3. Ecuaciones diferenciales de orden superior. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)
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- Lorena Sánchez Hidalgo
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1 . Ecuacions difrncials d ordn suprior Chma Madoz, VEGAP, Madrid 009
2 Ecuacions linals: toría básica Un problma d valor inicial d n-ésimo ordn consist n rsolvr la EDO linal: a n n d d d a a a0 g n n n d d d n sujta a las n condicions inicials: n 0 0, 0,, 0 n Rsolvrlo consist n ncontrar una función n dfinida n un intrvalo I qu contin a 0, dond s cumpln la cuación las condicions inicials.
3 Eistncia d una solución única Condición suficint Sa a n, a n-,, a 0, g continuas n I, con a n 0 para todo d I. Si 0 s cualquir punto d st intrvalo, ntoncs ist una solución dl problma antrior n I s única. Ejmplo: 5 7 0, 0, 0, pos la solución trivial 0. Como s una ED d trcr ordn linal con coficints constants, 0 s la única solución n cualquir intrvalo qu contnga a. 0
4 Ejmplo: Compruba qu s la única solución d " 4, 0 4, '0 La ED s linal, los coficints g son todos funcions continuas, a s distinto d 0 n cualquir intrvalo qu contnga 0. La solución propusta cumpl la EDO s única n I. Compruba qu c s solución dl PVI: 6, 0, 0 n toda la rcta ral. Est PVI tin infinitas solucions. Obsrva qu l coficint d la drivada a más alta s hac cro n 0 s punto ncsariamnt tin qu star incluido n I porqu lo imponn las condicions inicials. 4
5 Problmas d valors n la frontra Rsolvr: sujta a : d d a a a0 g d d a 0, b s llama problma d valor n la frontra PVF a las rstriccions s conocn como condicions d contorno o condicions n la frontra. Nota: Las condicions d contorno pudn sr también sobr las drivadas. 5
6 Vimos qu c cos 4t c sin 4t ra solución d " 6 0 a Supongamos l PVF Si 0 0, ntoncs c 0, t c sn 4t. Si π/ 0, obtnmos 0 0 indpndintmnt d c. D modo qu tnmos infinitas solucions. b Si 6 0, 0 0, 8 tnmos qu c 0, c 0: t 0, solución única. 6 0, 0 0, π π , 0 0, π c Si tnmos qu c 0, 0 contradicción. No ha solución. 6
7 a La siguint EDO linal d ordn n: n n d d d a a a0 g n n n d d d n s dic qu s no homogéna. a n n n d d d an a a0 n n d d d 0 si g 0 la cuación s homogéna. Vrmos qu para rsolvr una cuación no homogéna tndrmos qu rsolvr también la cuación homogéna asociada. 7
8 Opradors difrncials Sa D d/d. Al símbolo D s l llama oprador difrncial. Dfinimos a un oprador difrncial d n-ésimo ordn u oprador polinominal como L a n n n D an D a D a0 El oprador difrncial L s un oprador linal: L{ α f βg } αl f βl g Podmos scribir las EDOs antriors simplmnt como L 0 L g 8
9 Principio d suprposición cuacions homogénas San,,, k solucions d una cuación difrncial homogéna d n-ésimo ordn n un intrvalo I. Entoncs la combinación linal c c c k k dond c i, i,,, k, son constants arbitrarias, también s una solución n l intrvalo. Ejmplo: Las funcions, ln son ambas solucions n 0, d 4 0 Lugo ln también s una solución n 0,. Nota: A c también s solución si s una solución. B Una ED linal homogéna simpr pos la solución trivial 0. 9
10 Dpndncia indpndncia linal Un conjunto d funcions f, f,, f n s linalmnt dpndint n un intrvalo I, si istn cirtas constants c, c,, c n no todas nulas, tals qu: c f c f c n f n 0 Si l conjunto no s linalmnt dpndint, ntoncs s linalmnt indpndint. En otras palabras, si l conjunto s linalmnt indpndint, cuando: c f c f c n f n 0 ntoncs ncsariamnt c c c n 0. 0
11 Son stas funcions linalmnt indpndints? c f c f 0
12 Ejmplo: Las funcions f cos, f sin, f sc, f 4 tan son linalmnt dpndints n l intrvalo -π/, π/ porqu c cos c sin c sc c 4 tan 0 con c c, c -, c 4. Ejmplo: Las funcions f ½ 5, f ½ 5, f, f 4 son linalmnt dpndints n l intrvalo 0,, porqu f f 5 f 0 f 4
13 ' ' ',..., n n n n n n n f f f f f f f f f f f W Wronskiano Supongamos qu cada una d las funcions f, f,, f n pos al mnos n drivadas. El dtrminant s llama l Wronskiano d las funcions.
