ECUACIONES DE LA RECTA

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1 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa halla la ecuación de una ecta en el espacio necesito: Dos puntos Un punto y su vecto diecto Nota: Nosotos utiliaemos siempe un punto A(x,y, ) y un vecto v (a,b,c). Si me dan dos puntos A(x,y, ), B(x,y, ) Tomaemos uno de los mismos A(x,y, ) y como vecto v AB (x - x, y y, ) Ecuación vectoial: (x,y,) (x,y, ) + k.(a,b,c) k R x + ka Ecuaciones paaméticas: y y + kb k R + kc x x y y Ecuación continua: a b c Ax + By + C + D Ecuación implícita (como intesección de dos planos): A x + By + C + D Ejemplo : Halla las ecuaciones de la ecta que pasa po los puntos P(,,-) y Q(,-) Punto : P(,, ) : Vecto : PQ Q P (,, ) (,, ) (,, ) Ecuación vectoial: (x,y,) (,,-) + λ.(,,-) λ R + λ Ecuaciones paámeticas: y λ λ R λ x y + Ecuación continua: y y Ecuación implícita: x + + x Ejemplo : Halla dos puntos y un vecto de las siguientes ectas: t P (,,-) a) (x,y,) (,,-) + t.(,,) Puntos: t P (,,) + λ λ P (,,) b) y λ Puntos: λ λ P (,-,-) P (-,,-) x + y + c) Puntos x P (,,- ) Vecto: (,,) Vecto (,-,-) Vecto (,,)

2 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato d) x + y + x y + Nota: Ota foma de halla el vecto (7,, 5) + y + 5 5y + y α 5 7α P (5,, ) Puntos : 5α y α P (,,) x α + 5α 5α Vecto : ( 7,,5) i j ECUACIONES DE UN PLANO Paa halla la ecuación de un plano en el espacio necesito: Tes puntos Un punto y dos vectoes diectoes k Nota: Nosotos utiliaemos siempe un punto A(x,y, ) y dos vectoes v (a,b,c ), v (a,b,c ) Si me dan tes puntos A(x,y, ), B(x,y, ), C(x,y, ) Tomaemos uno de los mismos A(x,y, ) y como vectoes v AB (x - x, y y, ) v AC (x - x, y y, ) Ecuación vectoial: (x,y,) (x,y, ) + s.(a,b,c ) + t. (a,b,c ) x + s.a + ta Ecuaciones paaméticas: y y + s.b + tb s,t R + s.c + tc Ecuación implícita o geneal: Ax + By + C + D x x y y a a b b c c Ax + By + C + D s,t R Vecto nomal n (A,B,C) v x v (Es pependicula a los dos vectoes diectoes) Nota: Si conocemos el vecto nomal y un punto podemos halla diectamente la ecuación geneal del plano. Del vecto nomal conocemos A, B y C ; y si sustituimos el punto hallamos D. Ejemplo : Halla las ecuaciones del plano que pasa po los puntos A(,,-), B(,,-5), C(,,) Punto : A(,, ) π : v AB (,, ) Vectoes : v AC (,,) Ecuación vectoial: (x,y,) (,,-) + s.(,,-) + t.(,,) s,t R s + t Ecuaciones paaméticas: y + s + t s,t R s + t Ecuación implícita o geneal: Ax + By + C + D

3 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato x y + x (y-)+(+) 5x-y++ Ejemplo : Halla dos punto, dos vectoes y el vecto nomal P (,,) a) (x,y,) (,,) + λ(,5,6) +µ(,,) Puntos: λ, µ P (,,6) v(,5,6) Vectoes: v (,,) n vxv (5, 6, 5) + λ + µ v(,, ) P (,,) b) y λ µ Puntos: Vectoes: v (,,) λ λ, µ P (,,) n vxv (,, ) c) x + y x + y - Puntos: P(,,-), Q(,,-), R(,,-) n(,, ) Vectoes: v v PQ (,,) PR (,,) Ejemplo 5 : Halla la ecuación del plano, cuyo vecto nomal es (,,) y pasa po el punto (,,) x + y + + D x + y D D EJERCICIOS REPASO RECTAS Y PLANOS Ejecicio 6 : Halla las ecuaciones paaméticas de los ejes de coodenadas λ P Pto : P (,,) (,,) Eje OX y P (,,) Vecto : P P (,,) P Pto : P (,,) (,,) Eje OY y λ P (,,) Vecto : P P (,,) P Pto : P (,,) (,,) Eje OZ y P (,,) Vecto : P P (,,) λ λ R λ R λ R

