ECUACIONES DE LA RECTA

Transcripción

1 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa halla la ecuación de una ecta en el espacio necesito: Dos puntos Un punto y su ecto diecto Nota: Nosotos utilizaemos siempe un punto A(x,y,z ) y un ecto (a,b,c). Si me dan dos puntos A(x,y,z ), B(x,y,z ) Tomaemos uno de los mismos A(x,y,z ) y como ecto AB (x - x, y y, z z ) Ecuación ectoial: (x,y,z) (x,y,z ) + k.(a,b,c) k R x + ka Ecuaciones paaméticas: y y + kb k R z + kc x x y y z z Ecuación continua: a b c Ax + By + Cz + D Ecuación implícita (como intesección de dos planos): A x + By + C z + D Ejemplo : Halla las ecuaciones de la ecta que pasa po los puntos P(,,-) y Q(,-) Punto : P(,, ) : Vecto : PQ Q P (,, ) (,, ) (,, ) Ecuación ectoial: (x,y,z) (,,-) + λ.(,,-) λ R + λ Ecuaciones paámeticas: y λ λ R λ x y z + Ecuación continua: y y Ecuación implícita: x + z + x z Ejemplo : Halla dos puntos y un ecto de las siguientes ectas: t P (,,-) a) (x,y,z) (,,-) + t.(,,) Puntos: t P (,,) + λ λ P (,,) b) y λ Puntos: z λ λ P (,-,-) P (-,,-) x + y z + c) Puntos x P (,,- ) Vecto: (,,) Vecto (,-,-) Vecto (,,)

2 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato d) x + y + z x y + z Nota: Ota foma de halla el ecto (7,, 5) + y + z 5 5y + z y α 5 7α P (5,, ) Puntos : z 5α y α P (,,) x α + 5α 5α Vecto : ( 7,,5) i j ECUACIONES DE UN PLANO Paa halla la ecuación de un plano en el espacio necesito: Tes puntos Un punto y dos ectoes diectoes k Nota: Nosotos utilizaemos siempe un punto A(x,y,z ) y dos ectoes (a,b,c ), (a,b,c ) Si me dan tes puntos A(x,y,z ), B(x,y,z ), C(x,y,z ) Tomaemos uno de los mismos A(x,y,z ) y como ectoes AB (x - x, y y, z z ) AC (x - x, y y, z z ) Ecuación ectoial: (x,y,z) (x,y,z ) + s.(a,b,c ) + t. (a,b,c ) x + s.a + ta Ecuaciones paaméticas: y y + s.b + tb s,t R z + s.c + tc Ecuación implícita o geneal: Ax + By + Cz + D x x y y z z a a b b c c Ax + By + Cz + D s,t R Vecto nomal n (A,B,C) x (Es pependicula a los dos ectoes diectoes) Nota: Si conocemos el ecto nomal y un punto podemos halla diectamente la ecuación geneal del plano. Del ecto nomal conocemos A, B y C ; y si sustituimos el punto hallamos D. Ejemplo : Halla las ecuaciones del plano que pasa po los puntos A(,,-), B(,,-5), C(,,) Punto : A(,, ) : AB (,, ) Vectoes : AC (,,) Ecuación ectoial: (x,y,z) (,,-) + s.(,,-) + t.(,,) s,t R s + t Ecuaciones paaméticas: y + s + t s,t R s + t Ecuación implícita o geneal: Ax + By + Cz + D

3 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato x y z + x (y-)+(z+) 5x-y+z+ Ejemplo : Halla dos punto, dos ectoes y el ecto nomal P (,,) a) (x,y,z) (,,) + λ(,5,6) +µ(,,) Puntos: λ, µ P (,,6) (,5,6) Vectoes: (,,) n x (5, 6, 5) + λ + µ (,, ) P (,,) b) y λ µ Puntos: Vectoes: (,,) z λ λ, µ P (,,) n x (,, ) c) x + y z z x + y - Puntos: P(,,-), Q(,,-), R(,,-) n(,, ) Vectoes: PQ (,,) PR (,,) Ejemplo 5 : Halla la ecuación del plano, cuyo ecto nomal es (,,) y pasa po el punto (,,) x + y + z + D x + y + z D D EJERCICIOS REPASO RECTAS Y PLANOS Ejecicio 6 : Halla las ecuaciones paaméticas de los ejes de coodenadas λ P Pto : P (,,) (,,) Eje OX y P (,,) Vecto : P P (,,) P Pto : P (,,) (,,) Eje OY y λ P (,,) Vecto : P P (,,) P Pto : P (,,) (,,) Eje OZ y P (,,) Vecto : P P (,,) λ λ R λ R λ R

