TEMA 1. MAGNITUDES FÍSICAS

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1 TEMA 1. MAGNITUDES FÍSICAS 1. Definición de magnitd física 2. Magnitdes físicas fndamentales deriadas. Sistema Internacional de Unidades (SI) 3. Cambio de nidades: Método de las fracciones nitarias 4. Magnitdes físicas escalares ectoriales 5. Operaciones geométricas con magnitdes ectoriales: 5.1 Sma geométrica de ectores. 5.2 Resta geométrica de ectores. 5.3 Definición geométrica de prodcto de n escalar por n ector. 5.4 Definición geométrica del prodcto escalar de dos ectores. 6. Coordenadas cartesianas o componentes de n ector: expresión analítica de n ector. 7. Operaciones analíticas con magnitdes ectoriales: 7.1 Sma analítica de ectores. 7.2 Resta analítica de ectores. 7.3 Definición analítica de prodcto de n escalar por n ector. 7.4 Definición analítica del prodcto escalar de dos ectores. SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 1

2 1. DEFINICIÓN DE MAGNITUD FÍSICA Una magnitd física es na propiedad de los cerpos qe se pede medir, es decir, qe se pede expresar mediante na cantidad s correspondiente nidad. SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 2

3 2. MAGNITUDES FÍSICAS FUNDAMENTALES Y DERIVADAS. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) Una primera clasificación de las magnitdes físicas es: - Magnitdes físicas fndamentales - Magnitdes físicas deriadas. Las magnitdes físicas fndamentales son aqellas qe se definen sin hacer so de ningna otra magnitd las magnitdes físicas deriadas tilizan para s definición a na o a arias de las primeras. La elección de las magnitdes fndamentales es arbitraria pero, el número de magnitdes fndamentales elegidas debe ser el mínimo qe se necesite para definir coherentemente con precisión a todas las demás (por esto se llaman deriadas). Tanto las magnitdes físicas fndamentales como las deriadas se agrpan en sistemas de nidades. En la tabla sigiente se recogen las magnitdes fndamentales ss nidades en el Sistema Internacional de Unidades (SI): MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y SUS UNIDADES EN EL SI MAGNITUD UNIDAD DE MEDIDA SÍMBOLO Longitd Masa Tiempo Temperatra Intensidad de corriente eléctrica Intensidad lminosa Cantidad de materia metro kilogramo segndo grado Kelin amperio candela mol m Kg s K A cd mol UNIDADES COMPLEMENTARIAS DEL SI Ánglo plano Ánglo sólido radián estereorradián Calqier otra magnitd física qe no esté recogida en la tabla anterior será considerada como na magnitd deriada. En la tabla sigiente se recogen algnas de las magnitdes deriadas más sales para los almnos de este niel así como ss nidades en el SI de nidades. Tú deberás ir completando la tabla a medida qe aan apareciendo neas magnitdes físicas deriadas ss correspondientes nidades. ALGUNAS MAGNITUDES DERIVADAS Y SUS UNIDADES EN EL SI MAGNITUD UNIDAD DE MEDIDA SÍMBOLO Sperficie Volmen densidad Velocidad Aceleración Frecencia Periodo Velocidad anglar Ferza Coeficiente de rozamiento Cantidad de moimiento Metro cadrado Metro cúbico Kilogramo entre metro cúbico Metro entre segndo Metro entre segndo al cadrado m 2 m 3 Kg/m 3 = Kg.m -3 m/s = m.s -1 m/s 2 = m.s -2 rad sr SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 3

4 (o momento lineal) Trabajo Potencia Energía Presión Diferencia de Potencial eléctrico (llamado también oltaje o tensión eléctrica) Resistencia eléctrica SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 4