14 TEOREMA Critrio para solucions linalmnt indpndints San,,, n solucions d una ED homogéna d n-ésimo ordn n un intrvalo I. Est conjunto d solucions s linalmnt indpndint si sólo si W,,, n 0 para todo n l intrvalo. DEFINICIÓN Conjunto fundamntal d solucions Cualquir conjunto,,, n d n solucions linalmnt indpndints d una ED homogéna d n-ésimo ordn s llama conjunto fundamntal d solucions. 4
15 TEOREMA Eistncia d un conjunto fundamntal Eist un conjunto fundamntal d solucions para una ED linal homogéna d ordn n n un intrvalo I. TEOREMA Solución gnral cuacions homogénas Sa,,, n un conjunto fundamntal d solucions d nustra ED linal homogéna n un intrvalo I. Entoncs la solución gnral s c c c n n dond c i son constants CH_5 arbitrarias. 5
16 6 Las funcions, - son solucions d 9 0 n -, Obsrva qu para todo. Lugo son indpndints. Así qu c c s la solución gnral. 0 6, W Por jmplo, la función 4 sinh - 5 s una solución. Obsrvmos qu 4 sinh
17 7 Las funcions,, son solucions d n -,. Como para todo valor ral d. c c c s la solución gnral n -, ,, 6 W
18 TEOREMA Solución Gnral Ecuacions no homogénas Sa p cualquir solución particular d una EDO no homogéna n un intrvalo I. Y sa,,, k un conjunto fundamntal d solucions d su EDO homogéna asociada, ntoncs la solución gnral d la cuación n l intrvalo s c c c k k p dond las c i, i,,.,n son constants arbitrarias c c c k k p c p función complmntaria una solución particular 8
19 La función p -/ ½ s una solución particular d 6 6 La solución gnral s c p c c c 9
20 0 Dadas k EDOs con i,,, k. Si pi dnota una solución particular d la ED i-ésima corrspondint a g i, tnmos qu s una solución particular d TEOREMA 0 g a a a a i n n n n p k p p p 0 g g g a a a a k n n n n Principio d suprposición cuacions no homogénas
21 Obsrvmos qu p -4 s una solución particular d " ' p s una solución particular d " ' 4 p s una solución particular d " ' 4 4 Entoncs p p p s una solución d g g g
22 Rducción d ordn Sabmos qu la solución gnral d a a a0 0 s c c. Supongamos qu dnota una solución conocida no trivial. Pusto qu la solución s linalmnt indpndint, supongamos qu u. Nustro objtivo srá ncontrar una tal u. El método s conoc como rducción d ordn.
