MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS LECCIÓN 2: Leyes fiacieras clásicas.- Itroducció. El úero de expresioes ateáticas que podría ser leyes fiacieras, por cuplir las propiedades expuestas ateriorete, es uy ueroso. De todas ellas las ás utilizadas so las deoiadas leyes fiacieras clásicas. A cotiuació estudiareos cico leyes clásicas, dos de ellas de capitalizació y tres de descueto: - Capitalizació siple - Capitalizació copuesta - Descueto siple coercial - Descueto siple racioal - Descueto copuesto 2.- Ley de capitalizació siple. Tatos equivaletes. El descueto racioal o ateático coo cojugado de la capitalizació siple. El descueto coercial siple. Ley de Capitalizació Siple Es aquella e la que los itereses de u periodo cualquiera so proporcioales al capital ivertido C y a la duració del periodo, es decir o se acuula al capital iicial para producir uevos itereses. I = C i i = tato; = ide el tiepo durate el cual se está capitalizado la cuatía C. Es iportate teer e cueta que e i ha de ser agitudes hoogéeas. La característica pricipal es que los itereses o so productivos. Noralete, se eplea para operacioes a corto plazo (duració eor o igual a 8 eses). V=L(t, p) I t p Luque Doíguez, E.J.; Rodríguez Díaz, B. (24). Elaboració de Mateáticas Fiacieras. OCW-Uiversidad de Málaga. Bajo licecia Creative Coos Attributio-NoCoercial-ShareAlike 3. Spai

2 2 Se deoia otate al capital equivalete e a las C uidades oetarias del oeto iicial. La cuatía C para u capital iicial de C se obtiee: C = C + I = C + C i = C ( + i) Asiiso, se puede obteer el iterés coo: I = C C defiiédose coo el icreeto que experieta el capital de cuatía C al colocarlo durate períodos de tiepo al iterés i. La expresió ateática abreviada de la capitalizació siple es: L () = ( + i) co i > El esquea gráfico: Defiició de Tato Equivalete: Dos tatos i e i referidos a distitas uidades de tiepo so equivaletes cuado aplicados al iso capital iicial durate el iso periodo de tiepo produce el iso capital fial o otate. Sea: i: Tato de iterés aual. i : Tato de iterés de u subperiodo del año ( = frecuecia de fraccioaieto) Se cuple: ( + i ) = ( + i ) despejado, i = i ; i = i/ Ley de Descueto Operació fiaciera que tiee por objeto la sustitució de u capital futuro por otro equivalete co veciieto presete. Es ua operació iversa a la de capitalizació. E ua operació de descueto el puto de partida es u capital futuro coocido (C) cuyo veciieto se quiere adelatar. Debereos coocer las codicioes e las que se quiere hacer esta aticipació: duració de la operació (tiepo que se aticipa el capital futuro) y tato de la operació, que podrá ser tato de iterés o tato de descueto, y e fució de esto tedreos el descueto racioal o el coercial. El capital que resulte de la operació de descueto (capital actual o presete C ) será de cuatía eor, siedo la diferecia etre abos capitales los itereses que el capital futuro deja de teer por aticipar su veciieto. E defiitiva, si trasladar u capital desde el presete al futuro iplica añadirle itereses, hacer la operació iversa, aticipar su veciieto, supodrá la ioració de esa isa carga fiaciera. Luque Doíguez, E.J.; Rodríguez Díaz, B. (24). Elaboració de Mateáticas Fiacieras. OCW-Uiversidad de Málaga. Bajo licecia Creative Coos Attributio-NoCoercial-ShareAlike 3. Spai