5 3. CAMBIO DE UNIDADES: MÉTODO DE LAS FRACCIONES UNITARIAS Es eidente qe la medida de calqier magnitd física, en general, se pede expresar en múltiples nidades como se mestra en la tabla sigiente: MAGNITUD Longitd Masa Tiempo Temperatra Int. de c. eléctrica Sperficie Volmen densidad Velocidad Aceleración DIFERENTES UNIDADES DE ALGUNAS MAGNITUDES FÍSICAS UNIDADES DE MEDIDA m, dm, cm, mm, dam, hm, Km, arda, pie, año lz, amstrong fermi, g, dg, cg, mg, dag, hg, Kg, tonelada, onza, libra, s, ms, minto, h, día, año, qinqenio o lstro, década, siglo, ºC (grado Centígrado o Celsis), ºF (grado Fahrenheit), K (grado Kelin), A ss múltiplos sbmúltiplos dm 2, cm 2, mm 2, m 2, dam 2, hm 2, Km 2, dm 3 = L, cm 3, mm 3, m 3, dam 3, hm 3, Km 3, Kg/m 3, g/cm 3, g/dm 3, Kg/L, g/ml, m/s, Km/h, cm/s, ndo, m/s 2,.. Cando tenemos a na magnitd física medida en na determinada nidad qeremos expresarla en otra nidad eqialente el método más recomendable es el llamado método de las fracciones nitarias. Este método no es álido para los cambios en las medidas de temperatra. Para los cambios de nidad en la temperatra tienes qe tener en centa las sigientes eqialencias: EJEMPLO 1º K = ºC ºF = 1,8.ºC + 32 Utilizando el método de las fracciones nitarias, expresa las sigientes medidas en nidades del sistema internacional ( en notación científica los resltados nméricos): a) cm b) 5 dm c) 0,0004 mm d) 400 cm 2 e) 1 Km 2 f) 500 dm 3 g) 200 cm 3 h) 2 hm 3 i) 4000 L j) 24 h h) 32 Km/h k) 1200 m/min l) 2 g/cm 3 m) 1,5 kg/dm 3 n) 3 Kg/L EJEMPLO 2º Utilizando el método de las fracciones nitarias, expresa las sigientes medidas en las nidades qe se indican ( en notación científica): a) 0,06 dam a cm b) 250 dm a mm c) 0,5 millas a m d) 2 m 2 a cm 2 e) 0,00125 dm 2 a m 2 f) cm 2 a m 2 g) 550 L a ml h) 250 ml a cm 3 i) 0,23 m 3 a L j) 1 día a s k) s a h l) 0,25 años a min m) 90 Km/h a m/s n) 30 m/s a Km/h o) 1650 Kg/m 3 a g/cm 3 p) 0,5 g/cm 3 a Kg/m 3 q) Kg/m 3 a Kg/L r) 2,5 g/cm 3 a g/ml SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 5

6 4. MAGNITUDES FÍSICAS ESCALARES Y MAGNITUDES FÍSICAS VECTORIALES Desde otro pnto de ista las magnitdes físicas se clasifican en: - Magnitdes físicas escalares. - Magnitdes físicas ectoriales Una magnitd física se dice qe es escalar cando qeda perfectamente determinada mediante na cantidad s correspondiente nidad. Este es el caso de la masa, temperatra, sperficie, olmen, densidad, trabajo, etc. Sin embargo para qe na magnitd física ectorial qede perfectamente determinada no basta con dar la cantidad s nidad, es necesario saber la dirección el sentido (algnas eces también el pnto de aplicación). Es el caso de la posición, elocidad, aceleración, ferza, cantidad de moimiento, etc. Las magnitdes físicas ectoriales se representan gráficamente mediante na flecha, denominada VECTOR, se escribe simbólicamente con la letra qe simboliza a la magnitd física con na flecha encima. Por ejemplo el ector elocidad sería: En na magnitd física hemos de hablar de las sigientes características: DIRECCIÓN: Es la recta qe contiene al ector o qe es paralela al ector. SENTIDO: Es el extremo del ector. MÓDULO: Es el alor nmérico de la magnitd física es directamente proporcional la longitd del ector. Se representa por: El módlo de n ector SIEMPRE ES POSITIVO EJEMPLO 3º Indica la dirección sentido módlo de la magnitd física ectorial correspondiente en cada no de los casos sigientes: i) Coche qe circla a 50 Km/h hacia la derecha. j) Objeto qe es lanzado erticalmente hacia arriba a 10 m/s. k) Tren qe se acerca al andén de la estación por t derecha a 20 Km/h. l) Aceleración de la graedad terrestre. m) Objeto qe desciende a 5 m/s. n) Moto qe se acerca al paso de peatones por t izqierda a 20 m/s. o) T peso. SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 6