23 Dada solución d 0, hallar la sgunda solución por l método d rducción d ordn. Solución Si u, ntoncs u u, u u u qu sustitundo n la EDO: Como 0, nustra EDO s convirt n: Ahora "rducirmos" l ordn d la ED gracias al cambio: w u w ' w " u" u' 0 u" u' qu intgrando por sparación w c u d variabls dshacindo l cambio, nos proporciona: u / c c 0 0
24 Hmos hallado la sgunda solución por l método d rducción d ordn: c u c Rcordmos qu tníamos como primra solución d 0. Si tomamos c 0, c - para nustra sgunda solución, tnmos -. Obsrva qu W, - 0 para todo, d modo qu las solucions son indpndints. 4
25 Caso gnral Escribimos la EDO n la forma stándar P Q 0 Sa una solución conocida d la EDO 0 para todo n l intrvalo. Si dfinimos u, tnmos u u u, u u u P Q P Q ] u P u [ cro 0 5
26 u P u 0 mplando l cambio w u. w P w Dividindo ntr w multiplicando por d: dw w dw 0 P w 0 d dw d Pd d w Pd c Pd ln w c Lugo u c Pd d c w c Pd Tomando c, c 0, obtnmos P d d 6
27 La función s una solución d " ' 4 Hallar la solución gnral n 0,. Solución: La forma stándar s Dando los pasos antriors, dmustra qu: d / d 4 ln La solución gnral s: c c ln 7
28 La cuación difrncial a b 0 s rsulv a sa mdiant sparación d variabls o mdiant la auda d un factor intgrant. Obsrva qu si dspjamos d la cuación difrncial a b 0 s obtin k, dond k s una constant. Esto nos rvla la "naturalza" d la solución: la única función lmntal no trivial cua drivada s una múltiplo d si misma s la función ponncial, m. Lo qu rsta srá dtrminar l valor d m... 8
29 a n Ecuacions linals homogénas con coficints constants n a n n 0 dond a i son constants, a n 0. Ecuación o polinomio auiliar : Para n, a b c 0 Si probamos m, m am bm c 0 am bm c 0 obtnmos la cuación auiliar. a a a 0 9
30 am bm c 0 Las dos raícs dl polinomio auiliar son: m b b 4ac / a m b b 4ac / a b 4ac > 0: rals distintas, m m. b 4ac 0: rals iguals, m m -b/a. b 4ac < 0: compljas conjugadas, m α iβ m, α iβ 0
31 Caso : Raícs rals distintas La solución gnral s Caso : Raícs rals rptidas m m m m d d m La solución gnral s m m m c c Por qué? m c c Para obtnr la sgunda solución utilizamos l método d rducción d ordn, rcordando qu m m -b/a. m
32 Caso : Raícs compljas conjugadas Escribimos m solución gnral s α iβ m α iβ α iβ C C, Usando la fórmula d Eulr: θ i cosθ isinθ, una α iβ i β iβ iβ cos β isin β cos β isin β iβ iβ iβ cos β isin β
33 Como s solución gnral, tomando C C C, C -, tnmos dos solucions: Así, α cos β α sn β son un conjunto fundamntal d solucions la solución gnral s i i C C β α β α i i β α β β α cos i i i β α β β α sin sin cos sin cos c c c c β β β β α α α
34 Rsolvr las EDs siguints: a b c " 5' 0 m 5m m m, m /, m / c c " 0' 5 0 m 0m 5 m 5, m m 5 5 c c " 4' m 4m 7 0, m i, m i α, β, c cos c sn 4
35 Rsolvr Solución: 4m 4m 7 0, / 4 " 4' 7 0, 0, '0 m / i ± c cos c sin 0, c, '0, c /4 5
36 Rsolvr las cuacions: k 0, k 0, k > 0 Para la primra cuación : c cos k c sin k Para la sgunda cuación : k c c k Como Lugo k k / cosh k k k / sinh k c cosh k c sinh k 6