4 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato Ejecicio 7 : Escibe todas las ecuaciones de la ecta que pasa po los puntos A(-,,) y 5 B,, Punto : A(,,) : 5 Vecto : AB +,,,, (,, ) Ecuación ectoial: (x,y,z) (-,,) + λ.(,-,-) λ R + λ Ecuaciones paámeticas: y λ λ R λ x + y z Ecuación continua: x y + y Ecuación implícita: x + 6 z x + z 5 Ejecicio 8 : Compueba si existe alguna ecta que pase po los puntos P(,,),Q(,-5,), R(6,-5,) Método: Hallamos la ecta que pasa po P y Q, y compobamos si R petenece a la ecta. Punto : P(,,) x y z Recta que pasa po P y Q Vecto : PQ (, 6,) Compobamos si el punto R la cumple: Falso. 6 No existe ninguna ecta que pase po los puntos P, Q y R a la ez. Ejecicio 9 : Halla todas las ecuaciones de la ecta que pasa po el punto A(-,,5) y es paalela al eje OZ. Punto : A(,,5) : P (,,) Vecto eje OZ (,,) P (,,) Ecuación ectoial: (x,y,z) (-,,5) + λ.(,,) Ecuaciones paámeticas: y λ R 5 + λ x + y z 5 Ecuación continua: + Ecuación implícita: y λ R

5 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 5 Ejecicio : Escibe todas las ecuaciones de la ecta que pasa po el punto P(,-,) y paalela al ecto ux, siendo u(,,), (,,) Punto : A(,,) i j k : Vecto : ux (,,) (,,) Ecuación ectoial: (x,y,z) (,-,) + λ.(,,) Ecuaciones paámeticas: y + λ λ R λ x y + z Ecuación continua: Ecuación implícita: y + z y z λ R Ejecicio : a) Halla el ecto diecto de la ecta deteminada po los planos x y y + z Modo : Pasando a paaméticas: y α, x α, z - α (,,-) i j k Modo : Pependicula a los ectoes nomales de los dos planos (,, ) Nota: Son paalelos, ale cualquiea de los dos. b) Escibe las ecuaciones paaméticas de la ecta anteio α Modo : Diectamente Ecuaciones paámeticas: y α α R α α Punto : Dado un alo, po ejemplo a x, x, y, z Modo : y α Vecto : (,,) + α α R Ejecicio : Dada la ecta x y + + y x z x z x y + z, expésala como intesección de dos planos.

6 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 6 Ejecicio : Halla todas las ecuaciones de los siguientes planos: a) Deteminado po el punto A(,-,) y po los ectoes u(,,), (,,) Ecuación ectoial: (x,y,z) (,-,) + s.(,,) + t.(-,,) s,t R + s t Ecuaciones paaméticas: y + s s,t R + t Ecuación implícita o geneal: Ax + By + Cz + D x y + z (x ) -6(y + ) + (z ) x 6y + z - b) Pasa po el punto P(,-,) y cuyo ecto nomal es (5,-,-) 5x - y - z + D 5x y z (-) -.+ D D 5 x y + z c) Pependicula a la ecta y que pasa po el punto (,,) Punto : P (,,) : x y + z + D + + D D 5 x y + z 5 n (,,) Ejecicio : Halla las ecuaciones paaméticas e implícitas de los planos OXY, OYZ y OXZ PuntoP (,,) OXY Puntos : P (,,),P (,,), P (,,) PP (,,) Vectoes PP (,,) s Ecuaciones paaméticas: y t s,t R x y Ecuación implícita o geneal: Ax + By + Cz + D z Análogamente: OYZ: y s t s,t R, x s OXZ: y t s,t R, y Ejecicio 5 : Escibe las ecuaciones paaméticas de los planos a) z b) x - c) y s s a) y t s,t R, b) y s s,t R, c) y t t z s,t R,