7 5. OPERACIONES GEOMÉTRICAS CON MAGNITUDES VECTORIALES. Para operar con magnitdes escalares basta con manejar las cantidades las nidades coherentes, pero para operar con magnitdes ectoriales no sólo ha qe tener en centa la cantidad (módlo), ha qe tener también en centa la dirección el sentido. A continación amos a aprender a realizar algnas operaciones con magnitdes ectoriales, es decir, con ectores, pero de forma geométrica (en na pregnta posterior lo aprenderemos a hacer de forma analítica). 5.1 Sma geométrica de dos ectores En la sma geométrica de dos ectores podemos encontrar diferentes sitaciones SUMA DE DOS VECTORES DE LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDO El resltado de la sma es otro ector + + qe tiene: - la misma dirección sentido qe los ectores smados - S módlo es la sma de los módlos de ambos + = + SUMA DE DOS VECTORES DE LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDOS CONTRARIOS El resltado de la sma es otro ector + + qe tiene: - la misma dirección sentido qe el maor de los ectores smados - S módlo es la resta de los módlos de ambos + = - SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 7

8 SUMA DE DOS VECTORES DE DISTINTA DIRECCIÓN (Y SENTIDO) + El resltado de la sma es otro ector + qe tiene: - la dirección sentido de la diagonal del paralelogramo qe forman los ectores smados, partiendo del origen de ambos - S módlo es la longitd de dicha diagonal SUMA DE DOS VECTORES PERPENDICULARES + En el caso particlar de qe los dos ectores qe se sman sean perpendiclares, el paralelogramo qe forman es n rectánglo (o n cadrado si son del mismo módlo) el módlo del ector resltante se obtendría aplicando el teorema de Pitágoras: + 2 = dos ectores Todas las reglas anteriores se peden resmir en na: para smar geométricamente, se sitúa no de ellos a continación del otro, se ne el origen del primero con el extremo del último: + + SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 8

9 5.2 Resta geométrica de dos ectores Para restar geométricamente dos ectores -, se le sma al primer ector el opesto del segndo se procede a realizar la sma como se ha explicado en la pregnta anterior. - = + (- ) Obsera como en este caso el ector el extremo del primero. -, es el ector qe ne el extremo del segndo con - SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 9

10 5.3 Definición geométrica del prodcto de n escalar por n ector Se llama prodcto de n escalar por n ector, al prodcto de n nº real k, por n ector. Se representa por características: k., el resltado es n neo ector qe tiene las sigientes es negatio. Dirección: la misma qe Sentido: el mismo qe., si el escalar es positio, contrario a, si el escalar Módlo: el alor absolto del escalar por el módlo de : k. k. k (K >1) k (0<K<1) k (K< -1) k (-1<K<0) SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 10

11 5.4 Definición geométrica de prodcto escalar de dos ectores. El prodcto escalar de dos ectores, qe se representa por., es n escalar qe se obtiene de mltiplicar los módlos de ambos ectores por el coseno del ánglo qe forman: lo sigiente:...cos(, ) COMENTARIOS: De la definición geométrica del prodcto escalar podemos dedcir 1º.- El prodcto escalar de dos ectores pede ser positio, negatio o cero, dependiendo del alor del coseno del ánglo qe forman: o Si el ánglo qe forman los ectores es agdo (coseno +), el prodcto escalar es positio, si el ánglo es obtso (coseno -), el prodcto escalar es negatio. o Si los ectores son perpendiclares, el prodcto escalar es 0, pesto qe cos 90º = 0. Esta propiedad sire como CRITERIO DE PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS VECTORES º.- Si mltiplicamos escalarmente al ector por sí mismo, obtenemos na expresión qe nos permite calclar el módlo del ector a partir de s prodcto escalar:...cos(, ) cos0º. 2 2 Obsera qe el módlo de n ector coincide con la raíz cadrada positia de s prodcto escalar. 3º.- Si despejamos el coseno en la definición geométrica, obtenemos la expresión:. cos(, ). De modo qe si conocemos el módlo de los dos ectores el alor de s prodcto escalar, podemos conocer el ánglo qe forman dichos ectores. SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 11

