1. Polígonos. 1.1 Definición

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1 1.1 Definición 1. Polígonos Es toda figura plana, cerrada, limitada por un número finito de lados rectos. De acuerdo al número de lados, los más utilizados se clasifican en: Triángulos 3 lados Cuadriláteros 4 lados Pentágonos 5 lados Hexágonos 6 lados Octágonos 8 lados

2 1.2 Clasificación de Polígonos Polígonos Regulares Se denomina Polígono regular a aquel que tenga todos sus lados y ángulos interiores congruentes. Ejemplos: El triángulo Equilátero El Cuadrado

3 Polígonos Irregulares Son aquellos que NO son regulares, es decir, no cumplen una o ambas condiciones de los polígonos regulares. Ejemplos: El rombo El rectángulo

4 Polígonos Convexos Son aquellos polígonos que poseen todos sus ángulos interiores menores a 180. Ejemplo: Todo segmento que une a dos puntos de la región interior del polígono, está enteramente incluido ella. Polígonos Cóncavos Son aquellos polígonos que poseen, al menos, un ángulo interior que mide más de 180. Ejemplo: Al menos un segmento que une un par de puntos de la región interior del polígono, no está enteramente incluido en dicha región.

5 1.3 Generalidades en un Polígono Convexo de n lados Número de diagonales desde un vértice (d) Si n es el número de lados de un polígono, entonces el total de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices está dado por la fórmula: d = n - 3 Por ejemplo, en un octágono: d = 5

6 Número Total de diagonales (D) Si n es el número de lados de un polígono, entonces el total de diagonales que se pueden trazar está dado por la fórmula: D = n (n 3) 2 Por ejemplo, en un pentágono, el total de diagonales es: D = 5 (5 3) D = 5 2

7 Suma de los ángulos interiores (Si) Si n es el número de lados de un polígono, entonces la suma de los ángulos interiores está dado por la fórmula: Si = 180 (n 2) Por ejemplo, en un pentágono, la suma de sus ángulos interiores es: Si = 180 (5 2) Si = 180 (3) Si = 540

8 Suma de los ángulos exteriores (Se) La suma de los ángulos exteriores de un polígono es siempre 360. Se = 360

9 .1 Definición 2. Triángulos Es un polígono de tres lados..2 Elementos primarios Vértices: C Corresponde a la intersección de dos trazos, los que se identifican con letras mayúsculas. En la figura, los vértices son A, B y C. A B

10 Lados: En la figura, los trazos AB, BC y CA, corresponden a los lados del triángulo ABC, los que se identifican con letras minúsculas. C b a AB = c, BC = a, AC = b A c B Teorema: La suma de dos lados debe ser siempre mayor que el tercero. a + b > c b + c > a a + c > b

11 Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser siempre menor que el tercero. a - b < c b - c < a a - c < b

12 Ángulos interiores: Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura. C α, β y γ γ son los ángulos interiores del triángulo ABC. A α β B Teorema: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º α + β + γ = 180

13 Teorema: Ejemplo: En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa. En el triángulo de la figura, C b a c > a > b A c B

14 Ángulos exteriores: Son los suplementos de los ángulos interiores. α, β y γ son los ángulos exteriores del triángulo de la figura. Teorema: La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º. α + β + γ = 360

15 Teorema: Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él. α = β + γ β = α + γ γ = α + β Ejemplo:

16 2.3. Elementos Secundarios Altura (h): Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. En la figura, CD es la altura (h c ) desde el vértice C. C hc A D Ortocentro (H): C B Es el punto de intersección de las alturas (h c, h a, h b ). H A B

17 Transversal de gravedad (t): Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. t c t c : transversal desde C D: Punto medio del lado AB Centro de gravedad o baricentro(g): Punto de intersección de las transversales. El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.

18 D, E y F: Puntos medios. AE = t a BF = t b CD = t c Ejemplo: G: Centro de gravedad En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.

19 Simetral (S): Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado. En la figura, está representada la simetral levantada desde D, punto medio del lado AB. C S A B

20 Circuncentro: Punto de intersección de las simetrales y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. D, F y G: Puntos medios. E: Circuncentro

21 Bisectriz (b): Es el segmento que dimidia un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales. En la figura, el ACD = DCB = α C b c A D B

22 Incentro: Punto de intersección de las bisectrices, que corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Ejemplo: E: Incentro

23 Mediana: Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos. La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él. D, E y F: Puntos medios. DF, DE y EF: Medianas DF// AB y DF = AB 2 DE// BC y DE = BC 2 EF// AC y EF = AC 2

24 Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos congruentes entre sí. El área de cada uno, es ¼ del área total del triángulo original.

25 . Generalidades en un triángulo cualquiera Área o Superficie (A): Corresponde al semiproducto entre la base y la altura del triángulo. C b a Área = Base Altura h a h c h b 2 A c B A = a h a 2 b h c h = b = c 2 2

26 Ejemplo: Determinar el área del triángulo de la figura: En este caso, se tiene el valor de la base AB = 8, y la altura que cae sobre su prolongación es CD = 3. Luego su área es: A = 8 3 = 12 2

27 Perímetro o longitud (P): Corresponde a la suma de los lados del triángulo. b C a P = a + b + c A Ejemplo: c B P = P = 55

28 5. Clasificación de triángulos Según sus ángulos: -Acutángulo: Ej.: Es aquel que tiene todos sus ángulos interiores agudos. -Rectángulo: Es aquel que tiene un ángulo recto. Ej.: -Obtusángulo: Ej.: Es aquel que tiene un ángulo obtuso.

29 Según sus lados: -Escaleno: Es aquel que tiene todos sus lados y ángulos distintos. Ejemplo: -Isósceles: Es aquel que tiene sólo 2 lados congruentes y el lado distinto es la base. Ejemplo: (Base)

30 Se dice que el triángulo de la figura, es isósceles de base AB, o bien, isósceles en C. -Equilátero: Es aquel que tiene todos sus lados congruentes. (Base) Nota: En la figura, el triángulo ABC es equilátero: AB = BC = AC. Sus ángulos interiores también son congruentes.