2 Operaciones de producto y división de polinomios

Transcripción

1 I. TELECOMUNICACION. ALGEBRA LINEAL Sesión de laboratorio 1. Polinomios y algoritmo de Horner Esta primera sesión intenta familiarizar al estudiante con la representación y manejo de los polinomios en MATLAB. 1 Representación de polinomios Los polinomios en MATLAB vienen representados por vectores, cuyas componentes guardan los coeficientes del polinomio en potencias de x y en orden decreciente. Así, la expresión >> p = [1 3 2]; >> tiene más de un sentido en MATLAB: puede representar el vector (fila) p = (1, 3, 2) (el punto y coma ; impide que la expresión del vector aparezca explícitamente en pantalla). pero también representa el polinomio p(x) = x 2 + 3x 2. El número de componentes de p determina el grado del polinomio, de forma que grado de p = número de componentes de p 1. Varios comandos de MATLAB van asociados a la manipulación con polinomios. Los más elementales se refieren a las operaciones de producto y división, a su evaluación y al cálculo aproximado de sus raíces. 2 Operaciones de producto y división de polinomios El comando para realizar el producto de dos polinomios es conv. Por ejemplo, los vectores >> p = [1 3 2]; q = [1 1]; >> representan, respectivamente, los polinomios p(x) = x 2 + 3x 2, q(x) = x 1. El vector >> r = conv(p, q) >> r = representa el producto r(x) = p(x)q(x) = x 3 + 2x 2 5x + 2. La instrucción >> help conv proporciona una breve explicación del comando, sus variantes, así como comandos relacionados. Uno de ellos es el que implementa la división, deconv. Muestra como resultado los polinomios

2 cociente y resto de la división de los polinomios de entrada. >> b = [1 3 2]; a = [1 1]; >> [q, r] = deconv(b, a) >> q = 1 4 r = Así, la división de b(x) = x 2 + 3x 2 entre a(x) = x 1 proporciona el cociente q(x) = x + 4 y el resto r(x) = 2, de modo que b(x) = a(x)q(x) + r(x). 3 Evaluación y determinación de raíces Algunas operaciones asociadas a polinomios no pueden realizarse exactamente y MATLAB implementa algoritmos numéricos de aproximación. Tal es el caso de la determinación de las raíces. El comando roots proporciona una aproximación a los ceros de un polinomio. Por ejemplo, las instrucciones >> p = [1 3 2]; >> roots(p) ans = muestran aproximaciones a las raíces del polinomio p(x) = x 2 + 3x 2 que, por la fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado, son x ± = 1 2 ( 3 ± ) 17. Cuando el resultado de una instrucción ejecutada no lleva asociado explícitamente una variable (como en el uso de roots en el ejemplo anterior) MATLAB asigna una por defecto, llamada ans (de la palabra inglesa answer). Por otro lado, MATLAB siempre realiza las operaciones con la misma precisión, si bien la representación de los números puede variar. Esto viene controlado por el comando format. Así, por ejemplo, la sucesión >> f ormat long e >> p = [1 3 2]; roots(p) ans = e e 01

