FIGURAS SEMEJANTES RAZÓN DE SEMEJANZA. Gráfica y numérica

Transcripción

1 FIGURAS SEMEJANTES RAZÓN DE SEMEJANZA Ampliación / Reducción Escalas Teorema de Thales Gráfica y numérica Triángulos en posición de Thales Semejanza de triángulos Criterios de semezanza entre triángulos Aplicación a problemas COLEGIO VIZCAYA SEMEJANZA 65

2 PARA EMPEZAR 1. Dibuja en tu cuaderno un plano de tu casa e indica en él cuántos metros de la realidad representa 1 cm del dibujo. PARA APRENDER 1. FIGURAS SEMEJANTES. Observa las siguientes figuras: B 4cm 5cm A 6cm D C 3cm 2 5 cm B A 3cm 2cm C D 1 5 cm Vemos que las dos figuras tienen la misma forma pero distinto tamaño. Cuando ocurre esto decimos que sus lados y sus ángulos son homólogos. Vamos a escribir para cada par de lados homólogos una razón: AB BC CD DA = = = A'B' B'C' C'D' D'A' = = = = 2 = k 2'5 2 1'5 3 Como ves todas las razones son iguales y entonces las medidas de las dos figuras son dos magnitudes directamente proporcionales y k = 2 es la constante de proporcionalidad que en este tema le llamaremos razón de semejanza. (Si hacemos las divisiones inversas la constante sería k = 1/2) Figuras semejantes: decimos que dos figuras son semejantes si sus lados homólogos son proporcionales y sus ángulos homólogos iguales. Razón de semejanza: cociente entre cualquiera de dos lados homólogos de dos figuras semejantes. 66 SEMEJANZA COLEGIO VIZCAYA

3 PARA PRACTICAR 2. Los lados de un cuadrilátero miden 15, 20, 30 y 40 cm. El homólogo del primer lado de otro cuadrilátero, semejante al primero, mide 20 cm. Calcula la razón de semejanza entre ambos cuadriláteros y las dimensiones de los lados del segundo cuadrilátero. Cuál es la razón de semejaza entre sus perímetros? 3. Las longitudes de los lados de un triángulo son 3, 5 y 7 cm, respectivamente, y los lados de otro triángulo miden 4, 6 y 8 cm. Son semejantes? Razona tu respuesta. 4. Calcula el área de un triángulo de 6 cm de base, sabiendo que es semejante a otro triángulo de 4 cm de base y 3 cm de altura. 5. Dos pentágonos son semejantes, siendo las medidas del menor 3, 4, 5, 6, y 7 cm. Calcula los lados del mayor si su perímetro mide 45 cm. 6. La razón de semejanza de dos polígonos semejantes es 3/7. Sabiendo que el perímetro del primero mide 93 cm, cuál será el perímetro del segundo? 7. El triángulo ABC de lados AB = 128 mm, AC = 72 mm y BC = 64 mm es semejante al triángulo A B C cuyo lado A C mide 48 mm. Halla los demás lados de este triángulo. COLEGIO VIZCAYA SEMEJANZA 67

4 PARA APRENDER 2. AMPLIACIÓN. REDUCCIÓN. Problema 1: Con una fotocopiadora hemos ampliado el dibujo de la izquierda y así, hemos obtenido el de la derecha. Serías capaz de averiguar cuál ha sido la ampliación? 3cm 4 5 cm 4cm 6cm 5cm 7 5 cm Como hemos hecho una ampliación los lados homólogos son proporcionales y podemos escribir las siguientes proporciones: 6 7'5 4'5 = = =1'5=k La ampliación se ha realizado con una razón de semejanza de k = 1'5. Problema 2: Ander sacó la siguiente foto en sus pasadas vacaciones. Sabiendo que la pirámide más alta mide 30 m de altura y 40 m de anchura, sabrías calcular cuál es la reducción de la fotografía? 6cm 8cm Como hemos hecho una reducción los lados homólogos son proporcionales y podemos escribir las siguientes proporciones: 6 8 = = 0'002 = k La reducción se ha realizado con una razón de semejanza de k = 0'002. PARA PRACTICAR 8. Dos cuadriláteros semejantes tienen de razón de semejanza k = 2/3. Halla la medida de los lados del mayor, sabiendo que las del menor son 10, 14, 22 y 24 cm. 68 SEMEJANZA COLEGIO VIZCAYA

5 PARA PRACTICAR 9. Dibuja en una hoja cuadriculada un trapecio rectángulo cuyas bases midan 7 y 4 cm, y la altura 4 cm. Después dibuja un trapecio semejante al primero con una ampliación de k = 2 y otro con una reducción de k = 1/ Los lados de un triángulo miden 10, 13 y 15 cm. Otro semejante tiene 57 cm de perímetro. Calcula los lados de ese triángulo. Cuál ha sido la ampliación? 11. Los lados de un triángulo miden 12, 15 y 18 cm. El lado mayor de otro triángulo semejante mide 48 cm. Cuál ha sido la ampliación? Calcula sus lados y su perímetro. 12. Los lados de un pentágono miden 15, 20, 25, 30 y 35 cm. Cuánto miden los lados de otro pentágono semejante de 25 cm de perímetro? Cuál ha sido la reducción? PARA APRENDER 3. ESCALAS. Los planos, mapas, maquetas, fotografías, etc. representan imágenes reducidas de objetos reales. Para indicar la relación que hay entre la imagen reducida y la realidad, todo plano, mapa, etc. debe estar acompañado por la razón de semejanza, que en este caso llamaremos escala. Longitud de la reproducción escala = Longitud en la realidad Si queremos decir que una distancia de 1 m en la realidad la hemos representado en un mapa con una distancia de 1 cm tendremos que hacer la siguiente división: Longitud de la reproducción 1 cm 1 cm escala = = = Longitud en la realidad 1 m 100 cm Y en lugar de decir que la razón de proporción es de k = 0'01, decimos que la escala es 1:100. Cuanto más grande es el denominador, menor será la escala, porque más fuerte es la reducción que se hace del terreno, para pasarla al plano. COLEGIO VIZCAYA SEMEJANZA 69