4 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato Ejecicio 7 : Escibe todas las ecuaciones de la ecta que pasa po los puntos A(-,,) y 5 B,, Punto : A(,,) : 5 Vecto : AB +,,,, (,, ) Ecuación vectoial: (x,y,) (-,,) + λ.(,-,-) λ R + λ Ecuaciones paámeticas: y λ λ R λ x + y Ecuación continua: x y + y Ecuación implícita: x + 6 x + 5 Ejecicio 8 : Compueba si existe alguna ecta que pase po los puntos P(,,),Q(,-5,), R(6,-5,) Método: Hallamos la ecta que pasa po P y Q, y compobamos si R petenece a la ecta. Punto : P(,,) x y Recta que pasa po P y Q Vecto : PQ (, 6,) Compobamos si el punto R la cumple: Falso. 6 No existe ninguna ecta que pase po los puntos P, Q y R a la ve. Ejecicio 9 : Halla todas las ecuaciones de la ecta que pasa po el punto A(-,,5) y es paalela al eje OZ. Punto : A(,,5) : P (,,) Vecto eje OZ v(,,) P (,,) Ecuación vectoial: (x,y,) (-,,5) + λ.(,,) Ecuaciones paámeticas: y λ R 5 + λ x + y 5 Ecuación continua: + Ecuación implícita: y λ R

5 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 5 Ejecicio : Escibe todas las ecuaciones de la ecta que pasa po el punto P(,-,) y paalela al vecto uxv, siendo u(,,), v(,,) Punto : A(,,) i j k : Vecto : uxv (,,) (,,) Ecuación vectoial: (x,y,) (,-,) + λ.(,,) Ecuaciones paámeticas: y + λ λ R λ x y + Ecuación continua: Ecuación implícita: y + y λ R Ejecicio : a) Halla el vecto diecto de la ecta deteminada po los planos x y y + Modo : Pasando a paaméticas: y α, x α, - α v(,,-) i j k Modo : Pependicula a los vectoes nomales de los dos planos (,, ) Nota: Son paalelos, vale cualquiea de los dos. b) Escibe las ecuaciones paaméticas de la ecta anteio α Modo : Diectamente Ecuaciones paámeticas: y α α R α α Punto : Dado un valo, po ejemplo a x, x, y, Modo : y α Vecto : v(,,) + α α R Ejecicio : Dada la ecta x y + + y x x x y +, expésala como intesección de dos planos.

6 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato Ejecicio : Halla todas las ecuaciones de los siguientes planos: a) Deteminado po el punto A(,-,) y po los vectoes u(,,), v(,,) Ecuación vectoial: (x,y,) (,-,) + s.(,,) + t.(-,,) s,t R + s t Ecuaciones paaméticas: y + s + t s,t R Ecuación implícita o geneal: Ax + By + C + D x y + (x ) -6(y + ) + ( ) x 6y b) Pasa po el punto P(,-,) y cuyo vecto nomal es (5,-,-) 5x - y - + D 5x y (-) -.+ D D 5 x y + c) Pependicula a la ecta y que pasa po el punto (,,) Punto : Pπ (,,) π: x y + + D + + D D 5 x y + 5 n π v (,,) Ejecicio : Halla las ecuaciones paaméticas e implícitas de los planos OXY, OYZ y OXZ PuntoP (,,) OXY Puntos : P (,,),P (,,), P (,,) PP (,,) Vectoes PP (,,) s Ecuaciones paaméticas: y t s,t R x y Ecuación implícita o geneal: Ax + By + C + D Análogamente: OYZ: y s t s,t R, x s OXZ: y t s,t R, y Ejecicio 5 : Escibe las ecuaciones paaméticas de los planos a) b) x - c) y s s a) y t s,t R, b) y s s,t R, c) y t t s,t R,