3 genera una representación de las raíces con más decimales y en notación científica. La instrucción help format señala las posibles variantes del comando. La evaluación de polinomios viene implementada por el comando polyval. Las instrucciones >> p = [1 3 2]; c = 1; >> pc = polyval(p, c) pc = 2 dan como resultado la evaluación del polinomio p(x) = x 2 + 3x 2 en el punto c = 1, que se guarda en la variable pc = p(c) = 2. La aplicación más elemental del comando polyval utiliza el algoritmo de Horner. Como ilustración general de la construcción de un algoritmo y su programación en MATLAB, vamos a implementar nuestro propio programa de evaluación de un polinomio. La forma más habitual de programar un algoritmo comienza elaborando el llamado pseudocódigo. Se trata de un conjunto de instrucciones que muestra claramente los pasos de que consta el proceso, de manera que su traslación a cualquier lenguaje de programación sea más o menos directa. En nuestro caso, y en su versión más sencilla, para evaluar un polinomio en un punto c, puede escribirse P (x) = a 0 + a 1 x + + a N x N, P (c) = a 0 + c(a 1 + c(a c(a N 2 + c(a N 1 + ca N )) )), en una serie de multiplicaciones encajadas. El algoritmo, desarrollado aparentemente de forma independiente por Ruffini (1804), Budan (1807 y 1813) y Horner (1819), se basa en la evaluación sucesiva de los paréntesis, a partir del más interno. Si ponemos b N = a N y calculamos b k = a k + cb k+1, k = N 1,..., 0, entonces b 0 = P (c). Un pseudocódigo para este algoritmo podría ser el siguiente: Pseudocódigo del algoritmo de Horner Dados a 0,..., a N y c b N = a N Desde k = N 1 hasta 0 b k = a k + cb k+1 P (c) = b 0 La traslación al lenguaje de MATLAB tendría la forma siguiente:

4 function pc=horner(a,c) % Algoritmo de Horner para evaluar un polinomio % de la forma % a(1) + a(2)x + a(3)x a(m)x m 1 % El vector a guarda los coeficientes % c es el punto de evaluación m = length(a); b(m) = a(m); for k = m 1 : 1 : 1 b(k) = a(j) + c b(k + 1); end pc = b(1); Es necesario realizar algunos comentarios: (i) Todo programa que represente un algoritmo en MATLAB debe encabezarse con una instrucción del tipo function [a 1,..., a N ] = nombre (b 1,..., b M ) donde a 1,..., a N son los datos de salida y b 1,..., b M son las variables de entrada (ii) Las líneas precedidas de % son de comentario. MATLAB las ignora a efectos de computación y son las que aparecen al teclear en la ventana de comandos >> help nombre Son muy útiles para que el usuario reconozca, en pocas palabras, lo que realiza el programa. (iii) En el interior de un fichero de función (el programa) se pueden declarar variables, realizar operaciones, crear condicionales, ciclos, llamar a funciones ya creadas, bien de MATLAB o del usuario, etc. Así, el comando length calcula la longitud de un vector. En nuestro caso, hay que tener en cuenta que el vector representa los coeficientes del polinomio y que MATLAB no admite vectores con componentes no positivas. De esta manera a = [a(1),..., a(m)] representa el polinomio a(1) + a(2)x + a(3)x a(m)x m 1 y el pseudocódigo debe adaptarse a ello. (iv) El ciclo for k = m 1 : 1 : 1 b(k) = a(j) + c b(k + 1); end implementa en MATLAB el cuerpo central del algoritmo. Recuérdese lo mencionado en el apartado (iii), que influye en los valores límite (en compáración con el pseudocódigo) y obsérvese cómo se implementa un ciclo decreciente en MATLAB. Asímismo, la última instrucción del programa asigna el resultado del algoritmo a la variable de salida.

5 4 Algunos ejercicios 1. Realiza el producto y la división de los polinomios siguientes en MATLAB: (i) p(x) = x 3 + x 2 + x + 1, q(x) = x (ii) p(x) = x 3 1, q(x) = x 1. (iii) p(x) = x 4 + x 2 + 2, q(x) = x 3 + x Calcula una aproximación a las raíces de los polinomios siguientes (expresándolas en dos formatos) y evalúalos en el punto indicado. (i) p(x) = x 3 + x 2 + x + 1, c = 1. (ii) p(x) = x 5 + x 3 x, c = i. (iii) p(x) = x 4 + x 2 + 2, c = Compara el psudocódigo del algoritmo de Horner con la siguiente variante Pseudocódigo del algoritmo de Horner. Versión 2 Dados a 0,..., a N y c, Desde k = N 1 hasta 0 a k a k + ca k+1 P (c) = a 0 Elabora el correspondiente programa MATLAB y ejecútalo con p(x) = x 3 + x 2 + x + 1 y c = 1.