6 Generalmente las escalas se expresan en las anotaciones al margen del mapa, y se puede hacer de la siguiente forma: 1 : / Un mapa a escala 1: , nos indicará que cada centímetro en el mapa equivaldrá a cm = 1000 metros en el terreno, de igual forma un mapa a escala 1 / , nos indicará que un centímetro en el mapa equivale a cm = 5000 metros en el terreno. Hay otras formas de representar una escala en un mapa como es la forma gráfica que es más visual. La escala gráfica está constituida por una recta, sobre la que se determinan divisiones de partes iguales, correspondientes a una unidad de medida fijada. En el gráfico de abajo podemos observar una escala gráfica con la que queremos expresar que 1 cm del plano equivale a 1 km en la realidad km Ejemplo: El depósito del coche de Luis sólo tiene capacidad para 300 km. Tiene que ir de la ciudad A a la B y dispone de un mapa con escala 1: Sabiendo que la distancia en el mapa entre las dos ciudades es de 21 cm. Tendrá suficiente gasolina para realizar su viaje? Mapa Realidad A B 1 cm cm 21 cm x x = = cm = 525 km 1 PARA PRACTICAR 13. Amaia se dispone a comprar una casa y está estudiando con todo cuidado el plano de la misma. Para ello ayudándose de la escala está obteniendo todas las longitudes reales de la vivienda: Largo plano cm Ancho plano cm Largo real m Ancho real m Dormitorio 1 Dormitorio 2 Dormitorio 3 Salón Cocina 1 : 150 Baño Le conviene a Amaia comprar esta casa? 70 SEMEJANZA COLEGIO VIZCAYA

7 14. Si tenemos un mapa a escala 1: , cuál será la distancia entre ciudades que en el mapa están a 3, 4 y 5 cm? 15. Qué significa una escala 1: 250? Cuánto mide en la realidad un segmento si en el plano mide 8 cm? 16. El mapa de una provincia está construido a escala 1: Calcula la distancia en el mapa de poblaciones que distan entre sí 3, 5 y 10 km. 17. Calcula la escala a la que está dibujado un plano si queremos representar 150 m de la realidad con 5 cm en el plano. PARA APRENDER 4. TEOREMA DE THALES. Teorema de Thales: Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas secantes r y s entonces los segmentos resultantes en cada una de ellas son proporcionales a los de la otra. a b c r A B C AB A'B' = BC B'C' s A B C Ejemplo: a b c 2m 4m 3m 6m Como las rectas a, b y c son paralelas, podemos aplicar el Teorema de Thales y escribir las siguientes proporciones: = ó = COLEGIO VIZCAYA SEMEJANZA 71

8 PARA PRACTICAR 18. Aplicando el Teorema de Thales averigua lo que mide el segmento x: 1 6 cm 1cm x 2cm 19. Halla las medidas de los segmentos x e y de la figura: 4m x 16 m 3m 9m y 20. Dos segmentos de 24 y 36 cm son cortados por rectas paralelas que determinan sobre el primero segmentos de 8, 6 y 10 cm, respectivamente. Qué segmentos determinarán sobre el segundo segmento? 21. Unas rectas paralelas determinan sobre un segmento las longitudes de 5, 7 y 9 cm. Qué segmentos determinarán estas paralelas sobre otro segmento que mide 42 cm? 22. Se cumple el Teorema de Thales en la siguiente situación? Qué puedes deducir? 3cm 5cm 6cm 8cm 72 SEMEJANZA COLEGIO VIZCAYA

9 PARA APRENDER 5. TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES. Triángulos en posición de Thales: Decimos que dos triángulos ABC y A B C están en posición de Thales, si tienen un ángulo en común y los lados homólogos proporcionales. B En este caso se cumple el Teorema de Thales: B AB AC = BB' CC' Y además: A C C AC AC' AB AB' = y = CB C'B' BC B'C' Ejemplo: Calcula los lados desconocidos x e y del siguiente triángulo: x 6m x = x = =9 m m 3m y 2m = y= =4 m y 3 6 PARA PRACTICAR 23. Calcula los lados y el perímetro del triángulo: 3m 4m x 5m 8m y COLEGIO VIZCAYA SEMEJANZA 73

10 24. Los lados de un triángulo miden 7, 9 y 11 cm. Tenemos otro de lados proporcionales al primero y cuyo lado menor mide 20 cm. Calcula la longitud de los lados del segundo triángulo. 25. Calcula x e y: 2m 3m 1m x 4m y 26. Calcula los lados desconocidos en los siguientes triángulos: 16 cm 14 cm 14 m 6m 4m 12 m 20 m 9m 27. Averigua los lados de los triángulos ADE, DBF y ECG. 6cm 4cm D A 9cm E B F 12 cm G C 28. La sombra de una torre tienen en un momento determinado una longitud de 18 m, y la de un pal de 1 m, colocado verticalmente, es de 1'6 m. Qué altura tiene la torre? 29. Halla la altura del árbol de la figura: 1m 3 m 18 m 30. Un poste de 3'2 m, colocado verticalmente, proyecta una sombra de 2'8 m. Cuál será la altura de un campanario que en el mismo instante proyecta una sombra de 18'9 m? 74 SEMEJANZA COLEGIO VIZCAYA