7 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato Ejecicio 6: a) Cuál es el vecto nomal del plano x -? (,,) b) Escibe las ecuaciones de una ecta pependicula al plano que pase po A(,,) Punto : A(,,) : : Vecto : v n π (,, ) Ecuación vectoial: (x,y,) (,,) + λ.(,,) + λ Ecuaciones paámeticas: y λ R x y Ecuación continua: y Ecuación implícita: λ R 7 POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Coincidentes Paalelas Secantes Se cuan Método: Escibimos las ecuaciones paaméticas de cada una de ellas (con distinto paámeto), las igualamos y esolvemos el sistema: Sistema compatible deteminado Existe una única solución Se cotan en un punto Secantes. Sistema compatible indeteminado Existen infinitas soluciones Se cotan en infinitos puntos Coincidentes. Sistema incompatible No existe solución No se cotan Paalelas o se cuan. o Halla el vecto diecto de cada una o Si son paalelos (popocionales) las ectas son paalelas o Si no son paalelos, las ectas se cuan. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Coincidentes Paalelos Secantes Método: Escibimos las ecuaciones geneales de cada uno de ellos y esolvemos el sistema: Sistema compatible deteminado No puede se Sistema compatible indeteminado Existen infinitas soluciones Se cotan en infinitos puntos Se cotan en un plano o en una ecta o Si hay un gado de libetad Un vecto Se cotan en una ecta Secantes o Si hay dos gados de libetad Dos vectoes Se cotan en un plano Coincidentes Sistema incompatible No existe solución No se cotan Paalelos.

8 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 8 POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTA Y PLANO Recta Contenida en el plano Secantes Paalelos Escibimos las ecuaciones paaméticas de la ecta y la geneal del plano y esolvemos el sistema: Sistema compatible deteminado Existe una única solución Se cotan en un punto Secantes. Sistema compatible indeteminado Existen infinitas soluciones Se cotan en infinitos puntos Recta contenida en el plano. Sistema incompatible No existe solución No se cotan Paalelos. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Coincidentes Dos coincidente y Dos coincidentes y Paalelos Paalelos el oto secante el oto paalelo Dos paalelos Secantes en una ecta Secantes en un punto Secantes a Y el oto secante en una ecta Escibimos las ecuaciones de los tes planos en foma geneal y esolvemos el sistema: Sistema compatible deteminado Existe una única solución Se cotan en un punto Sistema compatible indeteminado: o Un gado de libetad: Se cotan en una ecta Dos planos coincidentes y el oto secante Los tes se cotan en una ecta o Dos gados de libetad: Se cotan en un plano Coincidentes Sistema incompatible No existe solución o Dos coincidentes y el oto paalelo o Tes paalelos o Dos paalelos y el oto los cota o Se cotan dos a dos en una ecta

9 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 9 Ejemplo 7 : Estudia la posición elativa de las siguientes ectas: 5α α a) : y + α s: y 5α Vectoes diectoes no paalelos, se Cuan o se cotan 5 α α 5α β Resolvemos el sistema + α 5β α β Rango A, RangoA Sistema incompatible No existe solución Se cuan. 5α x y b) : y + α s: Vectoes diectoes paalelos (paalelas o 5 α 5 coincidentes), tomamos un punto de, (,,5) y compobamos si cumple s: No lo cumple, po tanto, paalelas. t c) : y + 5t s: (x,y,) (,,5) + λ(-,,) Vectoes no paalelos, se Cuan o se cotan t t λ Resolvemos el sistema + 5t λ t 5 t 5 λ 5 Cieto Sistema compatible deteminado Existe una única solución, se cotan en un punto Halla el punto de cote, como t 5 P(-,8,5) + λ x y d) : y λ s: Vectoes diectoes paalelos (paalelas o λ + λ λ coincidentes) Cogemos un punto de s(,,) y compobamos si cumple : λ λ λ λ tanto coincidentes. Si, po Ejemplo 8 : Estudia la posición elativa de los siguientes planos. a) x y + b) x y + c) x y + x y x 5y + + x 6y + 8 Dos modos: O esolviendo el sistema o compaando sus vectoes nomales a) La última igualdad no se cumple, paalelos 6 b) Vectoes nomales no paalelos, se cotan en una ecta. 5 Si nos piden la ecta, esolvemos el sistema y obtenemos la ecta en paaméticas. c) Se cumplen todas, coincidentes. 6 8

