Tema 2: Autómatas finitos

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1 Tema 2: Autómatas finitos Departamento de Sistemas Informáticos y Computación DSIC - UPV p. 1

2 Tema 2: Autómatas finitos Autómata finito determinista (AFD). Formas de representación de un AFD: Diagrama de transiciones. Tabla de transiciones. Autómata finito no determinista (AFN). Equivalencia AFN - AFD Autómata finito no determinista con transiciones vacías (AFλ). Gramáticas. Definiciones Gramáticas. Jerarquía de Chomsky Equivalencia AFλ - AFN Equivalencia Autómata Finito - Gramática Regular DSIC - UPV p. 2

3 Autómata finito determinista Un autómata finito determinista es una 5-tupla A = (Q,Σ,δ,q 0,F) donde: Q es un conjunto finito de estados Σ es un conjunto finito de símbolos o alfabeto. δ : Q Σ Q es una función parcial llamada función de transición q 0 Q estado inicial F Q conjunto de estados finales a 1 a 2 a 3 a n Memoria Finita DSIC - UPV p. 3

4 Autómata finito determinista A = ({q 0,q 1,q 2 }, {a,b},δ,q 0, {q 0,q 1 }) δ(q 0,a)= q 0 δ(q 1,a)= q 2 δ(q 2,a)= q 2 δ(q 0,b)= q 1 δ(q 1,b)= q 1 δ(q 2,b)= q 2 a b a b a,b q 0 q 0 q 1 q 1 q 2 q 1 q b 0 q a 1 q 2 q 2 q 2 q 2 DSIC - UPV p. 4

5 Autómata finito determinista Extensión de la función de transición a cadenas ˆδ : Q Σ Q q Q, x Σ, a Σ ˆδ(q,λ) = q ˆδ(q,xa) = δ(ˆδ(q,x),a) Lenguaje aceptado por un AFD L(A) = {x Σ δ(q 0,x) F } DSIC - UPV p. 5

6 Autómata finito no determinista Un autómata finito no determinista es una 5-tupla A = (Q,Σ,δ,q 0,F) donde: Q, Σ, q 0 Q y F Q el mismo conjunto de estados, alfabeto, estado inicial y conjunto de estados finales que en la definición de AFD δ : Q Σ 2 Q es una función parcial llamada función de transición Extensión de δ a cadenas ˆδ : Q Σ 2 Q q Q, x Σ, a Σ ˆδ(q,λ) = {q} ˆδ(q,xa) = p ˆδ(q,x) δ(p, a) Lenguaje aceptado por un AFN: L(A) = {x Σ ˆδ(q 0,x) F } DSIC - UPV p. 6

7 Autómata finito no determinista A = ({q 0,q 1,q 2 }, {a,b,c},δ,q 0, {q 0,q 1,q 2 }) δ(q 0,a)= {q 0,q 1,q 2 } δ(q 1,a)= δ(q 2,a)= δ(q 0,b)= {q 1,q 2 } δ(q 1,b)= {q 1,q 2 } δ(q 2,b)= δ(q 0,c)= {q 2 } δ(q 1,c)= {q 2 } δ(q 2,c)= {q 2 } a b c q 0 {q 0,q 1,q 2 } {q 1,q 2 } {q 2 } q 1 {q 1,q 2 } {q 2 } q 2 {q 2 } a b c q 0 a,b q 1 b,c q 2 a,b,c DSIC - UPV p. 7

8 Autómata finito no determinista Equivalencia entre AFN y AFD Sea A = (Q,Σ,δ,q 0,F) un AFN. Construimos un AFD A = (Q,Σ,δ,q 0,F ) tal que L(A) = L(A ) de la siguiente forma: Q = 2 Q q 0 = {q 0} F = {q Q q F } δ (q,a) = q q δ(q,a) : q Q, a Σ DSIC - UPV p. 8

9 Autómata finito no determinista ejercicios: q a a,b 0 q 1 q 2 q b a 0 q 1 q 2 b a,b,c a,b a DSIC - UPV p. 9

10 Autómata finito no determinista con transiciones vacías Un autómata finito no determinista con transiciones vacías es una 5-tupla A = (Q,Σ,δ,q 0,F) donde: Q, Σ, q 0 Q y F Q el mismo conjunto de estados, alfabeto, estado inicial y conjunto de estados finales que en la definición de AFD y AFN δ : Q (Σ {λ}) 2 Q es una función parcial llamada función de transición λ-clausura de un estado q Q (λ clausura(q)): conjunto de estados que pueden alcanzarse desde q sin consumir símbolo. Dado P Q, λ clausura(p) = λ clausura(p) p P DSIC - UPV p. 10