11 PARA APRENDER 6. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. Propiedad: Dos triángulos son semejantes si están en posición de Thales. Para saber cuando dos triángulos son semejantes basta con que se cumpla cualquiera de las condiciones siguientes: CRITERIOS DE SEMEJANZA ENTRE TRIÁNGULOS: 1) Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos iguales: 2) Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales. 3) Dos triángulos son semejantes si un ángulo es igual y los lados que forman el ángulo son proporcionales. Ejemplo: Averigua si los siguientes triángulos son semejantes: a) 60º Los dos triángulos tienen dos ángulos iguales. 60º 30º 30º Entonces por el criterio 1 podemos decir que son semejantes. b) Los dos triángulos tienen los lados proporcionales (k = 2). 5m 3m 10 m 6 m Entonces por el criterio 2 podemos decir que son semejantes. 4m 8m c) 3m 9m Los dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales (k = 3). 30º 30º 2m 6m Entonces por el criterio 3 podemos decir que son semejantes. COLEGIO VIZCAYA SEMEJANZA 75

12 6m PARA PRACTICAR 31. Son semejantes dos triángulos que cuyos lados sean 2, 3, 4 cm y 10, 15, 20 cm? 32. Son semejantes dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual? Razona tu respuesta. 33. Son semejantes todos los triángulos cuyos ángulos midan 67º, 85º y 28º? 34. Son semejantes dos triángulos rectángulos isósceles? Razona tu respuesta. 35. Son semejantes dos triángulos isósceles que tienen igual el ángulo formado por los lados iguales? Razona tu respuesta. 36. Son semejantes dos triángulos equiláteros? Razona tu respuesta. 37. Calcula los lados desconocidos en los siguientes triángulos semejantes: 40 m a b a 5m 50 m 30 m 10 m 8m a 36 m b a 75 m 4m 5m 3m 76 SEMEJANZA COLEGIO VIZCAYA

13 PARA ENTRENAR 1. Los lados de un triángulo miden 18, 24 y 32 cm, respectivamente. Halla los lados de otro triángulo semejante sabiendo que el menor de sus lados mide 24 cm. 2. El perímetro de un triángulo es 18 cm y los lados de un triángulo semejante a éste miden 9'7, 12'4 y 13'9 cm, respectivamente. Halla las longitudes de los lados del primer triángulo. 3. El perímetro de un triángulo rectángulo es 36 cm y los lados de un triángulo semejante a él miden 15, 20 y 25 cm, respectivamente. Halla las longitudes de los lados del primer triángulo y la razón de semejanza. 4. Calcula la altura de una torre que proyecta una sombra de 18'5 m sabiendo que en ese momento un árbol de 3'5 m de altura proyecta una sobra de 0'75 m. 5. La razón de semejanza de dos polígonos es 11/3 y el perímetro del menor es 84 cm. Halla el perímetro del otro polígono. 6. Qué significa que un mapa está dibujado a escala 1: ? 7. La escala a la que está dibujado un mapa es 1: Cuál será la distancia real en kilómetros que corresponde a una distancia de 3 cm de ese mapa? COLEGIO VIZCAYA SEMEJANZA 77

14 8. Ana quiere dibujar en una hoja de papel que mide 297 mm de alto por 210 mm de ancho un mapa de Europa a escala 1: Podrá representar en dicho mapa la distancia que separa dos ciudades que en la realidad distan entre sí 250 km? 9. Cuál es la escala a la que está construido un mapa sabiendo que 50 km en la realidad vienen representados por 2 cm en el mapa? 10. Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo que mide 40º. Son semejantes? 11. Un triángulo tiene por lados 6, 8 y 10 cm. Se amplia en una fotocopiadora de modo que el lado correspondiente al pequeño en la copia mide 24 cm. a) Cuál es la ampliación? b) Halla los lados restantes. 12. Cuánto miden los segmentos a y b? a 4cm b 3cm 3cm 2cm 13. Calcula la ampliación necesaria en una fotocopiadora para pasar del primer triángulo al segundo: a) 3 cm, 4 cm, 5 cm 6 cm, 8 cm, 10 cm b) 5 cm, 12 cm, 13 cm 15 cm, 36 cm, 39 cm c) 5 cm, 6 cm, 8 cm 7'5 cm, 9 cm, 12 cm d) 5 cm, 6 cm, 7 cm 20 cm, 24 cm, 28 cm 14. Calcula la reducción necesaria en una fotocopiadora para pasar del primer triángulo al segundo: a) 6 cm, 8 cm, 10 cm 3 cm, 4 cm, 5 cm b) 15 cm, 36 cm, 40 cm 6 cm, 14'4 cm, 16 cm c) 7 cm, 9 cm, 12 cm 4'9 cm, 6'3 cm, 8'4 cm d) 20 cm, 24 cm, 28 cm 5 cm, 6 cm, 7 cm 78 SEMEJANZA COLEGIO VIZCAYA

15 15. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m, respectivamente. 16. Calcula los lados desconocidos. 3cm 4cm 2cm x 3m y 2m 7m 4 5 cm x y 9m 17. Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 49 m en el momento en que una estaca de 2 m arroja una sombra de 1'25 m. 18. La sombra de cuatro árboles medían, a las cinco de la tarde, 12 m, 8 m, 6 m y 4 m, respectivamente. El árbol pequeño mide 2'5 m. Cuánto miden los demás árboles? 19. En un rectángulo su base mide 6 cm y su altura 4 cm. Determina las longitudes de los lados de otro rectángulo semejante y mayor que el anterior, sabiendo que la razón entre ambos es 3/ La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes es 1/3. Calcula las longitudes de los lados de uno de ellos, sabiendo que las del mayor miden respectivamente 9 cm, 12 cm y 18 cm. 21. Las longitudes de la base y la altura de un rectángulo son respectivamente 8 cm y 6 cm. Calcula la base y altura de otro, mayor y semejante a él. Sabiendo que la razón entre sus perímetros es 3/2. COLEGIO VIZCAYA SEMEJANZA 79