7 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 7 Ejecicio 6: a) Cuál es el ecto nomal del plano x -? (,,) b) Escibe las ecuaciones de una ecta pependicula al plano que pase po A(,,) Punto : A(,,) : : Vecto : n (,, ) Ecuación ectoial: (x,y,z) (,,) + λ.(,,) + λ Ecuaciones paámeticas: y λ R x y z Ecuación continua: y Ecuación implícita: λ R POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Coincidentes Paalelas Secantes Se cuzan Método: Escibimos las ecuaciones paaméticas de cada una de ellas (con distinto paámeto), las igualamos y esolemos el sistema: Sistema compatible deteminado Existe una única solución Se cotan en un punto Secantes. Sistema compatible indeteminado Existen infinitas soluciones Se cotan en infinitos puntos Coincidentes. Sistema incompatible No existe solución No se cotan Paalelas o se cuzan. o Halla el ecto diecto de cada una o Si son paalelos (popocionales) las ectas son paalelas o Si no son paalelos, las ectas se cuzan. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Coincidentes Paalelos Secantes Método: Escibimos las ecuaciones geneales de cada uno de ellos y esolemos el sistema: Sistema compatible deteminado No puede se Sistema compatible indeteminado Existen infinitas soluciones Se cotan en infinitos puntos Se cotan en un plano o en una ecta o Si hay un gado de libetad Un ecto Se cotan en una ecta Secantes o Si hay dos gados de libetad Dos ectoes Se cotan en un plano Coincidentes Sistema incompatible No existe solución No se cotan Paalelos.

8 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 8 POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTA Y PLANO Recta Contenida en el plano Secantes Paalelos Escibimos las ecuaciones paaméticas de la ecta y la geneal del plano y esolemos el sistema: Sistema compatible deteminado Existe una única solución Se cotan en un punto Secantes. Sistema compatible indeteminado Existen infinitas soluciones Se cotan en infinitos puntos Recta contenida en el plano. Sistema incompatible No existe solución No se cotan Paalelos. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Coincidentes Dos coincidente y Dos coincidentes y Paalelos Paalelos el oto secante el oto paalelo Dos paalelos Secantes en una ecta Secantes en un punto Secantes a Y el oto secante en una ecta Escibimos las ecuaciones de los tes planos en foma geneal y esolemos el sistema: Sistema compatible deteminado Existe una única solución Se cotan en un punto Sistema compatible indeteminado: o Un gado de libetad: Se cotan en una ecta Dos planos coincidentes y el oto secante Los tes se cotan en una ecta o Dos gados de libetad: Se cotan en un plano Coincidentes Sistema incompatible No existe solución o Dos coincidentes y el oto paalelo o Tes paalelos o Dos paalelos y el oto los cota o Se cotan dos a dos en una ecta

9 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 9 Ejemplo 7 : Estudia la posición elatia de las siguientes ectas: 5α α a) : y + α s: y 5α Vectoes diectoes no paalelos, se Cuzan o se cotan z 5 α z α 5α β Resolemos el sistema + α 5β α β Rango A, RangoA Sistema incompatible No existe solución Se cuzan. 5α x y z b) : y + α s: Vectoes diectoes paalelos (paalelas o z 5 α 5 coincidentes), tomamos un punto de, (,,5) y compobamos si cumple s: No lo cumple, po tanto, paalelas. t c) : y + 5t s: (x,y,z) (,,5) + λ(-,,) Vectoes no paalelos, se Cuzan o se cotan z t t λ Resolemos el sistema + 5t λ t 5 t 5 λ 5 Cieto Sistema compatible deteminado Existe una única solución, se cotan en un punto Halla el punto de cote, como t 5 P(-,8,5) + λ x y z d) : y λ s: Vectoes diectoes paalelos (paalelas o z λ + λ λ coincidentes) Cogemos un punto de s(,,) y compobamos si cumple : λ λ λ λ tanto coincidentes. Si, po Ejemplo 8 : Estudia la posición elatia de los siguientes planos. a) x y + z b) x y + z c) x y + z x y + 6z + x 5y + z + x 6y + 8z Dos modos: O esoliendo el sistema o compaando sus ectoes nomales a) La última igualdad no se cumple, paalelos 6 b) Vectoes nomales no paalelos, se cotan en una ecta. 5 Si nos piden la ecta, esolemos el sistema y obtenemos la ecta en paaméticas. c) Se cumplen todas, coincidentes. 6 8