10 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato Ejemplo 9: Estudia la posición elativa ente la ecta y el plano: t + a) π: x y+5+ : y t + 6t a) Sustituimos las ecuaciones de la ecta en la ecuación del plano: -t + -( t) + 5.( + 6t) + -t + - +t + + t + t + t - Sistema compatible deteminado. Existe una solución. Se cotan en un punto. Si nos piden el punto de cote, sustituimos en las ecuaciones de la ecta: P(5,,-) x y + b) -y + - b) Pasamos la ecta a paaméticas y sustituimos en la ecuación del plano -(t-) + t - Sistema compatible indeteminado, existen infinitas soluciones Recta contenida en el plano. t + c) y t + x + y t c) (t + ) + (-t + ) t 5 Sistema incompatible, no tiene solución Paalelos Ejemplo : Estudia la posición elativa de estos tes planos: + y a) y + x + y + a) Resolvemos el sistema po Gauss y nos sale compatible deteminado, existe una única solución Se cotan en un punto P(7/,/,-/) y + b) x y + x y + b) Resolvemos el sistema po Gauss y nos sale un sistema compatible indeteminado con un gado de libetad, es deci, se cotan en una ecta. Como los planos no son paalelos ente se cotan los tes en una ecta. y + c) x + y x + y + c) Resolvemos el sistema po Gauss y nos sale sistema incompatible, no tiene solución. Como ninguno es paalelo ente si, se cotan dos a dos en una ecta (Tienda de campaña) + y + a d) x + y + a a x + ay + d) Como es un sistema con paámetos con el mismo númeo de ecuaciones que de incógnitas, hallamos el deteminante: a a + a a,a a

11 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato CASO I: Si a Sistema RangoA' RangoA Incompatible El pime y el tece plano paalelos y el otos los cota en una ecta. CASO II: Si a Sistema Incog Nº RangoA' RangoA... Compatible indeteminado con un gado de libetad (ninguno paalelo) se cotan en una ecta. CASO III: a { }, R A Sistema compatible deteminado Se cotan en un punto. Resolviendo (po Came o po Gauss) obtenemos el punto de cote en función de a. REPASO DE RECTAS Y PLANOS Y POSICIONES RELATIVAS Ejecicio : Estudia la posición elativa de las siguientes ectas y halla el punto de cote, cuando sea posible: a) : y x + s: y x + Vectoes diectoes (,,) y (-,,) no paalelos, se cotan o se cuan. Resolvemos el sistema: β + α + β + α β α RangoA' RangoA Sistema incompatible, no existe solución, se Cuan. b) : y x s: 5 y x Vectoes diectoes (-,,) (,,) no paalelos, se cotan o se cuan. Resolvemos el sistema: 5 β + α + β + α + β + α Incog Nº RangoA' RangoA Sistema compatible deteminado, existe una única solución, se cotan en un punto. P(,,) 9 9 β β β α c) : y x + s: + y y x Vectoes diectoes (,,), ) (,, k j i Paalelos, Paalelos o coincidentes. Tomamos un punto de P (,,-) y vemos si petenece a s : + + No petenece a s po tanto no pueden se coincidentes. Son paalelas.

12 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato + t x y d) : s: y + 6t + 8t Vectoes diectoes (,,), (,6,8) paalelos, po tanto paalelas o coincidentes. + t t / Tomamos un punto de : P (,,) y compobamos si petenece a s: + 6t t / + 8t t / petenece a s po tanto son coincidentes. Si Ejecicio : Obtén el valo de a paa que las ectas y s se coten y halla el punto de cote. x y + : x y a s: β + α α β Pasamos a paaméticas y esolvemos el sistema: α β 7β 7 α + a α + β β, α,a P(-.-.) Ejecicio : Halla los valoes de m y n paa que las ectas y s sean paalelas: 5 + t x y + : y + t s: m n t Los vectoes diectoes popocionales: m m n n Ejecicio : Calcula m y n paa que los planos: α: mx + y - β: x + ny sean paalelos. Pueden se coincidentes? m n / Los vectoes nomales popocionales: n m 6 6 Paa que sean coincidentes: No son coincidentes. / Ejecicio 5 : Escibe la ecuación del plano que pasa po los puntos (,,), (,,) y (,,) Plano: Punto : A(,,) AB (,,) Vectoes : AC (,,) x y x y x y