16 22. Las siguientes parejas de triángulos son semejantes. Calcula la razón de semejanza y los valores de los lados desconocidos. a) 3, 4, 5 6, x, y b) 6, 6, 6 x, y, 24 c) x, 5, 8 12, y, En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de 3 cm. Halla la escala sabiendo que ambas ciudades están a una distancia de 66 km. 24. La superficie real de una casa es, de forma rectangular, de 12 m de largo y 10 m de ancho. Qué medidas tendrá en un plano que está realizado a escala 1:50? 25. En el plano de una casa, el salón mide 2 cm de ancho y 3 cm de largo. Como el plano está realizado a una escala 1: 200, cuáles serán las dimensiones del salón? 26. Determina la escala a la que se ha hecho el plano de una ciudad si 100 m de la realidad se representan por 1 cm en el plano. 27. Un pino, en un momento del día, proyecta una sombra de 12 m. En ese mismo momento, otro pino de 1'60 m proyecta una sombra de 80 cm. Calcula su altura. 28. Calcula la altura del árbol sabiendo que la distancia de la niña al árbol es de 4 2 m. 1 5 m 6m 80 SEMEJANZA COLEGIO VIZCAYA

17 29. Determina la superficie del piso representado en el siguiente plano, y calcula su precio si en el barrio donde está ubicado el metro cuadrado cuesta m 30. El siguiente plano representa un piso de tres habitaciones. Teniendo en cuenta su escala calcula: a) El largo y el ancho real de todas las habitaciones. b) El coste de colocar parquet en el salón a 17'5. c) La superficie real que ocupan los baños. d) Una expresión gráfica para la escala. 1 : Cuánto mide la sombra x que produce el objeto que está junto a la farola? 6m 3m 2m x 32. Cuánto miden los tramos x, y, z de la escalera? 8dm 7dm 9dm 5dm x y z 6dm COLEGIO VIZCAYA SEMEJANZA 81

18 33. Cuánto mide el travesaño x de la escalera? 150 cm x 50 cm 90 cm 34. Cuánto mide la altura h que alcanza la escalera? h 3 m 1 5 m 2m 35. La altura del niño con los zancos es 1'85 m Cuánto mide la altura del árbol? 6 2 m 13 3 m 36. Calcula la longitud del peldaño x. 5 m 15 m x 3m 37. Cuánto miden los ángulos de los triángulos rectángulos isósceles? Tenlo en cuenta para hallar la altura de la torre de la iglesia. 37 m 45º 82 SEMEJANZA COLEGIO VIZCAYA

19 38. El gato de Leticia se ha subido a un poste. Leticia puede ver a su gato reflejado en un charco. Toma las medidas que se indican en el dibujo y mide la altura de sus ojos: 144 cm. A qué altura se encuentra el gato? 1 6 m 4 m 39. Sabiendo que Amelia tiene una altura de 162 cm, halla la altura de la farola. 1 m 1 5 m 40. Halla la altura del árbol grande: 1 6 m 17 2 m 12 m 22 m 41. Calcula lo que miden los tramos x e y de las escaleras. x 30 cm 60 cm 50 cm x 80 cm 40 cm 40 cm y 30 cm COLEGIO VIZCAYA SEMEJANZA 83

20 42. De esta unidad tienes que saber definir y poner un ejemplo de: 1) Figuras semejantes y razón de semejanza. 2) Escala. 3) Teorema de Thales. 4) Triángulos en posición de Thales. 5) Propiedad de semejanza entre triángulos. 6) Criterios de semejanza entre triángulos. 84 SEMEJANZA COLEGIO VIZCAYA

21 GEOMETRÍA PLANA Teorema de Pitágoras Áreas de figurasplanas Resolución de problemas combinando Pitágoras y el cálculo de áreas GEOMETRÍA ESPACIAL CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS CUERPOS DE REVOLUCIÓN Poliedros regulares Prismas Pirámides Cilindro Cono Clases y Fórmula de Euler Elementos y clasificación Elementos Paralelepípedos Ortoedro Cubo Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos y aplicación a resolución de problemas COLEGIO VIZCAYA ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 85

22 PARA EMPEZAR 1. Calcula el área de un círculo de 9 cm de diámetro y la longitud de su circunferencia correspondiente. 2. La base de un rectángulo es doble que la altura y su perímetro es de 21 cm. Averigua su área. 3. Calcula el área de un triángulo cuya base mide 18 cm y su altura 2/3 de la base. 4. El área de un rombo es 24 cm 2. Si una de sus diagonales mide 8 cm, cuál será su perímetro? PARA RECORDAR 1. TEOREMA DE PITÁGORAS. Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. b h h =a +b a Recuerda que para calcular la hipotenusa o un cateto de un triángulo rectángulo solemos escribir el Teorema de Pitágoras de las siguientes formas: Para calcular la hipotenusa: Para calcular un cateto: 2 2 h= a + b 2 2 a= h - b 86 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS COLEGIO VIZCAYA

23 2. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS. POLÍGONO ÁREA h A = b h rectángulo b l A = l l=l cuadrado 2 h A = b h paralelogramo b h b bh A triángulo = 2 h b B ( B+b) h A trapecio = 2 D d D d A rombo = 2 a Pa A polígono regular = 2 r A = π r círculo 2 COLEGIO VIZCAYA ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 87

24 PARA PRACTICAR 5. Calcula la longitud de de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 20 y 21 cm respectivamente. Calcula el perímetro y el área del triángulo. 6. Calcula el valor de un cateto de un triángulo rectángulo sabiendo que el otro cateto mide 27 cm y que la hipotenusa mide 45 cm. Calcula el perímetro y el área del triángulo. 7. Calcula la diagonal de un cuadrado de 10 cm de lado. Calcula su perímetro y su área. 8. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 12 cm de lado. Calcula su perímetro y su área. 9. Calcula el lado oblicuo de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 40 y 28 cm, y su altura es de 16 cm. Calcula su perímetro y su área. 10. Calcula la altura de un trapecio isósceles cuyas bases miden 12 y 24 cm, y el lado oblicuo mide 10 cm. Calcula su perímetro y su área. 11. Calcula la base de un triángulo isósceles si los lados iguales miden 25 cm y la altura 20 cm. Calcula su perímetro y su área. 88 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS COLEGIO VIZCAYA