37 7 Ecuacions d ordn suprior Dada la EDO: La cuación asociada s llama su cuación auiliar. 0 0 a a a a a n n n n 0 0 a a m m a m a m a n n n n
38 Rsolvr Solución: 4 0 m m m 4 m m 4m 4 m m m c c c Rsolvr Solución: 4 d 4 d d d 0 m m 4 m m m i m m4, i 0 i i i C C C C4 c c sin c cos i cos c4sin 8
39 Raícs compljas rptidas Si m α iβ s una raíz complja d multiplicidad k, ntoncs m α iβ s también una raíz complja d multiplicidad k. Las k solucions linalmnt indpndints son : α cos β, α cos β, α k cos β,, α cos β snβ, snβ, snβ,, α α α k α snβ 9
40 Coficints indtrminados Si qurmos rsolvr n n n a a a a n 0 g Tnmos qu hallar c p. Vamos cómo hacrlo, n st caso gnral, mdiant l método conocido como d coficints indtrminados. 40
41 Coficints indtrminados Simplmnt harmos una conjtura sobr la forma d la posibl solución particular a partir d la g qu dbrá sr un polinomio, sno o cosno, ponncial o combinación linal d todas llas... Gracias a qu las drivadas d las combinacions linals d stas funcions vulvn a sr llas mismas, parc razonabl qu busqumos solucions particulars d la misma forma... Vamos a ilustrar la ida con algunos jmplos 4
42 " 4' Rsolvr Solución: Ya sabmos cómo obtnr una solución c d la cuación homogéna asociada. Ahora, qurmos hallar p. Como l lado drcho d la ED s un polinomio, supondrmos p A B C, ntoncs, tras sustituir: p ' A B, p " A 6 A 8A 4B A B C 6 A, 8A B, A 4B C 6 5 A, B 5/, C 9 p 9 4
43 Hallar una solución particular d Solución: Probmos p A cos B sn Tras sustituir, Lugo " ' sn 8A Bcos A 8Bsin sin A 6/7, B 6/7 p 6 7 cos 6 7 sn 4
44 Rsolvr Solución: " ' 4 5 c c c 6 Solución homogéna Pnsando n l principio d suprposición: Probmos Tras sustituir, Lugo p A 4 A 5 6 B C A B C E C E A 4/, B /9, C, E 4/ p c 4 c
45 Dtrminar una p d " 5' 4 8 Solución: Probmos: p A Tras sustituir: 0 8 conjtura incorrcta El problma stá n qu la función complmntaria s: Y la suposición a stá prsnt n c. Probmos como altrnativa: p A. Tras sustituir: -A 8 Entoncs: A -8/, p 8/ c c c 45 4
46 Si ninguna función n la supusta p s part d c En la siguint tabla s mustran solucions particulars d pruba. g Forma d p. una constant. 5 7 A A B. A B C 4. A B C E 5. sn 4 A cos 4 B sn 4 6. cos 4 A cos 4 B sn A A B 9. 5 A B C 0. sn 4 A cos 4 B sn 4. sn 4 B C cos 4 E F. cos 4 A B cos 4 C E sn 4 5 A G sn 4 46
47 Hallar la forma d p d a " 8' Solución: Tnmos qu g 5 7 p probamos con No ha duplicación ntr los términos p c A B C E b 4 cos Solución: Probamos con p A Bcos C E sin Tampoco ha duplicidad ntr los términos p. c 47
48 Hallar la forma d p d 9 4 5sn 7 6 Solución: Para : p A B C Para -5 sn : p E cos Fsn Para 7 6 : p G H 6 Ningún término d término d c p p p p duplica un 48
49 Así qu la rgla formal n st caso s qu la solución particular s una combinación linal d las funcions linalmnt indpndints qu s gnran mdiant difrnciacions rptidas d g. Y cuál s la rgla si la solución particular así propusta s también una solución d la cuación homogéna asociada? Si alguna p contin términos qu duplican los términos d c, ntoncs sa p s db multiplicar por n, dond n s l ntro positivo más pquño qu limina sa duplicación. 49