11 Autómata finito no determinista con transiciones vacías Extensión de δ a cadenas ˆδ : Q Σ 2 Q q Q, x Σ, a Σ ˆδ(q,λ) = λ clausura(q) ˆδ(q,xa) = λ clausura ( p ˆδ(q,x) δ(p, a) Pudiendo extender ˆδ para operar sobre conjuntos de estados: P Q ˆδ(P,x) = ˆδ(p, x) Lenguaje aceptado por un AFλ: p P ) L(A) = {x Σ ˆδ(q 0,x) F } DSIC - UPV p. 11

12 Autómata finito no determinista con transiciones vacías A = ({q 0,q 1,q 2,q 3 }, {0,1},δ,q 0, {q 0 }) δ(q 0,0)= δ(q 1,0)= δ(q 2,0)= {q 1 } δ(q 3,0)= δ(q 0,1)= δ(q 1,0)= {q 3 } δ(q 2,1)= {q 2 } δ(q 3,1)= {q 3 } δ(q 0,λ)= {q 1 } δ(q 1,λ)= {q 2 } δ(q 2,λ)= δ(q 3,λ)= {q 0 } 0 1 λ q 0 {q 1 } q 1 {q 3 } {q 2 } q 2 {q 1 } {q 2 } q 1 {q 3 } {q 0 } λ q λ 0 q 1 q 2 λ q DSIC - UPV p. 12

13 Autómata finito no determinista con transiciones vacías Equivalencia entre AFλ y AFN Sea A = (Q,Σ,δ,q 0,F) un AFλ. Construimos un AFD A = (Q,Σ,δ,q 0,F ) tal que L(A) = L(A ) de la siguiente forma: { F F {q 0 }, si λ clausura(q 0 ) F = F, en otro caso δ (q,a) = ˆδ(q,a) tomando a Σ,x Σ,q Q y donde: ˆδ(q,λ) = λ clausura(q) ( ) ˆδ(q,xa) = λ clausura δ(p, a) p ˆδ(q,x) A partir de este punto, puede obtenerse un AFD utilizando la transformación ya vista. DSIC - UPV p. 13

14 Autómata finito no determinista con transiciones vacías ejercicios: 1 q 0 q 0 λ 0 0 q 1 λ q q 3 b a b q 1 q 2 λ c b q 3 λ λ a a q 4 c DSIC - UPV p. 14

15 Gramáticas Definiciones Una gramática G es una cuádrupla G = (N,Σ,P,S) donde: N es un conjunto finito no vacío de símbolos llamados auxiliares Σ es un alfabeto finito no vacío de símbolos llamados terminales. Se cumple que Σ N =. Llamaremos V = Σ N. S N es un símbolo auxiliar especial llamado axioma P es un conjunto de reglas de producción P V NV V. Una producción (α,β) suele denotarse α β p.e.: L = {a n b n n 1} G = {{N}, {a,b}, {S ab,s asb},s} DSIC - UPV p. 15

16 Gramáticas Tipos de gramáticas. Jerarquía de Chomsky. Regulares (tipo 3): A,B N; a,b Σ {λ} Lineales por la derecha: A ab b Lineales por la izquierda: A Ba b Incontextuales (tipo 2): A α donde A N, α V. Contextuales (tipo 1): γaδ γαδ con A N, γ,δ V, α V +. Formas sentenciales de longitud creciente S λ para permitir λ L(G).!! ATENCIÓN!! No restringidas (tipo 0) L 3 L 2 L 1 L 0 DSIC - UPV p. 16

17 Equivalencia Autómata Finito - Gramática Regular Si L es un lenguaje regular, entonces L es aceptado por un autómata finito A. Dada G = (N,Σ,P,S) lineal por la derecha (L = L(G)), construimos un AFλ A = (Q,Σ,δ,q 0,F) tal que L(A) = L: Q = N {X} tal que X N q 0 = S F = {X} función de transición (A,B,X N, a Σ {λ}) (A ab) P se define B δ(a,a) (A a) P se define X δ(a,a) a Σ {λ} se define δ(x,a) = DSIC - UPV p. 17

18 Equivalencia Autómata Finito - Gramática Regular Si L es aceptado por un autómata finito A, entonces L es un lenguaje regular. Sea A = (Q,Σ,δ,q 0,F) un AFλ (L = L(A)). Construimos G = (N,Σ,P,S) lineal por la derecha tal que L = L(G) N = Q S = q 0 reglas de producción (q,q Q, a Σ {λ}) q δ(q,a) se define q aq P q F se define q λ P DSIC - UPV p. 18