25 12. Los lados de un triángulo isósceles miden 15, 15 y 18 cm. Calcula la altura, el perímetro y el área del triángulo. 13. El lado de un triángulo equilátero mide 10 m. Calcula su altura, perímetro y área. 14. Las bases de un trapecio isósceles miden 12 y 28 cm, y su altura 6 cm. Calcula su perímetro y su área. 15. Dibuja un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio y señala en ella su centro, un radio y la apotema. Cuánto mide el radio del hexágono? Y su apotema? 16. Cuál es el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 25 cm de diámetro? Calcula su apotema y su área. 17. Calcula la apotema y el área de un hexágono regular cuyo perímetro mide 270 cm. 18. Calcula el perímetro y el área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 39 cm y su altura es 36 cm. 19. Calcula el perímetro y el área de un triángulo equilátero de 15 cm de lado. COLEGIO VIZCAYA ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 89

26 20. Halla el perímetro y el área de un rectángulo sabiendo que su base mide 20 cm y que su diagonal mide 25 cm. 21. Una torre de 20 m de altura proyecta una sombra de 16 m. Cuál es la distancia desde el punto más alto de la torre hasta el extremo de la sombra? 22. Calcula el perímetro y el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 16 cm. 23. Calcula el área de un hexágono regular de 20 cm de lado. 24. Puede ser un triángulo de dimensiones 3, 5 y 8 cm un triángulo rectángulo? 25. Las diagonales de un rombo miden 12 y 9 cm. Halla su perímetro y su área. 26. En un trapecio rectángulo sus lados paralelos miden 10 y 7 cm, y el lado oblicuo 5. Calcula su perímetro y su área. 27. Calcula el área de un hexágono regular de 48 cm de perímetro. 90 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS COLEGIO VIZCAYA

27 PARA RECORDAR 3. CUERPOS GEOMÉTRICOS. Cuerpo geométrico: es aquel que ocupa un espacio y, por tanto, tiene tres dimensiones: largo, ancho y alto. Solemos llamar cuerpo geométrico al que está limitado por caras planas o curvas. caras planas caras curvas caras planas y curvas Poliedro: es un cuerpo geométrico limitado por caras planas, formadas por polígonos. Los principales poliedros son: los Poliedros Regulares, los Prismas y las Pirámides. POLIEDROS REGULARES. Poliedro Regular: es un poliedro que tiene todas sus caras formadas por polígonos regulares iguales y tiene todos sus ángulos iguales. Sólo existen 5 poliedros regulares, que son los siguientes: TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO Fórmula de Euler: En todo poliedro, el número de caras más el de vértices es igual al número de aristas más dos. C + V = A + 2 Averigua una fórmula para calcular el número de aristas de un poliedro y completa la tabla: Poliedro regular Nº de caras Polígono de las caras Nº de vértices Nº de aristas Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro COLEGIO VIZCAYA ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 91

28 LOS PRISMAS. Prisma: es un poliedro que tiene dos caras paralelas llamadas bases y varias caras laterales formadas por paralelogramos. Elementos de un prisma: - Vértices: son los puntos donde concurren tres aristas. - Bases: son dos caras iguales y paralelas. - Caras: son los paralelogramos que lo limitan lateralmente. - Aristas laterales: formadas por la intersección de las caras laterales entre sí. - Aristas básicas: son las que se originan por la intersección de las bases con las caras laterales. - Altura: la altura de un prisma es la distancia entre sus bases. Clases de prismas: - Rectos: Si las aristas laterales son perpendiculares a las bases. - Oblicuos: Si las caras laterales no son perpendiculares a las bases. - Regulares: Son los prismas rectos cuyas bases son polígonos regulares. - Irregulares: Si es un prisma no recto o sus bases no son polígonos regulares. - Según el polígono de sus bases: triangulares, cuadrangulares, pentagonales,... Vamos a ver un tipo especial de prismas cuyo estudio va a resultar de mucho interés porque tienen formas geométricas muy familiares para todos como son un dado, una caja de galletas, una habitación, etc. Todos ellos son paralelepípedos y en concreto cubos (las caras son cuadrados) y ortoedros (las caras son cuadrados y rectángulos). Un paralelepípedo es un prisma cuadrangular cuyas bases y caras laterales están formadas por paralelogramos y sus caras son paralelas dos a dos. (Pueden ser rectos y oblicuos) Un ortoedro es un paralelepípedo recto cuyas caras son todas paralelas dos a dos y perpendiculares a las bases. Dimensiones de un ortoedro: se llaman dimensiones de un ortoedro a la medida de las tres aristas que concurren en un vértice y representan el largo, el ancho y el alto. 92 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS COLEGIO VIZCAYA

29 Diagonal de un ortoedro: segmento que une dos vértices no situados en la misma cara. Se calcula: D = a + b + c D = a + b + c b c a D d Demostración: Para calcular la diagonal del ortoedro D primero vamos a calcular la diagonal de la base d ayudándonos del Teorema de Pitágoras y tomando el triángulo rectángulo de lados a, b y d: b d d = a + b a Ahora calculamos la diagonal del ortoedro tomando el triángulo rectángulo de lados c, d y D: c D D = d + c b a d Finalmente, basta con unir las dos expresiones: d = a + b D = d + c ( ) D = d + c = a + b + c = a + b + c Ejemplo: Calcula la diagonal de un ortoedro de dimensiones 3, 4 y 12 cm D = a + b + c = = = 169 = 13 cm PARA PRACTICAR 28. Calcula la diagonal de la base y la diagonal del ortoedro de dimensiones: a) 3, 4, y 12 cm. b) 8, 9 y 12 cm. c) 24, 8 y 6 cm. d) 9, 12 y 20 cm. COLEGIO VIZCAYA ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 93