50 Rsolvr Solución: " 4 0 sn, π 0, ' π c c cos c sn Primro probamos: p A B C cos E sn Pro ha una duplicación. Entoncs probamos con p A B C cos E sn Tras sustituir simplificar, A 4, B 0, C -5, E 0 Lugo c cos c sn 4 5 cos Como π 0, π, tnmos 9π cos 7 sn 4 5 cos 50
51 Rsolvr 6' 9 6 Solución: c c c " p A B C Dbmos probar con: E p p Tras sustituir simplificar, A /, B 8/9, C /, E -6 Lugo 8 c c 6 9 p A B C Est término stá duplicado, aparc a n c. E p p 5
52 Rsolvr Solución: m m 0, m 0, 0, - c c c c - Probamos como solución particular: p A cos B sn Tras sustituir simplificar, A -/0, B /5 Lugo c p " cos c c c cos 0 5 sn 5
53 Hallar la forma d p d 4 Solución: c c c c c 4 - Pruba: p A B C E p p Como aparc rptido n la solución homogéna, ncsitarmos multiplicar A por B - C - E - por. Pruba ahora: p A B C E p p 5
54 Método dl anulador Sigu los apunts d Jos Olarra. 54
55 Método d variación d parámtros a a a g 0 P Q f dond P, Q f son continuas n I. Conocidas solucions l. i. d la c. homogéna asociada, probarmos como solución particular: u u p 55
56 56 Sustituimos p, p n la EDO: u u p p p p Q P ] [ ] [ Q P u Q P u ] [ u u u u P u u u u ] [ ] [ ] [ u u u u P u d d u d d ] [ ] [ f u u u u P u u d d 0 0
57 d d u u ] P[ u u ] u u f [ Ncsitarmos dos cuacions para ncontrar valors d u u. Eijamos qu: u u 0,para obtnr una cuación adicional d paso qu la EDO s rduzca a: u u f. D modo qu nos quda l sistma d cuacions: u u 0 u u f 57
58 58 Eprsado n términos d dtrminants dond D dond ncontrarmos, por intgración, las solucions. W f W W u W f W W u 0, 0, f W f W W
59 59 Rsolvr 4 ' 4 " 0, 4 W W W 4 4 0, 0, u u W f W W u W f W W u Solución: m 4m 4 0, m cro dobl,, Como f, ntoncs:
60 60 Lugo u -/ ½, u ½ p 6 p c c c 6, u u Rcordmos qu: u u p,
61 Rsolvr 4 " 6 csc Solución: 9 /4 csc m 9 0, m i, -i cos, sin, f /4 csc Como cos sin W cos, sin sin cos 0 sin cos 0 W, W /4 csc cos 4 sin /4 csc 4 cos sin 6
62 u W W u W W cos sn Entoncs u /, u /6 ln sn p cos 6 snln sn c p c cos csn cos snln sn 6 6
63 6 Rsolvr Solución: m 0,m, -, -, f /, W, - - Lugo " t dt t u u 0, / t dt t u u 0, / t t p dt t dt t 0 0 t t p c dt t dt t c 0 0
64 Ecuacions d ordn suprior Para las EDs d n-ésimo ordn d la forma n P n n P P0 tomamos p u u u n n, dond i, i,,, n, son la familia d solucions indpndints qu forman c. Así: f Suposicions para simplificar la EDO: u u n u n u n u 0 n u 0 n n n n u u u f Qu nos llva a las cuacions solución u k W k /W con k,,, n. Dond W s l wronskiano d la 's W k s l dtrminant qu s obtin d sustituir n W la k-ésima columna por 0, 0,..., f. n 64
65 Ecuación d Cauch-Eulr Forma d cuación d Cauch-Eulr a n n n n an d n d Método d solución n d d a a0 g n d d Probamos m, dond dbmos dtrminar m, para rsolvr la cuación homogéna asociada: Obsrva qu: a k k k d k d k ak m m m m k m a m m m m k k m a m m m m n... a m a 0 n 0 mk 65