10 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato Ejemplo 9: Estudia la posición elatia ente la ecta y el plano: t + a) : x y+5z+ : y t z + 6t a) Sustituimos las ecuaciones de la ecta en la ecuación del plano: -t + -( t) + 5.( + 6t) + -t + - +t + + t + t + t - Sistema compatible deteminado. Existe una solución. Se cotan en un punto. Si nos piden el punto de cote, sustituimos en las ecuaciones de la ecta: P(5,,-) x y + b) z -y + z - b) Pasamos la ecta a paaméticas y sustituimos en la ecuación del plano -(t-) + t - Sistema compatible indeteminado, existen infinitas soluciones Recta contenida en el plano. t + c) y t + x + y z z t c) (t + ) + (-t + ) t 5 Sistema incompatible, no tiene solución Paalelos Ejemplo : Estudia la posición elatia de estos tes planos: + y z a) y + z x + y + z a) Resolemos el sistema po Gauss y nos sale compatible deteminado, existe una única solución Se cotan en un punto P(7/,/,-/) y + z b) x y + z x y + z b) Resolemos el sistema po Gauss y nos sale un sistema compatible indeteminado con un gado de libetad, es deci, se cotan en una ecta. Como los planos no son paalelos ente se cotan los tes en una ecta. y + z c) x + y z x + y z + c) Resolemos el sistema po Gauss y nos sale sistema incompatible, no tiene solución. Como ninguno es paalelo ente si, se cotan dos a dos en una ecta (Tienda de campaña) + y + z a d) x + y + az a x + ay + z d) Como es un sistema con paámetos con el mismo númeo de ecuaciones que de incógnitas, hallamos el deteminante: a a + a a,a a

11 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato CASO I: Si a Sistema RangoA' RangoA Incompatible El pime y el tece plano paalelos y el otos los cota en una ecta. CASO II: Si a Sistema Incog Nº RangoA' RangoA... Compatible indeteminado con un gado de libetad (ninguno paalelo) se cotan en una ecta. CASO III: a { }, R A Sistema compatible deteminado Se cotan en un punto. Resoliendo (po Came o po Gauss) obtenemos el punto de cote en función de a. REPASO DE RECTAS Y PLANOS Y POSICIONES RELATIVAS Ejecicio : Estudia la posición elatia de las siguientes ectas y halla el punto de cote, cuando sea posible: a) : z y x + s: z y x + Vectoes diectoes (,,) y (-,,) no paalelos, se cotan o se cuzan. Resolemos el sistema: β + α + β + α β α RangoA' RangoA Sistema incompatible, no existe solución, se Cuzan. b) : z y x s: 5 z y x Vectoes diectoes (-,,) (,,) no paalelos, se cotan o se cuzan. Resolemos el sistema: 5 β + α + β + α + β + α Incog Nº RangoA' RangoA Sistema compatible deteminado, existe una única solución, se cotan en un punto. P(,,) 9 9 β β β α c) : z y x + s: + z y y x Vectoes diectoes (,,), ) (,, k j i Paalelos, Paalelos o coincidentes. Tomamos un punto de P (,,-) y emos si petenece a s : + + No petenece a s po tanto no pueden se coincidentes. Son paalelas.