30 29. Qué prisma es un poliedro regular? Cuántas caras, vértices y aristas tiene? Cuántas diagonales tiene? 30. Dibuja un prisma hexagonal y cuenta el número de caras, vértices y aristas. 31. Un prisma cuya base sea un polígono de 21 lados, puede tener 63 aristas? 32. Calcula la longitud total de todas las aristas de un prisma octogonal regular si cada arista básica mide 15 cm y la arista lateral, 25 cm. 33. Un prisma regular, puede tener por base un triángulo rectángulo? y un rectángulo? y un rombo? y un cuadrado? 34. Cómo se llama el paralelepípedo cuyas caras son cuadrados? y rectángulos? 35. Verdadero o falso. Razona tu respuesta: a) Todo prisma cuadrangular es un paralelepípedo. b) Todo paralelepípedo es un prisma cuadrangular. c) Todo paralelepípedo es un cubo o un ortoedro. 36. Calcula la diagonal de una cara y la diagonal de un cubo de arista: a) 5 m. b) 10 m. c) 4 m. 37. Halla la diagonal de un ortoedro, sabiendo que sus dimensiones son: a) 3, 4, y 12 m. b) 1, 2 y 3 cm. c) 6, 8 y 10 m. 94 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS COLEGIO VIZCAYA

31 PARA RECORDAR LAS PIRÁMIDES. Una pirámide es un cuerpo geométrico formado por una base poligonal y caras laterales triangulares que coinciden en un punto llamado vértice o cúspide. Elementos de una pirámide: - Base: polígono sobre el que se apoya la pirámide. - Vértice o cúspide: es el punto donde coinciden todas las caras laterales. - Caras laterales: son cada uno de los triángulos que coinciden con los demás en el vértice. - Aristas básicas: son las formadas por la intersección de las caras laterales con la base. - Aristas laterales: son las formadas por la intersección de dos caras laterales. - Altura de la pirámide: es la perpendicular trazada desde el vértice de la pirámide hasta la base. Pirámide regular: si la base está formada por un polígono regular y todos los triángulos de las caras laterales son iguales. Si una pirámide es regular además hay otros dos elementos: - Apotema de la pirámide: es la altura de los triángulos que forman las caras. - Apotema de la base: es el segmento que une el centro del polígono de la base con el punto medio de un lado. Triángulos rectángulos en las pirámides: arista lateral arista lateral ap pirámide altura ap pirámide altura radio ap base arista básica 2 Ejemplo: Una pirámide cuadrangular regular tiene 8 cm de arista básica y 10 cm de arista lateral. Calcula: a) La apotema de la base: ap base = 8 : 2 = 4 cm b) La apotema de la pirámide: 2 arista básica 2 2 ap pirámide = ( arista lateral) - = 10-4 = = 84 = 9'16 cm 2 c) La altura: ( pirámide) ( base ) altura= ap - ap = 9'16-4 = = 68 =8'24 cm 2 COLEGIO VIZCAYA ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 95

32 PARA RECORDAR 38. Qué pirámide es un poliedro regular? Cuántas caras, vértices y aristas tiene? Cuántas diagonales tiene? 39. En una pirámide hexagonal regular, la arista básica mide 6 cm y la altura 10 cm. Calcula la arista lateral. 40. En una pirámide cuadrangular regular, la arista básica mide 12 cm y la arista lateral 18 cm. Calcula: a) La apotema de la base. b) La apotema de la pirámide. c) La altura de la pirámide. d) El área de la base. 41. La arista básica y la arista lateral de una pirámide cuadrangular regular miden 14 y 24 cm, respectivamente. Contesta a los mismos apartados que en el ejercicio anterior. 42. Calcula en una pirámide hexagonal regular de 12 cm de arista básica y 20 cm de arista lateral: a) La apotema de la base. b) La apotema de la pirámide. c) La altura. d) El área lateral. e) El volumen. 96 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS COLEGIO VIZCAYA

33 PARA APRENDER CUERPOS DE REVOLUCIÓN. Habíamos visto que un cuerpo geométrico era aquel que ocupaba un espacio y que estaba limitado por caras planas o curvas y que los poliedros tenían todas sus caras planas. Ahora vamos a ver otro tipo de cuerpos geométricos que se caracterizan por estar formados por superficies curvas o por la combinación de superficies curvas y planas. Cilindro: cuerpo limitado por dos círculos iguales y paralelos y una superficie cilíndrica curva. Una superficie cilíndrica se origina al girar un segmento, llamado generatriz, alrededor de un eje paralelo a él. Altura del cilindro: distancia entre las dos bases. g superficie cilíndrica eje Cono: cuerpo limitado por un círculo (base) y una superficie cónica curva. Una superficie cónica se origina al girar un segmento, llamado generatriz, alrededor de un eje con el que tiene un punto en común llamado vértice. Altura del cilindro: distancia del vértice a la base perpendicularmente. g superficie cónica eje COLEGIO VIZCAYA ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 97

34 PARA PRACTICAR 43. Averigua la altura de los siguientes conos: a) 3 cm de radio y 5 cm de generatriz. b) 8 cm de radio y 10 cm de generatriz. 44. Averigua la generatriz de los siguientes conos: a) 5 cm de radio y 12 cm de altura. b) 9 cm de radio y 15 cm de altura. PARA RECORDAR Áreas y volúmenes de poliedros: Resuelve las siguientes actividades: 1. Calcula el área de la base, área lateral, área total y volumen de un cubo de 3 cm de lado. 2. Calcula el área de la base, área lateral, área total y volumen de un ortoedro de dimensiones 3, 4 y 5 m. 3. Calcula el área de la base, área lateral, área total y volumen de un prisma hexagonal regular de 8 cm de arista básica y 10 cm de altura. 4. Calcula el área de la base, área lateral, área total y volumen de una pirámide cuadrangular regular de 6 cm de arista básica y 14 cm de arista lateral. 98 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS COLEGIO VIZCAYA