12 6. COORDENADAS CARTESIANAS O COMPONENTES DE UN VECTOR En el plano el sistema de coordenadas cartesiano está formado por dos rectas perpendiclares entre sí, llamados ejes de coordenadas cartesianos, qe se cortan en n pnto O qe es el origen de coordenadas. Los dos ejes son el eje x, llamado también eje de abscisas, el eje o eje de ordenadas. 0 x Si en cada no de los ejes se define n ector nitario (de modlo la nidad) de sentido positio (son los ectores i j ), calqier ector r del espacio pede expresarse como na combinación lineal de los ectores dibjo: i j Como pede erse en el sigiente. j r x. i. j j α i x. i x A la expresión: r x. i. j ó r ( x, ) se le denomina EXPRESIÓN ANALÍTICA O EXPRESIÓN VECTORIAL DEL VECTOR A los escalares r. x e se les denomina COORDENADAS CARTESIANAS O COMPONENTES CARTESIANAS DEL VECTOR Las coordenadas cartesianas o componentes de n ector son números reales por tanto peden ser números positios, negatios o cero. r. SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 12

13 COMENTARIOS: 1º.- Cando la dirección del ector es paralela a no de los dos ejes de coordenadas, entonces el ector tiene sólo na coordenada distinta de cero: aqella qe corresponde al eje respecto al cal es paralelo. Además, la coordenada no nla será positia si el sentido del ector coincide con el sentido positio del eje negatia si es al contrario. Por ejemplo, si n coche se mee horizontalmente hacia la derecha con na elocidad de 10 m/s, la expresión analítica de s ector elocidad es: Dirección : horizontal 10 i m / s 10 i 0 j m / s (10, 0) m / s Sentido : derecha Módlo : 10 m/ s Si el coche se mee ahora hacia la izqierda con la misma elocidad de 10 m/s, la expresión analítica de s ector elocidad es: Dirección: horizontal 10 i m / s 10 i 0 j m / s ( 10, 0) m / s Sentido: izqierda Módlo: 10m/s 2º.- Si la dirección del ector no coincide con ningno de los dos ejes, entonces el ector tendrá las dos componentes distintas de cero. Por ejemplo, spongamos qe se dispara n proectil con na elocidad de 100 m/s formando n ánglo de 45º con la parte positia de eje x. Escribe la expresión analítica del ector elocidad.. j i j x j 100 m/ s 45º i. i x x 2.cos45º 100cos45º 100. m / s x i j i 50 2 j m / s x 2. sen 45º 100sen 45º 100. m / s 2 SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 13

14 50 2 i 50 2 j m / s 50 2 i 50 2 j m / s Obsera como las dos coordenadas son positias a qe el ector está orientado en el primer cadrante. La forma general de calclar las coordenadas de n ector en el plano XY, aplicando la trigonometría es:.cosα x i j x. senα Siendo α el ánglo qe forma el semieje positio de las x con el ector. El signo del seno el coseno de este ánglo nos proporcionarán el signo de las coordenadas del ector.. j i j x j α i. i x x EJEMPLO 4º Indica la expresión analítica de la magnitd física ectorial correspondiente en cada no de los casos sigientes: a) Coche qe circla a 50 Km/h hacia la derecha. b) Objeto qe es lanzado erticalmente hacia arriba a 10 m/s. c) Tren qe se acerca al andén de la estación por t derecha a 20 Km/h. d) Aceleración de la graedad terrestre. e) Objeto qe desciende a 5 m/s. f) Moto qe se acerca al paso de peatones por t izqierda a 20 m/s. g) T peso. h) Balón qe se chta a 200 m/s formando n ánglo de 45º con la horizontal. i) Jgador de tenis qe golpea la pelota hacia abajo formando 45º con el semieje horizontal positio a 100 m/s. j) Aión qe ela a 1000 Km /h hacia S. k) Aión qe ela a 1000 Km /h hacia NE. l) Aión qe ela a 1000 Km /h hacia SE. m) Aión qe ela a 1000 Km /h hacia NNO. SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 14

15 EJEMPLO 5º Considera los tres ectores, w sigientes, cos módlos son: 4 4 w 6 45º w 45º Calcla la expresión analítica de cada no de los ectores, w. SOLUC: 2 2 i 2 2 j 2 2 i 2 2 j w 6 i EJEMPLO 6º Considera los tres ectores a, b c sigientes, cos módlos son: a 4 b 6 c 3 a b 30º c Calcla la expresión analítica de cada no de los ectores a, b c. SOLUC: a 4 j b 6 i c 2,61 i 1, 5 i SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 15

