June 24, 2011 DSIC - UPV. Autómatas Finitos. U.D. Computación. Autómata Finito Determinista. Autómata Finito no Determinista

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1 s s no s s s DSIC - UPV June 24, 2011 (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

2 (AFD) s s no s (AFD) Un (AFD) es un 5-tupl de l siguiente form: A = (Q,Σ,δ, q 0, F), siendo: Q un conjunto finito de estdos Σ un conjunto finito de símbolos llmdo lfbeto δ : Q Σ Q un función prcil llmd función de trnsición q 0 Q el estdo inicil F Q el conjunto de estdos finles. Cundo l función de trnsición es totl se dice que el utómt está completmente especificdo o es completo. (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

3 Representción: tbl de s s no s Q fils y Σ columns. (i, j) es el estdo δ(q i, j ) donde q i es el i-ésimo elemento de Q y j el j-ésimo de Σ. Ejemplo Se A = ({q 0, q 1, q 2 },{, b},δ, q 0,{q 0, q 1 }) con l siguiente definición de δ: δ(q 0, ) = q 0 δ(q 1, ) = q 2 δ(q 2, ) = q 2 δ(q 0, b) = q 1 δ(q 1, b) = q 1 δ(q 2, b) = q 2 L tbl de correspondiente es: (DSIC - UPV) s s June 24, / 41 b q 0 q 0 q 1 q 1 q 2 q 1 q 2 q 2 q 2

4 Representción: digrm de s s no s Es un grfo dirigido tl que: El número de nodos del grfo es Q, de form que cd nodo le corresponde un estdo que lo etiquet. q i, q j Q, k Σ, si δ(q i, k ) = q j entonces el grfo posee un rco del nodo q i l q j etiquetdo con el símbolo k. Se señl el estdo inicil con un flech cort entrnte en el nodo correspondiente. Se mrcn los nodos correspondientes estdos finles con un doble círculo. (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

5 s s no Ejemplo El digrm de correspondiente l ejemplo nterior se muestr en l siguiente figur. b, b q b 1 q 2 q 3 s (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

6 Extensión de l función de trnsición cdens s s no s Definimos l función ˆδ : Q Σ Q como sigue: q Q, x Σ, Σ ˆδ(q,λ) = q ˆδ(q, x) = δ(ˆδ(q, x), ) Como ˆδ(q, ) = ˆδ(q,λ) = δ(ˆδ(q,λ), ) = δ(q, ), prtir de hor, por comodidd escribiremos δ en lugr de ˆδ. Lenguje ceptdo por un AFD Se A = (Q,Σ,δ, q 0, F) un AFD, y se x Σ. Se dice que l cden x es ceptd por el AFD A cundo δ(q 0, x) F. Se define el lenguje ceptdo por el AFD A como: L(A) = {x Σ δ(q 0, x) F} (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

7 s s no Ejemplos de AFD s,b (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

8 s s no Ejemplos de AFD,b,b s,b,b,b,b (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

9 s s Ejemplos de AFD no 0 1 b 2 3 b 4 s 0 b 1 2,b,b (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

10 s s Ejemplos de AFD no 0 1 b 2 3 b 4 0 1,b s (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

11 s s no Ejemplos de AFD b c s c c, b, b b, c, b, c (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

12 s s no Ejemplos de AFD b c s c (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

13 no (AFN) s s no s no (AFN) Un Automt No (AFN) es un 5-tupl A = (Q,Σ,δ, q 0, F), siendo: Q, Σ, q 0 Q, y F Q el mismo conjunto de estdos, lfbeto de entrd, estdo inicil y conjunto de estdos finles de l definición del AFD δ : Q Σ 2 Q l función de trnsición, definid tmbién como un función prcil. (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

14 Representción s s no s Ejemplo Se A = ({q 0, q 1, q 2 },{, b, c},δ, q 0,{q 0, q 1, q 2 }) donde l función de trnsición viene definid por: δ(q 0, ) = {q 0, q 1, q 2 } δ(q 1, ) = δ(q 2, ) = δ(q 0, b) = {q 1, q 2 } δ(q 1, b) = {q 1, q 2 } δ(q 2, b) = δ(q 0, c) = {q 2 } δ(q 1, c) = {q 2 } δ(q 2, c) = {q 2 } L correspondiente tbl de es: b c q 0 {q 0, q 1, q 2 } {q 1, q 2 } {q 2 } q 1 {q 1, q 2 } {q 2 } q 2 {q 2 } (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

15 Representción s s no Ejemplo El digrm de es: b c s,b q 0 q 1 q 2,b,c b,c (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