35 PARA RECORDAR Áreas y volúmenes de cuerpos de revolución: CILINDRO h r A = π r base A = L h =2 π r h lateral A = 2 A +A 2 circunferencia total b l V = A h b CONO h r g A = π r base A = π r g lateral Ab h V = 3 2 A = A +A total b l Ejemplo: 1. Calcula el área lateral, total y volumen de un cilindro de 3 cm de radio y 10 cm de altura. A = π r = 3 3'14 = 28'26 cm b cm 3cm A = 2 π r h = 2 3' = 188'4 cm l A = 2 A + A = 2 28' '4 = 244'92 cm t b l 2 2 V = A h = 28'26 10 = 282'6 cm b 3 2. Vamos a calcular el área lateral y el área total de un cono de 2 cm de radio y 10 cm de altura g = r +h = = 10'19 cm A = π r = 2 3'14 = 12'56 cm b cm g A = π r g = 3' '19 = 63'99 cm l 2 2cm A = A + A = 12' '99 = 76'55 cm t b l 2 Ab h 12'56 10 V = = = 41'86 cm COLEGIO VIZCAYA ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 99

36 PARA PRACTICAR 45. Dado un cubo de 9 cm de arista. Calcula: a) Las diagonales de una de las caras. b) La diagonal del cubo. c) La longitud de todas las aristas. d) El área total. e) El volumen. 46. Las dimensiones de un ortoedro son 6, 8 y 20 cm. Calcula: a) Las diagonales de cada una de las caras. b) La diagonal del ortoedro. c) El área de la base. d) El área total. e) El volumen. 47. Halla el área lateral, el área total y el volumen de un prisma hexagonal regular de 22 y 32 cm de aristas básicas y laterales, respectivamente. 48. En una pirámide cuadrangular regular las aristas básicas y laterales miden 10 y 18 cm, respectivamente. Calcula: a) La apotema de la base. b) La apotema de la pirámide. c) La altura de la pirámide. d) El área de la base. e) El área lateral. f) El área total. g) El volumen. 100 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS COLEGIO VIZCAYA

37 PARA ENTRENAR 1. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de los cilindros que tienen: a) 10 cm de radio y 15 cm de generatriz. b) 12 cm de radio y 16 cm de altura. 2. Cuánto mide el apotema de un cuadrado de 10 cm de arista? Y de un triángulo equilátero? Y de un hexágono regular? 3. Calcula en tu cuaderno el área lateral, total y el volumen de los siguientes prismas regulares: a) Es triangular y las aristas básicas y laterales miden 8 y 12 m. b) Es cuadrangular y las aristas básicas y laterales miden 6 y 12 m. c) Es hexagonal y las aristas básicas y laterales miden 10 y 15 m. d) Es triangular y las aristas básicas y laterales miden 6 y 15 m. e) Es hexagonal y las aristas básicas y laterales miden 18 y 30 m. 4. Calcula en tu cuaderno el área lateral, el total y el volumen de las pirámides regulares: a) Es triangular y las aristas básicas y laterales miden 10 y 15 m. b) Es triangular y las aristas básicas y laterales miden 20 y 40 m. c) Es cuadrangular y las aristas básicas y laterales miden 12 y 15 m. d) Es cuadrangular y las aristas básicas y laterales miden 20 y 25 m. e) Es hexagonal y las aristas básicas y laterales miden 18 y 30 m. f) Es hexagonal y las aristas básicas y laterales miden 24 y 40 m. 5. Calcula en tu cuaderno el área lateral, total y el volumen de los siguientes cilindros que tienen: a) 10 m de radio y 15 m generatriz. b) 12 m de radio y 25 m generatriz. c) 16 m de radio y 20 m generatriz. d) 20 m de radio y 30 m generatriz. 6. Calcula en tu cuaderno el área total y el volumen de los conos que tienen: a) 8 m de radio y 17 m altura. b) 6 m de radio y 8 m altura. c) 15 m de radio y 20 m altura. d) 12 m de radio y 25 m generatriz. e) 15 m de radio y 20 m generatriz. f) 4 m de radio y 5 m generatriz. COLEGIO VIZCAYA ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 101

38 7. Verdadero o falso. Razona tu respuesta: a) Todos los paralelepípedos de base rectangular son ortoedros. b) Todos los cubos son ortoedros. c) Todos los prismas tienen un número par de aristas. d) Todas las pirámides tienen un número par de aristas. e) Un prisma que tenga por base un polígono de 15 lados tiene 46 aristas. f) Una pirámide que tenga por base un polígono de 13 lados tiene 26 aristas. 8. Halla la longitud total de todas las aristas de un dodecaedro regular si una de ellas mide 9 cm. 9. Qué son las caras de un dodecaedro regular? Cuántas caras, aristas y vértices tiene? 10. Cuántas caras, aristas vértices tiene un octaedro regular? 11. Cuál es el poliedro regular que es pirámide a la vez? 12. Las dimensiones de un ortoedro son tres números enteros consecutivos que suman 24 cm. Calcula la diagonal del ortoedro, el área total y el volumen. 13. Calcula el área lateral y total y el volumen de un prisma cuadrangular regular de 12 m de arista básica y 17 m de arista lateral. 14. Calcula la apotema y el área lateral de una pirámide cuadrangular regular sabiendo que el perímetro de la base es 40 cm y la altura 12 cm. 102 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS COLEGIO VIZCAYA

39 15. La arista básica de una pirámide cuadrangular regular mide 10 cm y la lateral, 20 cm. Calcula: a) La apotema de la base y de la pirámide. b) La altura de la pirámide. c) El área lateral y total. d) El volumen. 16. En una pirámide triangular regular, la apotema de la base mide 6 cm y la de la pirámide 10 cm. Calcula la altura de la pirámide y el área lateral. 17. La arista básica de una pirámide cuadrangular regular mide 5 cm y la lateral mide 6 cm. Calcula el área lateral, total y el volumen. 18. Calcula el área lateral y total y el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 3 m de arista básica y 8 m de apotema de la pirámide. 19. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de 12 cm de radio y 16 cm de altura. 20. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono de 20 cm de diámetro y 18 cm de generatriz. 21. Halla el volumen de un cono cuyo radio y altura miden 6 cm. COLEGIO VIZCAYA ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 103

