por otra parte, los triángulos AMC y A MC son iguales por tener dos lados iguales (CA = CA, MC común) e igual el ángulo comprendido (ACM = A CM). Por tanto, AM = A M y < AMC = < AM C. 100

7 5) Sea O el punto de coincidencia. La recta BOD es bisectriz y mediatriz a la vez. Por tanto, son iguales los triángulos DAB y DCB. Así que AB = BC. Análogamente se demuestra que AC = BC, luego el triángulo ABC es equilátero. 6) Los triángulos ABC y AB C son iguales por tener dos lados iguales (AB = AB, AC = AC ) y el ángulo comprendido < BAC = < B AC por ser opuestos por el vértice. Por tanto, BC = B C. Los triángulos ADC y AD C son también iguales ya que resultan iguales los ángulos < C = < C, AC = AC. Además, CD = C D = ½ BC, así que AD = AD y CAD = C AD. 7) Los triángulos ABF y AEC son iguales ya que tienen iguales dos lados (AF = AC y AB = AE) siendo igual el ángulo comprendido BAF = CAE por ser AM bisectriz. Por tanto, BF = CE. 8) Los triángulos AEM y ABM son iguales ya que tienen un lado común (AM) y los dos ángulos adyacentes (EMA = BMA, EAM = BAM). Por tanto, también EM = BM. 101

8 En segundo lugar, los triángulos AMD y AMC son iguales. En efecto, AMD = AMC por ser suplementarios de ángulos iguales. Además, los ángulos en A son iguales y el lado AM es común. Por consiguiente, MD = MC. De las igualdades EM = BM y MD = MC, resulta EM + MD = BM + MC, o sea ED = BC. 9) Los triángulos ABC y A B C son tales que AB = A B ; BC = B C. Pero BM = B M ya que son mitades de lados iguales. Por el tercer criterio de igualdad de triángulos los triángulos ABM y A B M son iguales al tener sus tres lados iguales. Por consiguiente, los ángulos < B = < B Y, por el segundo criterio de igualdad, los triángulos ABC y A B C son iguales (dos lados y el ángulo comprendido iguales). 10) En primer lugar, los triángulos AMC y DMB son iguales puesto que tienen el ángulo en M opuesto por el vértice, y además MB = MC (por ser AM mediana en el lado BC) y MA = MD por construcción. Es decir, dos lados iguales y el ángulo comprendido. De esta igualdad se deduce además que AC = DB. En segundo lugar, son iguales los triángulos AMB y DMC por el mismo criterio, ya que tienen dos lados iguales (MB = MC, MA = MD) e igual el ángulo central en M, opuesto por el vértice uno al otro. Como consecuencia, AB = DC. Por último, son iguales los triángulos ABD y DCA y de la misma forma los triángulos CAB y CDB, en ambos casos por aplicación del tercer criterio de igualdad de triángulos, tener sus tres lados iguales. 11) Los triángulos ABH y DBH son iguales por tener dos lados iguales (BH común y AH = HD por construcción) y el ángulo comprendido que, al ser AH la altura y HD su prolongación, es igual a un recto en ambos casos. De ahí se deduce que AB = BD. Del mismo modo, son iguales los triángulos AHC y DHC, lo que conduce a que AC = CD. Entonces, por tener sus tres lados iguales, son iguales las siguientes parejas de triángulos: ABC = BDC ; ABH = DBH ; CAH = CDH 102

9 12) Comparando los triángulos ADC y ADE se comprueba que tienen un lado común (AD) e iguales los ángulos adyacentes al mismo (ADC = ADE por construcción, CAD = EAD por ser AD bisectriz). En consecuencia, los dos triángulos son iguales y DE = DC, AE = AC. 13) Los triángulos AOD y BOC son iguales ya que tiene iguales dos lados (AO = BO, OD = OC) y el ángulo comprendido en O. Por consiguiente, AD = BC. También son iguales los triángulos AIC y BID ya que tienen igual uno de sus lados (AC = BD, diferencia de segmentos iguales) y los dos ángulos adyacentes (IAC = IBD por ser suplementarios de ángulos iguales, BDI = ACI por la igualdad anterior de triángulos). Por tanto, AI = IB. Problema 13 Problema 15 14) Si AD es altura y bisectriz, los ángulos en A son iguales, así como los ángulos en D. Luego los triángulos BDA y DCA son iguales ya que hay que unir el hecho de tener el lado AD común. Eso conduce a que AB = AC y el triángulo ABC resulta ser isósceles. 15) Al ser complementarios de ángulos iguales, MBC = MCB. Ello significa que el triángulo BMC es isósceles y, en consecuencia, BM = CM Esto significa, dado que los segmentos BM y CM se han construido perpendiculares a los lados respectivos del triángulo original, que M es un punto de la bisectriz AM que, por tanto, divide al ángulo en A en dos partes iguales: los ángulos BAM y CAM. Por otro lado, como los 103

10 ángulos ABM = ACM entonces también sucederá que AMB = AMC. Al tener el lado AM común, los triángulos ABM y ACM tienen igual un lado y los dos ángulos adyacentes, por lo que ambos serán iguales. Por otra parte, los puntos A, O y M están los tres en la bisectriz del ángulo en A. 16) Los triángulos DBC = ECB dado que tienen iguales dos lados (BC común y CD = BE) y el ángulo comprendido (por ser el triángulo ABC isósceles). En consecuencia, serán también iguales los ángulos DBC = ECB por lo que se concluye que el triángulo BIC es isósceles donde BI = CI. Por otra parte, DB = EC y al ser BI = CI, también ID = IE. Problema 16 Problema 17 17) Los triángulos BDM = CEM ya que tienen dos lados iguales (EC = DB por construcción y CM = MB porque M es el punto medio de la base) y el ángulo comprendido por ser el triángulo ABC isósceles. Por tanto, ME = MD. Por ser AB = AC, también resultarán iguales los segmentos AD = AE. Así que los triángulos AME = AMD ya que tienen los tres lados iguales. 104

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