12 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato + t x y z d) : s: y + 6t z + 8t Vectoes diectoes (,,), (,6,8) paalelos, po tanto paalelas o coincidentes. + t t / Tomamos un punto de : P (,,) y compobamos si petenece a s: + 6t t / + 8t t / petenece a s po tanto son coincidentes. Si Ejecicio : Obtén el alo de a paa que las ectas y s se coten y halla el punto de cote. x y + z : x y z a s: β + α α β Pasamos a paaméticas y esolemos el sistema: α β 7β 7 α + a α + β β, α,a P(-.-.) Ejecicio : Halla los aloes de m y n paa que las ectas y s sean paalelas: 5 + t x y z + : y + t s: m n z t Los ectoes diectoes popocionales: m m n n Ejecicio : Calcula m y n paa que los planos: α: mx + y z - β: x + ny z sean paalelos. Pueden se coincidentes? m n / Los ectoes nomales popocionales: n m 6 6 Paa que sean coincidentes: No son coincidentes. / Ejecicio 5 : Escibe la ecuación del plano que pasa po los puntos (,,), (,,) y (,,) Plano: Punto : A(,,) AB (,,) Vectoes : AC (,,) x y z x y x y

13 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato Ejecicio 6 : Detemina la ecuación del plano que contiene al punto P(,,) y a la ecta y z x P(,,), P (,,), (,-,-) Punto : P(,,) x y z Plano: PP (,,) -(x-) + (y ) -(z-) Vectoes : (,, ) -x + y - z + -x + y z + 5 x Ejecicio 7 : Compueba que las ectas : y z paalelas y halla la ecuación del plano que las contiene. s: x z 5 x y son i j k Vectoes diectoes popocionales: (,,), s (-, -, -) P (,,), (,,), P s (Po ejemplo z, x 5, y - (5,-,)) Punto : P (,,) x y z Plano: (,,) (x ) + 8y -(z ) Vectoes : P Ps (,, ) x + 8y z + 9 Ejecicio 8 : Son coplanaios los puntos A(,,), B(,,), C(,,), D(-,,)? Con tes puntos A, B y C hallamos el plano que los contiene y compobamos si D Al plano Punto : A(,,) Plano: AB (,,) Vectoes : AC (,,) po tanto no son coplanaios. x y z -z z D no cumple que z, Ejecicio 9 : Halla la ecuación del plano que pasa po los puntos A(,,) y B(-,5,) y es t paalelo a la ecta y + t z t Punto : A(,,) x y z Plano: AB (,, ) -(x ) -7(y ) (z ) Vectoes : (,, ) -x 7y z +7

14 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato Ejecicio : Halla la ecuación del plano que contiene a la ecta : x y + z a: s: 5 Punto : P (,,) Plano: (,,) Vectoes : s (5,, ) x + y + z + x 5 y + z + λ y λ z λ (x ) +(y + ) +z y es paalelo x y z + Ejecicio : Dado el plano : x y + z y la ecta :, halla la ecuación del plano que contiene a la ecta y es pependicula al plano. Punto : P (,, ) x y z + Plano: (,,) 5(x ) +.(y ) (z + ) Vectoes : n (,, ) 5x + y z Ejecicio : Sea la ecta : x y + z y el plano ax y + z x z + a) Calcula el alo de a paa que sea paalela al plano. b) Existe algún alo de a paa que sea pependicula al plano? a) Vecto diecto de la ecta y ecto nomal del plano pependiculaes (.n ) i j (, 5,).n (,5,).(a,-,) a a - k 5 b) Vecto de la ecta y ecto nomal del plano, paalelos:. No existe. a Ejecicio : Dados la ecta : x z + y el plano : x + y + z, halla la y z ecuación de una ecta s contenida en el plano que pase po el punto P(,,-) y sea pependicula a. Punto : P(,, ) i j k i j k Recta s: (,,) Vecto : s xn xn (, 5,) n (,,) x y z + 5

