1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

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1 Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv de f, F + C es tmbién primitiv de f pr culquier C R. Definición. Al conjunto de tods ls primitivs de f se le llm integrl indefinid de f: f( d F ( + C, C R. Propieddes:. Si k R, entonces k f( d k f( d.. (f( ± g( d f( d ± g( d. Regls de cálculo de primitivs. (I Integrles inmedits Integrles inmedits Tipo potencil n d n+ n + + C, Tipo logrítmico d ln + C Tipo eponencil e d e + C d ln + C n Tipo trigonométrics directs sen d cos + C cos d sen + C d tg + C cos d cotg + C sen Integrles funciones compuests f( n f ( d f(n+ n + f ( f( d ln f( + C e f( f ( d e f( + C f( f ( d f( ln + C senf( f ( d cosf( + C cosf( f ( d senf( + C + C, n cos (f( f ( d tg(f( + C sen (f( f ( d cotg(f( + C Tipo trigonométrics inverss d + rctg + C d rcsen + C f ( d rctg(f( + C + f( f ( d rcsen (f( + C f(

2 Ejemplo (Tipo potencil. (. + + d 4 4 / + + C... ( + d ( + 9 sen 4 cos d sen + C. + C. Ejemplo 4 (Tipo logrítmico.. + d ln + + C.. tg d sen d ln cos + C. cos Ejemplo (Tipo eponencil.. e d + C. e. cos( sen( d sen( ln + C.. ln d ln ln + C. Ejemplo (Tipo trigonométrics directs.. cos(m d sen(m + C, m. m. sen(ln d cos(ln + C.. cos ( d tg( + C. Ejemplo 7 (Tipo trigonométrics inverss.. + d + / + d ( d ( rctg d + ( + C.. e d 4 e e ( e d rcsen + C. ( e

3 .. Método de sustitución Consiste en hcer un cmbio de vrible que trnsforme l integrl en otr que sepmos clculr. No hy que olvidr, un vez resuelt, deshcer el cmbio. Vemos lgunos ejemplos: e 4 e d (e t e d 4 t ( t rcsen ( ( t + C rcsen e + C. + d ( t d t t 8 t + (dividimos (t t 4 + t + ( t 7 ( 7 + t 7 t + t t + rctg(t + C rctg( / + C... Método de integrción por prtes. Consiste en plicr l siguiente regl: u dv u v v du. Vemos lgunos ejemplos: e d { u du d dv e d v e e e d e e + C rctg d ( e + C. { u rctg du d + dv d v rctg + d rctg ln + + C... Integrción de funciones rcionles. Ls funciones rcionles son quells que se escriben de l form f( p(, donde p( y q( son polinomios. q( Si grdo(p < grdo(q, podemos plicr el método de descomposición que presentmos continución. Si no, debemos efectur l división de polinomios, y escribirlo como: f( p( r( c( + q( q(, donde c( es el polinomio cociente que result l hcer l división y r( es el polinomio resto de l división. Observemos que entonces grdo(r < grdo(q.

4 El método: El primer pso es descomponer el denomindor en fctores simples. Si grdo(q n y tods ls ríces son simples, es decir, q( ( (... ( n, se hce un descomposición de l form (con A,..., A n constntes reles: y se integr cd uno de los sumndos que precen. p( q( A + A + A n, n Ejemplo 8. d [ ddo que ( ( + ] ( A + B + C + ln ln 8 ln + + C. donde los coeficientes A, B y C se hn clculdo resolviendo: pr lo que se debe cumplir que: A + B + C + A( ( + + B( + + C( ( ( + (A + B + C + ( A + B C A A + B + C A + B C A A B C Tmbién podemos dr vlores convenientes pr obtener un sistem de ecuciones más simple pr A, B y C. Si hy lgun ríz múltiple, de multiplicidd k, precen k sumndos socidos es ríz. Es decir, si en l descomposición del polinomio del denomindor, q(, prece ( k, entonces descomponemos p( q( como: A A + ( + A ( + + A k ( k Ejemplo 9. + d [ ddo que + ( ] ( A + B ( + C ( d d ( + ( + ( ( + ( + C 4