3 3 El capital presete (Co) es iferior al capital futuro (C), y la diferecia etre abos es lo que se deoia descueto (D), e el caso e que se aplique u tato de descueto (d), que se aplica al Capital Fial (C), ó iterés (I), e el caso e que se aplique el tipo de iterés (i), que se aplica sobre el capital iicial. Se cuple la siguiete expresió: D = C Co I = C Co El descueto o es ás que ua disiució de itereses que experieta u capital futuro coo cosecuecia de adelatar su veciieto, por lo tato se calcula coo el iterés total de u itervalo de tiepo (el que se aticipe el capital futuro). Se cuple: D = Capital x Tipo x Tiepo Ley de Descueto Siple Racioal Se defie coo la recíproca o cojugada, o ley iversa de la ley de capitalizació siple. Para calcular el capital iicial de C despejaos C C i Ley de Descueto Siple Coercial Es aquella e la que los descuetos de u periodo so proporcioales a la duració del periodo y al capital aticipado o descotado. D = C * d * Para u capital iicial de C teeos C C D C C d C ( d ) Se deoia valor descotado o efectivo al capital equivalete e el oeto iicial. Equivalecia etre el Descueto Racioal (i) y el Descueto Coercial (d) D R C C D C C d C C i pero coc i D i R i d i d i d o puedo coparar,luego susituyo C C i 3.- Capitalizació copuesta. Ley de Capitalizació Copuesta Es aquella e la que los itereses producidos e cada periodo se acuula al capital para que la sua de abos produzca itereses e el periodo siguiete, es decir tiee lugar la capitalizació periódica de los itereses. p t Lt (, p) ( i) si p - t = L(, ) ( i) Ua u.. desplazada períodos a la derecha e el tiepo se trasfora e (+i) uidades oetarias. Para u capital iicial de C teeos C C ( i) Luque Doíguez, E.J.; Rodríguez Díaz, B. (24). Elaboració de Mateáticas Fiacieras. OCW-Uiversidad de Málaga. Bajo licecia Creative Coos Attributio-NoCoercial-ShareAlike 3. Spai

4 4 Gráficaete: El icreeto que experieta C al estar colocado durate períodos se deoia iterés. Su cuatía se obtiee: I = C C = [C ( +i) ] - C 4.- Tatos equivaletes. Tato oial y tato efectivo. El descueto copuesto coo cojugado de la capitalizació copuesta. Tatos Equivaletes e Capitalizació Copuesta Sea: i: Tato de iterés aual. i : Tato de iterés de u subperiodo del año. : úero de años. Se cuple: i i i Por lo que, coocida ua agitud se puede coocer la otra: i i i Tato fraccioado i i i Tato aual equivalete T.A.E. i Tato aual equivalete T.A.E. Se deoia tato oial de frecuecia y se deota coo j al que se obtiee de la siguiete fora: j i La expresió que os relacioa estos tatos es: i i i j / j Tabié podeos ecotraros co tatos de iterés superior al año: i k. E este caso: k i i / k k i i Tato Superior k Luque Doíguez, E.J.; Rodríguez Díaz, B. (24). Elaboració de Mateáticas Fiacieras. OCW-Uiversidad de Málaga. Bajo licecia Creative Coos Attributio-NoCoercial-ShareAlike 3. Spai