15 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 5 Ejecicio : Halla la ecuación de una ecta que cumpla las condiciones siguientes: ) Es paalela a la ecta de ecuaciones: : x + z 5 y + z 5 ) Pasa po el punto de intesección de la ecta s con el plano : x y + z + s: : x y + z 7 : z α, x 5 - α, y 5 - α (-,-,) t + P : s: y t t + (t ) + (t ) 7 5t 5 t P (5,, ) t x 5 y + z Ejecicio 5 : Escibe la ecuación del plano que pasa po los puntos A(,-,) y B(,,) y es paalelo a la ecta : x y + y + z Punto : A(,,) AB (,, ) Plano: i j k Vectoes : ( 6, 9,6) (,,) 5(x ) + (y + ) + (z ) 5x + y + z 5 x y + z Ejecicio 6 : Dados los planos mx + y z y x y + 6z + 5, halla m paa que sean: a) Paalelos b) Pependiculaes m a) Popocionales: m - 6 b) Vectoes nomales pependiculaes: (m,,-).(,-,6) m 8-8 m Ejecicio 7 : Halla la ecuación de la ecta que pasa po el punto P(,,) y es pependicula al plano que pasa po el oigen y po los puntos B(,,) y C(,,). Punto : P(,,) Recta: Vecto : n x y z Punto : O(,,) : OB(,,) Vectoes : OC(,,) : x y z x + z : (,,)

16 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 6 Ejecicio 8 : Escibe la ecuación del plano que contiene a la ecta : x + y x y + z paalelo a s: x y z + y es Punto : P Plano: Vectoes : s (,, ) P (,, ) Pasamos a paaméticas: y α, x - α, z - + α + α α - (,,) x y z + Plano: -(x ) -y (z + ) -x y z + Ejecicio 9 : Indica qué condiciones deben cumpli a, b, c y d, paa que el plano : ax + by + cz + d sea: a) Paalelo al plano OXY b) Pependicula al plano OXY c) Paalelo al eje Z d) Pependicula al eje X e) No sea paalelo a ninguno de los ejes. a) n n oxy a b c a, b b) n. n OXY (a,b,c).(,,) c c) n. Z (a,b,c).(,,) c d) n X a b c b, c e) No es paalelo a ninguno de los ejes, a, b, c Autoealuación pág 8 del libo.

17 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 7 ÁNGULOS ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cos (, ) cos (, ).. ANGULO ENTRE DOS PLANOS Cos (Π, Π ) cos( n, n ) n n.n. n ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO Sen (, Π) cos (, n Π ).n. n Ejemplo : Halla el ángulo que foman las siguientes ectas: x y + z : s: x + y 5z 5 x y + 5 (5,, ) i j k cos (,s) cos (, s ) cos(, s ) s 5 (, 5, 7) (,5,7). s ,7 α º 59 5, s Ejemplo : Halla el ángulo que foman los siguientes planos: : x + 8y z : x y + n.n 8 6 cos (, ) cos (n, n ), n. n α 7º 9,6 Ejemplo : Halla el ángulo que foman la ecta y el plano: : (x,y,z) (,-,) + t.(,5,-) : x 5y +7z.n sen (,) sen (, n ), 57. n α 5º 5,5 Ejecicio : Halla el alo de m paa que y s fomen un ángulo de 9º: 5t + t : y t s: y t z t z mt. s (-5,,-).(,,m) -5 + m m -

18 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 8 Ejecicio : Halla, en cada caso, el ángulo que foman la ecta y el plano: x + y + z a) : : x y z +.n 8 sen (,) sen (, n ) α 9º. n b) : x t; y + t; z - : x y + z.n + sen (,) sen (, n ) α º. n x y z c) : : x + z 7.n + sen (,) sen (, n ), 87 α 6º. n Ejecicio 5 : Calcula el ángulo que foman los dos planos siguientes: α: z : x y + z + n α.n + + cos (α,) cos (n α, n ), 8 α 5º 5 5,8 n. n α Ejecicio 6 : Halla los tes ángulos de un tiángulo cuyos étices son: A(,,), B(,,), C(,,) AB (,,), AC (,,), BC (,-,) Cos (AB,AC) + + 6, 7 α º, Cos (AB,BC) + α 9º α 8º - 9º - º,6 7º 6 8,6 Ejecicio 7 : Halla el ángulo que foma el plano : x y + z con cada uno de los ejes coodenados. OX.n sen (OX,) sen ((,,), n ), α º 5,. n OX OY.n sen (OY,) sen ((,,), n ), 8 α 5º 8,. n OY OZ.n sen (OZ,) sen ((,,), n ), α º 5,. n OZ

