[FACTORIZACION DE POLINOMIOS]

Transcripción

1 009 CETis 6 Ing. Gerrdo Srmiento Díz de León [FACTORIZACION DE POLINOMIOS] Documento que enseñ como fctorizr polinomios

2 Pr fctorizr polinomios hy vrios métodos: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. Scr fctor común: Es plicr l propiedd distributiv de l multiplicción respecto de l sum, Así, l propiedd distributiv dice:.( y).. y Pues bien, si nos piden fctorizr l epresión.. y, bst plicr l propiedd distributiv y decir que.. y.( y) Cundo nos piden scr fctor común o simplemente fctorizr y hy coeficientes con fctores comunes, se sc el máimo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden fctorizr l epresión 6 8, será 6 8 6(6 ) donde 6 es el máimo común divisor de 6, y 8 Pr comprobr si l fctorizción se h hecho correctmente, bst efectur l multiplicción, plicndo l propiedd distributiv de l prte derech de l iguldd, y nos tiene que dr l prte izquierd. Otro ejemplo: Fctorizr b b 6b b b 6b b( b) Atención cundo scmos un sumndo completo!, dentro del préntesis hy que poner un uno. Tener en cuent que si hubiérmos puesto b b 6b b( b) y quiero comprobr si está bien, multiplico y me d b( b) b 6b pero no b b 6b como me tendrí que hber ddo. Sin embrgo si efectúo b( b) b. b. b.b b b 6b Otros ejemplos: 6 9. Si se trt de un diferenci de cudrdos: Es igul sum por diferenci. Se bs en l siguiente fórmul b b b Pero plicd l revés, o se que si me dicen que fctorice b escribo b b b

3 Otros ejemplos de fctorizción por este método: 6 b 9 b b. Si se trt de un trinomio cudrdo perfecto: Es igul l cudrdo de un binomio Se bs en ls siguientes fórmuls b b b b b b y Así si nos dicen que fctoricemos: b b, bst plicr l fórmul nterior y escribir que b b b Otros ejemplos de fctorizción por este método: ( 5). Si se trt de un trinomio de segundo grdo: O se un polinomio de este tipo b c, siendo, b y c números b b c Se igul el trinomio cero b 0, se resuelve l ecución, y si tiene dos soluciones distints, y se plic l siguiente fórmul: b c Vemos un ejemplo: Fctorizr el polinomio Igulmos cero Resolvemos l ecución, y seprndo ls dos soluciones,, y plicndo l fórmul, teniendo en cuent que = 5

4 5. Pr culquier polinomio que teng ríces enters se puede plicr l regl de Ruffini: Decir que un polinomio tienes ríces enters es encontrr vlores de números enteros que l sustituirlos en el polinomio nos d cero. Si un polinomio de, por ejemplo, curto grdo b c d e tiene cutro ríces enters,,, y se fctoriz sí: b c d e Pero cómo se obtienen ls ríces?, por l regl de Ruffini Ejemplo: Fctorizr 6 Se plic l regl de Ruffini, probndo los divisores del término independiente, en este cso de. O se que se prueb con, -,, -,, -,, -, 6, -6, y Probemos con uno Se copin los coeficientes del polinomio: Y se escribe en un segund líne el número uno El primer coeficiente se copi bjo en un tercer líne Se multiplic ese coeficiente, uno (), por el número que estmos probndo, en este cso tmbién uno (), o se uno por uno = uno (). Este uno se escribe debjo del siguiente coeficiente, o se del Se sum += Se multiplic por =- y se escribe debjo del siguiente coeficiente, -

5 Se sum -=- y sí sucesivmente Como vemos l últim sum h ddo cero. Eso quiere decir que uno es un ríz del polinomio y que nos sirve pr fctorizr. Si hubier ddo distinto de cero hbrí que seguir probndo los demás divisores de. Los coeficientes que hn queddo en l últim fil, en relidd son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre -, y l últim sum es el resto de dich división. Si escribimos l relción fundmentl de un división enter, o se que Dividendo=Divisor Cociente+Resto 6 = 0 = De hecho y hemos fctorizdo el polinomio, pero el segundo fctor de tercer grdo hy que intentr seguir fctorizndo, de nuevo por l regl de Ruffini. Aplicndo sucesivs veces est regl qued: Como ls ríces son,, y y el último cociente es - L fctorizción finl es: 6 = Si en ls sucesivs pruebs no encontrmos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede fctorizr dentro de los números reles. EN RESUMEN Muchs veces se pueden combinr estos cinco métodos. Según como se el polinomio hy métodos que se pueden plicr y otros que no. Se consej que se intenten plicr los cinco métodos sucesivmente, sobre todo, si se puede scr fctor común se hce en primer lugr, y si luego en uno de los fctores se puede seguir plicndo otros de los métodos, se plic.

6 EJEMPLOS: Fctorizr los siguientes polinomios.- Podemos plicr el primer método, o se scr fctor común El segundo fctor, o se el préntesis, es un trinomio de segundo grdo y cudrdo perfecto. Se puede fctorizr por el tercero, curto o quinto método. Apliquemos el tercero y qued: = Primero scmos fctor común: Al préntesis le podemos plicr el segundo método y qued: 8 6= Y ún más, l segundo préntesis le podemos volver plicr el segundo método: 5 8 = El polinomio de segundo grdo que qued en el tercer préntesis no se puede fctorizr. Si probmos el curto método, igulndo cero y resolviendo l ecución qued 0 que no tiene solución rel..- 0 Sólo podemos plicr el quinto método, o se Ruffini: = Primero scmos fctor común 5 8 = 5 6 Igulmos cero el préntesis y resolvemos l ecución:, por tnto l fctorizción complet es: 5 8 = 5 5 que origin dos soluciones, - y

7 Fctorizr y clculr ls ríces de los polinomios Fctorizr los polinomios 9 = = = 50 = 5 5 = = Descomponer en fctores los polinomios y y +6 = 5 = = + = 6 +9 = = = + +9 = + = 7 7 =