16 Extensión de l función de trnsición cdens s s no s Definimos l función ˆδ : Q Σ 2 Q como sigue: q Q, x Σ, Σ : ˆδ(q,λ) = {q} ˆδ(q, x) = p ˆδ(q,x) δ(p, ) Como ˆδ(q, ) = p ˆδ(q,λ) δ(p, ) = p {q} δ(p, ) = δ(q, ), prtir de hor escribiremos δ en lugr de ˆδ. Lenguje ceptdo por un AFN Se A = (Q,Σ,δ, q 0, F) un AFN, se define el lenguje ceptdo por el AFN A como L(A) = {x Σ δ(q 0, x) F } (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

17 Ejemplo de nálisis no determinist s s Vmos clculr el resultdo de δ(q 0, bbc) sobre el AFN del ejemplo nterior representándolo en form de grfo multietp. no s (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

18 Ejemplo de nálisis no determinist s s Vmos clculr el resultdo de δ(q 0, bbc) sobre el AFN del ejemplo nterior representándolo en form de grfo multietp. no s (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

19 Ejemplo de nálisis no determinist s s Vmos clculr el resultdo de δ(q 0, bbc) sobre el AFN del ejemplo nterior representándolo en form de grfo multietp. no s (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

20 Ejemplo de nálisis no determinist s s Vmos clculr el resultdo de δ(q 0, bbc) sobre el AFN del ejemplo nterior representándolo en form de grfo multietp. no 1 b 2 3 s (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

21 Ejemplo de nálisis no determinist s s Vmos clculr el resultdo de δ(q 0, bbc) sobre el AFN del ejemplo nterior representándolo en form de grfo multietp. no s b b (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

22 Ejemplo de nálisis no determinist s s Vmos clculr el resultdo de δ(q 0, bbc) sobre el AFN del ejemplo nterior representándolo en form de grfo multietp. no s b b c (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

23 s s no s Todo AFD es un AFN, y que se puede entender como un cso prticulr. L form de obtener un AFD equivlente un determindo AFN consiste en hcer que los estdos del AFD se correspondn con conjuntos de estdos del AFN, y hcer que l función de trnsición del AFD simule el cmbio de conjuntos de estdos que se produce en el AFN pr un mismo símbolo de entrd. (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

24 s s no Extensión de l función de trnsición conjuntos de estdos, δ : 2 Q Σ 2 Q : P Q δ (P, ) = p P δ(p, ) Extensión de l función de trnsición conjuntos de estdos y cdens, δ : 2 Q Σ 2 Q : P Q δ (P,λ) = P P Q, x Σ, Σ δ (P, x) = δ (δ (P, x), ) s (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

25 s s no s Se A = (Q,Σ,δ, q 0, F) un AFN tl que L = L(A). Definimos un AFD A = (Q,Σ,δ, q 0, F ) de form que: Q = 2 Q, q 0 = {q 0}, F = {q Q q F }, se define l función de trnsición δ como l extensión de l función de trnsición δ conjuntos de estdos. El utómt A que se define es un AFD, y que el perfil de su función de trnsición es δ : Q Σ Q. (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

26 Ejemplo s s b c no s,b q 0 q 1 q 2,b,c b,c b c {q 0 } {q 0, q 1, q 2 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 0, q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 1, q 2 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 2 } {q 2 } (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

27 Ejemplo s s p 0 p 1 no c b b c p 3 c p 2 b s c (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

28 (AF λ) s s no s (AF λ) Un (AF λ) es un 5-tupl A = (Q,Σ,δ, q 0, F), siendo: Q, Σ, q 0 Q, y F Q el mismo conjunto de estdos, lfbeto de entrd, estdo inicil y conjunto de estdos finles de l definición del AFD δ : Q (Σ {λ}) 2 Q l función de trnsición, definid tmbién como un función prcil. (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

29 Representción s s no s Ejemplo Se A = ({q 0, q 1, q 2, q 3 },{0, 1},δ, q 0,{q 0 }) donde l función de trnsición viene definid por: 0 1 λ q 0 {q 1 } q 1 {q 3 } {q 2 } q 2 {q 1 } {q 2 } q 3 {q 3 } {q 0 } (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

30 Representción s s no s Ejemplo El digrm de : λ q 0 q 1 q λ q λ (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

31 Extensión de l función de trnsición cdens s s no s Concepto de λ-clusur Se q Q,λ clusur(q) = {q} {q q es ccesible desde q trvés de cminos etiquetdos con λ}. Se P Q,λ clusur(p) = p P λ clusur(p). Extensión cdens q Q, x Σ, Σ: ˆδ(q,λ) = λ clusur(q) ( ) ˆδ(q, x) = λ clusur p ˆδ(q,x) δ(p, ) (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