19 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato 9 DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: A(x,y,z ), B(x,y,z ) d(a,b) AB ( ) ( ) ( ) x x + y y + z z DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA d(p,) PP x DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO: P(x,y,z ), Π: Ax + By + Cz + D Ax + By + Cz + D d(p, Π) A + B + C DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS,, P P [ ] s s d(,s) x s DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO d(, Π) d(p, Π) DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS d(π, Π ) d(p, Π ) : Ax + By + Cz + D Si d(, ) : Ax + By + Cz + D' A D D' + B + C Ejemplo 8 : Halla la distancia ente los puntos P(,,) y Q(,-,) d(p,q) ( ) + ( ) + ( ) Ejemplo 9 : Halla la distancia del punto P(5,-,6) y la ecta : i j k :P(,,5), (-,-,) PP x (,6,6) PP (-,, -) u 5,u t y t z 5 + t d(p,) PP x u,6u + + Ejemplo 5 : Halla la distancia del punto P(,,) al plano : x + y z d(p, Π),u + 9 +

20 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato Ejemplo 5 : Halla la distancia ente las ectas : : P (5,,8), (,,) P Ps (,, ) s : Ps (,,5), s (,,) i V x V s (,, ) j k 5 + t y z 8 + t s: + t y t z 5 + t [,, P P ] [( + + ) ( )] 9 [ ], s, P Ps d(,s) Ejemplo 5: Halla la distancia ente la ecta :. ( ) + 6 d(, Π) d(p, Π) s x s s x 5,u 9 u + + y z + y el plano : x y z + 6 Ejemplo 5 : Halla la distancia ente dos planos: : x 5y + z 9, : x y + z D D' 8 8 : x y + z 8 d(, ), 7 u A + B + C Ejecicio 5 : Halla la distancia que hay ente los puntos A(,5,-), B(-,,-) d(a,b) ( ) + ( 5) + ( + ) Ejecicio 55 : Considea la ecta : x y x + z u y el plano : x + y z a) Halla las coodenadas del punto S donde se cotan y Pasamos la ecta a paaméticas y esolemos el sistema: x α, y α +, z - α α + (α + ) -( - α) α α S(,,) b) Calcula la distancia del punto P(,,) al punto S del apatado anteio. d(p,s) ( ) + ( ) + ( ) Ejecicio 56 : Calcula la distancia ente el punto P(,-,) y el plano : x z.. d(p, Π),u Ejecicio 57 : Calcula la distancia ente el punto Q(,-,) y el plano que contiene a P(,,) y a : t y + t z Punto : P(,,) x y z Plano: PP (,,) (,,) (,,) 7(z ) z- Vectoes : (,,) d(q, Π) u + + 5u

21 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato Ejecicio 58: Halla la distancia ente los siguientes paes de planos: a) : x y + : x y + D D' 6 5 : x y + 6 d(, ), u A + B + C + 6 b) x y + z : x y + z -5 No son paalelos, se cotan (, ) d + λ Ejecicio 59 : Halla la distancia ente la ecta : y λ y el plano : x y z + 7λ.. d(, Π) d(p, Π) d((,,-),x-y-),6u Ejecicio 6 : Calcula la distancia que hay ente el punto P(,,6) y la ecta : x + α; y + α; z - - α i j k :P(,,-), (,,-) PP x 7 (, 5, ) PP (,,-7) d(p,) PP x u Ejecicio 6 : Halla la distancia ente las ectas : : P (,,9), (,,5) P Ps (,, 5) s : Ps (,,), s (,9,) i V x V s 5 ( 8. 6,) j 9 k λ y λ z 9 + 5λ s: t y + 9t z + t [,, P P ] 9 [( ) (9 + 8)] 8 s s 5 5 [ ], s, P Ps d(,s) x s 8 8 u