16 7. OPERACIONES CON VECTORES EN FORMA ANALÍTICA Spongamos dos ectores,, del plano XY expresados en forma analítica: (, ) i j x x (, ) i j x x 7.1 Sma analítica de ectores Se define la sma analítica de los ectores smar las coordenadas semejantes:, como el ector qe se obtiene de (, ) (, ) (, ) ( ) i ( ) j x x x x x x 7.2 Resta analítica de ectores Se define la resta analítica de los ectores las coordenadas del primero, las coordenadas semejantes del segndo:, como el ector qe se obtiene de restar a (, ) (, ) (, ) ( ) i ( ) j x x x x x x 7.3 Prodcto de n escalar por n ector en forma analítica Se define el prodcto de n escalar k por n ector de mltiplicar cada na de ss coordenadas por el escalar: k. k.(, ) ( k., k. ) k. i k. j x x x, como el ector qe se obtiene 7.4 Prodcto escalar de dos ectores en forma analítica El prodcto escalar de dos ectores, escrito en forma analítica es n escalar qe se obtiene de mltiplicar las coordenadas semejantes de ambos ectores smar los resltados:. (, ).(, ).. x x x x SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 16

17 COMENTARIOS 1º.- Recerda qe el 2º comentario de la definición geométrica del prodcto escalar nos decía qe si mltiplicamos escalarmente al ector por sí mismo, obtenemos na expresión qe nos permite calclar el módlo del ector a partir de ss coordenadas:...cos(, ) cos 0º. 2 2 Y si ahora sstitimos el prodcto escalar por s expresión analítica:. x 2 2 Obtenemos qe el módlo de n ector es igal a la raíz cadrada de la sma de los cadrados de ss coordenadas. 2º.- Recerda igalmente qe, según el tercer comentario, si despejamos el coseno en la definición geométrica, obtenemos na expresión qe nos permitía conocer el coseno del ánglo qe forman los ectores, a partir de él, calclar el ánglo qe forman los ectores:. cos(, ). Y si ahora sstitimos el prodcto escalar por s expresión analítica también el módlo de los ectores, qeda la expresión:. cos(, )... x x x x De modo qe si conocemos las coordenadas de los ectores, podemos conocer el ánglo qe forman. EJEMPLO 7º Dados los ectores 2i j i 2 j Calcla: a) La sma: b) La resta: c) El prodcto del escalar 3 por el ector ( 3. ) SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 17

18 d) El prodcto escalar de ambos ectores:. e) El módlo de cada no de los ectores: f) El ánglo qe forman ambos ectores. EJEMPLO 8º Responde a los mismos apartados del ejercicio anterior con los ectores: i j i 2 j EJEMPLO 9º Compreba el alor de los sigientes prodctos escalares entre los ectores nitarios: a) Aplicando la definición geométrica. b) Aplicando la definición analítica. i. i i. j j. j EJEMPLO 10º Considera los tres ectores, w sigientes, cos módlos son: 4 4 w 6 45º w 45º A) Calcla la expresión analítica de cada no de los ectores, w. B) Halla la sma geométrica de los tres ectores. C) Halla la sma analítica de los tres ectores. D) Calcla geométricamente el prodcto escalar E) Halla el prodcto escalar en el apartado anterior.. w. w de forma analítica compreba qe sale el mismo resltado qe SOLUC: A) 2 2 i 2 2 j 2 2 i 2 2 j w 6 i C) w 0, 34 i D) E). w 16, 97 2 SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 18

19 EJEMPLO 6º Considera los tres ectores a, b c sigientes, cos módlos son: a 4 b 6 c 3 a b 30º c A) Calcla la expresión analítica de cada no de los ectores B) Halla la sma geométrica de los tres ectores. C) Halla la sma analítica de los tres ectores. D) Calcla geométricamente el prodcto escalar E) Halla el prodcto escalar el apartado anterior. b. c a, b c. b. c de forma analítica compreba qe sale el mismo resltado qe en SOLUC: A) a 4 j b 6 i c 2,61 i 1, 5 i C) a b c 3,34 i 2, 5 j D) E) b. c 15, 6 2 SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA José Escdero Martínez CURSO Página 19