13 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato Ejecicio 6 : Detemina la ecuación del plano que contiene al punto P(,,) y a la ecta y x P(,,), P (,,), v (,-,-) Punto : P(,,) x y Plano: PP (,,) -(x-) + (y ) -(-) Vectoes : v (,, ) -x + y - + -x + y + 5 x Ejecicio 7 : Compueba que las ectas : y paalelas y halla la ecuación del plano que las contiene. s: x 5 x y son i j k Vectoes diectoes popocionales: v (,,), v s (-, -, -) P (,,), v (,,), P s (Po ejemplo, x 5, y - (5,-,)) Punto : P (,,) x y Plano: v (,,) (x ) + 8y -( ) Vectoes : P Ps (,, ) x + 8y + 9 Ejecicio 8 : Son coplanaios los puntos A(,,), B(,,), C(,,), D(-,,)? Con tes puntos A, B y C hallamos el plano que los contiene y compobamos si D Al plano Punto : A(,,) Plano: AB (,,) Vectoes : AC (,,) po tanto no son coplanaios. x y - D no cumple que, Ejecicio 9 : Halla la ecuación del plano que pasa po los puntos A(,,) y B(-,5,) y es t paalelo a la ecta y + t t Punto : A(,,) x y Plano: AB (,, ) -(x ) -7(y ) ( ) Vectoes : v (,, ) -x 7y +7

14 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato Ejecicio : Halla la ecuación del plano que contiene a la ecta : x y + a: s: 5 Punto : P (,,) Plano: v (,,) Vectoes : vs (5,, ) x + y + + x 5 y + + λ y λ λ (x ) +(y + ) + y es paalelo x y + Ejecicio : Dado el plano π: x y + y la ecta :, halla la ecuación del plano que contiene a la ecta y es pependicula al plano π. Punto : P (,, ) x y + Plano: v (,,) 5(x ) +.(y ) ( + ) Vectoes : n π (,, ) 5x + y Ejecicio : Sea la ecta : x y + y el plano ax y + x + a) Calcula el valo de a paa que sea paalela al plano. b) Existe algún valo de a paa que sea pependicula al plano? a) Vecto diecto de la ecta y vecto nomal del plano pependiculaes (v.n π ) v i j (, 5,) v.n π (,5,).(a,-,) a a - k 5 b) Vecto de la ecta y vecto nomal del plano, paalelos:. No existe. a Ejecicio : Dados la ecta : x + y el plano π: x + y +, halla la y ecuación de una ecta s contenida en el plano π que pase po el punto P(,,-) y sea pependicula a. Punto : P(,, ) i j k i j k Recta s: (,,) Vecto : vs v xn π v v xn π (, 5,) n π (,,) x y + 5

15 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 5 Ejecicio : Halla la ecuación de una ecta que cumpla las condiciones siguientes: ) Es paalela a la ecta de ecuaciones: : x + 5 y + 5 ) Pasa po el punto de intesección de la ecta s con el plano π: x y + + s: π: x y + 7 v: α, x 5 - α, y 5 - α v (-,-,) t + P : s: y t t + (t ) + (t ) 7 5t 5 t P (5,, ) t x 5 y + Ejecicio 5 : Escibe la ecuación del plano que pasa po los puntos A(,-,) y B(,,) y es paalelo a la ecta : x y + y + Punto : A(,,) AB (,, ) Plano: i j k Vectoes : v ( 6, 9,6) (,,) 5(x ) + (y + ) + ( ) 5x + y + 5 x y + Ejecicio 6 : Dados los planos mx + y y x y , halla m paa que sean: a) Paalelos b) Pependiculaes m a) Popocionales: m - 6 b) Vectoes nomales pependiculaes: (m,,-).(,-,6) m 8-8 m Ejecicio 7 : Halla la ecuación de la ecta que pasa po el punto P(,,) y es pependicula al plano que pasa po el oigen y po los puntos B(,,) y C(,,). Punto : P(,,) Recta: Vecto : v n x y π Punto : O(,,) : π OB(,,) Vectoes : OC(,,) π : x y x + : v (,,)

16 Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 6 Ejecicio 8 : Escibe la ecuación del plano que contiene a la ecta : x + y x y + paalelo a s: x y + y es Punto : P Plano: v Vectoes : vs (,, ) P (,, ) Pasamos a paaméticas: y α, x - α, - + α + α α - v (,,) x y + Plano: -(x ) -y ( + ) -x y + Ejecicio 9 : Indica qué condiciones deben cumpli a, b, c y d, paa que el plano π: ax + by + c + d sea: a) Paalelo al plano OXY b) Pependicula al plano OXY c) Paalelo al eje Z d) Pependicula al eje X e) No sea paalelo a ninguno de los ejes. a) n π n oxy a b c a, b b) n π. n OXY (a,b,c).(,,) c c) n π.v Z (a,b,c).(,,) c d) n π v X a b c b, c e) No es paalelo a ninguno de los ejes, a, b, c