22 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato EJERCICIOS IMPORTANTES Cota o se apoya Ejecicio 6 : Halla las ecuaciones de la ecta que pasa po el punto P(,,-) y cota a las x y z + ectas s : s : x + y + y z + P s (α+,-α+,α-), Ps (zβ,y-+β,x--β)(--β,-+β,β) α α + α PP s paalelo a PP s β + β β + 9α 6β αβ 6 6α + 6αβ α 6 + αβ 6β α αβ + α α αβ 5α + 5αβ 5α( + β) β Si α - 6β6 β - cieto 6 Punto : P(,, ) x y x + : Vecto : PPs (,,) Ejecicio 6 : Halla la ecuación de la ecta que pasa po A(,,), es paalela al plano : x y + z y cota a la ecta : x y AP (,, α ) AP es pependicula a n (Poducto escala ceo): P (,,α) n (,, ) AP.n (,,α-).(,-,) - + α - α Punto : A(,,) x : y z Vecto : AP (,,) (,,) Ejecicio 6 : Halla la ecuación de la ecta s que pasa po el punto P(,-,) y cota x y + z pependiculamente a la ecta : PP ( α +,α,α ) (,,) ( α +,α,α ) PP pependicula a (Poducto escala nulo) (,,) PP. α + + α + 9α - α - α /7 Punto : P(,,) x y + z Recta: Vecto : PP (8/ 7, / 7, / 7) (,, ) Ejecicio 65 : Halla la ecta pependicula común a las ectas: x y z + x y + z : s: Recta : P (,α+,α-) (,,) Recta s: P s (β+,- β-,β) s (,-,)

23 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato i V x s (5,, ) j k P.P s paalelo a : β + β α β α + β + 5 5α 7β + 5α β / 5 β + α + 6 α + 6 5β 5α Punto : Ps ( /,/, ) x + / y / z + Recta: Vecto : (5,, ) 5 Ejecicio 66 : Encuenta la ecta que pasa po el punto P(,,-) y cota a las ectas l y l de ecuaciones: l : + t x + y z l : y t x y + z z + t α z + x + y Pasamos l a paaméticas: y 5 5α 5 5x + y 5 7α 9 α 5 5α 7α 8 PP l paalelo a PP l α 7α 8 α 7 / 8 + t t + t Punto : P(,, ) x y `z + Recta: Vecto : PPl ( 5 / 8, 5/ 8, 5/ 8) (,,) Ejecicio 67 : Compueba que las ectas: : y 5 + t z t ecuación de la ecta pependicula a ambas. s: 7 + t y 5 + t z 7 se cuzan. Halla la Compoba que se cuzan: (,,), s (,,) no son paalelos, se cotan o se cuzan. Resolemos el 7 + s s sistema: 5 + t 5 + s t Sistema incompatible, no tiene solución. Se cuzan. t 7 t 7 Recta pependicula común: P P s pependicula a, s P P s (6+s, -+s-t, 7-t) Vecto pependicula a y a s x s (,, ) P P s paalelo a 6 + s + s t i 7 t Punto : P (,, ) x y z + Recta: Vecto : (,, ) j k 8 9s 7 + t t + 9s s s + t t 6t s 9 t

24 Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato Poyección otogonal λ Ejecicio 68 : Calcula la poyección otogonal de la ecta : y λ sobe el plano : x- y + z λ z + [] P : (--λ) (-λ) + λ + λ λ / P(-/, -/, /) [] Q un punto cualquiea de (distinto de P): Q(-,,) + t Punto : Q(,,) [] ': y t Vecto : ' n (,,) t [] Q : (-+t) (-t) + t + t t / Q (-/,-/,/) Punto : P( /, /, / ) [5] s es la ecta que pasa po P y Q s: Vecto : PQ' ( /,5/, 5 / ) (,, 5) x + α S: y + α α R z 5α Siméticos Ejecicio 69 : Halla el punto simético de P(,,) especto del plano : x y + z + t Punto : P(,,) [] Calcula la ecta : : y t Vecto : n (,,) z + t [] Calcula el punto C : +t (-t) + + t t - t -/ C(/,/,/) x + y z + [] C es el punto medio de P y P :,,,, P,, Ejecicio 7 : Detemina el punto simético de A(-,,-7) especto de la ecta : x + y z + Punto : A(,, 7) [] Calcula el plano : x + y + z + D D Vecto : n (,, ) D 5 x + y + z + 5 [] Calcula el punto C : (t-) + (t+) + (t-) + 5 9t -8 t - C(-,-,-5) x y z 5 [] C es el punto medio de A y A : (,, 5),, A (-,-,-) MÁS EJERCICIOS Libo, pagina 6 a pati del