66 Ecuación auiliar Para n, m, tnmos amm bm c m 0, o am b am c 0 Caso : Raícs rals distintas c d d Rsolvr 4 0 d d Solución: Tnmos a, b -, c -4 m m 4 0, m -, 4, c - c 4 m c a b c m d d d d g Obsrva qu tnmos qu a s igual a cro n 0. Para asgurar istncia unicidad, tomarmos I 0,. 66
67 Caso : Raícs rals rptidas Ddujimos Lugo m c m ln c m ln d d Rsolvr d d Solución: Tnmos a 4, b 8, c 4m 4m 0, m -½, -½ c / c / ln 67
68 Caso : Raícs compljas conjugadas Ordn suprior: multiplicidad k m m m m, ln, ln,, ln Caso : raícs compljas conjugadas m α iβ, m α iβ, C α iβ C α - iβ Como iβ ln iβ iβ ln cosβ ln i snβ ln -iβ cosβ ln i sn β ln Lugo c α cosβ ln c α snβ ln α [c cosβ ln c snβ ln ] k 68
69 Rsolvr 4 7 0,, ' Solución: Tnmos a 4, b 0, c 7 4m 4m 7 0, m ½ i / [ c cosln c sinln ] Aplicando -, 0, tnmos qu c -, c 0, / cos ln 69
70 Rsolvr Solución: Sa m, d d d d d d d m d m, m m d d d m m m d 0 m m, Lugo tnmos m m m 4 0 m -, m i, m -i c - c cos ln c sin ln 70
71 4 Rsolvr " ' Solución: Tnmos m m 0,m, c c c Usando variación d parámtros, p u u, dond, Escribimos la ED como Lugo P -/, Q /, f 7
72 7 Así Hallamos W W W 5 0, 0,, 5 u u 5, u u p u u p c c c
73 Una cuación d Cauch-Eulr simpr s pud scribir como un linal d coficints constants hacindo l cambio d variabl: t. Por jmplo: Rsulv así: ln t t ln d d d d d dt d d dt d d dt d dt d dt d d d dt d dt d dt d d d dt d dt d dt d dt d dt 7
74 74 ln t dt d dt d t t c c t t c c ln ln
75 Unos jmplos d cuacions no linals " ' Rsolvr Solución: Esta cuación no linal carc d término n. Sa u, ntoncs du/d, du d u du d u u c S scrib n sta forma solo por convnincia para lugo intgrar d Como u - /, d c d Entoncs, tan c c c c 75
76 " ' Rsolvr Solución: Esta cuación no linal carc d término n. Sa u, ntoncs du/d du/dd/d u du/d du u d u o du u d ln u ln c, u c dond c ± Como u d/d c, d/ c d ln c c, c c 4 c 76
77 Supongamos qu ist solución para:, 0, 0 Si admás suponmos qu admit dsarrollo n sri d Talor cntrado n 0: !!! 4! Como 0 -, 0, d la ED original: Drivando sucsivamnt la ED original: d d 4 77
78 4 d d... podmos utilizar l mismo método para obtnr 0 4, 4 0 8, tc. Y ncontrar una aproimación n Talor d la solución: 4 78
79 Una última obsrvación: La ED d st jmplo:, 0, 0 s quivalnt mdiant cambio d variabl al sistma d cuacions difrncials: d u d du d 0, u0 79
CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden
APITULO 5. EUAIONES DIFERENIALES DE ORDEN N 5.. Introducción Una cuación difrncial d sgundo ordn s una prsión matmática n la qu s rlaciona una función con sus drivadas primra sgunda. Es dcir, una prsión
I, al tener una ecuación. diferencial de segundo orden de la forma (1)
.6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida 9.6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn
Tabla de contenido. Página
Tabla d contnido Página Ecuacions d ordn suprior Ecuacions homogénas d sgundo ordn con coficints constants Caso. Raícs rals distintas 6 Caso. Raícs compljas conjugadas 6 Caso. Raícs rals iguals 7 Rsumn
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