5 donde se h resuelto: + lo que implic que A, B y C. A + B ( + C ( A + ( A + B + (A B + C ( Hy otrs muchs combinciones, como mezcl de ríces reles y complejs (simples y/o múltiples. Nosotros sólo trtremos quí el cso nterior, y el cso en que l ríz complej es imginri pur, es decir, del tipo +, que y sbemos es de tipo rcotngente..4. Cmbios de vrible importntes. sen t: En este cso lo que implic que d Por ejemplo, { cos d cos t, cos. t sen cos d t t que se h trnsformdo en un integrl de tipo rcionl. Tmbién podemos intentr el cmbio cos t o tg t. t t t Not. Estos tres cmbios no siempre funcionn, pero son fáciles de hcer. El cmbio que más hbitulmente funcion es tg ( t, pero los cálculos son más complicdos.. t n Entonces d nt n. Ver ejemplo segundo de l Sección..

6 . L integrl definid. Un nticipo de ls plicciones que nos permite introducir el concepto de est sección es el siguiente problem: Se f : [, b] R un función continu y positiv. Denotemos A f (c l áre contenid entre l función, el eje OX, y ls rects y c. Vemos l relción entre ls funciones A f y f. Como l función f es continu en c, entonces, pr culquier h > (pequeño, se tiene que A f (c + h A f (c es proimdmente f(ch, o lo que es lo mismo, A f (c + h A f (c h f(c. Tomndo hor límites cundo h en mbos miembros de l iguldd nterior (recordr l definición de derivd, se tiene que A f (c f(c, es decir, A f es un primitiv de f. L propiedd nterior nos llev considerr el siguiente concepto: Definición. Llmmos integrl definid un epresión del tipo donde < b. En cso de > b, se consider: b f( d, b f( d b f( d. Observemos que sólo se diferenci de ls primitivs o integrles indefinids en que precen límites de integrción, b. Si dd l función f( conocemos un primitiv de ést, F (, entonces se verific l Regl de Brrow: b f( d F (b F (. Observemos que f( d F ( + C, es decir, el vlor de C no fect l plicción del l Regl de Brrow. Ejemplo. d 8 7. L fórmul de integrción por prtes pr integrles definids es: b b f( g ( d f( g( b f ( g( d

7 .. Propieddes de l integrl definid.. Si k R, entonces. b b (f( ± g( d. Si c [, b], entonces: k f( d k b f( d ± 4. Si f(, [, b], entonces. Si f( g( [, b], entonces b b b b b f( d. g( d. f( d f( d. f( d c b f( d + g( d. b c f( d... Aplicciones de l integrl definid. Cálculo de áres de superficies plns Queremos clculr el áre A determind por, b, el eje OX e y f(. Si f(, entonces A b Si f(, entonces A b f( d. f( d. Si l función tiene cmbios de signo en [, b], hy que seprr los intervlos donde f( tiene signo constnte y plicr lo nterior. Por ejemplo, si f( en [, c] y f( en [c, b], entonces: A c f( d b c f( d. Si queremos clculr el áre determind por, b y ls curvs y f( e y g(, donde f( g(, entonces: A b (f( g( d. En otro cso, hy que seprr [, b] en intervlos y se ctú como ntes en cd intervlo. Ejemplo. Clculr el áre encerrd por f(, g( en el intervlo (, y en el intervlo (,

8 donde l líne continu corresponde y, y l líne discontinu corresponde y. El áre en el intervlo (, es: A ( ( d. El áre en el intervlo (, es: A f( g( d ( d + ( ( ( d. Ejemplo: Áre del círculo: L curv que define el contorno de un círculo de centro (, y rdio r es +y r, luego y r..8. y Grcis l simetrí de l figur, pr clculr el áre lo hcemos pr [, r] y multiplicmos por 4: r r ( A 4 r d 4 r d r { sent hciendo el cmbio de vrible r d r cost π/ 4r cos t usndo l fórmul trigonométric cos (t + cos(t π/ ( ( + cos(t t 4r 4r + sen(t π/ π r. 4 8

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