5 5 Ley de Descueto Copuesto Es aquella e la que tiee lugar u descueto periódico del capital. Es iversa a la de capitalizació copuesta, y toa la fora: C C( i ) 5.- Coparació etre capitalizació siple y copuesta. Los otates obteidos e las dos leyes tiee las expresioes ya coocidas: SIMPLE C = Cp (+ i) COMPUESTA C = Co (+i) Si los represetaos gráficaete para u iso tato de iterés (i), obteeos ua fució lieal para el sistea de capitalizació siple (CS) y ua fució expoecial para el copuesto (CC): Aálisis Gráfico de lo que se desprede que, segú los valores de, varía la situació. Así, para u iso capital iicial de u.. y u iso i: < < (+i) < (+ i) Motate a iterés copuesto < Motate a iterés siple = (+i) = (+ i) Motate a iterés copuesto = Motate a iterés siple > (+i) > (+ i) Motate a iterés copuesto > Motate a iterés siple Por cosiguiete, para periodos eores de u año, la capitalizació siple proporcioa u ayor otate, a u iso i; para =, es idiferete, y para periodos superiores al año, es la capitalizació copuesta la que ofrece u ayor otate a u iso tipo de iterés. Por otra parte, otra diferecia etre capitalizació siple y copuesta es el deoiado pricipio de divisió o escidibilidad: el otate o cuatía fial que geera ua operació fiaciera es idepediete de la escisió (divisió o separació) de dicha operació e u oeto s del itervalo e que está defiida. E este setido, las operacioes fiacieras valoradas co ua ley de capitalizació copuesta verifica este pricipio (al acuularse los itereses al capital para producir uevos itereses). E cabio, las operacioes valoradas co ua ley de capitalizació siple o lo verifica. Luque Doíguez, E.J.; Rodríguez Díaz, B. (24). Elaboració de Mateáticas Fiacieras. OCW-Uiversidad de Málaga. Bajo licecia Creative Coos Attributio-NoCoercial-ShareAlike 3. Spai

6 6 C C escidiedo teeos: C Ct C t Capitalizació Copuesta: C(+i) = C C = C(+i) t (+i) -t = Ct(+i) -t = C(+i) = C Capitalizació Siple: C(+i) = C C = C(+it)[+(-t)i] = +i+t(-t)i 2 >(+i) = C E Siple los itereses se hace productivos. 5.-Extra - Cálculo de la duració e capitalizació copuesta Coocidos los deás copoetes de la operació: capital iicial, capital fial y tipo de iterés, basta co teer e cueta la fórula geeral de la capitalizació copuesta y despejar la variable descoocida. Puto de partida: Pasar el Co al prier iebro: Logaritos a abos iebros: Aplicaos propiedades de los logaritos: Luque Doíguez, E.J.; Rodríguez Díaz, B. (24). Elaboració de Mateáticas Fiacieras. OCW-Uiversidad de Málaga. Bajo licecia Creative Coos Attributio-NoCoercial-ShareAlike 3. Spai

7 7 Despejar la duració: 5.-Extra 2-. Descueto coercial copuesto. E este caso se cosidera geerador de los itereses de u período el capital al fial de dicho período, utilizado el tipo de descueto (d) vigete e dicho período: C = C x ( - d) Ua vez calculado el capital iicial, por diferecia etre el capital de partida y el iicial obteido, se obtedrá el iterés total de la operació (Dc): D c C C C C ( d ) Esto se puede hacer e descueto racioal tabié. C d 6.- Sua fiaciera y capital uificado e descueto coercial: veciieto coú y veciieto edio. Dos capitales (C, t) y (C2, t2) so fiacieraete equivaletes respecto a ua ley fiaciera si valorados e u iso oeto de tiepo, preseta la isa cuatía. E capitalizació siple: Si el pricipio de equivalecia se cuple e u oeto de tiepo cocreto, o tiee por qué cuplirse e otro oeto cualquiera (siedo lo oral que o se cupla e igú otro oeto). Cosecuecia de esta circustacia será que la elecció de la fecha dode se haga el estudio coparativo afectará y codicioará el resultado. Veciieto edio: este veciieto, que trataos de deteriar, se produce cuado el cojuto de capitales es fiacieraete equivalete a la sua aritética de los isos y, por cosiguiete, es la edia de los veciietos, poderada por los respectivos capitales. Veciieto coú: el plateaieto es aálogo al veciieto edio, sólo que ahora uestra icógita es el capital y o el veciieto que es coocido. Luque Doíguez, E.J.; Rodríguez Díaz, B. (24). Elaboració de Mateáticas Fiacieras. OCW-Uiversidad de Málaga. Bajo licecia Creative Coos Attributio-NoCoercial-ShareAlike 3. Spai

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