40 22. Cuál es la arista de un cubo cuya área total mide 50'46 cm 2? 23. Calcula el área lateral y total y el volumen de un prisma cuadrangular regular de 12 m de arista básica y 17 m de arista lateral. 24. Halla el volumen de un prisma triangular regular de 10 y 15 cm de arista básica y lateral, respectivamente. 25. Calcula el área lateral y total de un tetraedro de 15 cm de arista. 26. Se ha construido un prisma recto de base rectangular con 60 cubitos de madera de un centímetro de arista. Cuál es la altura del prisma, sabiendo que el perímetro de la base mide 14 cm? 27. Halla el volumen de un cilindro cuya circunferencia básica mide 6'28 m y su altura es doble que el diámetro de la base. 28. Calcula el volumen del cono engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor del cateto menor, que mide 25 cm, sabiendo que el otro cateto mide 36 cm. 29. Halla el área lateral y total de un prisma hexagonal regular cuyas aristas laterales y básicas miden 10 y 15 cm. 104 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS COLEGIO VIZCAYA

41 30. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular sabiendo que el lado de la base mide 4 m y que la arista lateral es el doble que la de la base. 31. Calcula el volumen de una pirámide triangular regular de 2 m de lado y 5 m de apotema. 32. Calcula el volumen de una pirámide regular cuya arista lateral mide 25 cm y su base es un cuadrado de 625 cm 2 de área. 33. Halla en tu cuaderno el área lateral, el área total y el volumen de los siguientes conos de revolución: a) 5 m de radio y 13 m altura. b) 12 m de radio y 13 m generatriz. c) 7 m de radio y 24 m altura. d) 18 m de diámetro y 15 m generatriz. e) 12 m de radio y 20 m generatriz. f) 20 m de generatriz y 18 m altura. g) 8 m de radio y 10 m generatriz. h) 15 m de altura y 17 m generatriz. i) 24 m de radio y 30 m generatriz. j) 40 m de generatriz y 32 m altura. 34. Halla el área lateral y el total de un cilindro cuya altura mide 5 m y su base tiene un perímetro de 9 m. 35. Halla el volumen de los cubos que tienen: a) 8 cm de arista. b) 54 cm 2 de área total. c) 60 cm de longitud total de todas sus aristas. COLEGIO VIZCAYA ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 105

42 36. El aula de los alumnos de 2º de ESO del Colegio Vizcaya tiene 10'5 m de largo, 5'2 metros de ancho y 3 m de altura. Calcula: a) La diagonal del suelo. b) La diagonal de la clase. c) El área del suelo. d) El área total del aula. e) El volumen del aula. 37. Halla en tu cuaderno el área total y el volumen de los prismas regulares: a) Es triangular y las aristas básicas y laterales miden 11 y 12 m. b) Es cuadrangular y las aristas básicas y laterales miden 7 y 9 m. c) Es hexagonal y las aristas básicas y laterales miden 6 y 10 m. 38. Se quiere cubrir con azulejos el fondo y las paredes de un depósito que tiene forma de ortoedro, cuyas dimensiones son: 3 m de largo, 2 m de ancho y 60 cm de alto. Cuántos azulejos cuadrados de 20 cm de lado necesitará? 39. Se quiere pintar las caras laterales de un prisma hexagonal regular cuya arista básica mide 3 m y su arista lateral, 5m. Cuántos kilogramos de pintura serán necesarios si con uno se pintan 6 m 2? 40. Qué capacidad tiene un depósito de forma ortogonal si sus dimensiones son 12, 10 y 4 m? 41. Cuántos litros de agua contiene un depósito de forma ortogonal si sus dimensiones son 10, 8 y 4 m? 42. Cuántos cubos componen esta figura? Cuántos no ves? 106 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS COLEGIO VIZCAYA

43 43. El área de la base de un prisma es de 64 cm 2 y el volumen de 960 cm 3. Cuáles son las longitudes de las aristas básicas y la de las laterales? 44. Cuál es el área de chapa necesaria para construir un prisma hexagonal regular de 15 cm de arista básica y 18 cm de lateral? 45. Halla el volumen del cono engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor del cateto menor, que mide 15 cm, sabiendo que el otro mide 34 cm. 46. Una pirámide tiene por base un cuadrado de 1 m de lado y las caras laterales son triángulos equiláteros. Calcula el área total de la pirámide. 47. Las dimensiones de una caja de cartón son 25 cm, 40 cm y 20 cm. Se puede guardar en ella una varilla de 50 cm de largo? 48. Se han de impermeabilizar las paredes de una cúpula de forma cónica de 8 m de diámetro y 5 m de altura. Si cuesta 16 impermeabilizar 1 m 2, cuánto costará toda la obra? 49. Se desea forrar de tela asfáltica la parte cónica de un torreón de 10 m de diámetro y 7 m de altura. Cuánto costará la tela si el metro cuadrado sale a 90? 50. Las paredes de un pozo de 12 m de profundidad han sido cementadas. Calculo lo que habrá que pagar por la obra si cementar un metro cuadrado cuesta 42. COLEGIO VIZCAYA ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 107

44 51. De esta unidad tienes que saber definir y poner un ejemplo de: 1) Teorema de Pitágoras. 2) Cuerpo geométrico. 3) Poliedro. Poliedro regular. 4) Fórmula de Euler. 5) Prisma. Elementos y clases. 6) Paralelepípedo. 7) Ortoedro. Dimensiones. 8) Diagonal de un ortoedro. Demostración. 9) Pirámide. Elementos. 10) Pirámide regular. Apotema de la pirámide. 11) Cilindro y superfici cilíndrica. 12) Cono y superficie cónica. 108 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS COLEGIO VIZCAYA