32 Ejemplo 1 s s no s λ λ q 0 q 1 q λ q 3 1 λ clusurs λ clusur(q 0 ) = {q 0, q 1, q 2 } λ clusur(q 1 ) = {q 1, q 2 } λ clusur(q 2 ) = {q 2 } λ clusur(q 3 ) = {q 0, q 1, q 2, q 3 } (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

33 Ejemplo s s no s Cálculo de ˆδ(q 0, 01) ˆδ(q 0, 01) = λ clusur( p ˆδ(q 0,0) δ(p, 1)) (1) ˆδ(q 0, 0) = λ clusur( p ˆδ(q 0,λ) δ(p, 0)) (2) ˆδ(q 0,λ) = λ clusur(q 0 ) = {q 0, q 1, q 2 }. Sustituyendo en (2): ˆδ(q 0, 0) = λ clusur( p {q 0,q 1,q 2 } δ(p, 0)) = λ clusur( {q 1 }) = λ clusur({q 1 }) = {q 1, q 2 }. Sustituyendo en (1): ˆδ(q 0, 01) = λ clusur( p {q 1,q 2 } δ(p, 1)) = λ clusur({q 2 } {q 3 }) = λ clusur({q 2, q 3 }) = {q 0, q 1, q 2, q 3 }. (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

34 s s no En un AFλ, ˆδ(q, ) no es necesrimente igul que δ(q, ) y ˆδ(q, λ) no es necesrimente igul que δ(q, λ). Es necesrio distinguir δ y ˆδ. Lenguje ceptdo por un AF λ Se A = (Q,Σ,δ, q 0, F) un AFλ, se define el lenguje ceptdo por el AFλ A como L(A) = {x Σ ˆδ(q 0, x) F }. s (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

35 s s no s Todo AFN se puede interpretr como un AF λ pr el que se cumple que q Q λ clusur(q) = {q}. AFN y AF λ Se A = (Q,Σ,δ, q 0, F) un AFλ. Definimos un AFN A = (Q,Σ,δ, q 0, F ) donde: { F F {q0 } si λ clusur(q = 0 ) F F en cso contrrio L función δ se define como: q Q, Σ δ (q, ) = ˆδ(q, ). (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

36 Ejemplo 1 s s no s λ λ q 0 q 1 q λ q 3 1 λ clusurs λ clusur(q 0 ) = {q 0, q 1, q 2 } λ clusur(q 1 ) = {q 1, q 2 } λ clusur(q 2 ) = {q 2 } λ clusur(q 3 ) = {q 0, q 1, q 2, q 3 } (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

37 Ejemplo s s no s 0 1 q 0 {q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2, q 3 } q 1 {q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2, q 3 } q 2 {q 1, q 2 } {q 2 } q 3 {q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2, q 3 } El conjunto de estdos finles F = {q 0 } y contiene el estdo inicil, entonces F = F. (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

38 s s s no s Si L es un lenguje regulr, entonces L es ceptdo por un utómt finito Se G = (N,Σ, P, S) un grmátic linel por l derech tl que L(G) = L. Construimos un AFλ A = (Q,Σ,δ, q 0, F) tl que L(A) = L(G). Q = N {X}, X / N, q 0 = S, F = {X}. (A i j A k ) P se define A k δ(a i, j ), A i, A j N, j Σ {λ}. (A i j ) P se define X δ(a i, j ), A i N, j (Σ {λ}). (Σ {λ}) se define δ(x, ) =. (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

39 Ejemplo s s no s Obtención del AF equivlente : S A 0A 1B, A 0A 0, B 1B 1 λ S 0,λ 0 A B 0 1 1,λ 1 X (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

40 s s s no s Si L es un lenguje ceptdo por un utómt finito, entonces L es regulr Se A = (Q,Σ,δ, q 0, F) un AFλ tl que L(A) = L. Construimos un grmátic linel por l derech G = (N,Σ, P, S) que genere L. N = Q, S = q 0. q δ(q, ), se define (q q ) P, q, q Q, (Σ {λ}). q F se define (q λ) P. (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

41 Ejemplo s s no Obtención de l grmátic linel por l dch. equivlente l AF de l figur. Solución: q 0 q 1 λ, q 1 q 0 q 2 q 3, q 2 bq 1 q 2 cq 3, q 3 bq 1 cq 3 q 0 q 1 q 3 λ b q 2 λ b c c s (DSIC - UPV) s s June 24, / 41

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